数学选择性必修 第一册1.3 空间向量及其运算的坐标表示当堂达标检测题

1.3 空间向量及其运算的坐标表示（精练）

空间向量坐标的表示

1．（2022·福建三明·高二期末）（多选）已知正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，则（       ）

A．点的坐标为（2，0，2） B．

C．的中点坐标为（1，1，1） D．点关于y轴的对称点为（－2，2，－2）

【答案】BCD

【解析】根据题意可知点的坐标为，故A错误；

由空间直角坐标系可知： ,故B正确；

由空间直角坐标系可知：,故的中点坐标为（1，1，1），故C正确；

点坐标为，关于于y轴的对称点为（－2，2，－2），故D正确，故选：BCD

2．（2022·全国·高二专题练习）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，B1C1的中点，若以为基底，则向量的坐标为___，向量的坐标为___，向量的坐标为___. 

【答案】              

【解析】因为，所以向量的坐标为.

因为，所以向量的坐标为.

因为，所以向量的坐标为.故答案为：；；

3．（2022·湖南·高二课时练习）在正方体中建立空间直角坐标系，若正方体的棱长为1，分别求，，的坐标．

【答案】见解析.

【解析】如图所示建立空间直角坐标系，

则，，，，，

∴，，.

4．（2022·江苏·高二课时练习）如图垂直于正方形所在的平面，分别是的中点，并且．试建立适当的空间直角坐标系，求向量的坐标．

【答案】

【解析】因为，平面，，所以是两两垂直的单位向量．

设，以为单位正交基底建立空间直角坐标系，连接．如图所示，

因为

所以．

5．（2021·全国·高二专题练习）如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1的底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别为A1B1，A1A的中点，试建立恰当的坐标系求向量，，的坐标．

【答案】＝(1，－1，1)，＝(1，－1，2)，＝(－1，1，－2)．

【解析】由题意知CC1⊥AC，CC1⊥BC，AC⊥BC，以点C为原点，分别以CA，CB，CC1的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系C­xyz，如图所示．

则B(0，1，0)，A(1，0，0)，A1(1，0，2)，N(1，0，1)，

∴＝(1，－1，1)，＝(1，－1，2)，＝(－1，1，－2)．

空间向量的坐标的运算

1．（2022·广西河池）已知，则等于（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由，得，所以，故选：D

2．（2022·四川成都）已知空间点，则点P关于y轴对称的点的坐标为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】依题意，点关于y轴对称的点的坐标为.故选：D

3．（2022·江苏·涟水县第一中学高二阶段练习）向量，若，则的值为（       ）

A．2 B．1 C． D．

【答案】C

【解析】由题意可得知，则，因此，所以，故选：C.

4（2022·四川省成都市新都一中高二期中（理））已知，，则向量与的夹角为（       ）

A．90° B．60° C．30° D．0°

【答案】A

【解析】因为，，

所以，，

设向量与的夹角为，则

，因为，所以，故向量与的夹角为，故选：A.

5．（2022·福建省龙岩第一中学高二阶段练习）已知，则在上的投影向量为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为，所以，所以，

所以在上的投影向量为故选：B

6．（2022·福建省连城县第一中学）（多选）已知空间三点，，，则下列说法正确的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【解析】因为，，，所以

所以，，

所以不共线.故选：AC

7．（2022·福建省）（多选）已知空间向量，，则下列结论正确的是（　　）

A．    B．   C．  D．与夹角的余弦值为

【答案】BCD

【解析】对于A选项：，不存在，使得，故A错误；

对于B选项：，，故B正确；

对于C选项：，，

则，故C正确；对于D选项：，，

所以，故D正确；故选：BCD.

8．（2022·广东·普宁市华侨中学高二阶段练习）在棱长为2的正方体中，是棱上一动点，点是面的中心，则的值为（       ）

A．4 B． C．2 D．不确定

【答案】A

【解析】如图，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，

因为正方体棱长为2，点是面的中心，是棱上一动点，

所以，，

，

故选：A

空间向量在几何中的运用

1．（2022·上海·复旦附中高二期中）空间两点、之间的距离为______．

【答案】3

【解析】因点、，则.故答案为：3

2．（2022·四川·阆中中学高二阶段练习（理））若向量若与的夹角为锐角，则的范围为_________.

