2021-2022学年贵州师范大学附属中学高二4月月考数学（理）试题含解析

2021-2022学年贵州师范大学附属中学高二4月月考数学（理）试题

一、单选题

1．集合，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先求出集合，进而求出集合的补集，根据集合的交集运算，即可求出.

【详解】因为，

所以或，

所以

故选：B.

2．偶函数在区间上单调递减，则函数在区间上（       ）

A．单调递增，且有最小值 B．单调递增，且有最大值

C．单调递减，且有最小值 D．单调递减，且有最大值

【答案】A

【分析】根据偶函数的性质分析即得解.

【详解】解：偶函数在区间上单调递减，

则由偶函数的图象关于y轴对称，则有在上单调递增，

即有最小值为，最大值

对照选项，A正确．

故选：A

3．阿基米德是伟大的古希腊数学家，他和高斯､牛顿并列为世界三大数学家，他一生最为满意的一个数学发现就是“圆柱容球”定理，即圆柱容器里放了一个球，该球顶天立地，四周碰边(即球与圆柱形容器的底面和侧面都相切)，球的体积是圆柱体积的三分之二，球的表面积也是圆柱表面积的三分之二.今有一“圆柱容球”模型，其圆柱表面积为，则该模型中球的体积为(       )

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据题意，结合圆柱和球的表面积与体积公式即可计算.

【详解】由题可知球的表面积为圆柱表面积的三分之二，设球的半径为R，

则，

∴，

∴.

故选：A.

4．已知向量与向量，若//，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据向量平行的坐标表示，带值计算即可.

【详解】因为//，故可得，解得.

故选：C.

5．在空间中，设是不同的直线，是不同的平面，则下形命题中真命题是（       ）

A．若，则  B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】B

【分析】根据空间中线面，面面位置关系逐项判断，即可求出结果.

【详解】若，则或与相交或与是异面直线，故A错误；

若，则，故B正确；

若，则或与相交，故C错误；

若，则或与相交，故D错误.

故选：B.

6．（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用微积分基本定理求解.

【详解】.

故选：.

7．某路公交车每趟车始终间隔20分钟，每趟车在车站均停留两分钟，乘客在某站等车时间不超过10分钟的概率为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由题意知本题是一个几何概型，根据题意可知试验包含的所有事件时间长度，以及满足条件的事件长度，再根据几何概型概率公式，即可求出结果．

【详解】由题意知本题是一个几何概型，

试验包含的所有事件是公交车每趟车始终间隔20分钟，每趟车在车站均停留两分钟，时间长度是22，

满足条件的事件是乘客在某站等车时间不超过10分钟，时间长度是10，

由几何概型概率公式可知.

故选：C．

8．已知函数，先将其图象上的所有点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），再将所得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（       ）

A．的最小正周期是 B．的最小值为

C．在上单调递增 D．的图象关于点对称

【答案】C

【分析】依据题意对函数进行变换，然后利用三角函数的性质解题.

【详解】由题先将其图象上的所有点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变）得；

再将所得到的图象向右平移个单位长度得

所以，其最小正周期为，最小值为．排除AB；

其单调递增区间为,解得，C正确；

对称中心为，解得，所以其图象关于点对称，排除D.

故选：C

9．在等比数列中，已知，则“”是“”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】结合等比数列的通项公式，充分、必要条件的定义判断即可.

【详解】解：依题意，

由；

由且；

所以“”是“”的必要不充分条件.

故选：B

10．已知函数f（x）=alnx+bx2的图象在点（1，f（1））处的切线方程为5x+y﹣2=0，则a+b的值为（       ）

A．﹣2 B．2 C．3 D．﹣3

【答案】A

【分析】求出原函数的导函数，得到函数在x=1处的导数值，再由题意列关于a和b的方程组，求解可得a与b的值，则答案可求.

【详解】解：由f（x）=alnx+bx2，得2bx，

∵函数f（x）=alnx+bx2的图象在点（1，f（1））处的切线方程为5x+y﹣2=0，

∴，解得.

∴a+b=﹣2.

故选：A.

11．已知双曲线的右焦点为，以实轴为直径的圆与其中一条渐近线的一个交点为，若直线与另一条渐近线平行，则的离心率为（       ）

A．3 B．2 C． D．

【答案】D

【分析】将一条渐近线方程与以实轴为直径的圆方程联立可得出点坐标，进而可得直线的斜率，通过直线与另一条渐近线斜率相等即可得出的关系，从而求得双曲线的离心率.

【详解】不妨设为第一象限的交点.联立方程组可得的坐标为，所以直线的斜率.因为直线与另一条渐近线平行，所以，所以，则，故的离心率.

故选：D.

【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：

①求出a，c，代入公式；

②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．

12．若对任意的，且，则m的最小值是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据已知条件，构造函数，利用导数求其单调区间，再结合题意即可求得的最小值.

【详解】因为，故可得，

即，，

令，则上式等价于，又，

根据题意，在单调递减；

又，令，解得，即的单调减区间为，

要满足题意，只需，即的最小值为.

故选：B.

二、填空题

13．实数满足约束条件，则的最大值为___________.

【答案】（或）

【分析】在直角坐标系内画出不等式组表示的平面区域，平行移动直线，在平面区域内，当直线经过一点时，使得它在纵轴的截距最大，把该点的坐标代入目标函数中即可.

【详解】不等式组表示的平面区域如下图所示：

当直线在可行解域内经过点时，该直线在纵轴上的截距最大，

解方程组，得，即，代入目标函数中，得

，

故答案为：

14．定积分___________.

【答案】

【分析】根据定积分的几何意义即可得解.

