新疆乌鲁木齐市第七十中学2023-2024学年上学期阶段性学情九年级第一次月考数学试卷（含解析）

这是一份新疆乌鲁木齐市第七十中学2023-2024学年上学期阶段性学情九年级第一次月考数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x﹣2＝0B．x2﹣4x﹣1＝0C．x2﹣2x﹣3D．xy+1＝0
2．关于x的方程（a﹣1）x2+x+2＝0是一元二次方程，则a的取值范围是（ ）
A．a≠1B．a≥﹣1且a≠1C．a＞﹣1且a≠1D．a≠±1
3．下列函数中，是二次函数的有（ ）
①；
②；
③y＝3x（1﹣3x）；
④y＝（1﹣2x）（1+2x）．
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．函数y＝ax2与y＝﹣ax+b的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
5．已知是关于x的二次函数，且有最大值，则k＝（ ）
A．﹣2B．2C．1D．﹣1
6．对于一般的二次函数y＝x2+bx+c，经过配方可化为y＝（x﹣1）2+2，则b，c的值分别为（ ）
A．5，﹣1B．2，3C．﹣2，3D．﹣2，﹣3
7．将抛物线y＝x2向左平移2单位，再向上平移3个单位，则所得的抛物线解析式为（ ）
A．y＝（x+2）2+3B．y＝（x﹣2）2+3
C．y＝（x+2）2﹣3D．y＝（x﹣2）2﹣3
8．参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛110场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）
A．x（x+1）＝110B．x（x﹣1）＝110
C．x（x+1）＝110D．x（x﹣1）＝110
9．若a，b，c满足，则关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解是（ ）
A．1，0B．﹣1，0C．1，﹣1D．无实数根
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
10．某种药品原价为36元/盒，经过连续两次降价后售价为25元/盒．设平均每次降价的百分率为x，根据题意所列方程是 ．
11．a是方程x2+x﹣2＝0的一个根，则代数式﹣3a2﹣3a+2030的值是 ．
12．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
13．设x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两根，则x1+x2+x1x2＝ ．
14．函数y＝3（x+1）2﹣5的开口向 ，对称轴为直线x＝ ，顶点坐标为 ，当x 时y随x的增大而减小．
15．抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣2．抛物线与x轴的一个交点在点（﹣4，0）和点（﹣3，0）之间，其部分图象如图所示，①4a﹣b＝0；②c＜3a；③a+b+c＞0；④b2+2b＞4ac．所述4个结论中正确的是 ．
三、解答题（本大题共8小题，共90分.计算应写出必要的步骤，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（16分）用指定的方法解下列方程：
（1）3（x﹣3）2＝12（直接开平方法）；
（2）4x2﹣6x﹣3＝0（配方法）；
（3）（2x﹣3）2＝5（2x﹣3）（适当方法）；
（4）（x+8）（x+1）＝﹣12（适当的方法）．
17．二次函数的图象经过点A（0，﹣3），B（2，﹣3），C（﹣1，0）．
（1）求此二次函数的关系式；
（2）求此二次函数图象的顶点坐标．
18．不解方程，判断下列方程根的情况：
（1）16y2+9＝24y；
（2）5（x2+1）﹣7x＝0；
（3）3（x2﹣1）＝5x．
19．已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的一个根为x＝3，求k的值及方程的另一根．
20．安庆某商场销售一批空气加湿器，平均每天可售出30台，每台可盈利50元，为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每台每降价1元，商场平均每天可多售出2台．
（1）若该商场某天降价了5元，则当天可售出 台，当天共盈利 元．
（2）在尽快减少库存的前提下，商场每天要盈利2100元，每台空气加湿器应降价多少元？
（3）该商场平均每天盈利能达到2500元吗？如果能，求出此时应降价多少；如果不能，请说明理由．
21．如图，某校准备一面利用墙，其余三面用篱笆围成一个矩形花圃ABCD．已知旧墙可利用的最大长度为13m，篱笆长为24m，设垂直于墙的AB边长为xm．
（1）若围成的花圃面积为70m2时，求BC的长；
（2）如图，若计划将花圃中间用一道篱笆隔成两个小矩形，且花圃面积为78m2，请你判断能否围成这样的花圃？如果能，求BC的长；如果不能，请说明理由．
