2020届云南省师范大学附属中学高三上学期第五次月考数学（文）试题（解析版）

2020届云南省师范大学附属中学高三上学期第五次月考数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，.则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】先计算得到，再计算得到答案.

【详解】

故选：B

【点睛】

本题考查了交集的运算，属于简单题.

2．（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】直接利用诱导公式和辅助角公式化简得到答案.

【详解】

故选：C

【点睛】

本题考查了诱导公式和辅助角公式，意在考查学生的计算能力.

3．设复数，，在复平面内所对应的向量分别为，（为原点），则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】化简得到，再计算得到答案.

【详解】

故选：B

【点睛】

本题考查了复平面对应向量的运算，掌握复数和向量的对应关系是解题的关键.

4．已知数列为等差数列，为前项和，若，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】根据等差数列公式得到方程组，计算得到答案.

【详解】

故选：D

【点睛】

本题考查了等差数列求和，理解掌握数列公式是解题的关键.

5．如图，在圆的圆心处有一个通信基站，，假设其信号覆盖范围是该圆内的白色区域（该圆形区域内无其他信号来源，基站工作正常），若在圆内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】设该圆的半径为R，计算圆面积和阴影部分面积，利用几何概型相除得到答案.

【详解】

设该圆的半径为R，则圆的面积是，

，故

故选：D

【点睛】

本题考查了几何概型计算概率，计算区域面积是解题的关键.

6．函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】判断函数为偶函数，取特殊点，判断得到答案.

【详解】

，且，函数为偶函数

故选：D

【点睛】

本题考查了函数图像的判断，根据奇偶性和特殊点可以快速得到答案是解题的关键.

7．若在四边形中,已知,,,,,则四边形的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】画出其几何图像,在由余弦定理可求得,在中由余弦定理求得,故,根据三角形面积公式求出和,即可求得四边形的面积为.

【详解】

画出其几何图像:

在由余弦定理:

解得

在由余弦定理:

解得,则

,

四边形的面积故

故选:B.

【点睛】

本题考查了求四边形面积问题,熟记余弦定理和三角形面积公式即可求解,属于基础题型.

8．已知直线与圆相交于两点，且三角形，为直角三角形，则中点的轨迹方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】根据题意得到，M的轨迹是以C1为圆心，半径为的圆，得到答案.

【详解】

因为为直角三角形，且，所以，所以M的轨迹是以C1为圆心，半径为的圆

故选：D

【点睛】

本题考查了圆的轨迹问题，根据题意得到是解题的关键.

9．已知函数，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】直接代入计算得到答案.

【详解】

故选：A

【点睛】

本题考查了分段函数的计算，属于简单题.

10．已知函数，将的图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将图象向左平移个单位，所得图象对应的函数为，若函数的图象在，两处的切线都与x轴平行，则的最小值为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】先计算得到，画出函数图像，计算，得到答案.

【详解】

根据变换得到：，图象如图：

由图可知，取到的最小可能为，因为，，所以最小值为4

故选：B

【点睛】

本题考查了三角函数的平移，放缩，距离的计算，综合性强，意在考查学生综合应用能力.

11．如图，已知是圆的直径，，在圆上且分别在的两侧，其中，.现将其沿折起使得二面角为直二面角，则下列说法不正确的是（    ）

A．，，，在同一个球面上

B．当时，三棱锥的体积为

C．与是异面直线且不垂直

D．存在一个位置，使得平面平面

【答案】D

【解析】依次判断每个选项的正误：，所以A正确；当，A，C各在所在圆弧的中点，计算体积得到B正确；反证法证明AB与CD不垂直C正确；根据C选项知D错误，得到答案。

【详解】

因为，所以A正确；

当，A，C各在所在圆弧的中点，此时三棱锥的底面BCD的面积和高均处于最大位置，此时体积为，所以B正确；

AB与CD显然异面，用反证法证明他们不垂直．若，过A作BD的垂线，垂足为E，因为为直二面角，所以AE⊥平面BCD，所以，所以，所以，这与矛盾，所以AB与CD不垂直，所以C正确；

假设存在一个位置，使得平面平面，过作于，则平面由于平面，与选项矛盾.