【详解】由化简得

表示以为圆心，1为半径在轴上方的圆，

由定积分的几何意义，得定积分，

故答案为：.

15．已知，，，…，为抛物线：上的点，为抛物线的焦点．在等比数列中，，，，…，．则的横坐标为__________．

【答案】

【分析】利用在抛物线上可求得，结合等比数列的公比可求得，利用抛物线的焦半径公式即可求得结果.

【详解】在抛物线上，，解得：，抛物线；

数列为等比数列，又，，公比，

，即，解得：，

即的横坐标为.

故答案为：.

16．已知函数在上恰有一个极值，则___________.

【答案】2

【分析】由导数知识可知，函数上恰有一个变号零点，利用导数得出的单调性，借助函数图象得出的值.

【详解】解：因为，，所以，

因为在上恰有一个极值，所以在上恰有一个变号零点，

即函数上恰有一个变号零点.

令，则.

当时，；当时，.

故在，上单调递减，在上单调递增.

因为，，，所以的大致图象如图所示，

因为函数在恰有一个变号零点，所以，

此时函数在上恰有一个极值.

故答案为：

三、解答题

17．求下列函数的导数．

(1)；

(2)．

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】（1）导数四则运算中的乘除法则.

（2）求导数，主要考查复合函数，外导乘内导.

【详解】(1)

(2).

18．20名学生某次数学考试成绩(单位：分)的频率分布直方图如图.

(1)求频率分布直方图中的值；

(2)根据频率分布直方图估计20名学生数学考试成绩的众数，中位数；

(3)已知成绩在内的男生数与女生数的比例为，若在成绩为内的人中随机抽取2人进行座谈，求恰有1名男生和1名女生的概率.

【答案】(1)

(2)众位数为，中位数为

(3)

【分析】（1）根据所有矩形的面积之和即频率之和为1，求得答案；

（2）根据频率分布直方图，结合众数和中位数的计算方法，求得答案；

（3）根据男女生比例确定男女生人数，算出8人选2人的总选法数和恰有1名男生1名女生的选法，根据古典概型的概率公式求得答案.

【详解】(1)由频率分布直方图得：，

解得；

(2)根据频率分布直方图估计名学生数学考试成绩的众数为,

设中位数为，则，则.

(3)成绩在[80，100]内的学生人数有人

男生人数6人，女生人数2人，8人选2人的总选法数 种，

恰有1名男生1名女生的选法有种，

所以概率为.

19．已知锐角三角形的内角、、的对边分别为、、，且.

(1)求角；

(2)求的最大值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由正弦定理结合余弦定理可求得的值，结合角的取值范围可求得角的值；

（2）利用三角恒等变换化简，求出角的取值范围，利用正弦型函数的基本性质可求得的最大值.

【详解】(1)解：由及正弦定理可得，

由余弦定理可得，因为，则.

(2)解：

，

因为为锐角三角形且，则，可得，

所以，，故当时，取得最大值.

20．如图，在四棱柱中，底面ABCD为菱形，其对角线AC与BD相交于点O，，．

(1)证明：平面ABCD；

(2)求二面角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）通过证明、来证得平面ABCD.

（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得二面角的余弦值，进而求得其正弦值.

【详解】(1)连接，，由题意，，，，知与为全等三角形，所以，故．

不妨设，则，，，在中由余弦定理可得，故，

在中，，故，AO与BD相交于点O，且AO与BD都包含于平面ABCD，

所以平面．

(2)由（1）可知，以点O为坐标原点，OA为x轴，OB为y轴，为z轴建立空间直角坐标系．

可得，，，，，，

故，，，

设为平面的一个法向量，则，得，

同理可得平面的一个法向量为，

设二面角的平面角为，由图可知为锐角，

，

所以二面角的正弦值为．

21．已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）如果对任意，都有，求实数的取值范围.

【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，在单调递增，在单调递减（2）

【分析】（1）求出函数的导数，分、两类情况讨论导数符号从而分析函数单调性；

（2）根据题意可将不等式整理为，利用导数判断函数的符号从而确定函数的符号，推出函数在上的单调性及最大值即可求得a的范围.

【详解】（1）函数的定义域为，.

当时，恒成立，即在上单调递增.

当时，由得：，由得：，

在单调递增，在单调递减，

综上可知：当时，在上单调递增；当时，在单调递增，在单调递减.

（2）对任意，，

令，则，

令，在上恒成立，

在上单调递减，，

即在上恒成立，则在上单调递减，

，故.

【点睛】本题考查导数在研究函数的性质中的应用，利用导数解决不等式恒成立问题，属于中档题.

22．如图，在矩形中，，，以，为焦点的椭圆：恰好过，两点.

(1)求椭圆的方程；

(2)已知为原点，直线：与轴交于点，与椭圆相交于两点，且在轴不同侧，若，求m的取值范围.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据已知条件，求得以及点的坐标，待定系数即可求得椭圆方程；

（2）联立直线方程和椭圆方程，根据它们交于两点，以及两点在轴不同侧，结合三角形面积之间的关系，即可求得参数的范围.

【详解】(1)因为，故可得；又点的坐标为，

故，又，故可得，

则椭圆方程为：.

(2)联立直线方程与椭圆方程可得：

，

因直线与椭圆交于两点，故，

即；

设两点的坐标为，则，

因在轴不同侧，故，故可得；

又点的坐标为，

故，

故，则（舍）或，则，

即，则，

整理得：，则，

结合，则，

解得，即或.

综上所述：的取值范围为：.

【点睛】本题考察椭圆方程的求解，以及椭圆中参数范围的求解，涉及三角形面积的处理，属综合中档题；处理问题的关键是合理转化三角形的面积比，从而求得之间的等量关系.