广东省茂名市电白区2022-2023学年高二上学期期末数学试题及答案

广东省茂名市电白区2022-2023学年高二上学期期末数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．若，，则（    ）

A． B． C． D．

2．若向量，，则（    ）

A． B．4 C．5 D．

3．双曲线的渐近线方程是（    ）

A． B． C． D．

4．椭圆的左顶点到右焦点的距离为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．6

5．记等差数列的前项和为，若，则（    ）

A．24 B．36 C．48 D．64

6．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a9=a12+6，a2=4，则数列{}的前20项的和为（　　）

A． B． C． D．

7．已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为

A． B． C． D．

8．阿基米德(公元前287年～公元前212年)是古希腊伟大的物理学家，数学家和天文学家，并享有“数学之神”的称号.他研究抛物线的求积法，得出了著名的阿基米德定理．在该定理中，抛物线的弦与过弦的端点的两切线所围成的三角形被称为“阿基米德三角形”．若抛物线上任意两点处的切线交于点，则为“阿基米德三角形”，且当线段经过抛物线的焦点时，具有以下特征：（1）点必在抛物线的准线上；（2）；（3）．若经过抛物线的焦点的一条弦为，“阿基米德三角形”为，且点在直线上，则直线的方程为（  　  ）

A． B．

C． D．

二、多选题

9．下列关于抛物线的说法正确的是（    ）

A．焦点在y轴上

B．焦点在x轴上

C．抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6

D．由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标可能为

10．已知曲线，下列说法正确的是（    ）

A．若，，则是两条直线

B．若，则是圆，其半径为

C．若，则是椭圆，其焦点在轴上

D．若，则是双曲线，其渐近线方程为

11．已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（    ）

A．若点在圆上，则直线与圆相切

B．若点在圆内，则直线与圆相交

C．若点在圆外，则直线与圆相离

D．若点在直线上，则直线与圆相切

12．对于数列，定义为的“优值”.现已知数列的“优值”，记数列的前项和为，则下列说法正确的是（    ）

A． B．

C． D．的最小值为

三、填空题

13．已知，，若，则________.

14．记为数列的前项和，若，则_____________．

15．，是双曲线的两个焦点，点是双曲线上一点，且，则的面积为_____.

16．已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是________________．

四、解答题

17．（1）已知椭圆的焦点坐标分别为，，；求椭圆的标准方程.

（2）已知双曲线经过、两点，求此双曲线的标准方程.

18．已知是等差数列的前n项和．

（1）证明是等差数列；

（2）设为数列的前n项和，若，，求．

19．如图，在四棱雉中，底面满足，，底面，且，.

(1)求证：平面平面；

(2)求平面与平面的夹角余弦值.

20．已知直线与椭圆相交于，两点，且线段的中点．

(1)求直线的方程；

(2)求的面积．

21．新能源汽车的发展有着诸多的作用，不仅能够帮助国家减少对石油的依赖，同时还能够减轻环境的污染．为了加强环保建设，提高社会效益和经济效益，某市计划用若干时间更换一万辆燃油型公交车，每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，替换车为电力型和混合动力型车．今年初投入了电力型公交车128辆，混合动力型公交车400辆；计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加50%，混合动力型车每年比上一年多投入a辆．

(1)求经过n年，该市被更换的公交车总数；

(2)若该市计划7年内完成全部更换，求a的最小值．

22．已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为．

(1)求C的方程；

(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点在C上，且．过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：

①M在上；②；③．

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

参考答案：

1．A

【分析】应用空间向量减法运算律计算即可.

【详解】解析：

故选:.

2．D

【分析】由空间向量坐标的加减运算，和模长公式计算即可.

【详解】解析：由题意，得，

.

故选：D.

3．D

【分析】依据双曲线性质，即可求出．

【详解】由双曲线得， ，即 ，

所以双曲线的渐近线方程是，

故选：D．

【点睛】本题主要考查如何由双曲线方程求其渐近线方程，一般地双曲线的渐近线方程是；双曲线的渐近线方程是．

4．D

【分析】利用椭圆的方程得到左顶点和右焦点的坐标，即可得到答案

【详解】由可得，

所以椭圆的左顶点到右焦点的距离为，

故选：D.

5．C

【分析】根据等差数列前项和公式及等差数列性质求解即可.

【详解】因为，所以，

所以.