故选：D．

【点睛】

本题考查了直线平面的关系，体积，意在考查学生的空间想象能力和推断能力.

二、填空题

12．能说明命题“，，，是实数，若，，则”是假命题的一组数对（，，，）是________.

【答案】

【解析】举一组反例即得到答案.

【详解】

答案不唯一，满足条件即可．例如：

故答案为：

【点睛】

本题考查了判断命题为假命题，属于简单题.

13．抛物线上的点到其准线的距离的最小值为________.

【答案】

【解析】抛物线的标准方程为，准线方程为，得到最小距离.

【详解】

抛物线的标准方程为，准线方程为，最小距离为．

故答案为：

【点睛】

本题考查了抛物线上的点到准线的距离，属于基础题型.

14．若实数满足约束条件，则的取值范围为________.

【答案】

【解析】画出可行域，变换得到，根据图像得到答案.

【详解】

可行域如图所示，变换得到

设为可行域内任意一点，则

由图可知,

所以的取值范围为．

故答案为：

【点睛】

本题考查了线性规划问题，画出图像，变换是解题的关键.

15．我们经常听到这样一种说法：一张纸经过一定次数对折之后厚度能超过地月距离.但实际上，因为纸张本身有厚度，我们并不能将纸张无限次对折，当我们的厚度超过纸张的长边时，便不能继续对折了，一张长边为，厚度为的矩形纸张沿两个方向不断对折，则经过两次对折，长边变为，厚度变为.在理想情况下，对折次数有下列关系：（注：），根据以上信息，一张长为，厚度为的纸最多能对折___次.

【答案】8

【解析】根据题意计算得到答案.

【详解】

，

因为，所以的最大值为8．

故答案为：

【点睛】

本题考查了对数的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.

三、解答题

16．已知是双曲线：的一个焦点，，是双曲线的两条渐近线，过且垂直的直线与，分别交于，两点，若三角形的面积（为原点），则双曲线的离心率为（    ）

A．或 B．或

C．或 D．或

【答案】C

【解析】分为和两种情况，画出图像分别计算离心率得到答案.

【详解】

有如下两种情况：（1）；（2）．

（1）如图甲，可求出A，B的坐标分别为

所以；

同理可得当时，满足条件的离心率

故选：C

【点睛】

本题考查了双曲线的离心率，分类讨论是解题的关键，漏解是容易发生的错误.

17．在我们的教材必修一中有这样一个问题，假设你有一笔资金，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下:

方案一：每天回报元；

方案二：第一天回报元，以后每天比前一天多回报元；

方案三：第一天回报元，以后每天的回报比前一天翻一番.

记三种方案第天的回报分别为，，.

（1）根据数列的定义判断数列，，的类型，并据此写出三个数列的通项公式；

（2）小王准备做一个为期十天的短期投资，他应该选择哪一种投资方案？并说明理由.

【答案】（1）为常数列；为等差数列；是等比数列；（2）应该选择方案二，详见解析

【解析】（1）根据题意得到为常数列，是等差数列，是等比数列，分别计算通项公式得到答案.

（2）设投资10天三种投资方案的总收益为，分别计算比较大小得到答案.

【详解】

（1）为常数列；

是首项为10，公差为10的等差数列；

，

所以是首项为0.4，公比为2的等比数列．

所以．

（2）设投资10天三种投资方案的总收益为，

由（1）知：，

因为，所以应该选择方案二．

【点睛】

本题考查了数列的应用，意在考查学生对于数列公式的灵活应用.

18．至年底，我国发明专利申请量已经连续年位居世界首位，下表是我国年至年发明专利申请量以及相关数据.

注：年份代码～分别表示～.

（1）可以看出申请量每年都在增加，请问这几年中哪一年的增长率达到最高，最高是多少？

（2）建立关于的回归直线方程（精确到），并预测我国发明专利申请量突破万件的年份.

参考公式：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，

【答案】（1）2013年的增长率最高，达到了26%（2）关于的回归直线方程为，预测我国发明专利申请量将在2021年突破200万件

【解析】（1）分别计算每一年的增长率，比较大小得到答案.

（2）根据公式直接计算得到回归直线方程为，再解不等式得到答案.

