高中物理人教版 (2019)必修 第三册3 电势差与电场强度的关系巩固练习

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第十章 静电场中的能量
10.3 电势差与电场强度的关系

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课程标准
课标解读
1.掌握公式U＝Ed的推导过程，理解公式的含义，知道公式的适用条件。
2．理解电场强度的另一种表述。
3．能够应用U＝Ed或E＝解决有关问题。
1．经历探究匀强电场中的电势差与电场强度的定量关系的过程，理解关系式的意义。
2．知道电场强度的另一个单位“伏每米”的物理意义。
3. 经历探究应用“等分法”求解匀强电场的电场强度的过程


知识精讲

知识点01 电势差与电场强度的关系
1．关系式：UAB＝Ed。
2．物理意义：匀强电场中两点间的电势差等于电场强度与这两点沿电场方向的距离的乘积。
3．适用条件
(1)匀强电场。
(2)d为两点沿电场方向的距离。
【即学即练1】如图所示，在场强为E＝1.0×102 V/m的匀强电场中，有相距d＝2.0×10－2 m的A、B两点，A、B连线与电场方向的夹角为60°，则A、B两点间的电势差为 V.

　
【答案】1.0
【解析】U＝Edcos 60°＝1.0×102×2.0×10－2× V＝1.0 V.
知识点02 E＝的意义
1．意义：在匀强电场中，电场强度的大小等于两点间的电势差与这两点沿电场强度方向距离之比。
2．电场强度的另一种表述：电场强度在数值上等于沿电场方向每单位距离上降低的电势。
3．电场强度的另一个单位：由E＝可导出电场强度的另一个单位，即伏[特]每米，符号为V/m。1 V/m＝1 N/C。
【即学即练2】如图，在水平向右的匀强电场中，AB间距离L＝4 m，与水平方向夹角为60°，A、B间电势差UAB＝16 V，求：

(1)电场强度E的大小；
(2)电荷量q＝－2×10－7 C的点电荷从A点运动到B点，静电力所做的功.
【答案】(1)8 V/m　(2)－3.2×10－6 J
【解析】
(1)A、B两点沿电场线方向的距离为d＝Lcos 60°＝2 m
则电场强度为E＝
解得E＝8 V/m
(2)依题意得WAB＝qUAB
解得WAB＝－3.2×10－6 J.
能力拓展


考法01 匀强电场中电势差与电场强度的关系
1.公式E＝及UAB＝Ed的适用条件都是匀强电场.
2.由E＝可知，电场强度在数值上等于沿电场方向单位距离上降低的电势.式中d不是两点间的距离，而是沿电场方向的距离.
3.电场中电场强度的方向就是电势降低最快的方向.
【典例1】如图所示，P、Q两金属板间的电势差为50 V，板间存在匀强电场，方向水平向左，板间的距离d＝10 cm，其中Q板接地，两板间的A点距P板4 cm.

(1)求P板及A点的电势.
(2)保持两板间的电势差不变，而将Q板向左平移5 cm，则A点的电势将变为多少？
【答案】(1)－50 V　－30 V　(2)－10 V
【解析】
板间场强方向水平向左，可知Q板电势最高.Q板接地，则电势φQ＝0，板间各点电势均为负值.
(1)场强大小E＝＝ V·m－1＝5×102 V·m－1
Q、A间电势差UQA＝Ed′＝5×102×(10－4)×10－2 V＝30 V
所以A点电势φA＝－30 V，同理可求得P板电势φP＝UPQ＝－50 V
(2)当Q板向左平移5 cm时，两板间距离d ″＝(10－5) cm＝5 cm
Q板与A点间距离变为d＝(10－4) cm－5 cm＝1 cm
电场强度大小E′＝＝ V·m－1＝1.0×103 V·m－1
Q、A间电势差UQA′＝E′d＝1.0×103×1.0×10－2 V＝10 V
所以A点电势φA′＝－10 V.
考法02 利用E＝定性分析非匀强电场
U＝Ed只适用于匀强电场的定量计算，在非匀强电场中，不能进行定量计算，但可以定性地分析有关问题.
(1)在非匀强电场中，U＝Ed中的E可理解为距离为d的两点间电场强度的平均值.
(2)当电势差U一定时，场强E越大，则沿场强方向的距离d越小，即场强越大，等差等势面越密.
(3)非等势面上距离相等的两点间的电势差：E越大，U越大；E越小，U越小.
【典例2】如图所示，三个同心圆是一个点电荷周围的三个等势面，已知这三个圆的半径成等差数列.A、B、C分别是这三个等势面上的点，且这三点在同一条电场线上.A、C两点的电势依次为φA＝10 V和φC＝2 V，则B点的电势(　　)