22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20cm，BC＝15cm．现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动．如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动的时间为ts，求：
（1）当t＝3秒时，求P、Q两点之间的距离，并计算此时Rt△CPQ的面积S；
（2）当t为多少秒时，S＝S△ABC．
23．如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．已知点A的坐标是（﹣1，0），抛物线的对称轴是直线x＝1．
（1）求出抛物线解析式和点B的坐标；
（2）在对称轴上找一点P，使PA+PC的值最小，在图中标出点P的位置，并求点P的坐标；
（3）若T为抛物线第一象限内一动点，则：
①当△BCT的面积为3时，求点T坐标；
②当△BCT的面积最大时，求点T坐标．
参考答案
一、选择题（本大题共9小题，共36分，在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x﹣2＝0B．x2﹣4x﹣1＝0C．x2﹣2x﹣3D．xy+1＝0
【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．
一元二次方程必须满足四个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0；
（3）是整式方程；
（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
解：A、本方程未知数x的最高次数是1；故本选项错误；
B、本方程符合一元二次方程的定义；故本选项正确；
C、x2﹣2x﹣3是代数式，不是等式；故本选项错误；
D、本方程中含有两个未知数x和y；故本选项错误；
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
2．关于x的方程（a﹣1）x2+x+2＝0是一元二次方程，则a的取值范围是（ ）
A．a≠1B．a≥﹣1且a≠1C．a＞﹣1且a≠1D．a≠±1
【分析】直接利用一元二次方程的定义分析得出答案．
解：∵关于x的方程（a﹣1）x2+x+2＝0是一元二次方程，
∴a﹣1≠0，a+1≥0，
解得：a≥﹣1，且a≠1．
故选：B．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握定义是解题关键．
3．下列函数中，是二次函数的有（ ）
①；
②；
③y＝3x（1﹣3x）；
④y＝（1﹣2x）（1+2x）．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】把各关系式整理成一般形式，根据二次函数的定义判定即可解答．
解：①y＝1﹣x2＝﹣x2+1，是二次函数；
②y＝，分母中含有自变量，不是二次函数；
③y＝3x（1﹣3x）＝﹣9x2+3x，是二次函数；
④y＝（1﹣2x）（1+2x）＝﹣4x2+1，是二次函数．
二次函数共三个．
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的定义，熟知一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数是解题的关键．
4．函数y＝ax2与y＝﹣ax+b的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】可根据a＞0时，﹣a＜0和a＜0时，﹣a＞0分别判定．
解：当a＞0时，﹣a＜0，二次函数开口向上，当b＞0时一次函数过一，二，四象限，当b＜0时一次函数过二，三，四象限；
当a＜0时，﹣a＞0，二次函数开口向下，当b＞0时一次函数过一，二，三象限，当b＜0时一次函数过一，三，四象限．
所以B正确．
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次函数及一次函数的图象，解题的关键是根据a，b的取值来判定二次函数及一次函数的图象的正误．
5．已知是关于x的二次函数，且有最大值，则k＝（ ）
A．﹣2B．2C．1D．﹣1
【分析】根据二次函数的定义，可知二次项系数不等于0，且x的次数等于2，从而得出k的可能值，再根据二次函数有最大值，可知二次项系数为负值，据此可解．
解：由二次函数的定义可知，k﹣1≠0，且k2﹣2＝2
∴k≠1，k＝±2，故C错误；
∵有最大值
∴k﹣1＜0
∴k＜1
∴k＝﹣2．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的定义及二次函数的性质，明确相关定义、性质，是解题的关键．
6．对于一般的二次函数y＝x2+bx+c，经过配方可化为y＝（x﹣1）2+2，则b，c的值分别为（ ）
A．5，﹣1B．2，3C．﹣2，3D．﹣2，﹣3
