精品解析：贵州省黔南州2023届高三上学期10月质量监测数学（理）试题（解析版）

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黔南州2023届高三年级质量监测试卷理科数学2022年10月本试看分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分考试时间为120分钟.注意事项:1.答卷前，考生务必将姓名、报名号、座位号用钢笔填写在答题卡相应位置上.2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4.请保持答题卡平整，不能折叠.考试结束后，监考老师将试题卷、答题卡一并收回，第Ⅰ卷（选择题  共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【详解】分析：根据公式，可直接计算得详解： ，故选D.点睛：复数题是每年高考的必考内容，一般以选择或填空形式出现，属简单得分题，高考中复数主要考查的内容有：复数的分类、复数的几何意义、共轭复数，复数的模及复数的乘除运算，在解决此类问题时，注意避免忽略中的负号导致出错.2. 集合，且，则a＝（    ）A. －4 B. －2 C. 2 D. 4【答案】A【解析】【分析】解二次不等式化简集合，解一次不等式化简集合，由集合的交集结果即可得的值.【详解】由得，故，由得，故，因为，所以，故.故选：A.3. 已知单位向量，的夹角为60°，则在下列向量中，与垂直的是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根据平面向量数量积的定义、运算性质，结合两平面向量垂直数量积为零这一性质逐一判断即可.【详解】由已知可得：.A：因，所以本选项不符合题意；B：因为，所以本选项不符合题意；C：因为，所以本选项不符合题意；D：因为，所以本选项符合题意.故选：D.【点睛】本题考查了平面向量数量积的定义和运算性质，考查了两平面向量数量积为零则这两个平面向量互相垂直这一性质，考查了数学运算能力.4. 函数y=sin2x的图象可能是A.  B. C.  D. 【答案】D【解析】【详解】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在上的符号，即可判断选择.详解：令， 因为，所以为奇函数，排除选项A,B;因时，，所以排除选项C，选D.点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．5. 已知，则的大小关系为A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【详解】分析：由题意结合对数性质，对数函数的单调性和指数的性质整理计算即可确定a,b,c的大小关系.详解：由题意可知：，即，，即，，即，综上可得：.本题选择D选项.点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．6. 设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为(　　)A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【详解】分析：利用奇函数偶次项系数为零求得，进而得到的解析式，再对求导得出切线的斜率，进而求得切线方程.详解：因为函数是奇函数，所以，解得，所以，，所以，所以曲线在点处的切线方程为，化简可得，故选D.点睛：该题考查的是有关曲线在某个点处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果.7. 设，则“”是“”的（    ）A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】本题首先可求解，得出，然后求解，得出，最后通过充分条件与必要条件的判定，即可得出结果.【详解】，即，解得，，即，解得，则“”可以证得“”，“”不能证得“”，故“”是“”的充分而不必要条件，故选：A.8. 已知函数，.若存在2个零点，则的取值范围是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】题目转化为函数的图象与直线有2个交点，画出图象，根据图象知，解得答案.【详解】存在2个零点，令，即，故函数的图象与直线有2个交点，画出函数图象，如图，平移直线，可以看出当且仅当，即时，直线与函数的图象有2个交点.    故选：C.9. 设是等比数列，且，则的值是（    ）A. 4 B. 8 C. 16 D. 32【答案】D【解析】【分析】根据题意可求得等比数列的公比，再根据，即可求得答案.【详解】解：由是等比数列，设公比为q，且，，所以，，故 ，所以，故选：D10. 已知，则的值为（    ）A. 2 B. 1 C. －2 D. －1【答案】C【解析】【分析】利用分段函数的解析式及诱导公式，分别求得的值，由此得到结果.【详解】因为，所以，，故.故选：C.11. 已知函数的图像关于点中心对称，则（    ）A. 在区间上单调递增B. 在区间有两个极值点C. 直线是曲线的对称轴D. 直线是曲线的切线【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，求出函数的解析式，再逐项分析判断作答.【详解】因为函数的图象关于点中心对称，即，则，而，有，则，对于A，当时，，而正弦函数在上单调递减，因此函数在上单调递减，A不正确；对于B，当时，，而正弦函数在上只有1个极值点，因此函数在有唯一极值点，B错误；对于C，因为，因此直线不是函数图象的对称轴，C错误；对于D，直线过点，并且，即点在曲线上，由，求导得，显然，因此曲线在处的切线方程为，即，D正确.故选：D12. 已知函数的定义域为，下列是无最大值的充分条件是（    ）A. 为偶函数且关于直线对称 B. 为偶函数且关于点对称C. 为奇函数且关于直线对称 D. 为奇函数且关于点对称【答案】D【解析】【分析】由选项所给条件直接列举对应模拟图象（不唯一），根据图象判断即可【详解】如图所示. 对选项D，易得，，显然D项无最大值，            故D项符合，故选：D第Ⅱ卷（非选择题  共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答吗，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13. 已知向量，则___．【答案】【解析】【分析】根据向量坐标运算法则求解即可.【详解】解：因为，所以，故故答案为：14. 