A.一定等于6 V B.一定低于6 V
C.一定高于6 V D.无法确定
【答案】B
【解析】根据点电荷场强公式可知，EA＞EB＞EC，又AB＝BC，由U＝Ed可以判断UAB＞UBC，所以φB＜6 V，故选B.
考法03应用“等分法”求解匀强电场的电场强度
1．方法介绍：
先由等分法确定电势相等的点，画出等势线，然后根据电场线与等势面垂直画出电场线，且电场线的方向由电势高的等势面指向电势低的等势面。
2．两个结论：
结论1：匀强电场中的任一线段AB的中点C的电势φC＝，如图甲所示。

结论2：匀强电场中若两线段AB∥CD，且AB＝CD，则UAB＝UCD(或φA－φB＝φC－φD)，如图乙所示。
【典例3】(多选)一匀强电场的方向平行于xOy平面，平面内a、b、c三点的位置如图所示，三点的电势分别为17 V、33 V、49 V。下列说法正确的是(　　)

A．坐标原点处的电势为1 V
B．电场强度的大小为5 V/m
C．匀强电场的方向由O点指向c点
D．质子从b点运动到c点，电场力做功为－16 eV
【答案】AD
【解析】
　如图所示。

在ac连线上，确定中点b′点，电势为33 V，将bb′连线，即为等势线，那么垂直bb′连线，则为电场线，再依据沿着电场线方向，即匀强电场的方向由c点指向O点，电势降低，则电场线方向如图，因为匀强电场，则有E＝
依据几何关系，则d＝
代入数据，得电场强度大小为E＝×102 V/m
故B、C错误；根据φc－φa＝φb－φO
因a、b、c三点电势分别为φa＝17 V、φb＝33 V、φc＝49 V
解得：原点处的电势为φO＝1 V，故A正确；质子从b点运动到c点，电场力做功为W＝eUbc＝－16 eV，故D正确。

分层提分

题组A 基础过关练
1. 下列说法正确的是(　　)
A．由公式E＝得，电场强度E与电势差UAB成正比，与两点间距离d成反比
B．由公式E＝得，在匀强电场中沿电场线方向上两点间距离越大，电场强度就越小
C．在匀强电场中，任意两点间电势差等于电场强度和这两点间距离的乘积
D．公式E＝只适用匀强电场
【答案】D
【解析】公式E＝只适用于匀强电场，E与电势差和两点间的距离无关，故A错误，D正确；在匀强电场中，电场强度处处相等，故B错误；在匀强电场中，两点间电势差等于电场强度与两点间沿电场方向距离的乘积，故C错误。
2. (多选)如图所示，在匀强电场中有A、B、C三点，三点构成直角三角形，∠A＝37°，AB边长为5 m，D为AB中点，电场线与ABC所在平面平行，A、B、C三点的电势分别为14 V、6 V和6 V，取sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，则(　　)

A．CD两点间电势差UCD＝4 V
B．D点电势φD＝10 V
C．该电场的电场强度E＝2 V/m
D．该电场的方向沿BC方向
【答案】BC
【解析】
在匀强电场中，平行等距离的两点电势差相等，则φA－φD＝φD－φB
解得φD＝10 V
所以UCD＝φC－φD ＝－4 V
故A错误，B正确；三角形中B、C的电势分别为6 V和6 V，则B和C为等势点，BC为等势线，电场线方向沿AC方向，则电场强度为E＝＝V/m＝2 V/m，故C正确，D错误。
3. 空气中的负离子对人的健康极为有益。人工产生负离子的最常见方法是电晕放电法。如图所示，一排针状负极和环形正极之间加上直流高压电，电压达5 000 V左右，使空气发生电离，从而产生一价的负氧离子排出，使空气清新化，针状负极与环形正极间距为5 mm，且视为匀强电场，电场强度为E，电场对负氧离子的作用力为F，则(　　)

A．E＝103 N/C，F＝1.6×10－16 N
B．E＝106 N/C，F＝1.6×10－16 N
C．E＝106 N/C，F＝1.6×10－13 N
D．E＝103 N/C，F＝1.6×10－13 N
【答案】C
【解析】根据公式E＝＝N/C＝106 N/C
电场对负氧离子的作用力F＝Eq＝106×1.6×10－19 N＝1.6×10－13 N。
4. 如图所示，在电场强度E＝1×102 V/m的匀强电场中，将一电荷量为2×10－2C正点电荷由A点移到B点。已知A、B两点间距离L＝2 m，两点连线与电场方向成60°角，求：
(1)A、B两点间的电势差UAB；
(2)电荷由A移到B的过程中，电场力所做的功WAB。
【答案】(1)100 V　(2)2 J
【解析】
　(1)根据匀强电场的电势差与电场强度的关系，由题图可知A、B两点间的电势差为UAB＝ELcos 60°
代入数据解得UAB＝100 V；
(2)电荷由A移到B的过程中，电场力所做的功为
WAB＝qUAB，代入数据解得WAB＝2 J。
5.

