2023届云南师范大学附中（贵州版）高三上学期月考（五）数学（理）试题含解析

2023届云南师范大学附中（贵州版）高三上学期月考（五）数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】求出集合、，利用交集的定义可求得集合.

【详解】因为函数在上为增函数，则当时，，

所以，，

又因为，因此，.

故选：D.

2．已知复数z满足：，则的最小值是（    ）

A．1 B． C． D．2

【答案】B

【分析】由复数模的几何意义，转化为求原点到直线的距离．

【详解】由复数模的几何意义知满足的对应的点在以点和为端点的线段的中垂线，的中点为，

的最小值就是原点到直线的距离即为，

故选：B．

3．已知在中，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】已知式两边平方求得，确定，然后求出，联立解得，再由商数关系得．

【详解】，，

，

是三角形内角，所以，从而，

所以，所以，

由，解得，

所以．

故选：A．

4．现有底面半径为8，高为6的圆锥，过该圆锥的任意两条母线所得的截面三角形的面积的最大值是（     ）

A．48 B．50 C．96 D．100

【答案】B

【分析】由已知求得圆锥母线长，确定圆锥顶角（轴截面等腰三角形的顶角）大于，由三角形面积公式可得当两条母线垂直时，截面积最大，由此计算可得．

【详解】如图等腰是圆锥的轴截面，是底面圆圆心，由已知，，

则，

，是三角形内角，所以，

因此，

该圆锥的任意两条母线所得的截面三角形的面积为

，

又，所以时，取得最大值50.

故选：B．

5．近期随着疫情的日益严重，社区的防控压力日益增大，我校第三党支部决定成立疫情防控小组投入到社区的疫情防控当中，现有4名男性党员和2名女性党员同志自愿报名，若从这6名党员同志中随机选择3名党员组成疫情防控小组，则防控小组中男、女党员均有的情况有多少种？（    ）

A．32 B．20 C．16 D．10

【答案】C

【分析】6人中任选3人，至少有一名是男性，因此只要排除3人都是男性的情形即可得，即用排除法求解．

【详解】6人中任选3人，至少有一名是男性，因此只要排除3人都是男性的情形即可得，方法为.

故选：C．

6．下列函数中，不能使得成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】逐项分析函数的对称性，结合对数运算，即可判断和选择.

【详解】，即，互为相反数；

对A：，故A可以使得目标式成立；

对B：，故B可以使得目标式成立 ；

对C：，故C不可以使得目标式成立；

对D：，故D可以使得目标式成立.

故选：C.

7．如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角的斜边，直角边，．若，，E为半圆弧的中点，F为半圆弧上的任一点，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．4

【答案】B

【分析】如图，以为轴建立平面直角坐标系，则，，求出点坐标，写出半圆弧的方程，设出点坐标，用坐标法计算，利用三角函数性质求得最大值．

【详解】如图，以为轴建立平面直角坐标系，则，，

，，，

半圆弧的方程为，

设（），

，

，

，则，时取得最小值是，

所以取得最大值．

故选：B.

8．设为定义在R上的函数，对于任意实数x有，又当时，，则的值为（    ）

A．0 B． C．2 D．

【答案】D

【分析】由已知得出函数是周期函数，16是一个周期，以及，然后由周期性及已知等式计算．

【详解】,用替换得，

所以，从而，

所以是周期函数，16是它的一个周期，又，

，

故选：D．

9．已知抛物线，F为其焦点，若直线与抛物线C在第一象限交于点M，第四象限交于点N，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据联立直线与抛物线方程，解出两点横坐标，利用抛物线焦半径公式即可得到线段比.

【详解】由题得，当时，，则在直线上，

联立得，解得或，由下图得，，

故，，

故，

故选：D.

10．设三棱锥满足，且，当三棱锥体积最大时，则三棱锥外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由于固定不变，因此只要棱锥的高即到平面的距离最大，即有体积最大，

而，因此的外接圆不变，因此到边的距离最大时，为等边三角形，然后当平面平面，从而平面时，点到平面的距离最大，由此确定三棱锥的结构，再根据棱锥性质找出外接球球心位置，利用直角三角形和直角梯形计算出球半径，从而得表面积．

【详解】中，，则在以为弦，所对圆周角为的圆上的一段优弧上，如图，易知当即为等边三角形时，到的距离最大为，

当不变时，假设于，当平面平面，从而平面时，点到平面的距离最大为，也即三棱锥的高最大，从而体积最大，

此时是中点，连接，，，

设是外心，则，，，

过作平面的垂线，则三棱锥的外接球球心在此垂线上，设是三棱锥的外接球球心，如图，连接，

，易得，设外接球半径为，即，

在直角梯形和直角三角形中，，

，解得，

球表面积为．

故选：B．

11．已知函数，且，则下列陈述不正确的是（    ）

A．若函数的相邻对称轴之间的距离为，则函数的最小正周期为π

B．若函数的相邻对称轴之间的距离为，则为的一条对称轴

C．若函数在区间上有三个零点，则的范围为

D．若函数在无零点，则的范围为

【答案】C

【分析】由求得，，然后由相邻对称轴的距离可判断A，求得后，再结合正弦函数的对称性判断B，根据零点的定义求出范围判断CD．

【详解】，，则，，

选项A，，正确；

选项B，，，，

时，，因此是函数图象的一条对称轴，正确；

选项C，时，有三个零点，则，，错误；

选项D，时，因为，则，无零点，

，

或，

或，

若，则，此时，在上一定有零点，不合题意，

所以，正确．

故选：C．

12．如图圆柱的底面半径为1，母线长为6，以上下底面为大圆的半球在圆柱内部，现用一垂直于轴截面的平面去截圆柱，且与上下两半球相切，求截得的圆锥曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．3

