专题14 平面解析几何解答题-大数据之十年高考真题（2013-2022）与优质模拟题汇编（新高考卷与全国理科）

大数据之十年高考真题（2013-2022）与优质模拟题（新高考卷与新课标理科卷）

专题14平面解析几何解答题

1．【2022年全国甲卷理科20】设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，．

(1)求C的方程；

(2)设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程．

2．【2022年全国乙卷理科20】已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点．

(1)求E的方程；

(2)设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点．

3．【2022年新高考1卷21】已知点在双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线的斜率之和为0．

(1)求l的斜率；

(2)若，求的面积．

4．【2022年新高考2卷21】已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为．

(1)求C的方程；

(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点在C上，且．过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：

①M在上；②；③．

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

5．【2021年全国甲卷理科20】抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l：交C于P，Q两点，且．已知点，且与l相切．

（1）求C，的方程；

（2）设是C上的三个点，直线，均与相切．判断直线与的位置关系，并说明理由．

6．【2021年新高考1卷21】在平面直角坐标系中，已知点、，点的轨迹为.

（1）求的方程；

（2）设点在直线上，过的两条直线分别交于、两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和.

7．【2021年全国乙卷理科21】已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为．

（1）求；

（2）若点在上，是的两条切线，是切点，求面积的最大值．

8．【2021年新高考2卷20】已知椭圆C的方程为，右焦点为，且离心率为．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设M，N是椭圆C上的两点，直线与曲线相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是．

9．【2020年全国1卷理科20】已知A、B分别为椭圆E：（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．

（1）求E的方程；

（2）证明：直线CD过定点.

10．【2020年全国2卷理科19】已知椭圆C1：(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|=|AB|.

（1）求C1的离心率；

（2）设M是C1与C2的公共点，若|MF|=5，求C1与C2的标准方程.

11．【2020年全国3卷理科20】已知椭圆的离心率为，，分别为的左、右顶点．

（1）求的方程；

（2）若点在上，点在直线上，且，，求的面积．

12．【2020年山东卷22】已知椭圆C：的离心率为，且过点A（2，1）．

（1）求C的方程：

（2）点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．

13．【2020年海南卷21】已知椭圆C：过点M（2，3）,点A为其左顶点，且AM的斜率为 ，

（1）求C的方程；

（2）点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值.

14．【2019年新课标3理科21】已知曲线C：y，D为直线y上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B．

（1）证明：直线AB过定点；

（2）若以E（0，）为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积．

15．【2019年全国新课标2理科21】已知点A（﹣2，0），B（2，0），动点M（x，y）满足直线AM与BM的斜率之积为．记M的轨迹为曲线C．

（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；

（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G．

（i）证明：△PQG是直角三角形；

（ii）求△PQG面积的最大值．

16．【2019年新课标1理科19】已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．

（1）若|AF|+|BF|＝4，求l的方程；

（2）若3，求|AB|．

17．【2018年新课标1理科19】设椭圆C：y2＝1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为（2，0）．

（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；

（2）设O为坐标原点，证明：∠OMA＝∠OMB．

18．【2018年新课标2理科19】设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k（k＞0）的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8．

（1）求l的方程；

（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．

19．【2018年新课标3理科20】已知斜率为k的直线l与椭圆C：1交于A，B两点，线段AB的中点为M（1，m）（m＞0）．

（1）证明：k；

（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且．证明：||，||，||成等差数列，并求该数列的公差．

20．【2017年新课标1理科20】已知椭圆C：1（a＞b＞0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上．

（1）求C的方程；

（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，证明：l过定点．

21．【2017年新课标2理科20】设O为坐标原点，动点M在椭圆C：y2＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足．

（1）求点P的轨迹方程；

（2）设点Q在直线x＝﹣3上，且•1．证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．

22．【2017年新课标3理科20】已知抛物线C：y2＝2x，过点（2，0）的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．

（1）证明：坐标原点O在圆M上；

（2）设圆M过点P（4，﹣2），求直线l与圆M的方程．

23．【2016年新课标1理科20】设圆x2+y2+2x﹣15＝0的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E．