如图所示的同心圆是电场中的一簇等差等势线，一个电子只在电场力作用下沿着直线由A→C运动时的速度越来越小，B为线段AC的中点，则下列说法正确的是(　　)
A．电子沿AC方向运动时受到的电场力越来越小
B．电子沿AC方向运动时它具有的电势能越来越大
C．电势差UAB＝UBC
D．电势φA<φB<φC
【答案】B
【解析】由等势线分布和电子速度变化可知该电场为负点电荷的电场，电子沿AC方向运动时受到的电场力越来越大，A错误；根据电子只在电场力作用下沿着直线由A→C运动时的速度越来越小，可知电子具有的电势能越来越大，B正确；根据U＝Ed，由于电场为非匀强电场，平均电场强度EABφB>φC，D错误。
6. a、b、c是匀强电场中的三个点，各点电势分别为φa＝10 V，φb＝2 V，φc＝6 V，a、b、c三点所在平面与电场方向平行，下列各图中电场强度的方向表示正确的是(　　)

【答案】D
【解析】由于是匀强电场，因此a、b连线的中点与c点电势相等，电场强度的方向垂直于等势面且由高电势处指向低电势处，D正确。
7. 如图所示，沿x轴正方向场强为E的匀强电场中，有一动点从A点开始以O为圆心，r＝OA为半径逆时针转动一周，O与圆周上的A点的连线OA与x轴正方向(E方向)成θ角(θ<)，则此圆周上各点与A点间最大的电势差为(　　)

A.U＝Er B.U＝Er(sin θ＋1)
C.U＝Er(cos θ＋1) D.U＝2Er
【答案】C
【解析】由U＝Ed知，此圆周上各点与A点间电势差最大的点应是沿场强方向与A点相距最远的点，dmax＝r＋rcos θ，所以Umax＝Er(cos θ＋1)，C项正确.
8. 如图所示，在电场强度E＝2×103 V/m的匀强电场中有三点A、M和B，AM＝4 cm，MB＝3 cm，AB＝5 cm，且AM边平行于电场线，把一电荷量q＝2×10－9 C的正电荷从B点移动到M点，再从M点移动到A点，静电力做功为(　　)

A.1.6×10－7 J B.1.2×10－7 J
C.－1.6×10－7 J D.－1.2×10－7 J
【答案】C
【解析】B、M在同一等势面上，正电荷由B点移动到M点静电力不做功.由M点移动到A点静电力做功为WMA＝－WAM＝－qUAM＝－qE·＝－2×10－9×2×103×4×10－2 J＝－1.6×10－7 J，即静电力做功为－1.6×10－7 J，故选C.
题组B 能力提升练
9. (多选)如图所示，一电场的电场线分布关于y轴(沿竖直方向)对称，O、M、N是y轴上的三个点，且OM＝MN.P点在y轴右侧，MP⊥ON.则下列说法正确的是(　　)

A.M点的电势比P点的电势高
B.将负点电荷由O点移动到P点，静电力做正功
C.M、N两点间的电势差大于O、M两点间的电势差
D.M、N两点间的电势差小于O、M两点间的电势差
【答案】AD
【解析】
根据电场线和等势面的关系，可以判断出M点的电势比P点的电势高，A正确.将负点电荷由O点移到P点，静电力做负功，B错误.根据U＝Ed进行定性分析可知UMN＜UOM，C错误，D正确.
10. 如图所示，匀强电场E＝100 V/m，A、B两点相距10 cm，A、B连线与电场线夹角为60°，若取A点电势为0，则B点电势为(　　)

A．－10 V B．10 V
C．－5 V D．－3 V
【答案】C
【解析】A、B连线沿电场线的距离为d＝0.05 m，根据匀强电场中电势差与电场强度的关系可知，UAB＝Ed＝5 V，电场中B点的电势等于B点到零电势点的电势差，φB＝UBA＝－UAB＝－5 V，C正确。
11. 如图，△abc中bc＝4 cm，∠acb＝30°。匀强电场的电场线平行于△abc所在平面，且a、b、c三点的电势分别为3 V、－1 V、3 V。下列说法正确的是(　　)