【答案】A

【分析】根据题意作出截面图，分析出平面与底面夹角余弦值为，再利用立体图形得到，，再计算出值得到离心率.

【详解】作出截面图，显然平面经过中点，设中点为，切点分别为，，

半径为1，，则，，，则，作出以下立体图，则平面与底面夹角余弦值为，

圆柱的底面半径为椭圆的短轴,得，

又椭圆所在平面与圆柱底面所成角余弦值为,

以为原点建立上图所示平面直角坐标系，

，则椭圆标准方程为，

，故离心率,

故选：A.

二、填空题

13．已知圆，现过点的直线l与圆C相切，则直线l的方程是________．

【答案】或．

【分析】根据切线斜率不存在时，直接判断，斜率存在时，设切线方程为，然后由圆心到切线的距离等于半径求解．

【详解】圆标准方程为,圆心为,半径为,

，过点的切线有两条，

直线显然是圆的切线，

再设另一条切线方程为，即，

由，解得，

切线方程为，即，

所以切线方程为或，

故答案为：或．

14．在中，角，，所对的边分别为，，，若三角形的面积，则角__________．

【答案】.

【详解】分析：利用面积公式和余弦定理结合可得．

详解：由．

余弦定理：，

可得：，

∴，

∵，

∴．

故答案为．

点睛：在解三角形时，有许多公式，到底选用哪个公式，要根据已知条件，根据待求式子灵活选用，象本题出现，因此联想余弦定理，由于要求角，因此面积公式自然而然　选用．许多问题可能比本题要更复杂，目标更隐蔽，需要我们不断探索，不断弃取才能得出正确结论，而这也要求我们首先要熟记公式．

15．若，，且方程恰有两个不同的解，则________．_

【答案】##

【分析】求出直线与相切时切线的斜率，作出函数和的图象，由图象观察可得结论．

【详解】设与相切，切点为，

，，所以，，从而，

作出函数和的图象，由图象可知，时，方程恰有两个不同的解．

故答案为：．

三、双空题

16．已知正方体的顶点A处有一只小蜜蜂，小蜜蜂每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同，求小蜜蜂移动2次后仍在底面的概瓶率_________；小蜜蜂移动n次后仍在底面上的概率_________．

【答案】     ；     ．

【分析】由题意确定正方体上任一顶点，随机移动一次，仍然在同一底面的概率是，到另一底面的概率是，从而由可求得，然后由求得即递推关系，变形后构造一个等比数列后可求得通项公式．

【详解】正方体中每个顶点有三个相邻顶点，其中有两个与它在同一底面（上下底面），当点在下底面时，随机移动一次仍在下底面的概率为，当点在上底面时，随机移动一次移动到下底面的概率为，

所以，

，

，，，所以是等比数列，

从而，所以．

故答案为：；．

【点睛】关键点点睛：本题考查随机事件的概率，解题关键是确定与的关系，然后构造等比数列求得通项公式．归纳时先考虑从一个顶点随机移动一次，在同一底面的概率，到另一个底面的概率，而第次顶点在下底面，由第次顶点有两种情形：一在下底面，二在上底面，由此可得出递推关系．

四、解答题

17．2022年国际篮联女篮世界杯已经落下帷幕，中国女篮获得亚军，时隔28年再次登上大赛领奖台，追平队史最好成绩，中国观众可以通过中央电视台体育频道观看比赛实况，某机构对某社区群众观看女篮比赛的情况进行调查，将观看过本次女篮世界杯中国女篮4场比赛的人称为“女篮球迷”，否则称为“非女篮球迷”，从调查结果中随机抽取50份进行分析，得到数据如下表所示：

(1)补全列联表，并判断是否有的把握认为是否为“女篮球迷”与性别有关？

(2)现从抽取的“女篮球迷”人群中，按性别采用分层抽样的方法抽取6人，然后从这6人中，随机抽取2人，记这2人中男“女篮球迷”的人数为X，求X的分布列和数学期望.

