广东省梅州市丰顺县石江中学2022-2023学年九年级下学期2月月考数学试题(含答案)

这是一份广东省梅州市丰顺县石江中学2022-2023学年九年级下学期2月月考数学试题(含答案)，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年度第二学期梅州市丰顺县石江九年级数学2月测试题
一、单选题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。
1．若方程（m﹣2）x|m|﹣2x＝3是关于x的一元二次方程，则m的值为（　　）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．不存在
2．点（a，﹣3）关于原点的对称点是（2，3），则a的值为（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．3
3．已知点A（a，﹣2），B（3，b）关于原点对称，则a﹣b的值为（　　）
A．3 B．﹣1 C．﹣5 D．﹣3
4．受世界经济下滑的影响，某服装厂今年9月的月产值为60万元，11月下降到28万元，若设这两个月平均每月减少产值的百分率为x，则可得方程（　　）
A．60（1﹣x）2＝28 B．60（1﹣x）＝28
C．60（1+x）2＝28 D．60（1﹣x）+60（1﹣x）2＝28
5．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
6．若方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根为α，β，则α+β的值为（　　）
A．12 B．3 C．7 D．4
7．将抛物线y＝﹣0.5x2向左平移2个单位长度，再向下平移5个单位得到的抛物线是（　　）
A．y＝﹣0.5（x﹣2）2﹣5 B．y＝﹣0.5（x﹣2）2+5
C．y＝﹣0.5（x+2）2+5 D．y＝﹣0.5（x+2）2﹣5
8．方程x2＝2x的根是（　　）
A．x＝2 B．x＝0 C．x1＝﹣2，x2＝0 D．x1＝2，x2＝0
9．规定：在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度α（0°＜α＜180°）后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角度α称为这个图形的一个旋转角．例如：正方形绕着两条对角线的交点O旋转90°或180°后，能与自身重合，所以正方形是旋转对称图形，且有两个旋转角．针对以上“规定”，甲、乙、丙同学展开了讨论：甲说：“正五边形是旋转对称图形，但不是中心对称图形”；乙说：“等腰三角形是旋转对称图形”；丙说：“圆是旋转对称图形，且有很多个旋转角”．下列说法正确的是（　　）
A．三人说法都对 B．三人说法都不对
C．只有乙说法错误 D．甲说法不对，丙说法对
10．下列方程中：①x2﹣2x﹣1＝0；②ax2+bx+c＝0（a≠0）；③；④﹣x2＝0；⑤（x﹣1）2+y2＝2；⑥（x﹣1）（x﹣3）＝x2．一元二次方程共有（　　）个
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（共7小题）
11．甲、乙两人分别从A，B，C这3个景点随机选择2个景点游览，甲、乙两人选择的2个景点恰好相同的概率是 　 　．
12．如图，在△BDE中，∠BDE＝90°，BD＝4，点D的坐标是（6，0），∠BDO＝15°，将△BDE旋转到△ABC的位置，点C在BD上，则旋转中心的坐标为 　 　．

13．甲、乙、丙、丁四人外出旅游时准备站成一排拍照合影留念，则甲和丁相邻的概率为 　 　．
14．若点A（3，y1），B（﹣5，y2），C（7，y3）为二次函数y＝（x+2）2﹣9的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是 　 　．
15．如图，将Rt△ABC绕直角边AC的中点H旋转，得到△EFD．若△EFD的直角顶点D落在△ABC的斜边AB上，EF与AC交于点G，且△EGH恰好是以GH为底边的等腰三角形，则∠A＝　 　．

