第3章 圆锥曲线的方程 章末测试（提升）-2022-2023学年高二数学一隅三反系列（人教A版2019选择性必修第一册）

第3章 圆锥曲线的方程 章末测试（提升）

一、单选题(每题5分，每题只有一个选项为正确答案，8题共40分)

1．（2022安徽）设抛物线上一点到轴的距离是1，则点到该抛物线焦点的距离是（　　）

A．3 B．4 C．7 D．13

【答案】B

【解析】因为，则准线方程为，

依题意，点到该抛物线焦点的距离等于点到其准线的距离，即.故答案为：B.

2．（2022广东月考）直线 过抛物线 的焦点 ，且与 交于 两点，则 （　　） 

A．2 B．4 C．6 D．8

【答案】D

【解析】因为抛物线   的焦点坐标为F ，

 又直线y=x-1 过抛物线 的焦点 ， 所以p=2 ，抛物线C的方程为y2=4x ，

设AB的横坐标为xA，xB， 由 ，得x2-6x+1=0 ， 所以xA+xB=6 ， 所以xA+xB+p=6+2=8 ．

故选：D

3．（2022湖北）椭圆上的点到圆上的点的距离的最大值是（　　）

A．11 B． C． D．9

【答案】A

【解析】依题意得所求即为椭圆上的点到圆的圆心距离的最大值加上1，

设椭圆上的点为，

则椭圆上的点到圆的圆心距离为，

∴时，椭圆上的点到圆的圆心距离的最大值为10，

∴椭圆上的点到圆上的点的距离的最大值为11，

故答案为：A.

4．（2022遂宁期末）已知双曲线与直线交于A、B两点，点P为C右支上一动点，记直线PA、PB的斜率分别为，曲线C的左、右焦点分别为．若，则下列说法正确的是（　　）

A．                              B．双曲线C的渐近线方程为

C．若，则的面积为       D．曲线的离心率为

【答案】D

【解析】由，可得，

设，则，即，

∴，设，

则，，所以，即，

又，，

所以，

∴，即，A不符合题意；

所以双曲线，，

双曲线C的渐近线方程为，离心率为，B不符合题意，D符合题意；

若，则，

所以，的面积为1，C不符合题意.

故答案为：D.

5．（2022合肥）已知点分别是等轴双曲线的左、右焦点，为坐标原点，点在双曲线上，，的面积为8，则双曲线的方程为（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】，是的中点，所以，

，则，，解得，所以双曲线方程为．

故答案为：D．

6．（2022阜阳）已知双曲线的两个焦点分别为，，是双曲线上一点，若，，则双曲线的离心率为（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】， 则，

又因为，，即，

所以，，所以，则，故答案为：B.

7．（2022·马鞍山）若斜率为（）的直线 l 与抛物线和圆M：分别交于A，B和C，D．且，则当面积最大时k的值为（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】因为，则的中点与的中点重合，设此点为，

则

当，即，时，取最大值，

令，，，

，

由，得，

由，得，

.

故答案为：C．

8．（2022·安徽）已知双曲线的左焦点为，直线与双曲线左支的一个交点为P，若，则双曲线的离心率为（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】设双曲线的右焦点为，由题意得，直线l的倾斜角为，且经过双曲线的左焦点，当点P位于第三象限时，，又，连接，此时为正三角形，不符合题意，则点P位于第二象限，故，连接，由双曲线的定义知，

为等腰三角形，，

．

故答案为：A．

二、多选题（每题至少有两个选项为正确答案，少选且正确得2分，每题5分。4题共20分）

9．（2022大理）已知，是双曲线的左右焦点，过的直线l与双曲线C交于，M、N两点，且，则下列说法正确的是（　　） 

A．是等边三角形 B．双曲线C的离心率为

C．双曲线C的渐近线方程为 D．点到直线的距离为

【答案】ABC

【解析】设 ， ，则 ，

由双曲线的定义的得 ，

所以 ， ，

所以 是等边三角形，选项A正确；

在 中， ，

即 ， ，所以选项B正确，

由 得 ，所以双曲线C的渐近线方程为所以选项B正确，

渐近线方程为 ，所以选项C正确，

点 到直线 的距离为 ，

故答案为：ABC.