（Ⅰ）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；

（Ⅱ）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．

24．【2016年新课标2理科20】已知椭圆E：1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k（k＞0）的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA．

（Ⅰ）当t＝4，|AM|＝|AN|时，求△AMN的面积；

（Ⅱ）当2|AM|＝|AN|时，求k的取值范围．

25．【2016年新课标3理科20】已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．

（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；

（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．

26．【2015年新课标1理科20】在直角坐标系xOy中，曲线C：y与直线l：y＝kx+a（a＞0）交于M，N两点．

（Ⅰ）当k＝0时，分別求C在点M和N处的切线方程．

（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM＝∠OPN？（说明理由）

27．【2015年新课标2理科20】已知椭圆C：9x2+y2＝m2（m＞0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．

（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；

（2）若l过点（，m），延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．

28．【2014年新课标1理科20】已知点A（0，﹣2），椭圆E：1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．

（Ⅰ）求E的方程；

（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．

29．【2014年新课标2理科20】设F1，F2分别是C：1（a＞b＞0）的左，右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N．

（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率；

（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b．

30．【2013年新课标1理科20】已知圆M：（x+1）2+y2＝1，圆N：（x﹣1）2+y2＝9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．

（Ⅰ）求C的方程；

（Ⅱ）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|．

31．【2013年新课标2理科20】平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：（a＞b＞0）右焦点的直线x+y0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为．

（Ⅰ）求M的方程

（Ⅱ）C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．

1．已知分别是椭圆的左、右焦点，点在直线的同侧，且点到直线l的距离分别为．

(1)若椭圆C的方程为，直线l的方程为，求的值，并判断直线与椭圆C的公共点的个数；

(2)若直线l与椭圆C有两个公共点，试求所需要满足的条件；

2．已知椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，且.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)过椭圆的右焦点且斜率为1的直线交椭圆于两点（点在轴上方），线段的垂直平分线交直线于点，求以为直径的圆的方程.

3．在平面直角坐标系中，已知点，动点到的距离是到直线的距离的倍，记点的轨迹为曲线.

(1)求曲线的方程；

(2)过：上的动点（）向曲线作两条切线，，交轴于，交轴于，交轴于，交轴于，记的面积为，的面积为，求的最小值.

4．已知M，N分别是x轴，y轴上的动点，且，动点P满足，设点P的轨迹为曲线C．

(1)求曲线C的轨迹方程；

(2)直线：与曲线C交于A，B两点，G为线段AB上任意一点（不与端点重合），倾斜角为的直线经过点G，与曲线C交于E，F两点．若的值与点G的位置无关，求的值．

5．已知椭圆的短轴长等于，离心率．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)过左焦点F作直线l，与椭圆C交于A，B两点，判断是否为定值．若是定值，求出该定值，若不是定值，请说明理由．

6．已知抛物线的焦点为F，过焦点F斜率为的直线交抛物线于A、B两点（点A在第一象限），交抛物线准线于G，且满足．

(1)求抛物线的标准方程；

(2)已知C，D为抛物线上的动点，且，求证直线CD过定点P，并求出P点坐标；

(3)在（2）的条件下，求的最大值．

7．已知在△ABC中，，，动点A满足，，AC的垂直平分线交直线AB于点P．

(1)求点P的轨迹E的方程；

(2)直线交x轴于D，与曲线E在第一象限的交点为Q，过点D的直线l与曲线E交于M，N两点，与直线交于点K，记QM，QN，QK的斜率分别为，，，

①求证：是定值．

②若直线l的斜率为1，问是否存在m的值，使？若存在，求出所有满足条件的m的值，若不存在，请说明理由．

8．已知椭圆的离心率为，上的点P与外的点距离的最小值为2．

(1)求椭圆的方程；

(2)若直线l与椭圆交于点A，B，当直线l被圆截得的弦长为2b时，求面积的取值范围．

9．若椭圆与椭圆满足，则称这两个椭圆为“相似”，相似比为m.如图，已知椭圆的长轴长是4，椭圆的离心率为，椭圆与椭圆相似比为.