【分析】首先把y＝（x﹣1）2+2展成一般形式，根据两个函数是同一个，则对应项的系数相同，即可求得b，c的值．
解：y＝（x﹣1）2+2＝x2﹣2x+3，
∴b＝﹣2，c＝3，
故选：C．
【点评】本题主要考查了二次函数的不同形式，正确把顶点式形式化成一般式是解题的关键．
7．将抛物线y＝x2向左平移2单位，再向上平移3个单位，则所得的抛物线解析式为（ ）
A．y＝（x+2）2+3B．y＝（x﹣2）2+3
C．y＝（x+2）2﹣3D．y＝（x﹣2）2﹣3
【分析】根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．
解：∵抛物线y＝x2向左平移2单位，再向上平移3个单位，
∴所得的抛物线的顶点坐标为（﹣2，3），
∴所得的抛物线解析式为y＝（x+2）2+3．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，平移的规律：左加右减，上加下减，此类题目，利用顶点的变化求解更简便．
8．参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛110场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）
A．x（x+1）＝110B．x（x﹣1）＝110
C．x（x+1）＝110D．x（x﹣1）＝110
【分析】设有x个队参赛，根据参加一次足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛110场，可列出方程．
解：设有x个队参赛，则
x（x﹣1）＝110．
故选：D．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据总比赛场数作为等量关系列方程求解．
9．若a，b，c满足，则关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解是（ ）
A．1，0B．﹣1，0C．1，﹣1D．无实数根
【分析】分别把x＝1或x＝﹣1代入方程可得到足a+b+c＝0和a﹣b+c＝0，则根据一元二次方程的解的定义可判断方程的根．
解：当x＝1时，a+b+c＝0，
当x＝﹣1时，a﹣b+c＝0，
所以关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为1或﹣1．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
10．某种药品原价为36元/盒，经过连续两次降价后售价为25元/盒．设平均每次降价的百分率为x，根据题意所列方程是 36（1﹣x）2＝25 ．
【分析】可先表示出第一次降价后的价格，那么第一次降价后的价格×（1﹣降低的百分率）＝25，把相应数值代入即可求解．
解：第一次降价后的价格为36×（1﹣x），两次连续降价后售价在第一次降价后的价格的基础上降低x，为36×（1﹣x）×（1﹣x），
则列出的方程是36（1﹣x）2＝25．
故答案为：36（1﹣x）2＝25．
【点评】考查由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．
11．a是方程x2+x﹣2＝0的一个根，则代数式﹣3a2﹣3a+2030的值是 2024 ．
【分析】根据题意可得：把x＝a代入方程x2+x﹣2＝0中得：a2+a﹣2＝0，从而可得a2+a＝2，然后代入式子中进行计算，即可解答．
解：由题意得：把x＝a代入方程x2+x﹣2＝0中得：a2+a﹣2＝0，
∴a2+a＝2，
∴﹣3a2﹣3a+2030＝﹣3（a2+a）+2030
＝﹣3×2+2030
＝﹣6+2030
＝2024，
故答案为：2024．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键．
12．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 k＞﹣1且k≠0 ．
【分析】由关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，即可得判别式Δ＞0且k≠0，则可求得k的取值范围．
解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＝4+4k＞0，
∴k＞﹣1，
∵x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0
∴k≠0，
∴k的取值范围是：k＞﹣1且k≠0．
故答案为：k＞﹣1且k≠0．
【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式的应用．此题比较简单，解题的关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．
13．设x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两根，则x1+x2+x1x2＝ 0 ．
【分析】直接根据根与系数的关系求解．