附：，

【答案】(1)列联表见解析，没有的把握认为是否为“女篮球迷”与性别有关．

(2)分布列见解析，期望是．

【分析】（1）根据已知数据完善列联表后计算可得结论；

（2）确定6人中的男女人数，然后得出随机变量的值，分别计算概率得分布列，由期望公式计算期望．

【详解】（1）列联表如下：

，

没有的把握认为是否为“女篮球迷”与性别有关．

（2）从抽取的“女篮球迷”人群中，按性别采用分层抽样的方法抽取6人，这6人中男“女篮球迷”有4人，女“女篮球迷”有2人，

的可能值是0，1，2，

，，，

的分布列为：

．

18．已知为数列的前n项和，且．

(1)求；

(2)求数列的前n项和

【答案】(1)；

(2)．

【分析】（1）由已知求得，再利用求得的递推关系，从而确定是等比数列，求得其通项公式；

（2）用裂项相消法求和．

【详解】（1），，

，

所以，，也适合，

所以，是等比数列，

所以；

（2）由（1）知，，

所以．

19．如图．在三棱锥中，，.

(1)求证：；

(2)若是边长为3的等边三角形．，D是边上的一点且．求直线与平面所成线面角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析；

(2)．

【分析】（1）作平面，垂足为，先证明是的垂心，然后得证线面垂直平面，从而证明线线垂直；

（2）说明，以直线为轴，为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求线面角．

【详解】（1）作平面，垂足为，连接，显然平面，

所以，，，同理，

，，平面，所以平面，

平面，所以，同理，所以是的垂心，

从而，，平面，所以平面，

又平面，所以；

（2），即，

是等边三角形，则是其中心，因此，三棱锥是正三棱锥，

，，则，，，

以直线为轴，为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，

，，，

设是平面的一个法向量，

则，取，则，，

，

设直线与平面所成线面角为，

则．

20．在平面直角坐标系中，已知点，，点M满足：．记M的轨迹为C．

(1)求曲线C的方程；

(2)过点的直线l交曲线C于M，N两点，过点M，N分别作曲线C的切线，两切线交于点，试探究：动点是否在一条定直线上？若不在，请说明理由；若在，求出该直线的方程．

【答案】(1)（）．

(2)答案见解析．

【分析】（1）根据双曲线的定义求得轨迹方程；

（2）设，，再设过点的切线方程是，与曲线方程联立求得得切线方程，同理得过点的切线方程，设交点为，代入两切线方程后观察得出切点弦所在直线方程，再由直线过点，点坐标代入后关于的等式，由此可知点所在直线方程，

【详解】（1），由已知，所以点轨迹是以为焦点的双曲线的右支，

，，，则，

所以轨迹方程为（）．

（2）时，，，因此A在双曲线右支含有焦点的部分，

设，，

设过点的切线方程是，，则，，

由，得，

，

整理得，

，，，

切线方程为，，

同理过点的切线方程为，

设，则，

所以过点，的直线方程为，又直线过，

所以，

所以在定直线上．

【点睛】结论点睛：圆锥曲线切点弦所在直线方程求法，过双曲线外一点作双曲线的两条切线，切点弦所在直线方程为，方法是设两切点分别为，设过的点的切线方程是，代入双曲线方程，应用判别式求得，从而得切线方程为，同理得另一切线方程为，两条切线都过点，因此有，由直线方程的概念可得过点的直线方程．对椭圆、抛物线也有类似结论．

21．已知，.

(1)若恒成立，求m的取值范围；

(2)若不等式在区间上恒成立，求a的取值范围．

【答案】(1)；

(2)．

【分析】（1）不等式转化为，设，由导数求得的最大值即得范围；

（2）不等式同构为，引入函数是增函数，问题转化为在时恒成立，在时恒成立，再引入函数（），由导数求得的最大值即得．

【详解】（1），即，，

设，，，

时，，递增，时，，递减，所以，

恒成立，则；

（2）不等式即为

设，显然此函数在定义域内是增函数，

所以在时恒成立，在时恒成立，

设（），则，

时，，递增，时，，递减，

所以，

所以．

【点睛】关键点点睛：本题考查不等式恒成立问题，解题的关键是问题的转化，一是利用分离变量法转化为求函数的最值，二是不等式同构变形，利用函数的单调性把问题简化．

22．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，直线l的极坐标方程为，若曲线C的参数方程为，为参数．

(1)求直线l和曲线C的普通方程；

(2)若点P为曲线C上的任一点，求点P到直线l的距离的最大值，并求出此时点P的坐标.

【答案】(1)直线，曲线：；

(2)距离最大值是7，．

【分析】（1）由公式化极坐标方程为直角坐标方程，由消参法化参数方程为普通方程；

（2）求出与直线平行的曲线的切线的方程，由平行线间距离得所求距离的最大值，然后切线与曲线联立的方程组的解即为点坐标．

【详解】（1）由得，，

∴，即为直线的直角坐标方程，

由消去参数得，此为曲线的普通方程；

（2）设直线与曲线相切，

由，得，（*）

∴，，或，

切线方程为或，

直线与直线的距离为，

直线与直线的距离为，

因此所求距离的最大值是7，此时，

代入（*）得，，，，

所以点坐标为．

23．若x，y满足证明：

(1)；

(2).

【答案】(1)证明见解析；

(2)证明见解析．

【分析】（1）利用基本不等式证明；

（2）利用基本不等式证明．

【详解】（1）∵，

所以=，

所以，当且仅当时等号成立；

（2）∵，所以，

所以，，

∴，当且仅当时等号成立．