A．电场强度的方向沿ac方向
B．电场强度的大小为200 V/m
C．电子从a点移动到b点，电势能减少了4 eV
D．电子从c点移动到b点，电场力做功为4 eV
【答案】B
【解析】
由于ac两点电势相等，故ac为一条等势线，电场方向与等势线垂直，且由高电势指向低电势可知，电场方向垂直ac，且指向斜上方
E＝＝ V/cm＝200 V/m
故A错误，B正确；电子从a点移动到b点，电场力做功Wab＝－eUab＝－4 eV
“－”表示电场力做负功，电势能增加，增加了4 eV，故C错误；电子从c点移动到b点，电场力做功为Wcb＝－eUcb＝－4 eV，故D错误。
12. 如图所示，A、B、C三点都在匀强电场中，已知AC⊥BC，∠ABC＝60°，＝20 cm.把一个电荷量q＝1×10－5 C的正电荷从A点移到B点，静电力做的功为零；从B点移到C点，静电力做的功为－1.73×10－3 J，则该匀强电场的场强大小和方向是(　　)

A.865 V/m，垂直AC向左
B.865 V/m，垂直AC向右
C.500 V/m，垂直AB斜向下
D.1 000 V/m，垂直AB斜向下
【答案】D
【解析】
　把电荷q从A点移到B点，静电力做的功为零，说明A、B两点在同一等势面上，由于该电场为匀强电场，等势面应为平面，故题图中直线AB是一条等势线，场强方向应垂直于等势线，选项A、B错误.UBC＝＝ V＝－173 V，B点电势比C点电势低173 V，因电场线指向电势降低的方向，所以场强方向垂直于AB斜向下，场强大小E＝＝ V/m≈1 000 V/m，因此选项D正确，C错误.
13. 如图所示，在匀强电场中，一带电荷量为q＝5.0×10－10 C的正点电荷，由a点移到b点和由a点移到c点，静电力做的功都是4.0×10－8 J，已知a、b、c三点的连线组成直角三角形，＝10 cm，θ＝37°.cos 37°＝0.8，sin 37°＝0.6.求：

(1)a、b两点间的电势差；
(2)匀强电场场强的大小和方向.
【答案】(1)80 V　(2)1 000 V/m　场强方向与ac平行且由a指向c
【解析】
　(1)Uab＝＝ V＝80 V.
(2)因为把正点电荷从a移到b和从a移到c静电力做的功相等，所以由W＝qU可得Uab＝Uac，b、c两点在同一等势面上，由匀强电场的电场线和等势面垂直及沿电场线方向电势降低可知，场强方向与ac平行且由a指向c.由U＝Ed得E＝＝＝ V/m＝
1 000 V/m.

题组C 培优拔尖练
14．(多选)如图，在匀强电场中，A、B、C、D、E、F位于边长为L＝2 cm的正六边形的顶点上，匀强电场的方向平行于正六边形所在的平面。已知A、B、D、E的电势分别为－2 V、 0、 6 V、 4 V。则下列说法正确的是(　　)

A．C点的电势φC＝2 V
B．A、F间的电势差UAF＝2 V
C．C、F间的电势差UCF＝4 V
D．该匀强电场的电场强度大小E＝200 V/m
【答案】CD
【解析】
连接AD、BF、CE，如图所示：

由图可知AD与BF、CE都垂直，故电场强度方向由D指向A，由正六边形对称性可知F与B的电势相等，C与E的电势相等，故F点的电势为0，C点的电势为4 V，则A、F间的电势差为UAF＝φA－φF＝－2 V－0＝－2 V
C、F间的电势差为UCF＝φC－φF＝4 V－0＝4 V
由几何关系得dOA＝Lsin 30°
UOA＝UFA＝－UAF＝2 V
则电场强度的大小为E＝＝ V/m＝200 V/m，故A、B错误，C、D正确。
15. 如图所示，在平行于ABC平面的匀强电场中，有一个边长为6 cm的等边三角形，A、B、C三点电势分别为8 V，－4 V和2 V，D为靠近A点的AB线段的三等分点。下列说法正确的是(　　)

A．电场强度为400 V/m
B．电场线方向与AB平行，方向指向A
C．电子在A点的电势能小于在B点的电势能
D．若将一电子从C点移至D点，电场力做功为－2 eV
【答案】C
【解析】
由匀强电场中的任一线段两端电势与中点电势的关系，则有AB的中点F点的电势为
φF＝＝ V＝2 V
则F、C为等电势点，FC为等势线，则AB为一电场线，方向由A到B，则

匀强电场的电场强度为E＝＝ V/m＝200 V/m
方向由A到B，故A、B错误；电子带负电，由Ep＝qφ知其在电势高处电势能小，故C正确；D点的电势为
φD＝8 V－ V＝4 V
则UCD＝－2 V，将一电子从C点移至D点，电场力做功为W＝－eUCD＝2 eV，故D错误。