【答案】

【解析】因为向量若与的夹角为锐角，所以，且、不同向共线.

只需满足，解得：或.所以的范围为.

故答案为：.

3．（2021·全国·高二单元测试）已知长方体中,，点N是AB的中点，点M是的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．

（1）写出点的坐标；

（2）求线段的长度；

（3）判断直线与直线是否互相垂直，说明理由．

【答案】（1）；（2）；（3）不垂直，理由见解析.

【解析】（1）由于为坐标原点，所以

由得：

点N是AB的中点，点M是的中点，；

（2）由两点距离公式得：，

；

（3）直线与直线不垂直

理由：由（1）中各点坐标得：

与不垂直，所以直线与直线不垂直

4．（2022·全国·高二课时练习）如图，在棱长为的正方体中，是的中点，是的中点，是的中点.

(1)试建立适当的坐标系，并确定、、三点的坐标；

(2)求证：.

【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析

【解析】(1)以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、.

(2)

证明：依题意可得、，则，，

所以，，所以.

5．（2022·全国·高二课时练习）已知点，，．

(1)当为直角三角形时，求实数的值；

(2)是否可能为钝角三角形？

【答案】(1)(2)不能

【解析】(1)由已知得，，，

，所以为锐角，

，所以，为锐角，

，所以若为直角，则，

即，解得；

(2)由（1）可得，为锐角，

，为锐角，

，，

所以不能为钝角三角形.

6．（2021·全国·高二课时练习）如图，正方形与等腰直角三角形所在平面互相垂直，，E，F分别是的中点，G是上的点，.

（1）试确定点G的位置；

（2）求夹角的余弦值.

【答案】（1）G是的中点       （2）

【解析】（1）由题意，平面平面，

平面平面，平面

平面，又平面

以C为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，不妨设

故G是的中点.

（2）

，又

7．（2021·山东省潍坊第四中学高二阶段练习）如图，已知直三棱柱ABC－A1B1C1，在底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别是A1B1，A1A的中点．

（1）求 的模；

（2）求cos〈，〉的值；

（3）求证：A1B⊥C1M.

【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.

【解析】（1）如图，以点C作为坐标原点O，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系. 由题意得B(0，1，0)，N(1，0，1)，

∴＝＝.

（2）由题意得A1(1，0，2)，B(0，1，0)，C(0，0，0)，B1(0，1，2)，

∴＝(1，－1，2)，＝(0，1，2)，

·＝3，||＝，||＝，

∴cos〈，〉＝＝.

（3）由题意得C1(0，0，2)，M，＝(－1，1，－2)，＝，

∴·＝－＋＋0＝0，

∴⊥，即A1B⊥C1M.

数量积的取值范围

1．（2022·江苏宿迁·高二期中）已知，点Q在直线OP上，那么当取得最小值时，点Q的坐标是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】设，

由点在直线上，可得存在实数使得，

即，可得,

所以,

则，

根据二次函数的性质，可得当时，取得最小值，此时.

故选：C.

2．（2022·重庆市）在棱长为1的正方体中，点E为底面内一动点，则的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】如图建立空间直角坐标系，则，，设则，，所以，，所以，因为，，所以，，所以，

故选：A

3（2022·上海市奉贤中学高三阶段练习）棱长为1的正方体，在正方体的12条棱上运动，则的取值范围是___________.

【答案】

【解析】建立如图所示空间直角坐标系，，

，设（且只在正方体的条棱上运动），

则，

，

由于，所以.

当时，取最小值；当时，取最大值.

故答案为：

4.（2021·全国·高一课时练习）如图，在长方体中，，，点M在棱上，且，则当的面积取得最小值时其棱________.

【答案】

【解析】设，，如图建立空间直角坐标系，

则，，，

所以，，

又，所以，所以，

所以

，

当且仅当，时，等号成立，

所以当的面积取得最小值时其棱.故答案为：.

5．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，正方体的棱长为是它内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦)，为正方体表面上的动点，当弦的长度最大时，的取值围是_______________________．

【答案】

【解析】当弦的长度最大时，弦过球心，

如图，建立空间直角坐标系，不妨设是上下底面的中心，

则，，

，，，

则

，

而表示点和定点距离的平方，很显然正方体的顶点到定点距离的平方最大，最大值是 正方体面的中心到定点的距离的平方最小，最小值是，所以的最小值是，最大值是.

