2023届贵州省毕节市部分学校高三上学期12月联合考试数学（理）试题（解析版）

2023届贵州省毕节市部分学校高三上学期12月联合考试数学（理）试题

一、单选题

1．若复数满足，则在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【分析】将化成的形式，后可得到答案.

【详解】由题可得：.

则在复平面内对应的点的坐标为：.故对应点位于第四象限.

故选：D

2．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用基本不等式，求出集合，再计算出集合，进而可得答案.

【详解】，当且仅当，即时，等号成立，故，

而，

故选：C

3．下图是2010年—2021年（记2010年为第1年）中国创新产业指数统计图，由图可知下列结论不正确的是（    ）

A．从2010年到2021年，创新产业指数一直处于增长的趋势

B．2021年的创新产业指数超过了2010年—2012年这3年的创新产业指数总和

C．2021年的创新产业指数比2010年的创新产业指数的两倍还要大

D．2010年到2014年的创新产业指数的增长速率比2017年到2021年的增长速率要慢

【答案】B

【分析】由统计图中对应年份的创业指数及走势，判断出四个选项的正误.

【详解】从统计图可看出从2010年到2021年，创新产业指数一直处于增长的趋势，A正确；

从统计图估计得到2021年的创新产业指数大约为350，

而2010年—2012年这3年的创新产业指数总和大约为，

故2021年的创新产业指数没有超过2010年—2012年这3年的创新产业指数总和，B错误；

因为2021年的创新产业指数大约为350，2010年的创业指数小于150，

，故2021年的创新产业指数比2010年的创新产业指数的两倍还要大，C正确；

2010年到2014年的创新产业指数的折线倾斜程度小，而2017年到2021年的创业指数的折线倾斜程度大，

故2010年到2014年的创新产业指数的增长速率比2017年到2021年的增长速率要慢，D正确.

故选：B

4．在等比数列中，，，则的前5项和（    ）

A．31 B．47 C．63 D．81

【答案】A

【分析】根据等比数列的通项公式列方程求出首项与公比，再由等比数列求和公式求解.

【详解】因为，，

所以，解得，

所以，解得，

故，

故选：A

5．已知，且，函数是定义域内的增函数，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据题意可知函数在每一段上都为增函数，且当时，其右边的函数值不小于左边的函数值，列不等式组可求得结果.

【详解】因为是定义域内的增函数，，且，

所以，解得，

故选：B.

6．已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列结论正确的是（    ）

A．若，，则 B．若，，则

C．若，，，则 D．若，，则

【答案】D

【分析】由线面垂直的判定定理可判断A错；由线面平行的性质定理可判断B错；易判断C错误；由线面垂直的性质可判断D正确.

【详解】对A，要证线面垂直，需证线与平面内的两条交线垂直，A项缺条件，故A错；

对B，若线面平行，则该直线平行于过该直线的平面与平行平面的交线，不一定为该交线，故B错误；

对C，若面面平行，则两平面内的直线平行或异面，故C错；

对D，，，必存在，由线面垂直的性质可知，，则，故D正确.

故选：D

7．已知抛物线：的焦点为，抛物线上有一动点，，则的最小值为（    ）

A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】C

【分析】抛物线的准线的方程为，过作于，根据抛物线的定义可知，则当三点共线时，可求得最小值，答案可得.

【详解】解：抛物线：的焦点为，准线的方程为，

如图，过作于，

由抛物线的定义可知，所以

则当三点共线时，最小为.

所以的最小值为.

故选：C.

8．已知是定义域为的奇函数，是定义域为的偶函数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由条件得到函数的对称性，根据对称性求值，即可求解.

【详解】因为是定义域为的奇函数，

所以，所以函数关于点对称，且

因为是定义域为的偶函数，

所以，所以函数关于直线对称，

所以，即.

故选：A

9．执行如图所示的程序框图，若输入的，，分别为1，2，4，则输出的（    ）

A．7 B．16 C．65 D．321

【答案】C

【分析】运行程序框图即得解.

【详解】解：执行程序框图，，,，，，，，，，，，，，，，，，，.

故选：C

10．在数学探究活动课中，小华进行了如下探究：如图1，正三棱柱容器中注入了一定量的水，若将侧面固定在地面上，如图2所示，水面恰好为（水面与，，，分别相交于，，，），若将点固定在地面上，如图3所示，当容器倾斜到某一位置时，水面恰好为，则在图2中=（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由题意，设正三棱柱边长为，分别求出正三棱柱、水以及剩下的容积，可得出图2中的与正三棱柱的容积的比例，从而可得，再由相似三角形性质可得的比例，从而得出答案.

