专题14 平面解析几何解答题-大数据之十年高考真题（2013-2022）与优质模拟题汇编（新高考卷与全国理科）

大数据之十年高考真题（2013-2022）与优质模拟题（新高考卷与新课标理科卷）
专题14平面解析几何解答题
真题汇总命题趋势

1．【2022年全国甲卷理科20】设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，点Dp,0，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，MF=3．
(1)求C的方程；
(2)设直线MD,ND与C的另一个交点分别为A，B，记直线MN,AB的倾斜角分别为α,β．当α−β取得最大值时，求直线AB的方程．
2．【2022年全国乙卷理科20】已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A0,−2,B32,−1两点．
(1)求E的方程；
(2)设过点P1,−2的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足MT=TH．证明：直线HN过定点．
3．【2022年新高考1卷21】已知点A(2,1)在双曲线C:x2a2−y2a2−1=1(a>1)上，直线l交C于P，Q两点，直线AP,AQ的斜率之和为0．
(1)求l的斜率；
(2)若tan∠PAQ=22，求△PAQ的面积．
4．【2022年新高考2卷21】已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F(2,0)，渐近线方程为y=±3x．
(1)求C的方程；
(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点Px1,y1,Qx2,y2在C上，且x1>x2>0,y1>0．过P且斜率为−3的直线与过Q且斜率为3的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：
①M在AB上；②PQ∥AB；③|MA|=|MB|．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
5．【2021年全国甲卷理科20】抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l：x=1交C于P，Q两点，且OP⊥OQ．已知点M(2,0)，且⊙M与l相切．
（1）求C，⊙M的方程；
（2）设A1,A2,A3是C上的三个点，直线A1A2，A1A3均与⊙M相切．判断直线A2A3与⊙M的位置关系，并说明理由．
6．【2021年新高考1卷21】在平面直角坐标系xOy中，已知点F1(−17,0)、F2(17,0)|MF1|−|MF2|=2，点M的轨迹为C.
（1）求C的方程；
（2）设点T在直线x=12上，过T的两条直线分别交C于A、B两点和P，Q两点，且|TA|⋅|TB|=|TP|⋅|TQ|，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.
7．【2021年全国乙卷理科21】已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F，且F与圆M:x2+(y+4)2=1上点的距离的最小值为4．
（1）求p；
（2）若点P在M上，PA,PB是C的两条切线，A,B是切点，求△PAB面积的最大值．
8．【2021年新高考2卷20】已知椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，右焦点为F(2,0)，且离心率为63．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设M，N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线x2+y2=b2(x>0)相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是|MN|=3．
9．【2020年全国1卷理科20】已知A、B分别为椭圆E：x2a2+y2=1（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，AG⋅GB=8，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．
（1）求E的方程；
（2）证明：直线CD过定点.
10．【2020年全国2卷理科19】已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|=43|AB|.
（1）求C1的离心率；
（2）设M是C1与C2的公共点，若|MF|=5，求C1与C2的标准方程.
11．【2020年全国3卷理科20】已知椭圆C:x225+y2m2=1(00)的离心率为22，且过点A（2，1）．
（1）求C的方程：
（2）点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．
13．【2020年海南卷21】已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点M（2，3）,点A为其左顶点，且AM的斜率为12 ，
（1）求C的方程；
（2）点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值.
14．【2019年新课标3理科21】已知曲线C：y=x22，D为直线y=−12上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B．
（1）证明：直线AB过定点；
（2）若以E（0，52）为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积．
15．【2019年全国新课标2理科21】已知点A（﹣2，0），B（2，0），动点M（x，y）满足直线AM与BM的斜率之积为−12．记M的轨迹为曲线C．
（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；
（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G．
（i）证明：△PQG是直角三角形；
（ii）求△PQG面积的最大值．
16．【2019年新课标1理科19】已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为32的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．
（1）若|AF|+|BF|＝4，求l的方程；
（2）若AP→=3PB→，求|AB|．
17．【2018年新课标1理科19】设椭圆C：x22+y2＝1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为（2，0）．
（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；
（2）设O为坐标原点，证明：∠OMA＝∠OMB．
18．【2018年新课标2理科19】设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k（k＞0）的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8．
（1）求l的方程；
（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．
19．【2018年新课标3理科20】已知斜率为k的直线l与椭圆C：x24+y23=1交于A，B两点，线段AB的中点为M（1，m）（m＞0）．
（1）证明：k＜−12；
（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且FP→+FA→+FB→=0→．证明：|FA→|，|FP→|，|FB→|成等差数列，并求该数列的公差．
20．【2017年新课标1理科20】已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3（﹣1，32），P4（1，32）中恰有三点在椭圆C上．
（1）求C的方程；
（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，证明：l过定点．
21．【2017年新课标2理科20】设O为坐标原点，动点M在椭圆C：x22+y2＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足NP→=2NM→．
（1）求点P的轨迹方程；
（2）设点Q在直线x＝﹣3上，且OP→•PQ→=1．证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．
22．【2017年新课标3理科20】已知抛物线C：y2＝2x，过点（2，0）的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．
（1）证明：坐标原点O在圆M上；
（2）设圆M过点P（4，﹣2），求直线l与圆M的方程．
23．【2016年新课标1理科20】设圆x2+y2+2x﹣15＝0的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E．
（Ⅰ）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；
（Ⅱ）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．
24．【2016年新课标2理科20】已知椭圆E：x2t+y23=1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k（k＞0）的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA．
（Ⅰ）当t＝4，|AM|＝|AN|时，求△AMN的面积；
（Ⅱ）当2|AM|＝|AN|时，求k的取值范围．
25．【2016年新课标3理科20】已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．
（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；
（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．
26．【2015年新课标1理科20】在直角坐标系xOy中，曲线C：y=x24与直线l：y＝kx+a（a＞0）交于M，N两点．
（Ⅰ）当k＝0时，分別求C在点M和N处的切线方程．
（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM＝∠OPN？（说明理由）
27．【2015年新课标2理科20】已知椭圆C：9x2+y2＝m2（m＞0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．
（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；
（2）若l过点（m3，m），延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．
28．【2014年新课标1理科20】已知点A（0，﹣2），椭圆E：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为32，F是椭圆的右焦点，直线AF的斜率为233，O为坐标原点．
（Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．
29．【2014年新课标2理科20】设F1，F2分别是C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左，右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N．
（1）若直线MN的斜率为34，求C的离心率；
（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b．
30．【2013年新课标1理科20】已知圆M：（x+1）2+y2＝1，圆N：（x﹣1）2+y2＝9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|．
31．【2013年新课标2理科20】平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）右焦点的直线x+y−3=0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为12．
（Ⅰ）求M的方程
（Ⅱ）C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．
模拟好题