故选：C

6．B

【分析】由 及等差数列通项公式得a1+5d=12，又a2=4=a1+d，解得a1，d，可得Sn．再利用裂项求和方法即可得出．

【详解】由及等差数列通项公式得a1+5d=12，又a2=4=a1+d，

∴a1=2=d，

∴ ，

∴数列{}的前20项的和为 ，

故选B．

【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

7．D

【详解】分析：设，则根据平面几何知识可求，再结合椭圆定义可求离心率.

详解：在中，

设，则，

又由椭圆定义可知

则离心率，

故选D.

点睛：椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判断平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆，二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、椭圆的弦长及最值和离心率问题等；“焦点三角形”是椭圆问题中的常考知识点，在解决这类问题时经常会用到正弦定理，余弦定理以及椭圆的定义.

8．A

【分析】首先根据题意可得到点在抛物线的准线上，又在直线上，从而可求出点的坐标；根据，即可求出直线的斜率，从而可求出直线的方程.

【详解】根据题意，可知点在抛物线的准线上，又点在直线上，

所以，又，所以，

因为，所以，所以直线的方程为，即.

故选：A.

9．BD

【分析】根据抛物线的焦点、抛物线的定义等知识确定正确选项.

【详解】抛物线的焦点在x轴上，B正确，A错误；

设是上的一点，则，所以C错误；

由于抛物线的焦点为，过该焦点的直线方程为，若由原点向该直线作垂线，垂足为时，则，此时存在符合题意的垂线，所以D正确．

故选：BD

10．AD

【分析】根据选项条件分别化简曲线为圆锥曲线的标准方程，然后逐一分析，即可求解.

【详解】因为曲线，

若，，则：和，即表示两条直线，所以A选项正确；

若，则，即是以为圆心，半径为的圆，所以B选项错误；

若，即，则，即是焦点在轴上的椭圆，所以C选项错误；

若，则，即是渐近线方程为的双曲线，所以D选项正确.

故选：AD.

11．AD

【分析】根据直线与圆的位置关系相应条件判断即可．

【详解】解：圆心到直线的距离，

若点在圆上，

则，

所以，

则直线与圆相切，故A正确；

若点在圆内，则，

所以，

则直线与圆相离，故B错误；

若点在圆外，则，

所以，

则直线与圆相交，故C错误；

若点在直线上，则，

即，

所以，

直线与圆相切，故D正确．

故选：AD．

12．ACD

【分析】根据所给，可得当时，，利用作差的方法求出判断A，再由等差数列求和公式求出判断B，由分析数列的项的符号变化情况判断C，求出判断D.

【详解】由题意可知，，则①，

当时，，

当时，②，

①-②得，，解得，当时也成立，，A正确；，B错误；

，当时，即，且，故当或9时，的前项和取最小值，最小值为，CD正确.

故选：ACD.

13．

【分析】根据空间共线向量的坐标表示计算即可得出结果.

【详解】因为，所以.所以，，解得，所以.

故答案为：

14．

【分析】首先根据题中所给的，类比着写出，两式相减，整理得到，从而确定出数列为等比数列，再令，结合的关系，求得，之后应用等比数列的求和公式求得的值.

【详解】根据，可得，

两式相减得，即，

当时，，解得，

所以数列是以-1为首项，以2为公比的等比数列，

所以，故答案是.

点睛：该题考查的是有关数列的求和问题，在求解的过程中，需要先利用题中的条件，类比着往后写一个式子，之后两式相减，得到相邻两项之间的关系，从而确定出该数列是等比数列，之后令，求得数列的首项，最后应用等比数列的求和公式求解即可，只要明确对既有项又有和的式子的变形方向即可得结果.

15．

【分析】根据双曲线方程及焦点直接求出，设，，根据双曲线定义和余弦定理解焦点三角形，列出两个方程，解得，利用面积公式可求得答案。

【详解】，是双曲线的两个焦点，

，，

设，，

点是双曲线上一点，且，

，解得

的面积

故答案为：.

16．13

【分析】利用离心率得到椭圆的方程为，根据离心率得到直线的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线的斜率，写出直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，利用弦长公式求得，得，根据对称性将的周长转化为的周长，利用椭圆的定义得到周长为.