解：∵x1、x2是方程x2﹣x﹣1＝0的两根，
∴x1+x2＝1，x1×x2＝﹣1，
∴x1+x2+x1x2＝1﹣1＝0．
故答案为：0．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝．
14．函数y＝3（x+1）2﹣5的开口向 上 ，对称轴为直线x＝ ﹣1 ，顶点坐标为 （﹣1，﹣5） ，当x ＜﹣1 时y随x的增大而减小．
【分析】根据二次函数的解析式即可得到结论．
解：二次函数y＝3（x+1）2﹣5的图象的开口向上，对称轴是直线x＝﹣1，顶点坐标是（﹣1，﹣5），当x＜﹣1时y随x的增大而减小．
故答案为：上，﹣1，（﹣1，﹣5），＜﹣1．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质解题的关键．
15．抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣2．抛物线与x轴的一个交点在点（﹣4，0）和点（﹣3，0）之间，其部分图象如图所示，①4a﹣b＝0；②c＜3a；③a+b+c＞0；④b2+2b＞4ac．所述4个结论中正确的是 ①④ ．
【分析】由对称轴为x＝，可判断①；由x＝﹣1时，y＞0，以及对称轴为x＝，变形可判断②；由x＝1时，y＜0，可判断③；根据抛物线的顶点坐标为（﹣2，3），可得＝3，再结合b＜0，即可对④作出判断．
解：∵抛物线的对称轴为x＝，
∴b＝4a，
∴4a﹣b＝0，
故①正确；
由图象可知，当x＝﹣1时，y＞0，
即a﹣b+c＞0，
∵b＝4a，
∴﹣3a+c＞0，即c＞3a．
故②不正确；
由图象可知，当x＝1时，y＜0，
即a+b+c＜0．
故③不正确；
∵抛物线的顶点坐标为（﹣2，3），
∴＝3，
∴4ac﹣b2＝12a．
∵b＝4a，
∴4ac﹣b2＝3b，
∴b2﹣4ac+2b＝﹣b＞0，
∴b2+2b＞4ac．
故④正确．
故答案为：①④．
【点评】本题考查二次函数的图象与性质，掌握二次函数图象的开口方向与系数的关系、对称轴、顶点坐标公式以及二次函数与一元二次方程的关系是解答本题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共90分.计算应写出必要的步骤，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（16分）用指定的方法解下列方程：
（1）3（x﹣3）2＝12（直接开平方法）；
（2）4x2﹣6x﹣3＝0（配方法）；
（3）（2x﹣3）2＝5（2x﹣3）（适当方法）；
（4）（x+8）（x+1）＝﹣12（适当的方法）．
【分析】（1）先把方程变形为（x﹣3）2＝4，然后利用直接开平方法解方程；
（2）先利用配方法得到（x﹣）2＝，然后利用直接开平方法解方程；
（3）先把方程变形为（2x﹣3）2﹣5（2x﹣3）＝0，再利用因式分解法把方程转化为2x﹣3＝0或2x﹣3﹣5＝0，然后解两个一次方程即可；
（4）先把方程化为一般式，再利用因式分解法把方程转化为x+5＝0或x+4＝0，然后解两个一次方程即可．
解：（1）3（x﹣3）2＝12，
（x﹣3）2＝4，
x﹣3＝±2，
所以x1＝5，x2＝1；
（2）4x2﹣6x﹣3＝0，
x2﹣x＝，
x2﹣x+（）2＝+（）2，
（x﹣）2＝，
x﹣＝±，
所以x1＝，x2＝；
（3）（2x﹣3）2＝5（2x﹣3），
（2x﹣3）2﹣5（2x﹣3）＝0，
（2x﹣3）（2x﹣3﹣5）＝0，
2x﹣3＝0或2x﹣3﹣5＝0，
所以x1＝，x2＝4；
（4）（x+8）（x+1）＝﹣12，
方程化为一般式为x2+9x+20＝0，
（x+5）（x+4）＝0，
x+5＝0或x+4＝0，
所以x1＝﹣5，x2＝﹣4．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了直接开平方法和配方法．
17．二次函数的图象经过点A（0，﹣3），B（2，﹣3），C（﹣1，0）．
（1）求此二次函数的关系式；
（2）求此二次函数图象的顶点坐标．
【分析】（1）设一般式y＝ax2+bx+c，再把三个点的坐标分别代入得到关于a、b、c的方程组，然后解方程组求出a、b、c的值，从而得到二次函数解析式；
（2）先把（1）中的解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质确定顶点坐标．
解：（1）设二次函数解析式为y＝ax2+bx+c，
根据题意得，解得，
所以二次函数解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
所以二次函数图象的顶点坐标为（1，﹣4）．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数的性质．
18．不解方程，判断下列方程根的情况：
（1）16y2+9＝24y；
（2）5（x2+1）﹣7x＝0；
（3）3（x2﹣1）＝5x．
【分析】对于一元二次方程，当Δ＞0时，方程存在两个不等的实数根，当Δ＝0时，方程存在两个相等实数根，当Δ＜0时，方程无实数根，首先将已知方程化为一般式，求得其判别式与0比较，结合上述即可求解．
