2023届贵州省遵义市南白中学高三上学期12月质量监测数学（理）试题（解析版）

2023届贵州省遵义市南白中学高三上学期12月质量监测数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先化简集合，再由交集的定义求解即可

【详解】因为，或，

所以，

故选：D

2．已知复数满足，则的虚部为（    ）

A．1 B．i C．2 D．

【答案】C

【分析】由复数的除法运算先化简，再由虚部的概念求解即可

【详解】因为，

所以，

所以的虚部为2，

故选：C

3．已知命题：“，使得”，命题：“是周期为的周期函数”，则下列命题为真命题的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据原命题与否命题真假性相反结合复合命题真假性判断法则即可判断．

【详解】解：，

∴ 命题p为真；

∴ 为假．

不恒成立，

∴ 命题q为假；

为真．

∴ 为真，A、B、D为假．

故选：C．

4．若是第二象限角，且满足，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由弦的齐次式把弦化切，即可求解

【详解】因为，

所以，

所以，即，

解得或，

又是第二象限角，

所以，

故选：A

5．已知，是空间中两个不同的平面，，，是三条不同的直线，则下列说法中，正确的是（    ）

A．若，，，，则

B．若，，则

C．若，，则

D．若，，，则

【答案】D

【分析】根据线面垂直、平行，面面平行的条件逐项判断即可．

【详解】解：的必要条件之一为，选项A缺少该条件，故A错误；

若，，则也是有可能的，故B错误；

若，，则也是可能的，故C错误；

若，，，则，正确．

原因是若，则必垂直于其面内两交线，

因为，所以也垂直于该两交线，故，

又，所以．

故选：D．

6．如图是下列某个函数在区间的大致图象，则该函数是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】检验奇偶性可排除AD；判断时函数的取值范围可排除C，即可求解

【详解】由图象关于原点对称，可知该函数为奇函数，

且当时，函数的最大值大于3，

对于A：，

该函数是偶函数，故排除A；

对于C：当时，，

所以，故排除C；

对于D：，故该函数不是奇函数，故排除D；

对于B：，

该函数是奇函数，

且，满足题意；

故选：B

7．在中，点在边上，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据平面向量线性运算的几何意义，结合平面向量基本定理进行求解即可/

【详解】因为，

所以，

故选：B

8．已知公差大于0的等差数列中，，8是和的等比中项，则公差为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．

【答案】B

【分析】根据等比中项的性质以及等差数列的性质即可求解.

【详解】设等差数列的公差为，

因为8是和的等比中项，所以，

又因为，

联立解得或（舍），

所以，解得.

故选:B.

9．当时，函数取得最大值0，则（    ）

A． B． C．2 D．3

【答案】C

【分析】根据1为极大值点且函数值为0列方程求解即可．

【详解】解：，

由题意知必有解，

所以函数有1个极大值点和1个极小值点，

∵当时，取最大值0，

为极大值点，

，

解得．

，

又，

为最大值，

又，

当，，递增，

当时，，递减，

为极大值点，

满足题意．

故选：C．

10．关于函数有下述四个结论：

①是偶函数                            ②在区间单调递增

③为的一个周期                    ④的最大值为2

其中正确的是（    ）

A．①④ B．①③ C．①②③ D．③④

【答案】B

【分析】对于①，利用偶函数的定义，可得答案；

对于②，根据整理函数解析式，利用整体思想，可得答案；

对于③，利用周期的定义，结合三角函数的性质，可得答案；

对于④，根据一个周期内的函数解析式，求其最值，可得答案.

【详解】对于①，由函数，可知其定义域为，且，则函数为偶函数，故①正确；

对于②，当时，，由，则，根据函数的单调性，可知②错误；

对于③，，故③正确；

对于④，由③可知的周期为，当时，，易知其最大值为，故④错误.

故选：B.

11．已知圆锥的底面半径为1，母线长为2，若在该圆锥内部有一个与该圆锥共轴的圆柱，则这个圆柱的体积最大为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】设圆柱的底面半径为r，高为h，则，令，求导后求得，进而求得．

【详解】解：设圆柱的底面半径为r，高为h，如图

则，解得，

，

令，

，

当时，，递增，

当时，，递减，

，

．

故选：A．

12．已知，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】构造函数，求导，运用函数的单调性即可判断.

【详解】设 ，当 时，有 ，

当且仅当 时，等号成立，所以 是减函数， ，

即 ；

当 时，设 ，

单调递增， ，即 ，即 ；

故选：A.

二、填空题

13．设向量，的夹角为，，，则______．

【答案】5

【分析】根据向量数量积的运算法则计算即可．

【详解】解：由得

，

．

故答案为：5．

14．某游乐场需要新建一个三视图如图所示的标志性建筑（单位：米），已知所需材料的密度为，若要把这个建筑做成实心的，则共计需要材料______千克.

【答案】

【分析】根据三视图判断空间几何体的形状，结合球和棱柱的体积公式、质量的计算公式进行求解即可。

【详解】由三视图可知：该空间几何体是棱长为正方体上有个直径为的球，如下图所示：

其体积为，

所以质量为：，

故答案为：

15．已知数列满足，，则______.

【答案】

【分析】根据的奇偶性，结合累和法、等差数列前项和公式进行求解即可.

