+广东省梅州市丰顺县东联中学2022-2023学年九年级上学期12月月考+数学试题
展开2022-2023学年度第一学期广东省梅州市丰顺县东联中学12月月考
九 年 级 数 学
本试卷共8页，25小题，满分120分。考试用时120分钟。
注意事项：
- 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名、考
号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号。将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”。
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（共10题，共30分）
- （3分）正方形具有而矩形不一定具有的性质是
A．四个角都是直角 B．对角线相等
C．四条边相等 D．对角线互相平分
- （3分）在直角三角形中，两条直角边的长分别为 和 ，则斜边上的中线长是
A． B． C． D．
- （3分）某旅游景点三月份共接待游客 万人次，五月份共接待游客 万人次，设每月的平均增长率为 ，则可列方程为
A． B．
C． D．
- （3分）矩形 与 如图放置，点 ，， 共线，点 ，， 共线，连接 ，取 的中点 ，连接 ，若 ，，则
A． B． C． D．
- （3分）如图，在 内，画有边长依次为 ，， 的三个正方形，则 ，， 之间的关系是
A． B． C． D．
- （3分）如图，点 为 的平分线上一点， 的两边分别与射线 ， 交于 ， 两点， 绕点 旋转时始终满足 ，若 ，则 的度数为
A． B． C． D．
- （3分）在元旦庆祝活动中，参加活动的同学互赠贺卡，共送贺卡 张，则参加活动的有 人
A． B． C． D．
- （3分）如图所示，在矩形 中， 是 边的中点， 于点 ，连接 ，分析下列四个结论：① ；② ；③ ；④ ，其中正确的结论有
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
- （3分）在数学拓展课《折叠矩形纸片》上，小林折叠矩形纸片 进行如下操作：①把 翻折，点 落在 边上的点 处，折痕 交 边于点 ；②把 翻折，点 落在 边长的点 处，折痕 交 边于点 ．若 ，，则 的值是
A． B． C． D．
- （3分）如图，在矩形 中，，，把边 沿对角线 平移，点 ， 分别对应点 ，．给出下列结论：
①顺次连接点 ，，， 的图形是平行四边形；
②点 到它关于直线 的对称点的距离为 ；
③ 的最大值为 ；
④ 的最小值为 ．
其中正确结论的个数是
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
二、填空题（共7题，共28分）
- （4分）任意抛掷一枚均匀的硬币两次，出现至少有一次正面朝上的概率为 ．
- （4分）方程 的实数根是 ．
- （4分）直角梯形的一个底角为 ，上、下两底的长分别为 ，，那么这个梯形的周长为 ．
- （4分）如图是一张三角形纸片，其中 ，，，从纸片上裁出一矩形，要求裁出的矩形的四个顶点都在三角形的边上，其面积为 ，则该矩形周长的最小值 ．
- （4分）如图， 是矩形 内的任意一点，链接 ，，，，得到 ，，，，设它们的面积分别是 ，，，，给出如下结论：
① ；
② ；
③若 ，则 ；
④若 ，则 点在矩形的对角线上．
其中正确的结论的序号是 ．（把所有正确结论的序号都填在横线上）
- （4分）已知菱形 的周长为 ，对角线 ，则 ．
- （4分）在平面直角坐标系 中，若点 ， 为某个菱形相邻的两个顶点，且该菱形的两条对角线所在的直线分别与 轴或 轴垂直，则称该菱形为点 ， 的“相关菱形”．如图为点 ， 的“相关菱形”的一个示意图．已知点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，如果点 ， 的“相关菱形”为正方形，那么 的值是 ．
三、解答题（共8题，共62分）
- （6分）某市每年都举行“希望杯”篮球赛，去年初赛阶段，共 支队伍参赛，每两队之间都比赛一场，下表是去年初赛部分队伍的积分榜．
(1) 去年某队的总积分为 分，则该队在比赛中胜了多少场？
(2) 今年，参赛的队伍比去年有所增加，但因场地受限，组委会决定初赛阶段共安排 场比赛，并将参赛队伍平均分成 个小组，各小组每两队之间都比赛一场，求今年比去年增加了多少支队伍？
- （6分）如图是一个几何体的三视图（单位：）．
(1) 说出这个几何体的名称；
(2) 画出它的表面展开图．
- （7分）如图，已知菱形 ，，， 分别是 ， 的中点，连接 ，．
(1) 求证：四边形 是矩形．
(2) 若 ，求菱形的面积．
- （7分）如图，在四边形 中，，，，．过点 作 ，垂足为点 ，延长 至点 ，使 ，连接 ，．
(1) 求证：四边形 是矩形；
(2) 求 的长．
- （8分）如图，在平面直角坐标系中， 为原点，四边形 是矩形，点 ， 的坐标分别是 和 ，点 是对角线 上一动点（不与 ， 重合），连接 ，作 ，交 轴于点 ，以线段 ， 为邻边作矩形 ．
(1) 填空：点 的坐标为 ；
(2) 是否存在这样的点 ，使得 是等腰三角形？若存在，请求出 的长度；若不存在，请说明理由；
(3) ①求证：；
②设 ，矩形 的面积为 ，求 关于 的函数关系式（可利用①的结论），并求出 的最小值．
- （8分）在 中， 是 边的中点．
