数学选择性必修 第二册4.2 等差数列精品课后练习题

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人教版高中数学选择性必修第二册《等差数列及其求和公式》夯基练习卷一              、选择题1.在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＝3，a8＝8，则a12的值是(　 　)A.15         B.30         C.31         D.64【答案解析】答案为：A.解析：设等差数列{an}的公差为d，∵a3＋a4＋a5＝3，∴3a4＝3，即a1＋3d＝1，又由a8＝8得a1＋7d＝8，联立解得a1＝﹣，d＝，则a12＝﹣＋×11＝15.故选A.2.设等差数列{an}的公差为d，且a1a2＝35，2a4﹣a6＝7，则d＝(　　)A.4         B.3        C.2         D.1【答案解析】答案为：C；解析：∵{an}是等差数列，∴2a4﹣a6＝a4﹣2d＝a2＝7，∵a1a2＝35，∴a1＝5，∴d＝a2﹣a1＝2，故选C.3.设等差数列{an}的公差为d，且a1a2＝35，2a4﹣a6＝7，则d＝(　　)A.4            B.3          C.2            D.1【答案解析】答案为：C.4.已知a，b，c成等差数列，则二次函数y＝ax2＋2bx＋c的图象与x轴的交点的个数为(    )A.1个      B.0个         C.2个         D.1个或2个【答案解析】答案为：D；解析：∵Δ＝(2b)2﹣4ac＝(a＋c)2﹣4ac，∴Δ＝(a﹣c)2≥0.∴A与x轴的交点至少有1个.故选D.5.若{an}是等差数列，则由下列关系确定的数列{bn}也一定是等差数列的是(　　)A.bn＝a         B.bn＝an＋n2        C.bn＝an＋an＋1         D.bn＝nan【答案解析】答案为：C；解析：{an}是等差数列，设an＋1﹣an＝d，则数列bn＝an＋an＋1满足：bn＋1﹣bn＝(an＋1＋an＋2)﹣(an＋an＋1)＝an＋2﹣an＝2d.6.在等差数列中，am＝n，an＝m(m≠n)，则am＋n为(　　)A.m﹣n         B.0         C.m2         D.n2【答案解析】答案为：B；解析：法一：设首项为a1，公差为d，则解得∴am＋n＝a1＋(m＋n﹣1)d＝m＋n﹣1﹣(m＋n﹣1)＝0.故选B.法二：因结论唯一，故只需取一个满足条件的特殊数列：2，1，0，便可知结论，故选B.7.数列{an}的首项为3，{bn}为等差数列，且bn＝an＋1﹣an(n∈N*)，若b3＝﹣2，b10＝12，则a8＝(      )A.0             B.3            C.8                D.11【答案解析】答案为：B；解析：由b3＝﹣2和b10＝12得b1＝﹣6，d＝2，∴bn＝2n﹣8，即an＋1﹣an＝2n﹣8，由叠加法得：(a2﹣a1)＋(a3﹣a2)＋(a4﹣a3)＋…＋(a8﹣a7)＝﹣6﹣4﹣2＋0＋2＋4＋6＝0.∴a8＝a1＝3.8.已知Sn是数列{an}的前n项和，且Sn＋1＝Sn＋an＋3，a4＋a5＝23，则S8＝(　　)A.72           B.88            C.92        D.98【答案解析】答案为：C；解析：由Sn＋1＝Sn＋an＋3得an＋1﹣an＝3，所以{an}为等差数列，公差为3，由a4＋a5＝23得2a1＋7d＝23，所以a1＝1，S8＝8＋×8×7×3＝92.故选C.9.在等差数列{an}中，a1＝1，a2＋a6＝10，则a7＝(　 　)A.9         B.10           C.11         D.12【答案解析】答案为：A；解析：∵在等差数列{an}中，a1＝1，a2＋a6＝10，∴解得a1＝1，d＝，∴a7＝a1＋6d＝1＋8＝9.故选A.10.在等差数列{an}中，S10＝120，那么a1＋a10的值是(　　)A.12          B.24         C.36        D.48【答案解析】答案为：B；解析：由S10＝，得a1＋a10＝＝＝24.11.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S4＝40，Sn＝210，Sn﹣4＝130，则n＝(　　)A.12         B.14           C.16          D.18【答案解析】答案为：B　解析：Sn﹣Sn﹣4＝an＋an﹣1＋an﹣2＋an﹣3＝80，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝40，所以4(a1＋an)＝120，a1＋an＝30，由Sn＝＝210，得n＝14.12.已知等差数列{an}，且3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝48，则数列{an}的前13项之和为(　　)A.24         B.39           C.104         D.52【答案解析】答案为：D解析：因为{an}是等差数列，所以3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝6a4＋6a10＝48.所以a4＋a10＝8.其前13项的和为＝＝＝52，故选D.二              、填空题13.若x≠y，数列x，a1，a2，y和x，b1，b2，b3，y各自成等差数列，则＝________.