(1)求椭圆与椭圆的方程；

(2)过椭圆左焦点F的直线l与、依次交于A、C、D、B四点.

①求证：无论直线l的倾斜角如何变化，恒有.

②点M是椭圆上异于C、D的任意一点，记面积为，面积为，当时，求直线l的方程.

10．已知双曲线的焦距为，设该双曲线的左，右顶点分别为A，B，以点A，B和虚轴端点为顶点的四边形的面积为S．

(1)当S最大时，求双曲线的标准方程；

(2)在（1）的条件下，过点A的直线l1与右支交于点C，过点B的直线l2与左支交于点D，设直线的斜率分别为，且，设，的面积分别为，，的值．

11．已知，直线过椭圆的右焦点F且与椭圆交于A、B两点，l与双曲线的两条渐近线、分别交于M、N两点．

(1)若，且当轴时，△MON的面积为，求双曲线的方程；

(2)如图所示，若椭圆的离心率，且，求实数的值．

12．设双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，渐近线分别为l1，l2，过F2作渐近线的垂线，垂足为P，且△OPF1的面积为．

(1)求双曲线C的离心率；

(2)动直线l分别交直线l1，l2于A，B两点（A，B分别在第一、四象限），且△OAB的面积恒为8，是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线C，若存在，求出双曲线C的方程；若不存在，说明理由．

13．在平面直角坐标系xOy中，设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，点P在椭圆C上，连结PF1，PF2并延长，分别交椭圆于点A，B．已知APF2的周长为，F1PF2面积最大值为4．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)当P不是椭圆的顶点时，试分析直线OP和直线AB的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．

14．已知椭圆的左右焦点分别为，点为以为直径的圆与椭圆在第一象限的交点.

(1)求椭圆的方程；

(2)若过点且倾斜角为钝角的直线与椭圆交于两点（其中点在轴下方），为的中点，为原点，求当最大时，的面积.

15．已知椭圆的右焦点为，且C过点．

(1)求C的方程；

(2)若点M是C上的一点，过M作直线l与C相切，直线l与y轴的正半轴交于点A，过M与PF平行的直线交x轴于点B，且，求直线l的方程．

16．已知抛物线的焦点F到其准线的距离为4，椭圆经过抛物线的焦点F．

(1)求抛物线的方程及a；

(2)已知O为坐标原点，过点的直线l与椭圆相交于A，B两点，若，点N满足，且最小值为，求椭圆的离心率．

17．在平面直角坐标系中，已知椭圆经过，椭圆的离心率为的．

(1)求椭圆与椭圆的标准方程：

(2)设过原点且斜率存在的直线l与椭圆相交于A，C两点，点P为椭圆的上顶点，直线PA与椭圆相交于点B，直线PC与椭圆相交于点D，设的面积分别为试问是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

18．生活中，椭圆有很多光学性质，如从椭圆的一个焦点出发的光线射到椭圆镜面后反射，反射光线经过另一个焦点.现椭圆C的焦点在y轴上，中心在坐标原点，从下焦点射出的光线经过椭圆镜面反射到上焦点，这束光线的总长度为4，且反射点与焦点构成的三角形面积最大值为，已知椭圆的离心率e.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若从椭圆C中心O出发的两束光线OM、ON，分别穿过椭圆上的A、B点后射到直线上的M、N两点，若AB连线过椭圆的上焦点，试问，直线BM与直线AN能交于一定点吗？若能，求出此定点：若不能，请说明理由.

19．已知动点是曲线上任一点，动点到点的距离和到直线的距离相等，圆的方程为．

(1)求的方程，并说明是什么曲线；

(2)设、、是上的三个点，直线、均与圆相切，判断直线与圆的位置关系，并说明理由．

20．已知△ABC的顶点，，满足：．

(1)记点C的轨迹为曲线，求的轨迹方程；

(2)过点且斜率为k的直线l与相交于P，Q两点，是否存在与M不同的定点N，使得恒成立？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．