(1) 如图 ，， 分别是 的两条高，连接 ，，则 与 的数量关系是 ；若 ，则 ；
(2) 如图 ，点 ， 在 的外部， 和 分别是以 ， 为斜边的直角三角形，且 ，连接 ，．
①判断（）中 与 的数量关系是否仍然成立，并证明你的结论；
②求 的度数；
(3) 如图 ，点 ， 在 的内部， 和 分别是以 ， 为斜边的直角三角形，且 ，连接 ，，直接写出 的度数（用含 的式子表示）．
- （10分）阅读以下内容并回答问题：
如图 ，在平面直角坐标系 中，有一个 ，要求在 内作一个内接正方形 ，使正方形 ， 两个顶点在 的 边上，另两个顶点 ， 分别在 和 两条边上．小丽感到要使四边形的四个顶点同时满足上述条件有些困难，但可以先让四边形的三个顶点满足条件，于是她先画了一个有三个顶点在三角形边上的正方形（如图 ）．接着她又在 内画了一个这样的正方形（如图 ）．她发现如果再多画一些这样的正方形，就能发现这些点 位置的排列图形，根据这个图形就能画出满足条件的正方形了．
(1) 请你也实验一下，再多画几个这样的正方形，猜想小丽发现这些点 排列的图形是 ；
(2) 请你参考上述思路，继续解决问题：如果 ， 两点的坐标分别为 ，．
当 的坐标是 时，则 的坐标是 ；
当 的坐标是 时，则 的坐标是 ；
结合（）中猜想，求出正方形 的顶点 的坐标，在图 中画出满足条件的正方形 ．
- （10分）如图所示，在梯形 中，，，，，动点 从点 出发沿 方向向点 以 的速度运动，动点 从点 开始沿着 方向向点 以 的速度运动．点 ， 分别从点 和点 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动．
(1) 经过多长时间，四边形 是平行四边形？
(2) 经过多长时间，四边形 是矩形？
(3) 经过多长时间，当 不平行于 时，有 ；
答案
一、选择题（共10题，共30分）
1. 【答案】C
2. 【答案】A
3. 【答案】A
4. 【答案】C
5. 【答案】B
6. 【答案】A
7. 【答案】B
8. 【答案】A
9. 【答案】D
10. 【答案】C
二、填空题（共7题，共28分）
11. 【答案】
12. 【答案】
13. 【答案】
14. 【答案】
15. 【答案】②④
16. 【答案】
17. 【答案】 或
三、解答题（共8题，共62分）
18. 【答案】
(1) 设胜一场积 分，负一场积 分，由表格数据中知解得：设胜 场，则负 场，列方程得：解得：答：该队胜 场；
(2) 由题意可得，每个组比赛场数： 场，
设每个小组有 支队伍，列方程得：解得：所以 ，
答：今年比去年增加了 支队伍．
19. 【答案】
(1) 这个几何体为三棱柱．
(2) 它的表面展开图如图所示（答案不唯一）．
20. 【答案】
(1) 因为四边形 是菱形，
所以 ，
又因为 ，
所以 是等边三角形，
因为 是 的中点，
所以 (等腰三角形三线合一)，
所以 ，
因为 ， 分别是 ， 的中点，
所以 ，，
因为四边形 是菱形，
所以 且 ，
所以 且 ，
所以四边形 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
又因为 ，
所以四边形 是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．
(2) 在 中，，
所以 ．
21. 【答案】
(1) ，
，
在 与 中，
，
，
，
，
同理，，
四边形 是平行四边形，
，，，
，
，
四边形 是矩形．
(2) ．
22. 【答案】
(1)
(2) 存在．理由如下：
，，
，
，
①如图（）中，当 在线段 上时， 是等腰三角形，
观察图象可知，只有 ，
，
，
是等边三角形，
，
在 中，，，
，
．
当 时， 是等腰三角形．
②如图（）中，当 在 的延长线上时， 是等腰三角形，
只有 ，，
，
．
综上所述，满足条件的 的值为 或 ．
(3) ①如图（），过点 作 交 于 ，交 于 ．
和 ，
直线 的解析式为 ，
设 ，
，
，
，，
，，
，
；
②如图（）中，作 于 ．
在 中，
，，
，，
，
在 中，，
，
矩形 的面积为 ，
即 ，
，
，
时， 有最小值 ．
23. 【答案】
(1) ；
(2) ① 仍然成立；
分别取 ， 的中点 ， ，连接 ，，，，如图 ．
点 ， 分别是 ， 的中点，
是 的中位线．
，．
，
是 的中点，
是 的中线．
．
．
同理可证 ．
，
．
．
，
．
．
同理可证 ．
．
在 和 中，
．
．
②如图 ．
，
．
，
．
(3) ．
24. 【答案】
(1) 一条线段
(2)
设过 ， 两点的一次函数表达式是 ．
代入 ， 两点得
解得
所以直线 的表达式为 ．
设过 ， 两点的一次函数表达式是 ．
代入 ， 两点得
解得
所以直线 的表达式为 ．
直线 ： 与直线 ： 的交点坐标为 ．
解得 ，．
所以 点坐标为 ．
把 代入 ，解得 ，
所以 点坐标为 ．
所画四边形 如图所示．
25. 【答案】
(1) 设经过 ，四边形 为平行四边形，即 ，
，解得：．
(2) 设经过 ，四边形 为矩形，即 ．
，解得：．
(3) 由题意设经过 ，四边形 是等腰梯形．
过 点作 ，过 点作 ．
．
四边形 是等腰梯形，，
又 ，，
．
在 和 中，
．
．
又 ，
，得：．
经过 ，．
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