1．已知F1,F2分别是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，点F1,F2在直线l:y=kx+m的同侧，且点F1,F2到直线l的距离分别为d1,d2．
(1)若椭圆C的方程为x212+y23=1，直线l的方程为y=x−15，求d1⋅d2的值，并判断直线与椭圆C的公共点的个数；
(2)若直线l与椭圆C有两个公共点，试求d1⋅d2所需要满足的条件；
2．已知椭圆C:x2a2+y2=1(a>1)的离心率为e1，双曲线x2−y23=1的离心率为e2，且e1e2=2.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过椭圆C的右焦点F2且斜率为1的直线交椭圆于A,B两点（点B在x轴上方），线段AB的垂直平分线交直线l:x=−2于M点，求以AM为直径的圆的方程.
3．在平面直角坐标系xOy中，已知点F0,−3，动点S到F的距离是S到直线3y+4=0的距离的32倍，记点S的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)过l：x=2上的动点P2,p（p>2）向曲线C作两条切线l1，l2，l1交x轴于M，交y轴于N，l2交x轴于T，交y轴于Q，记△PNQ的面积为S1，△PMT的面积为S2，求S1⋅S2的最小值.
4．已知M，N分别是x轴，y轴上的动点，且MN=4+23，动点P满足MP=32PN，设点P的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的轨迹方程；
(2)直线l1：3x−2y=0与曲线C交于A，B两点，G为线段AB上任意一点（不与端点重合），倾斜角为α的直线l2经过点G，与曲线C交于E，F两点．若|EF|2|GA|⋅|GB|的值与点G的位置无关，求|GE|：|GF|的值．
5．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短轴长等于23，离心率e=12．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过左焦点F作直线l，与椭圆C交于A，B两点，判断1FA+1FB是否为定值．若是定值，求出该定值，若不是定值，请说明理由．
6．已知抛物线y2=2pxp>0的焦点为F，过焦点F斜率为3的直线交抛物线于A、B两点（点A在第一象限），交抛物线准线于G，且满足BG=83．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)已知C，D为抛物线上的动点，且OC⊥OD，求证直线CD过定点P，并求出P点坐标；
(3)在（2）的条件下，求PC⋅PD的最大值．
7．已知在△ABC中，B−2,0，C2,0，动点A满足AB=23，∠ABC>90°，AC的垂直平分线交直线AB于点P．
(1)求点P的轨迹E的方程；
(2)直线x=mm>3交x轴于D，与曲线E在第一象限的交点为Q，过点D的直线l与曲线E交于M，N两点，与直线x=3m交于点K，记QM，QN，QK的斜率分别为k1，k2，k3，
①求证：k1+k2k3是定值．
②若直线l的斜率为1，问是否存在m的值，使k1+k2+k3=6？若存在，求出所有满足条件的m的值，若不存在，请说明理由．
8．已知椭圆Ω:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为12，Ω上的点P与Ω外的点Q4,0距离的最小值为2．
(1)求椭圆Ω的方程；
(2)若直线l与椭圆Ω交于点A，B，当直线l被圆O:x2+y2=a2截得的弦长为2b时，求△OAB面积的取值范围．
9．若椭圆C1:x2a12+y2b12=1与椭圆C2:x2a22+y2b22=1满足a1a2=b1b2=m(m>0)，则称这两个椭圆为“相似”，相似比为m.如图，已知椭圆C1的长轴长是4，椭圆C2的离心率为22，椭圆C1与椭圆C2相似比为2.