【详解】设正三棱柱边长为，记水的容积为，该正三棱柱的容积为，则

，，

，

故该正三棱柱去掉水后的剩余体积为，

即，由,得，又，所以有.

故选：D.

11．已知是自然对数的底数，，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据指数函数的单调性即可比较，根据，结合对数函数的性质即可比较，即可得解.

【详解】解：，

，

，

因为，所以，

所以，即，

所以.

故选：A.

12．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的左支交于点，与双曲线的其中一条渐近线在第一象限交于点，且（是坐标原点），现有下列四个结论：

①；②若，则双曲线的离心率为；③；④.

其中所有正确结论的序号为（    ）

A．①② B．②③ C．①③④ D．①②④

【答案】D

【分析】由条件证明，结合勾股定理判断①，由条件求点的坐标，代入双曲线方程可得关系，由此可求离心率，根据双曲线定义，结合三角形三边关系判断③，由条件求，结合点的坐标范围判断④.

【详解】因为，O为的中点，所以，所以，则|，即，①正确.

设，则，所以，作轴，垂足为，轴，垂足为，则因为，所以，解得，则，则，整理得，则，②正确；

设直线与C右支的交点为M，则，因为，所以

，

则，则，③不正确；设，则|，

所以，

所以，由题意可知，，则，则，故，④正确.

故选：D.

二、填空题

13．已知向量，，若，则________．

【答案】

【分析】根据向量模的展开计算，得出，从而进一步利用向量的线性计算求解.

【详解】因为，

所以，

所以，

所以，

所以，

所以，

解得，

故答案为：.

14．已知，函数在上恰有3个零点，则的取值范围为_________.

【答案】.

【分析】先对函数化简变形得，然后由求出的范围，再由函数在上恰有3个零点，可得，从而可求出的取值范围.

【详解】

（），

由，得，

因为在上恰有3个零点，

所以，解得，

即的取值范围为，

故答案为：.

15．由6位专家组成的团队前往某地进行考察后站成一排拍照留念，已知专家甲和乙不相邻，则不同的站法有_________种.

【答案】480

【分析】由排列组合采用插空法，再利用分步乘法计数原理即可得结果

【详解】先除去甲乙，另外4位专家排成一排，站法共有种，

4位专家排成一排后形成5个空，将甲乙插入这五个空中，共有种，

由分步乘法计数原理得种，即不同的站法有480种，

故答案为：480

16．正项等差数列的前项和为，若，则的最大值为________．

【答案】

【分析】根据均值不等式得到，化简，得到答案.

【详解】正项等差数列，，故，

当时等号成立；

.

故答案为：

三、解答题

17．2022年11月15日9时38分,长征四号丙运载火箭在酒泉卫星发射中心点火起飞,随后将遥感三十四号03星送入预定轨道发射,大量观众通过某网络直播平台观看了发射全过程.为了解大家是否关注航空航天技术,该平台随机抽取了100名用户进行调查,相关数据如下表.

附：，

(1)补充表格数据并根据表中数据分别估计男、女性用户关注航空航天技术的概率;

(2)能否有99.9%的把握认为是否关注航空航天技术与性别有关?

【答案】(1)列联表见解析;男性:;女性:

(2)没有99.9%的把握认为是否关注航空航天技术与性别有关

【分析】(1)根据题意补充完整列联表,依据表中的数据分别进行求解即可;

(2)由列联表,依据公式计算,最后比较临界值,判断结果.

【详解】（1）根据题意补充完整的列联表如下:

由图中表格可知,50名男性用户中关注航空航天技术有35人,50名女性用户中关注航空航天技术有20人,

所以估计男性用户关注航空航天技术的概率为;

估计女性用户关注航空航天技术的概率为.

（2）根据列联表,

,

参考临界值表可知,没有99.9%的把握认为是否关注航空航天技术与性别有关.

18．的内角所对的边分别为，，，已知

(1)若，证明：；

(2)若，，求的面积．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】(1)结合题干条件得出，再将余切化为正余弦表达，根据同角正余切的积为1与二倍角公式化简即可证明；

(2)结合题干条件得出，然后结合条件和二倍角公式化简整理求解出，再根据条件求出边长，代入三角形面积公式即可求解.

【详解】（1）证明：因为，由正弦定理可得：，

由题意可知：，所以，结合题意可知：，

又因为三角形的内角满足，所以或，因为有意义，所以，则，

所以，

则有，

上式等价于整理化简可得：.

（2）在中，因为，所以或，

又因为，所以，由正弦定理可得：，

当时，，则边最大，不满足，故此种情况不成立；

当时，，因为，

也即，

整理可得：，解得：或（舍去），

所以

由可得：，则，，

所以，则，，

所以的面积为.