【详解】

（1）由表格可知2013，2014，2015，2016，2017，2018年的增长率分别如下：，

所以2013年的增长率最高，达到了26%．

（2）由表格可计算出：，，

关于的回归直线方程为．

令．

所以根据回归方程可预测，我国发明专利申请量将在2021年突破200万件．

【点睛】

本题考查了回归方程的计算和应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.

19．如图，已知菱形和矩形所在的平面互相垂直，.

（1）若为的中点，求证：平面；

（2）若图中七面体的体积为，且，求点到平面的距离.

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】（1）如图，设BF的中点为H，，连接HG，HO，证明得到证明.

（2）先计算，再计算，利用体积公式计算得到答案.

【详解】

（1）证明：如图，设BE的中点为H，，连接HG，HO．

因为G是BE的中点，所以

所以四边形AGHO是平行四边形，

所以，又因为平面BDF，平面BDF，

所以平面．

（2）因为ABCD为菱形，且，所以为正三角形．

又因为ACEF为矩形，且

设，

．，

在三角形DEF中，EF边上的高为2，所以．

设B到平面DEF的距离为d，

则．

【点睛】

本题考查了线面平行，点到平面的距离，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.

20．设椭圆：，，分别是椭圆的左、右焦点，在椭圆上.求证：

（1）直线：是椭圆在点处的切线；

（2）从发出的光线经直线反射后经过.

【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析

【解析】（1）联立直线和椭圆方程计算得到证明.

（2）设关于直线的对称点为，则的中点在直线l上，直线与l垂直，计算得到证明.

【详解】

证明：（1）因为在椭圆上，所以，所以P也在直线上．

联立直线和椭圆方程

因为P在椭圆上，所以

所以直线l与椭圆相切，又因为，

所以直线l是椭圆在点P处的切线．

（2）设关于直线的对称点为，

则的中点在直线l上，直线与l垂直，

即，

所以三点共线，

所以从发出的光线经直线反射后经过．

【点睛】

本题考查了椭圆的切线和反射问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.

21．设函数.

（1）证明：若，则恒成立；

（2）讨论的零点个数.

【答案】（1）证明见解析（2）答案不唯一，具体见解析

【解析】（1）求导得到，得到函数的单调区间和最小值得到证明.

（2）求导得到，令得到故在上单调递减，在上单调递增，，讨论得到答案.

【详解】

（1）证明：若，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以的最小值为，即有．

（2）解：，

令．

令，

所以在上单调递减，在上单调递增，

，

所以．

所以在上单调递减，在上单调递增，

．

由以上的讨论可知，当且仅当时，，此时．

当，

又因为时，，

所以，当时，函数只有一个零点；

当时，函数有两个零点．

【点睛】

本题考查了不等式的证明，函数的零点问题，转化为函数的最值问题是解题的关键.

22．在直角坐标系中，射线的方程为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的方程为.一只小虫从点沿射线向上以单位/min的速度爬行

（1）以小虫爬行时间为参数，写出射线的参数方程；

（2）求小虫在曲线内部逗留的时间.

【答案】（1）该射线的参数方程为；（2）小虫在圆内逗留的时间为4min

【解析】（1）小虫爬行的距离为2t，其所在位置为，得到参数方程.

（2）曲线C1的直角坐标方程为，根据韦达定理得到，计算得到答案.

【详解】

（1）因为直线的倾斜角为30°，经过时间t后，小虫爬行的距离为2t，其所在位置为

所以该射线的参数方程为．

（2）曲线C1的直角坐标方程为；

将射线的参数方程带入曲线C1的方程，得，

设t1，t2分别为小虫爬入和爬出的时间，则，

逗留时间，

所以小虫在圆内逗留的时间为4min．

【点睛】

本题考查了参数方程，极坐标方程，根据直线的参数方程利用韦达定理是解题的关键.

23．如图，是半圆直径，为的中点，，在上，且，.

（1）用，表示线段，的长度；

（2）若，，，求的最小值.

【答案】（1），（2）

【解析】（1）根据半径和勾股定理直接计算得到答案.

（2）根据（1）知，代入数据得到答案.

【详解】

解：如图，（1），

．

（2）由（1）知，，

所以，

，

所以的最小值为．

【点睛】

本题考查了不等式的证明，根据图像得到不等式是解题的关键.