解：（1）16y2+9＝24y的一般形式为16y2﹣24y+9＝0；
Δ＝b2﹣4ac＝576﹣4×16×9＝0，
故方程有两个相等的实数根．
（2）原方程5（x2+1）﹣7x＝0化为一般形式为5x2﹣7x+5＝0，
Δ＝b2﹣4ac＝49﹣4×5×5＝﹣51＜0，
故方程没有实数根．
（3）3（x2﹣1）＝5x化为一般形式为3x2﹣5x﹣3＝0，
Δ＝b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×3×（﹣3）＝61＞0，
所以此方程有两个不相等的实数根．
【点评】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是关键．
19．已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的一个根为x＝3，求k的值及方程的另一根．
【分析】（1）根据Δ＝b2﹣4ac进行判断；
（2）把x＝3代入方程x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0即可求得k，然后解这个方程即可；
【解答】（1）证明：由于x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0是一元二次方程，Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（k+2）]2﹣4×1×（2k﹣1）＝k2﹣4k+8＝（k﹣2）2+4，
无论k取何实数，总有（k﹣2）2≥0，（k﹣2）2+4＞0，
所以方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：把x＝3代入方程x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0，有32﹣3（k+2）+2k﹣1＝0，
整理，得 2﹣k＝0．
解得 k＝2，
此时方程可化为 x2﹣4x+3＝0．
解此方程，得 x1＝1，x2＝3．
所以方程的另一根为x＝1．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根；还有方程根的意义等；
20．安庆某商场销售一批空气加湿器，平均每天可售出30台，每台可盈利50元，为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每台每降价1元，商场平均每天可多售出2台．
（1）若该商场某天降价了5元，则当天可售出 40 台，当天共盈利 1800 元．
（2）在尽快减少库存的前提下，商场每天要盈利2100元，每台空气加湿器应降价多少元？
（3）该商场平均每天盈利能达到2500元吗？如果能，求出此时应降价多少；如果不能，请说明理由．
【分析】（1）利用销售数量＝30+2×降低的价格，即可求出当天的销售量，再利用总利润＝每台的利润×销售数量，即可求出结论；
（2）设每台空气加湿器应降价x元，则每台盈利（50﹣x）元，每天可以售出（30+2x）台，利用总利润＝每台的利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合要尽快减少库存，即可确定x的值；
（3）设每台空气加湿器应降价y元，则每台盈利（50﹣y）元，每天可以售出（30+2y）台，利用总利润＝每台的利润×销售数量，即可得出关于y的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣775＜0可得出该方程无实数根，进而可得出商场平均每天盈利不能达到2500元．
解：（1）30+2×5＝30+10＝40（台），
（50﹣5）×40＝45×40＝1800（元）．
故答案为：40；1800．
（2）设每台空气加湿器应降价x元，则每台盈利（50﹣x）元，每天可以售出（30+2x）台，
依题意得：（50﹣x）（30+2x）＝2100，
整理得：x2﹣35x+300＝0，
解得：x1＝15，x2＝20．
∵尽快减少库存，
∴x的值应为20．
答：每台空气加湿器应降价20元．
（3）不能，理由如下：
设每台空气加湿器应降价y元，则每台盈利（50﹣y）元，每天可以售出（30+2y）台，
依题意得：（50﹣y）（30+2y）＝2500，
整理得：y2﹣35y+500＝0．
∵Δ＝（﹣35）2﹣4×1×500＝1225﹣2000＝﹣775＜0，
∴该方程无实数根，
∴商场平均每天盈利不能达到2500元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（3）牢记“当Δ＜0时，方程无实数根”．
21．如图，某校准备一面利用墙，其余三面用篱笆围成一个矩形花圃ABCD．已知旧墙可利用的最大长度为13m，篱笆长为24m，设垂直于墙的AB边长为xm．
（1）若围成的花圃面积为70m2时，求BC的长；
（2）如图，若计划将花圃中间用一道篱笆隔成两个小矩形，且花圃面积为78m2，请你判断能否围成这样的花圃？如果能，求BC的长；如果不能，请说明理由．