19．如图，三棱柱的底面是正三角形，侧面是菱形，平面平面，，分别是棱，的中点.

(1)证明：∥平面；

(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】(1)见解析；

(2).

【分析】（1）取的中点，连接，，易证四边形为平行四边形，从而有∥，故而得证；

(2) 过点作于，连接，以为原点，、、分别为轴建立空间直角坐标系,用向量法求解即可.

【详解】（1）证明：取的中点，连接，，

因为，分别是棱，的中点，

则∥∥，，

四边形为平行四边形，

所以∥，

平面，平面，

∥平面；

（2）解：在平面中过点作于，连接，

平面平面，平面平面，

平面，

又因为，

所以,,

因为点为的中点，

，

故以为原点，、、分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，，，

所以,

,,

设平面的法向量为，

则有，，

所以取，

设直线与平面所成角为，

则.

20．已知椭圆C：与椭圆的离心率相同，为椭圆C上一点.

(1)求椭圆C的方程.

(2)若过点的直线l与椭圆C相交于A，B两点，试问以AB为直径的圆是否经过定点？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)

(2)存在的坐标为，理由见解析

【分析】（1）先求出椭圆的离心率为，由此得到，将点的坐标代入椭圆，得到，再代入，解得，，则可得结果；

（2）先用两个特殊圆求出交点，再猜想以AB为直径的圆经过定点，再证明猜想，设直线，并与联立，利用韦达定理得到，，进一步得到，，利用，，，证明即可.

【详解】（1）在椭圆中，，，，离心率，

在椭圆C：中，，

所以，化简得，

因为在椭圆C：上，

所以，所以，所以，，

所以椭圆.

（2）当直线的斜率为0时，线段是椭圆的短轴，以AB为直径的圆的方程为，

当直线的斜率不存在时，直线的方程为，代入，得，以AB为直径的圆的方程为，

联立，解得，

由此猜想存在，使得以AB为直径的圆是经过定点，

证明如下：

当直线的斜率不为0且斜率存在时，设直线，

联立，消去并整理得，

，

设、，

则，，

则，

，

因为

，

所以，所以点在以为直径的圆上，

综上所述：以AB为直径的圆是经过定点.

【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：

（1）设直线方程，设交点坐标为；

（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；

（3）列出韦达定理；

（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；

（5）代入韦达定理求解.

21．已知函数.

(1)若，证明：存在唯一的极值点.

(2)若，求的取值范围.

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）求导得到，根据零点存在性定理得到在上存在唯一一个零点，即可得到在上单调递增，上单调递减，存在唯一的极值点；

（2）将，转化为，然后分或和两种情况讨论在上的单调性，令，解不等式即可.

【详解】（1）当时，，，

因为函数，在上单调递减，所以在上单调递减，

，，所以在上存在唯一一个零点，且当时，，时，，

所以在上单调递增，上单调递减，存在唯一的极值点.

（2），可以转化为，

，在上单调递减，

当，即或时，在上大于零，在上单调递增，所以，解得，

所以或；

当时，，时，，所以在上存在一个零点，，

所以在上单调递增，上单调递减，

，

因为，所以，，，则，所以成立；

综上可得，的取值范围为.

【点睛】对于恒成立问题，常用到以下两个结论：

（1）恒成立；

（2）恒成立.

22．在直角坐标系中，曲线的方程为（为参数）. 以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

(1)求出的普通方程和的直角坐标方程；

(2)若与有公共点，求的取值范围.

【答案】(1)的普通方位为：，

的直角坐标方程为：.

(2).

【分析】(1) 曲线的参数方程消去参数，即可求出的普通方程；曲线的极坐标方程为，即可求出的直角坐标方程；

(2) 由曲线的直角坐标方程可得圆心为，半径为，根据直线与圆有公共点，得圆心到直线的距离小于或等于半径，可得，解出不等式即可.

【详解】（1）曲线的参数方程为（为参数），

的普通方程为：，

曲线的极坐标方程为，即，

曲线的直角坐标方程为：.

（2）由(1)知的直角坐标方程为：，即，

圆的圆心坐标为，半径为，

与有公共点，

，解得：，

故的取值范围为：.

23．已知函数

(1)当时，求不等式的解集；

(2)若对任意，恒成立，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）当时，，当时，分情况解决即可；（2）对任意，恒成立，得，再得即可解决.

【详解】（1）由题知，当时，，

所以，

因为，

所以，或，或，

解得，或，或无解，

所以不等式的解集为.

（2）由题知，，

因为对任意，恒成立，

所以，

所以，

所以，即，解得，

解得，或，

所以的取值范围为.