【详解】∵椭圆的离心率为，∴，∴，∴椭圆的方程为，不妨设左焦点为，右焦点为，如图所示，∵，∴，∴为正三角形，∵过且垂直于的直线与C交于D，E两点，为线段的垂直平分线，∴直线的斜率为，斜率倒数为， 直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，

判别式，

∴，

∴ ， 得，

∵为线段的垂直平分线，根据对称性，，∴的周长等于的周长，利用椭圆的定义得到周长为.

故答案为：13.

17．（1）；（2）

【分析】（1）根据椭圆的焦点位置及，求出，得椭圆方程；

（2）设双曲线的方程为，代入点求出得解.

【详解】（1）由焦点坐标分别为，，则椭圆焦点在轴上，

且，

因为，所以

所以椭圆方程为：.

（2）设双曲线的方程为，

将点、的坐标代入双曲线方程可得，

解得，

因此，双曲线的标准方程为.

18．（1）证明见解析；（2）

【分析】（1）写出，求出，化简，最终得出结论；

（2）求出，，求出公差，进一步求出，根据求和公式得出.

【详解】（1）∵

∴

∴

∴是等差数列；

（2），

公差

又∵

∴

∴

∴.

19．(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由线面垂直得，即可进一步证平面，最后证平面平面；

（2）由线面垂直证，，即可以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，由向量法求平面与平面的夹角余弦值.

【详解】（1）底面，平面，.

，，、平面，平面，

平面，平面平面；

（2）底面，平面，，，

又，∴以点A为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，，，

设平面的法向量是，则，即，令，则，，于是，

由（1）知平面，故可取平面的法向量为，

设平面与平面的夹角为锐角，.

平面与平面的夹角的余弦值为.

20．(1)

(2)

【分析】（1）由题意利用点差法确定直线的斜率，然后求解直线方程即可；（2）首先求得弦长，然后求得三角形的高，最后计算其面积即可．

【详解】（1）由斜率公式可知，设

代入椭圆方程得到：

化简得到

所以直线方程为，

所以直线的方程为．

（2）将直线方程与椭圆方程联立，可得，

 由弦长公式得到

，

再由点到直线的距离公式得到坐标原点到直线的距离，

所以的面积．

21．(1)；

(2)147.

【分析】(1)根据给定条件可得每年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量依次排成一列分

别构成等比数列、等差数列，求出它们的前n项和即可.

(2)利用(1)的结论列出不等式，解此不等式并求出最小值即可作答.

【详解】（1）设分别为第n年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量，

依题意，数列是首项为128，公比为的等比数列，是首项为400，公差为a的等差数列，

于是得的前n项和，的前n项和，

所以经过n年，该市被更换的公交车总数为.

（2）若计划7年内完成全部更换，则，

于是得，即，解得，

而，于是得a的最小值为147，

所以a的最小值147.

22．(1)

(2)见解析

【分析】（1）利用焦点坐标求得的值，利用渐近线方程求得的关系，进而利用的平方关系求得的值，得到双曲线的方程；

（2）先分析得到直线的斜率存在且不为零，设直线AB的斜率为k, M(x0,y0),由③|AM|=|BM|等价分析得到；由直线和的斜率得到直线方程，结合双曲线的方程，两点间距离公式得到直线PQ的斜率，由②等价转化为，由①在直线上等价于，然后选择两个作为已知条件一个作为结论，进行证明即可.

【详解】（1）右焦点为，∴,∵渐近线方程为，∴，∴，∴，∴，∴．

∴C的方程为：；

（2）由已知得直线的斜率存在且不为零，直线的斜率不为零，

若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线的斜率存在且不为零；

若选①③推②，则为线段的中点，假若直线的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知在轴上，即为焦点,此时由对称性可知、关于轴对称，与从而，已知不符；

总之，直线的斜率存在且不为零.

设直线的斜率为,直线方程为,

则条件①在上，等价于；

两渐近线的方程合并为,

联立消去y并化简整理得：

设,线段中点为,则,

设,

则条件③等价于,

移项并利用平方差公式整理得：

，

,即,

即；

由题意知直线的斜率为, 直线的斜率为,

∴由,

∴,

所以直线的斜率,

直线,即,

代入双曲线的方程,即中，

得：,

解得的横坐标：,

同理：，

∴

∴,

∴条件②等价于，

综上所述：

条件①在上，等价于；

条件②等价于；

条件③等价于；

选①②推③:

由①②解得：,∴③成立；

选①③推②：

由①③解得：，，

∴，∴②成立；

选②③推①：

由②③解得：，，∴，

∴，∴①成立.