16．如图，BC为⊙O的直径，P为CB延长线上的一点，过P作⊙O的切线PA，A为切点，PA＝4，PB＝2，则⊙O的半径等于 　 　．

17．若点A（3，n）关于y轴对称的点为（﹣3，2），则点A关于原点对称的点的坐标是 　 　．
三、解答题（共8小题）
18．解方程：
（1）16（x+3）2﹣16＝0；
（2）x（2x+3）＝4x+6．
19．解方程：
（1）x2﹣4x﹣12＝0；
（2）（x+2）2＝2x+3．
20．某商场购进一批进价为20元/件的日用品，第一个月，按进价提高50%的价格出售，售出了400件．第二个月，该商场准备在不低于原售价的基础上进行加价销售，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量诚少，销售量y（件）与销售单价x（元/件）（x为整数）的关系如图所示．
（1）图中点Q所表示的实际意义是 　 　；
（2）求出图中字母a的值，并求出y与x之间的函数解析式；
（3）第二个月日用品的销售单价定为 　 　元/件时，可获得最大利润，最大利润是 　 　元．

21．如图，点A.B.C在⊙O上，∠ABC＝60°，直线AD∥BC，AD＝AB，点O在BD上．
（1）判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为4，求弦BC的长．

22．如图，在Rt△ABC中，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作圆，分别与BC，AB相交于点D，E，连接AD．已知∠CAD＝∠B．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若CD＝AE＝2，，求⊙O的半径．

23．某商品的进价为每件30元，现在的售价为每件45元，每月可卖出1500件，市场前期调查反映，如调整价格，每涨1元，每月少卖出60件，每月销量不少于1200件．
（1）每件售价最高为多少元？
（2）实际销售时，发现商品积压较多，为尽快减少库存，经重新调查评估，发现每件在最高售价的基础上降价销售，每降1元，每月销量比最低销量1200件多卖120件，要使利润达到25920元，则每件应降价多少元？
24．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于点A（6，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C，连接BC，过点A.C作直线AC．
（1）求抛物线的函数解析式．
（2）点P为直线AC下方抛物线上一动点，过点P作PF⊥AC交AC于点F，过点P作PE∥AC交x轴于点E，求AE+PF的最大值及此时点P的坐标．
（3）在（2）问的条件下，将抛物线y＝ax2+bx﹣3沿射线CB方向平移个单位长度得到新抛物线y'，新抛物线y'与原抛物线交于点M；连接CP，把线段CP沿直线AC平移，记平移后的线段为C'P'，当以C'，P'，M为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出所有符合条件的P'点的坐标．


25．如图1，已知抛物线Fl：y＝﹣x2+2x+3交x轴于A.B两点，与y轴交于点C，抛物F2：y＝x2+bx+c经过点A，B，点P是射线CB上一动点．
（1）求抛物线F2和直线BC的函数表达式．
（2）如图2，过点P作PE上BC交抛物线Fl第一象限部分于点E，作EF∥AB交BC于点F，求△PEF面积的最大值及此时点E的坐标．
（3）抛物线Fl与F2在第一象限内的图象记为“图象Z”，过点P作PG∥y轴交图象Z于点G，是否存在这样的点P，使△CPG与△OBC相似？若存在，求出所有符合条件的点P的横坐标．



参考答案
1．解：∵方程（m﹣2）x|m|﹣2x＝3是关于x的一元二次方程，
∴|m|＝2，且m﹣2≠0．
解得m＝﹣2．
故选：B．
2．解：∵点（a，﹣3）关于原点的对称点是（2，3），
∴a＝﹣2，
故选：A．
3．解：∵点A（a，﹣2）与点B（3，b）关于原点对称，
∴a＝﹣3，b＝2，
∴a﹣b＝﹣3﹣2＝﹣5．
故选：C．
4．解：根据题意得60（1﹣x）2＝28．
故选：A．
5．解：A.不是轴对称图形，是中线对称图形，不符合题意；
B.是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C.既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
D.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意．
故选：C．
6．解：∵α，β是方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根，
∴α+β＝3．
故选：B．
7解：抛物线y＝﹣0.5x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向左平移2个单位，再向下平移5个单位得到点的坐标为（﹣2，﹣5），
所以平移后的抛物线解析式为y＝﹣0.5（x+2）2﹣5．
故选：D．
8．解：x2＝2x，
x2﹣2x＝0，
x（x﹣2）＝0，
∴x＝0，x﹣2＝0，
∴x1＝0，x2＝2，
故选：D．
9．解：甲说：“正五边形是旋转对称图形，但不是中心对称图形”正确；
乙说：“等腰三角形是旋转对称图形”说法错误；
丙说：“圆是旋转对称图形，且有很多个旋转角”正确．
故选：C．
10．解：①x2﹣2x﹣1＝0是一元二次方程；
②a＝0时，ax2+bx+c＝0是一元一次方程；
③+3x﹣5＝0是分式方程；
④﹣x2＝0是一元二次方程；
⑤（x﹣1）2+y2＝2是二元二次方程；
⑥（x﹣1）（x﹣3）＝x2是一元一次方程，
故选：B．
二、填空题（共7小题）
11．解：用树状图表示如下：