故答案为：

6.（2022·全国·高二课时练习）在空间直角坐标系中，已知四点、、，点M是直线OC上的动点，当取得最小值时，求点M的坐标．

【答案】

【解析】由题意，设，则，即，

则，，

∴，

当且仅当时，取得最小值，此时点M的坐标为．

空间向量中轨迹

1．（2021·河南·社旗县第一高级中学高二阶段练习（理））已知正方体的棱长为1，E、F分别是棱、的中点，点P为底面内（包括边界）的一动点，若直线与平面无公共点，则点P的轨迹长度为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据题意，以点D为坐标原点，DA、DC、所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、、，设点，

，，设平面的法向量为，由，取，可得，

，由题意可知，平面，则，

令，可得；令，可得.

易知点P的轨迹交线段于点，交线段的中点，

因此点P的轨迹长度为.

故选：C.

2．（2022·上海市奉贤中学高二阶段练习）如图，正方体中，P为底面上的动点，于E，且则点P的轨迹是（       ）

A．线段 B．圆 C．椭圆的一部分 D．抛物线的一部分

【答案】A

【解析】连接，因为，且，

所以，即，

所以点E是体对角线上的定点，

连接AE，则直线AE也是定直线．

因为，所以动点P必定在线段AE的中垂面上，

所以中垂面与底面的交线就是动点P的轨迹，

所以动点P的轨迹是线段．

故选：A

3．（2022·江苏南通·模拟预测）（多选）设正方体ABCD—的棱长为2，P为底面正方形ABCD内（含边界）的一动点，则（       ）

A．存在点P，使得A1P平面

B．当时，|A1P|2的最小值是

C．若的面积为1，则动点P的轨迹是抛物线的一部分

D．若三棱锥P—的外接球表面积为，则动点P的轨迹围成图形的面积为π

【答案】ABD

【解析】A选项，连接，则BD∥，平面，平面，所以BD∥平面，同理可证：∥平面，而，所以平面∥平面，故点P在线段BD上时，满足A1P平面，A正确；

B选项，取CD中点E，以E为圆心，EC为半径在平面ABCD中作圆，如图，为圆弧CD，当P点在弧CD上时，能够满足，连接AE交圆弧CD于点 P，此时AP的长度最小，则|A1P|2取得最小值，其中由勾股定理得：，，由勾股定理得：，B正确；

连接，由勾股定理可得：，若的面积为1，则动点P到直线的距离为，以为轴，半径为的圆柱，与平面ABCD的交线即为P点的轨迹，由平面知识可知：用平面不垂直于轴去截圆柱，得到的是椭圆的一部分，C错误；

D选项，若三棱锥P—的外接球表面积为，设外接球半径为R，则，解得：，设球心O在平面上的投影为F，则F在线段的中点，，设点P在平面投影为G，过点O作OH⊥GP于点H，连接，OP，则OH=FG，OF=HG，，其中PG=2，则由勾股定理得：，则，则，所以，所以P点到F点的距离为定值，故动点P的轨迹围成图形是半径为1的圆，面积为，D正确.

故选：ABD

4．（2022·山东枣庄·高二期末）已知正方体的棱长为2，E、F分别是棱、的中点，点P为底面ABCD内（包括边界）的一动点，若直线与平面BEF无公共点，则点P的轨迹长度为______.

【答案】

【解析】在正方体中，取BC中点G，连接，如图，

因E、F分别是棱、的中点，则，而平面，平面，则有平面，

因，则，而，则有四边形为平行四边形，有，

又平面，平面，于是得平面，而，平面，

因此，平面平面，即线段AG是点P在底面ABCD内的轨迹，，

所以点P的轨迹长度为.

故答案为：

5.（2022·全国·高二课时练习）在棱长为1的正方体中，若点E是线段AB的中点，点M是底面ABCD内的动点，且满足，则线段AM的长的最小值为______．

【答案】

【解析】如图所示，建立空间直角坐标系，

则，，，设，

则，，

，，

即点的轨迹方程为，

线段AM的长的最小值为.

故答案为：.