若实数x，y满足约束条件，则最小值是_______．【答案】【解析】【分析】先画出约束条件所表示的可行域，根据直线的几何意义，结合图像即可求得截距的最小值，即的最小值.【详解】根据题意，作出所表示的可行域（阴影部分），如图：由得，作出的平行直线簇，结合图像可知当经过点时，截距取得最小值，即取得最小值，联立，解得，即，故，所以的最小值为.故答案为：.15. 若与关于轴对称，写出一个符合题意的值______．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】先由关于轴对称得出关系式，再由诱导公式求解即可.【详解】由题意得，，由诱导公式知，显然满足题意，解得.故答案为：（答案不唯一）.16. 已知函数及其导函数的定义域均为,记. 若,均为偶函数,则___．【答案】【解析】【分析】根据原函数与导函数的图像的关系确定为奇函数,再根据函数为偶函数,得到,两者结合即可得出结果.【详解】是偶函数,,,即,为奇函数,则.为偶函数,,.故答案为:.三、解答题：第17至21题每题12分，第22、23题为选考题，各10分钟，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 设函数.（1）若，求的最大值；（2）解关于的不等式：.【答案】（1）    （2）或.【解析】【分析】（1）使用基本不等式求的最小值，即可得出答案；（2）当时去分母转化为二次不等式求解，当时恒成立，求解即可.【小问1详解】∵，∴，当且仅当即时取得最大值，所以的最大值为；【小问2详解】①若，且，∴，∴，即，∴，解得；②若，恒成立，即的解集为；综合①②得不等式的解集为或.18. 设函数.（1）求函数的最小正周期；（2）求函数在上的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题意结合三角恒等变换可得，再由三角函数最小正周期公式即可得解；（2）由三角恒等变换可得，再由三角函数的图象与性质即可得解.【详解】（1）由辅助角公式得，则，所以该函数的最小正周期;（2）由题意，，由可得，所以当即时，函数取最大值.19. 已知等差数列的公差为，，若分别从下表第一、二、三行中各取一个数，依次作为，，，且，，中任何两个数都不在同一列． 第一列第二列第三列第一行356第二行748第三行11129 （1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，求证：．【答案】（1）；    （2）证明见解析【解析】【分析】（1）由等差数列的性质和定义即可求出；（2）求出，利用裂项相消法求出，即可证明.【小问1详解】由题意可知，数列为递增数列，又公差，所以，，，则，，所以数列的通项公式为；【小问2详解】，，20. 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且B为钝角．（1）证明：；（2）再从下列三个条件中选出两个条件，求△ABC的面积．①，②，③．【答案】（1）证明见解析    （2）答案见解析【解析】【分析】（1）利用同角关系式中商数关系及正弦定理推得，再由诱导公式及三角形内角的范围即可证得结果；（2）分别两两选取，结合（1）中结果及正弦定理、三角形面积公式即可求得结果.【小问1详解】由得，再正弦定理得，因为是钝角，所以，故，所以，即，又因为，，故，即；【小问2详解】选①②，由题意可得，结合，解得，故，所以，因此，△ABC的面积；选①③，在△ABC中，由题意知，又因为，所以，，故，由正弦定理可得，因此，△ABC的面积；选②③，与选①③做法类似，先分别求得，，，，再由正弦定理得（这是与选①③做法不同的地方）因此，△ABC的面积.21. 设，为实数，且，函数（1）求函数的单调区间；（2）若对任意，函数有两个不同的零点，求的取值范围；(注：是自然对数的底数).【答案】（1）答案见解析    （2）【解析】【小问1详解】函数的定义域为R，求导得，当时，，函数在上单调递增；当时，由得，函数在上单调递减，由得，函数在上单调递增.所以当时，在上单调递增；当时，函数的单调减区间为，单调增区间为.【小问2详解】有2个不同零点有2个不同解有2个不同的解，当时，，因此的零点为正数，令，则，则有2个不同的解等价于有2个不同的解，令，求导得，令，求导得，即函数在上单调递增，又，于是当时，，当时，，则在上单调递减，在上单调递增，因此当时，取极小值，即为最小值，为，因为有2个不同零点，则有，显然，对任意恒成立，于是，当时，由及，取，则， ，由零点存在性定理知，存在，使成立，令，，令，，即在上递增，，则在上递增，，因此，因为当时，，取，则，即，由零点存在性定理知，存在，使成立，因此当时，函数有两个不同的零点，所以实数的取值范围是.【点睛】思路点睛：涉及含参的函数零点问题，利用函数零点的意义等价转化，构造函数并用导数探讨函数的单调性、最值等，结合零点存在性定理，借助数形结合思想分析解决问题.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号的方框涂黑.选修4-4：坐标系与参数方程22. 已知曲线，的参数方程分别为：(为参数)，：(为参数)（1）将，的参数方程化为普通方程.（2）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，设，的交点为，求圆心在极轴上，且经过极点和点的圆的极坐标方程.【答案】（1）的普通方程为，的普通方程为；（2）.【解析】【分析】（1）两式相加消去参数可得曲线的普通方程；两式平方作差消去参数可得的普通方程.（2）由（1）解方程组求出，根据题意可知圆心为，半径为，从而写出直角坐标方程，由，代入即可求解.【详解】（1）因为，所以曲线的普通方程为，因为，所以曲线的普通方程为.（2）由（1）得曲线和的普通方程分别为和，联立可得，解得，所以点的直角坐标为因为圆心在极轴上，且经过极点和，即圆心在轴的正半轴上，且过直角坐标原点，所以圆心为，所以圆的直角坐标方程为，即则该圆的极坐标方程为，即.【点睛】本题考查了参数方程化为普通方程、普通方程化为极坐标方程，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.选修4-5：不等式选讲23. 设，，均为正数，且，证明：（1）；（2）.【答案】（1）见解析    （2）见解析【解析】【分析】（1）由，则，根据，，，即可得证；（2）根据，，，即可得证.【小问1详解】由，得，又由基本不等式可知当，，均为正数时，，，，当且仅当时，上述不等式等号均成立，所以，即，所以，当且仅当时等号成立；【小问2详解】因为，，均为正数，则，，，当且仅当时，不等式等号均成立，则，即，当且仅当时等号成立.所以.