共有9种可能的结果，其中甲、乙两人选择的2个景点恰好相同的有3种结果，
∴甲、乙两人选择的2个景点恰好相同的概率是，
故答案为：．
12．解：如图，AB与BD的垂直平分线的交点即为旋转中心P，
连接PD，过P作PF⊥x轴于F，
∵点C在BD上，
∴点P到AB.BD的距离相等，都是BD，即×4＝2，
∴∠PDB＝45°，PD＝×2＝2，
∵∠BDO＝15°，
∴∠PDO＝45°+15°＝60°，
∴∠DPF＝30°，
∴DF＝PD＝×2＝，
∵点D的坐标是（6，0），
∴OF＝OD﹣DF＝6﹣，
由勾股定理得，PF＝＝，
∴旋转中心的坐标为（6﹣，）．
故答案为：（6﹣，）．

13．解：画树状图如下：

共有24种等可能的情况，其中甲和乙相邻的情况有12种，
∴甲和乙相邻的概率为，
故答案为：．
14．解：∵y＝（x+2）2﹣9，
∴图象的开口向上，对称轴是直线x＝﹣2，
∴B（﹣5，y2）关于直线x＝﹣2的对称点是（1，y2），
∵1＜3＜7，
∴y2＜y1＜y3，
故答案为：y2＜y1＜y3．
15．解：∵Rt△ABC绕直角边AC的中点H旋转，得到△EFD，
∴，∠A＝∠E，
∴∠A＝∠ADH，
∴∠GHE＝∠A+∠ADH＝2∠A，
∵△EGH恰好是以GH为底边的等腰三角形，
∴∠EGH＝∠EHG＝2∠A，
∵∠EGH+∠EHG+∠E＝180°，
∴2∠A+2∠A+∠A＝180°，
∴∠A＝36°．
故答案为：36°．
16．解：连接OA，