【分析】（1）根据题意列方程，列方程即可得到结论；
（2）根据题意列方程，列方程即可得到结论．
【解答】（1）解：根据题意得：BC＝（24﹣2x）m，
则（24﹣2x）x＝70，
解得：x1＝5，x2＝7，
当x1＝5时，BC＝14x2＝7时，BC＝10，
墙可利用的最大长度为13m，BC＝14舍去．
答：BC的长为10m．
（2）解：不能围成这样的花圃．理由如下：
依题意可知：（24﹣3x）x＝78，
即x2﹣8x+26＝0，Δ＝82﹣4×1×26＝﹣40＜0，
所以方程无实数根，
答：不能围成这样的花圃．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，同时也利用了矩形的性质，解题时首先正确了解题意，然后根据题意列出方程即可解决问题．
22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20cm，BC＝15cm．现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动．如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动的时间为ts，求：
（1）当t＝3秒时，求P、Q两点之间的距离，并计算此时Rt△CPQ的面积S；
（2）当t为多少秒时，S＝S△ABC．
【分析】（1）找出当t＝3秒时，CP，CQ的长，在Rt△CPQ中，利用勾股定理，可求出PQ的长，再利用三角形的面积公式，求出Rt△CPQ的面积S即可；
（2）利用时间＝路程÷速度，可确定t的取值范围，当运动时间为t秒时，CP＝（20﹣4t）cm，CQ＝2tcm，根据S＝S△ABC，可列出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论．
解：（1）当t＝3秒时，CP＝AC﹣AP＝20﹣4×3＝8（cm），
CQ＝2×3＝6（cm），
在Rt△CPQ中，∠C＝90°，CP＝8cm，CQ＝6cm，
∴PQ＝＝＝10（cm），
∴CP•CQ＝8×6＝24（cm2）．
答：当t＝3秒时，P、Q两点之间的距离为10cm，此时Rt△CPQ的面积为24cm2；
（2）∵20÷4＝5（秒），15÷2＝7.5（秒），5＜7.5，
∴0≤t≤5．
当运动时间为t秒时，CP＝（20﹣4t）cm，CQ＝2tcm，
根据题意得：×2t（20﹣4t）＝××20×15，
整理得：t2﹣5t+6＝0，
解得：t1＝2，t2＝3．
答：当t为2秒或3秒时，S＝S△ABC．
【点评】本题考查了勾股定理、一元二次方程的应用以及三角形的面积，解题的关键是：（1）利用勾股定理及三角形的面积公式，求出PQ的长及Rt△CPQ的面积S的值；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
23．如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．已知点A的坐标是（﹣1，0），抛物线的对称轴是直线x＝1．
（1）求出抛物线解析式和点B的坐标；
（2）在对称轴上找一点P，使PA+PC的值最小，在图中标出点P的位置，并求点P的坐标；
（3）若T为抛物线第一象限内一动点，则：
①当△BCT的面积为3时，求点T坐标；
②当△BCT的面积最大时，求点T坐标．
【分析】（1）由待定系数法求出函数表达式，即可求解；
（2）点A关于抛物线对称轴的对称点为点B，连接CB交抛物线对称轴于点P，则此时PA+PC的值最小，即可求解；
（3）由△BCT的面积S＝S△THC+S△THB＝TH×OB，即可求解．
解：（1）∵点A的坐标是（﹣1，0），抛物线的对称轴是直线x＝1，
则点B的坐标为：（3，0），
设抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），
则﹣3a＝3，则a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）如图1，点A关于抛物线对称轴的对称点为点B，连接CB交抛物线对称轴于点P，则此时PA+PC的值最小，
理由：PA+PC＝PB+PC＝BC为最小，
设直线BC的表达式为：y＝kx+3，
将点B的坐标代入上式得：0＝3k+3，
解得：k＝﹣1，
即直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，
当x＝1时，y＝﹣x+3＝2，
即点P（1，2）；
（3）过点T作y轴的平行线交BC于点H，
设点T（x，﹣x2+2x+3），则点H（x，﹣x+3），
则TH＝（﹣x2+2x+3）﹣（﹣x+3）＝﹣x2+3x，
则△BCT的面积S＝S△THC+S△THB＝TH×OB＝（﹣x2+3x）＝﹣（x﹣）2+，
①当S＝3，即3＝（﹣x2+3x），
解得：x＝1或2，
即点T（1，4）或（2，3）；
②由S＝﹣（x﹣）2+知，当x＝时，S取得最大值，
此时，点T（，）．
【点评】本题为二次函数综合题，涉及到函数的图象性质、点的对称性、面积的计算等，有一定的综合性，难度不大．