(1)求椭圆C1与椭圆C2的方程；
(2)过椭圆C2左焦点F的直线l与C1、C2依次交于A、C、D、B四点.
①求证：无论直线l的倾斜角如何变化，恒有|AC|=|DB|.
②点M是椭圆C2上异于C、D的任意一点，记△MBD面积为S1，△MAD面积为S2，当S1=15S2时，求直线l的方程.
10．已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的焦距为22，设该双曲线的左，右顶点分别为A，B，以点A，B和虚轴端点为顶点的四边形的面积为S．
(1)当S最大时，求双曲线的标准方程；
(2)在（1）的条件下，过点A的直线l1与右支交于点C，过点B的直线l2与左支交于点D，设直线l1,l2的斜率分别为k1,k2，且k1=3k2，设△ADC，△BCD的面积分别为S1，S2，S1S2的值．
11．已知a>b>0，直线l过椭圆C1:x2a2+y2b2=1的右焦点F且与椭圆C1交于A、B两点，l与双曲线C2:x2a2−y2b2=1的两条渐近线l1、l2分别交于M、N两点．

(1)若|OF|=3，且当l⊥x轴时，△MON的面积为32，求双曲线C2的方程；
(2)如图所示，若椭圆C1的离心率e=22，l⊥l1且FA=λAN(λ>0)，求实数λ的值．
12．设双曲线C：x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，渐近线分别为l1，l2，过F2作渐近线的垂线，垂足为P，且△OPF1的面积为b24．
(1)求双曲线C的离心率；
(2)动直线l分别交直线l1，l2于A，B两点（A，B分别在第一、四象限），且△OAB的面积恒为8，是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线C，若存在，求出双曲线C的方程；若不存在，说明理由．
13．在平面直角坐标系xOy中，设椭圆C:y2a2+x2b2=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1，F2，点P在椭圆C上，连结PF1，PF2并延长，分别交椭圆于点A，B．已知△APF2的周长为82，△F1PF2面积最大值为4．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)当P不是椭圆的顶点时，试分析直线OP和直线AB的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．
14．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左右焦点分别为F1,F2，点E263,33为以F1F2为直径的圆与椭圆C在第一象限的交点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若过点D1,0且倾斜角为钝角的直线l与椭圆C交于A,B两点（其中点B在x轴下方），P为AB的中点，O为原点，求当∠OPB最大时，△OPB的面积.
15．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F2,0，且C过点P209,−19．
(1)求C的方程；
(2)若点M是C上的一点，过M作直线l与C相切，直线l与y轴的正半轴交于点A，过M与PF平行的直线交x轴于点B，且AB⊥PF，求直线l的方程．
16．已知抛物线C1:y2=2px(p>0)的焦点F到其准线的距离为4，椭圆C2:x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过抛物线C1的焦点F．
(1)求抛物线C1的方程及a；
(2)已知O为坐标原点，过点M(1,1)的直线l与椭圆C2相交于A，B两点，若AM=mMB，点N满足AN=−mNB，且|ON|最小值为125，求椭圆C2的离心率．
17．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1:x2b2+y2a2=1a>b>0经过63,1，椭圆C2:x23a2+y23b2=1的离心率为的63．
(1)求椭圆C1与椭圆C2的标准方程：
(2)设过原点且斜率存在的直线l与椭圆C1相交于A，C两点，点P为椭圆C2的上顶点，直线PA与椭圆C2相交于点B，直线PC与椭圆C2相交于点D，设△POA﹐△POB,△POC,△POD的面积分别为S1,S2,S3,S4试问S1S2+S3S4是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
18．生活中，椭圆有很多光学性质，如从椭圆的一个焦点出发的光线射到椭圆镜面后反射，反射光线经过另一个焦点.现椭圆C的焦点在y轴上，中心在坐标原点，从下焦点F1射出的光线经过椭圆镜面反射到上焦点F2，这束光线的总长度为4，且反射点与焦点构成的三角形面积最大值为3，已知椭圆的离心率e