10．（2022镇江）已知椭圆的左，右焦点分别为，椭圆的上顶点和右顶点分别为A，B．若P，Q两点都在椭圆C上，且P，Q关于坐标原点对称，则（　　）

A．|PQ|的最大值为

B．为定值

C．椭圆上不存在点M，使得

D．若点P在第一象限，则四边形APBQ面积的最大值为

【答案】BD

【解析】如图所示：

A. |PQ|的最大值为长轴长2 ，故错误；

B. 易知是平行四边形，则，因为，所以，故正确；

C.因为，所以，则，故椭圆上存在点M，使得，故错误；

D.直线AB所在直线方程为：，即，设，则点P到直线AB的距离为，其最大值为，同理点Q到直线AB的最大值为，所以四边形APBQ面积的最大值为，故正确.

故答案为：BD

11．（2022湖北）已知抛物线的焦点为，，是抛物线上两点，则下列结论正确的是（　　）

A．点的坐标为

B．若直线过点，则

C．若，则的最小值为

D．若，则线段的中点到轴的距离为

【答案】BCD

【解析】易知点的坐标为，A不符合题意；

根据抛物线的性质知，过焦点时，，B符合题意；

若，则过点，则的最小值即抛物线通径的长，

为，即，C符合题意，

抛物线的焦点为，准线方程为，

过点，，分别作准线的垂线，，垂足分别为，，，

所以，．

所以，

所以线段，

所以线段的中点到轴的距离为，D符合题意．

故答案为：BCD

12．（2022·菏泽）已知椭圆 的左右焦点分别为 ， ，直线 与椭圆E交于A，B两点，C，D分别为椭圆的左右顶点，则下列命题正确的有（　　） 

A．若直线CA的斜率为 ，BD的斜率 ，则

B．存在唯一的实数m使得 为等腰直角三角形

C． 取值范围为

D． 周长的最大值为

【答案】BD

【解析】将 代入椭圆方程，求出 ，其中 ，

则 ，A不符合题意；

由题意得： ，当 时， ，此时 ，

所以当 ， 是直角顶点时，不满足等腰性，故不成立，

当点A是直角顶点时，由对称性可知：此时A在上顶点或下顶点，由于 ，故满足题意，所以存在唯一的实数m使得 为等腰直角三角形，B符合题意；

不妨设 ，则 ，

因为 ，所以 ，C不符合题意；

如图，当直线 经过焦点 时，此时 的周长最大，

等于 ，其他位置都比 小，

例如当直线 与椭圆相交于 ，与x轴交于C点时，

连接 ，由椭圆定义可知： ，显然 ，

同理可知： ，

故 周长的最大值为 ，D符合题意故答案为：BD

三、填空题(每题5分，4题共20分)

13．（2022上海）已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线的焦距等于　     　.

【答案】

【解析】由双曲线，得其渐近线方程为，

因为双曲线的渐近线方程为，所以，得，

所以，得，所以双曲线的焦距为，故答案为：

14．（2022大理月考）直线l过抛物线的焦点且与抛物线交于A、B两点，则的最小值为　     　； 

【答案】

【解析】已知 ，即 ，所以 ，

所以 .当且仅当 时取等号.

15．（2022昆明）已知D是椭圆C：的上顶点，F是C的一个焦点，直线DF与椭圆C的另一个交点为点E，且，则C的离心率为　     　

【答案】

【解析】由题意，，不妨设F是C的右焦点，所以，设，，

则，

因为，所以，，，

解得，

代入椭圆方程可得，即，所以。

故答案为： 。

16．（2022·新高考Ⅱ卷）已知椭圆 ，直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，与x轴，y轴分别交于M，N两点，且 ，则直线l的方程为　          　． 

【答案】

【解析】记 的中点为 ，因为 ，所以 ，

设 ， ，则 ， ，

所以 ，即

所以 ，即 ，设直线 ， ， ，

令 得 ，令 得 ，即 ， ，所以 ，

即 ，解得 或 （舍去），

又 ，即 ，解得 或 （舍去），

所以直线 ，即 ；

故答案为：

四、解答题（17题10分，其余每题12分，6题共70分）

17．（2022大同）已知椭圆的右焦点为F，离心率，点F到左顶点的距离为3.