【答案解析】答案为：.解析：[由题意得a1﹣a2＝，b1﹣b2＝，所以＝.]14.已知数列{an}为等差数列且a1＋a7＋a13＝4π，则tan(a2＋a12)的值为________.【答案解析】答案为：﹣；解析：由等差数列的性质得a1＋a7＋a13＝3a7＝4π，∴a7＝.∴tan(a2＋a12)＝tan(2a7)＝tan＝tan错误！未找到引用源。＝﹣.15.在等差数列{an}中，a9＝a12＋6，则数列{an}的前11项和S11等于         .【答案解析】答案为：312.解析：S11＝＝11a6，设公差为d，由a9＝a12＋6得a6＋3d＝(a6＋6d)＋6，解得a6＝12，所以S11＝11×12＝132.16.设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则等于________．【答案解析】答案为：1；解析：由等差数列的性质，＝＝＝，∴＝×＝1.三              、解答题17.若等差数列{an}的公差d≠0且a1，a2是关于x的方程x2﹣a3x＋a4＝0的两根，求数列{an}的通项公式.【答案解析】解：由题意知所以解得所以an＝2＋(n﹣1)×2＝2n.故数列{an}的通项公式为an＝2n. 18.已知成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这四个数.【答案解析】解：设这四个数为a﹣3d，a﹣d，a＋d，a＋3d，则由题设得a﹣3d＋a﹣d＋a＋d＋a＋3d＝26，(a﹣d)(a＋d)＝40.∴4a＝36，a2﹣d2＝40，解得a＝6.5，d＝1.5或a＝6.5，d＝﹣1.5.所以这四个数为2，5，8，11或11，8，5，2.19.已知等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求此数列的通项公式.【答案解析】解：∵a1＋a7＝2a4，a1＋a4＋a7＝3a4＝15，∴a4＝5.又∵a2a4a6＝45，∴a2a6＝9，即(a4﹣2d)(a4＋2d)＝9，(5﹣2d)(5＋2d)＝9，解得d＝±2.若d＝2，an＝a4＋(n﹣4)d＝2n﹣3；若d＝﹣2，an＝a4＋(n﹣4)d＝13﹣2n.20.设等差数列{an}满足a3＝5，a10＝﹣9.(1)求{an}的通项公式；(2)求{an}的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值.【答案解析】解：(1)由an＝a1＋(n﹣1)d及a3＝5，a10＝﹣9得a1＋2d＝5,a1＋9d＝﹣9,可解得a1＝9,d＝﹣2.数列{an}的通项公式为an＝11﹣2n(n∈N*).(2)由(1)知，Sn＝10n﹣n2.因为Sn＝﹣(n﹣5)2＋25，所以当n＝5时，Sn取得最大值.21.设Sn是数列{an}的前n项和且n∈N*，所有项an＞0，且Sn＝a＋an﹣.(1)证明：{an}是等差数列.(2)求数列{an}的通项公式.【答案解析】解：(1)证明：当n＝1时，a1＝S1＝a＋a1﹣，解得a1＝3或a1＝﹣1(舍去).当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝(a＋2an﹣3)﹣(a＋2an﹣1﹣3).所以4an＝a﹣a＋2an﹣2an﹣1，即(an＋an﹣1)(an﹣an﹣1﹣2)＝0，因为an＋an﹣1＞0，所以an﹣an﹣1＝2(n≥2).所以数列{an}是以3为首项，2为公差的等差数列.(2)由(1)知an＝3＋2(n﹣1)＝2n＋1.由数列{an}的前10项和为45得10a1＋45d＝45，即90d＋45d＝45，  22.已知等差数列的前三项依次为a,4,3a，前n项和为Sn，且Sk＝110.(1)求a及k的值；(2)设数列{bn}的通项bn＝，证明数列{bn}是等差数列，并求其前n项和Tn.【答案解析】解：(1)设该等差数列为{an}，则a1＝a，a2＝4，a3＝3a，由已知有a＋3a＝8，得a1＝a＝2，公差d＝4﹣2＝2，所以Sk＝ka1＋·d＝2k＋×2＝k2＋k.由Sk＝110，得k2＋k﹣110＝0，解得k＝10或k＝﹣11(舍去)，故a＝2，k＝10.(2)由(1)，得Sn＝＝n(n＋1)，则bn＝＝n＋1，故bn＋1﹣bn＝(n＋2)﹣(n＋1)＝1，即数列{bn}是首项为2，公差为1的等差数列，所以Tn＝＝.23.设正项数列{an}的前n项和为Sn，并且对于任意n∈N*，an与1的等差中项等于，求数列{an}的通项公式．【答案解析】解：由题意知，＝，得：Sn＝，∴a1＝S1＝1，又∵an＋1＝Sn＋1﹣Sn＝[(an＋1＋1)2﹣(an＋1)2]，∴(an＋1﹣1)2﹣(an＋1)2＝0.即(an＋1＋an)(an＋1﹣an﹣2)＝0，∵an＞0，∴an＋1﹣an＝2，∴{an}是以1为首项，2为公差的等差数列．∴an＝2n﹣1.   24.数列{an}满足a1＝，an＋1＝(n∈N*).(1)求证：{}为等差数列，并求出{an}的通项公式；(2)设bn＝﹣1，数列{bn}的前n项和为Bn，对任意n≥2都有B3n﹣Bn＞成立，求正整数m的最大值.【答案解析】解：(1)因为an＋1＝，所以＝＝＝﹣1＋，即﹣＝﹣1，所以{}是首项为﹣2，公差为﹣1的等差数列，所以＝﹣2＋(n﹣1)×(﹣1)＝﹣(n＋1)，所以an＝.(2)bn＝﹣1＝，令Cn＝B3n﹣Bn＝＋＋…＋，所以Cn＋1﹣Cn＝＋＋…＋﹣﹣…﹣＝﹣＋＋＋＝﹣＋＞﹣＝0，∴Cn＋1﹣Cn＞0，{Cn}为单调递增数列，又∵n≥2，∴(B3n﹣Bn)min＝B6﹣B2＝＋＋＋＝，＜，m＜19.又m∈N*，所以m的最大值为18.