【详解】当时，，

当时，，

，得，

所以

故答案为：

16．中，，，，是上一点且，则的面积为______.

【答案】

【分析】根据正弦定理，求出的值，由倍角公式求出的正余弦值，根据诱导公式求出的正余弦值，根据求出的正余弦，再求的正切值，在直角三角形中求出的长，最后求面积.

【详解】由正弦定理得：，又因为

所以，且，

即，所以，又由且

所以，而

所以，又因为，所以

所以，而

又因为，所以

又因为，且为锐角，所以

即，在直角三角形中,

并且，所以，

所以的面积为：.

故答案为：

三、解答题

17．在中，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，，．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）已知的面积为，求边b．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【分析】（Ⅰ）结合正弦定理进行边角转化，逆用两角和的正弦公式即可求出结果；

（Ⅱ）利用同角的平方关系即可求出，进而结合三角形的面积公式即可求出边长，再结合余弦定理即可求出边b.

【详解】（Ⅰ）由正弦定理，（其中R为外接圆的半径），所以，，，

代入已知条件可得：，

所以，即，

，故．

（Ⅱ）因为，且，所以，故，所以的面积为，

故，解得，

所以，即．

18．已知函数.

(1)当时，求在点的切线方程；

(2)若曲线有两条过点的切线，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由导数的几何意义与直线方程的点斜式求解即可；

（2）设切点为，由题意可得有两个不等的实根，由此即可求解

【详解】（1）当时，切点为

，切线斜率

切线方程为，即

（2）设切点为，由知：

，

整理得①

因为过点的切线有两条，

所以①式有两个不等实根

所以有，

即

19．已知数列的前项和为，满足.

(1)求数列的通项公式；

(2)记，求数列的前项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由于的关系，结合等比数列的通项公式求解即可；

（2）利用错位相减法求解即可

【详解】（1）①，

当时，②，

①②得，即，

又时，，

∴为首项，公比的等比数列，

故，

∴

（2）

③

④

③④得

∴

20．图一，四边形是边长为2的菱形，且，点为的中点，现将沿直线折起，形成如图二的四棱锥，点为的中点.

(1)求证：平面；

(2)若三棱锥的体积为，求二面角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）取线段的中点为，连接和，证明四边形为平行四边形，

可得，再由线面平行的判定定理即可求解；

（2）建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，利用向量法求解即可

【详解】（1）图二中，取线段的中点为，连接和，

∵点为的中点，

∴且；

由题易知：且，

∴且；

∴四边形为平行四边形，

∴；

∵平面，平面，

∴平面

（2）由题知：在图一中，、都是正三角形，且点为的中点，

则有，，，，

此时；

设三棱锥的高为，则，则，

即点到平面的距离为1，而，故平面；

则可以建立如图所示的空间直角坐标系，

且，，，，

则，，；

设平面的一个法向量为，

则，令，则；

设平面的一个法向量为，

则，令，则；

则，

设二面角的平面角为，

则

21．已知函数.

(1)求函数的最小值；

(2)证明：.

【答案】(1)0

(2)证明见解析

【分析】（1）求导，利用导数研究函数的单调性即可求解；

（2）由（1）知，，即，令，，由此可得，取得证，要证，只需证即证，构造函数利用导数法证明即可

【详解】（1）法一：的定义域为，

令，则，

当时，，

∴在上单调递增，注意，

∴在上，，在上单调递减，

在上，，在上单调递增，

∴

法二：的定义域为，

令，

易知在单调递增，且，

当时，，即

当时，，即

所以在在上单调递减，

所以在在上单调递增，

在取极小值即最小值.

∴

（2）由（1）知，，即，当且仅当时等号成立

令，

从而有，，…

∴

即

取得证

要证

只需证即证

构造函数

则  ，在单调递增，

所以，所以

即，当且仅当时等号成立

令    ，即

综上所述

【点睛】结论点睛：本题考查利用导数求函数的最值和证明不等式，证明不等式成立可按下列结论转化：

若，令，则；

若，令，则；

22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，）以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.

(1)若，写出曲线普通方程和直线的直角坐标方程；

(2)若与恰一个公共点，求的值.

【答案】(1)，

(2)或

【分析】（1）消参法求曲线方程，根据可得方程；

（2）曲线C是一个圆，直线与圆只有一个交点即圆心到直线的距离为半径可求得.

【详解】（1）若，则曲线的参数方程为（为参数，）

，两式平方相加，

消参数得曲线的普通方程为，

由化简得

∵，，

∴直线的直角坐标方程为.

（2）曲线的参数方程为（为参数，），

普通方程为是圆心在原点，半径为的圆，

若与恰一个公共点，即直线与圆相切，

原点到直线的距离为，解得或.

23．已知函数.

(1)记函数的最大值为，求的值；

(2)已知，，，求的最大值及此时，的值.

【答案】(1)

(2)最大值为，此时，.

【分析】（1）将函数转化为分段函数讨论最值即可；（2）利用柯西不等式求解.

【详解】（1）

①当时，，

②当时，

③当时，

∴，当且仅当时取得.

（2）即，

由柯西不等等式

∴当且仅当即，时取等号，

∴最大值为，此时，.