∵PA是⊙O的切线，
∴∠PAO＝90°，∵PA＝4，PB＝2，
在Rt△PAO中，PO2＝PA2+AO2，
即（BO+2）2＝42+AO2，
∴（AO+2）2＝42+AO2，
解得AO＝3，
故答案为：3．
17．解：∵点A（3，n）关于y轴对称的点的坐标为（﹣3，2），
∴n＝2，
∴A坐标为（3，2），
∴点A关于原点对称的坐标是 （﹣3，﹣2）．
故答案为：（﹣3，﹣2）．
18．解：（1）16（x+3）2﹣16＝0
移项，得16（x+3）2＝16，
则（x+3）2＝1，
∴x+3＝±1，
解得：x1＝﹣2，x2＝﹣4；
（2）x（2x+3）＝4x+6
则x（2x+3）﹣2（2x+3）＝0，
∴（x﹣2）（2x+3）＝0，
∴x﹣2＝0或2x+3＝0，
解得：．
19．解：（1）方程分解因式得：（x+2）（x﹣6）＝0，
可得x+2＝0或x﹣6＝0，
解得：x1＝﹣2，x2＝6；
（2）方程变形得：（x+3）2﹣2（x+3）＝0，
分解因式得：（x+3）（x+1）＝0，
可得x+3＝0或x+1＝0，
解得：x1＝﹣3，x2＝﹣1．
20．解：根据题意可得：点Q（35，300）表示的实际意义为：当销售单价为35元/件时，每个月的销售量为300件，
故答案为：当销售单价为35元/件时，每个月的销售量为300件；
（2）由题意可得：a＝20+20×50%＝30，
设y＝kx+b，
把（30，400），（35，300）代入得：，
解得：，
∴y＝﹣20x+1000（30≤x＜50）；
（3）设销售利润为W元，
则根据题意可得：W＝（x﹣20）（﹣20x+1000）＝﹣20（x﹣35）2+4500，
∵﹣20＜0，且30≤x＜50，
∴当x＝35时，W有最大值，最大值为4500；
故答案为：35，4500．
21．解：（1）直线AD与圆O相切．
理由如下：连接OA，
∵AD∥BC，
∴∠D＝∠DBC，
∵AD＝AB，
∴∠D＝∠ABD，
∴∠DBC＝∠ABD＝∠ABC＝30°，
∠BAD＝120°，
∵OA＝OB，
∴∠BAO＝∠ABD＝30°，
∴∠OAD＝90°，
∴OA⊥AD，
∵OA是圆的半径，
∴直线AD与圆O相切；
（2）连接OC，作OH⊥BC于H，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC＝30°，
∴OH＝OB＝3，
在Rt△BOH中，BH＝＝＝3 ，
∴BC＝2BH＝6 ．

22．（1）证明：连接OD，

∵OB＝OD，
∴∠3＝∠B，
∵∠B＝∠1，
∴∠1＝∠3，
在Rt△ACD中，∠1+∠2＝90°，
∴∠4＝180°﹣（∠2+∠3）＝90°，
∴OD⊥AD，
则AD为圆O的切线；
（2）∵CD＝AE＝2，AC＝2，
∴AD＝＝4，
∵AD为圆O的切线；
∴AD2＝AE•AB，
∴16＝2AB，
∴AB＝8，
∴BE＝AB﹣AE＝6，
∴OB＝3，
∴⊙O的半径为3．

23．解：（1）设每件的售价为x元，
依题意得：1500﹣60（x﹣45）≥1200，
解得：x≤50．
答：每件售价最高为50元．
（2）设每件应降价y元，则每件的销售利润为（50﹣y﹣30）元，每周的销售量为（1200+120y）件，
依题意得：（66﹣y﹣40）（240+20y）＝25920，
解得：y1＝2，y2＝8．
又∵要尽快减少库存，
∴y＝8．
答：每件应降价8元．
24．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于点A（6，0），B（﹣1，0），
∴抛物线的解析式为：y＝a（x+1）（x﹣6）＝ax2﹣5ax﹣6a，
∴﹣6a＝﹣3，
∴a＝，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣3；
（2）令x＝0，则y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
∴OC＝3，
∵A（6，0），
∴OA＝6，直线AC的解析式为：y＝x﹣3，
∴AC＝3，tan∠OAC＝，cos∠OAC＝；
如图，分别过点A，P作y轴的平行线，分别交AC于点Q，交PE于点G，
∵PE∥AC，
∴四边形PQAG是平行四边形，
∴AG＝PQ；