（1）求椭圆C的方程；

（2）已知四边形为椭圆的内接四边形，若边过坐标原点，对角线交点为右焦点F，设的斜率分别为，试分析是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.

【答案】（1）（2）

【解析】（1）解：由题意知

，，

所以椭圆方程为.

（2）解：设，则

可得：代入椭圆方程

整理得

由代入上式得

，是方程的一个解

∴点C的横坐标，

又因为在直线上

∴，同理：∵，

∴，即

∴为定值，定值.

18．（2022甘孜）已知椭圆 与轴的正半轴交于点，且离心率

（1）求椭圆 的方程；

（2）若直线 过点与椭圆交于两点， 求面积的最大值并求此时的直线方程.

【答案】（1）（2）

【解析】（1）椭圆与轴的正半轴交于点，则

，则

椭圆 的方程为：

（2）解：当直线 的斜率为 0 时，三点共线， 显然不满足题意.

当直线 的斜率不为 0 时，

设 代入，得到

设

令

令 ， 在单调递增，

当为最大

， 此时的方程为：

19．（2022凉山）已知椭圆的左、右焦点分别为，，左顶点为，且离心率为．

（1）求C的方程；

（2）直线交C于E，F两点，直线AE，AF分别与y轴交于点M，N，求证：M，，N，四点共圆．

【答案】见解析

【解析】（1）解：由题意知，解得，，，所以C的方程为．

（2）解：证明：设点（不妨设，则点，

由，消去y得，所以，，

所以直线AE的方程为．

因为直线AE与y轴交于点M，令得，

即点，同理可得点．

所以，，

所以，所以，同理．

则以MN为直径的圆恒过焦点，，即M，，N，四点共圆．

综上所述，M，，N，四点共圆．

20．（2022广州期末）已知椭圆的焦距为2，且过点．不过原点的直线与椭圆交于不同的，两点，且直线，，的斜率依次成等比数列．

（1）求椭圆的方程；

（2）椭圆上是否存在一点，使得四边形为平行四边形？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

【答案】见解析

【解析】（1）解：由题意可得，

解得，

故椭圆方程为．

（2）解：设直线为，设，，

因为直线，，的斜率依次成等比数列，

所以．

联立直线与椭圆的方程，得，

所以，

，，

，

所以，得．

存在点，使得四边形为平行四边形．理由如下：

四边形为平行四边形，则点，

点在椭圆上，则

因为，

，

所以，即，

当，时，满足，

所以直线的方程为或或或．

21．（2022玉溪）已知点，圆：，点是圆上的动点，的垂直平分线与交于点，记的轨迹为．

（1）求的方程；

（2）设经过点的直线与交于，两点，求证：为定值，并求出该定值．

【答案】见解析

【解析】（1）解：圆的圆心为，半径，

由点在的垂直平分线上，得，

所以，

所以的轨迹是以A，为焦点的椭圆，，，

所以，，，

所以的方程为

（2）证明：①当直线的斜率不存在时，易知，

②当直线的斜率存在时，设：，，，

则把代入得，

显然，有，，

，

所以，

综上所述，为定值-1

22．（2022高二下·虹口期末）已知椭圆的两个顶点，，且其离心率为．

（1）求椭圆的方程；

（2）设过椭圆的右焦点的直线与其相交于，两点，若（为坐标原点），求直线的方程；

（3）设为椭圆上的一个异于，的动点，直线，分别与直线相交于点，，试求的最小值

【答案】见解析

【解析】（1）解：由条件，解得，．故椭圆的方程为．

（2）解：易知椭圆右焦点的坐标为，设直线的方程为，

，，则由，得，

显然．于是，①

因，故，即

，

于是②

将①代入②：，解得．

故直线的方程为：．（或写成．）

（3）解：解法1：设，，，则．

因，故直线的方程为，其与直线的交点的横坐标为；

又，故直线的方程为，其与直线的交点的横坐标为．

于是，即．

故．

当且仅当，即点坐标为或时，取得最小值．         

解法2：设，，，则，故

．

于是由，得．

故．

当且仅当时，即点坐标为或时，取得最小值．