∵PQ∥y轴，
∴∠OCA＝∠PQF，
∴∠OAC＝∠FPQ，
∴cos∠OAC＝cos∠FPQ＝；
∴PF＝PQ，
∵PE∥AC，
∴∠AEG＝∠OAC，
∴tan∠AEG＝tan∠OAC＝，
∴AE＝2AG＝2PQ，
∴AE+PF＝PQ+2PQ；
设点P的横坐标为t，则P（t，t2﹣t﹣3），Q（t，t﹣3），
∴PQ＝﹣t2+3t＝﹣（t﹣3）2+，
∴当t＝3时，PQ的最大值为；
∴AE+PF的最大值为：+9；此时P（3，﹣6）；
（3）将抛物线y＝x2﹣x﹣3沿射线CB方向平移个单位长度，即先向左平移1个单位，再向上平移3个单位，
∵抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣3＝（x﹣）2﹣；
∴y′＝（x﹣+1）2﹣+3＝（x﹣）2+；
令（x﹣）2﹣＝（x﹣）2+，解得x＝﹣1，
∴M（﹣1，0）；
将线段CP沿直线AC平移到线段C'P'，
则设C′（﹣2m，﹣3﹣m），则P′（3﹣2m，﹣6﹣m），
∵M（﹣1，0），
∴C′P′＝3，C′M2＝（2m﹣1）2+（m+3）2，C′P＝（2m﹣4）2+（6+m）2，
若以C'、P'、M为顶点的三角形是等腰三角形，则需要分以下三种情况：
①当C′P′＝C′M时，
18＝（2m﹣1）2+（m+3）2，
整理得，5m2+2m﹣8＝0，
解得m＝﹣+或m＝﹣﹣，
∴P′（，）或（，）；
②当C′P′＝C′P时，
18＝（2m﹣4）2+（6+m）2，
整理得，5m2﹣4m+34＝0，
无解；
③当C′M＝C′P时，
（2m﹣1）2+（m+3）2＝（2m﹣4）2+（6+m）2，
解得m＝7，
∴P′（﹣11，﹣13）；
综上，符合题意的点P′的坐标为：（，）或（，）或（﹣11，﹣13）．

25．解：（1）在y＝﹣x2+2x+3中，令y＝0得x＝﹣1或x＝3，令x＝0得y＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），
把A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝x2+bx+c得：
，
解得，
∴抛物线F2的函数表达式y＝x2﹣x﹣，
设直线BC解析式为y＝tx+3，把B（3，0）代入得：
3t+3＝0，
解得t＝﹣1，
∴直线BC解析式为y＝﹣x+3；
（2）过E作EH∥y轴交BC于H，如图：

∵B（3，0），C（0，3），
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴∠OCB＝∠OBC＝45°，
∵EF∥AB，
∴∠EFP＝45°，
∴△EFP是等腰直角三角形，
∴△PEF面积最大时PE最大，
∵EH∥y轴，
∴∠EHP＝∠OCB＝45°，
∴△EHP是等腰直角三角形，
∴EH最大时，PE最大，即EH最大时，△PEF面积最大，
设E（m，﹣m2+2m+3），则H（m，﹣m+3），
∴EH＝﹣m2+2m+3+m﹣3＝﹣m2+3m＝﹣（m﹣）2+，
∴当m＝时，EH最大为，
∴E（，），此时PE＝＝，
∴△PEF面积的最大值为PE2＝；
（3）存在点P，使△CPG与△OBC相似，理由如下：
由（2）知△OBC是等腰直角三角形，当△CPG与△OBC相似时，△CPG为等腰直角三角形，
∵PG∥y轴，
∴∠CPG＝∠OCB＝45°，
当∠PGC＝90°时，如图：

此时G与C纵坐标相等，
在y＝﹣x2+2x+3中，令y＝3得x＝0或x＝2，
∴G1（2，3），此时P1的横坐标为2，
在y＝x2﹣x﹣中，令y＝3得x＝1+或x＝1﹣（此时G不在第一象限，舍去），
∴P2的横坐标为1+；
当∠PCG＝90°时，如图：

设P3（n，﹣n+3），则G3（n，﹣n2+2n+3），
∵C（0，3），
∴CP32＝2n2，P3G32＝（﹣n2+3n）2，
∵△CP3G3是等腰直角三角形，
∴（﹣n2+3n）2＝2×2n2，
解得n＝0（舍去）或n＝1或n＝5（此时G不在第一象限，舍去），
∴P3的横坐标为1，
同理可得P4的横坐标为2+，
综上所述，P的横坐标为2或1+或1或2+．