2021-2022学年河南省三门峡市灵宝市第一高级中学高一上学期期末数学试题（解析版）

2021-2022学年河南省三门峡市灵宝市第一高级中学高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．设集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】直接利用交集和补集运算即得.

【详解】因为，所以，

所以．

故选：C

2．下列命题是全称量词命题，且是真命题的为（    ）

A．有些四边形的内角和不等于360° B．，

C．， D．所有能被4整除的数都是偶数

【答案】D

【分析】根据定义分析判断即可.

【详解】A和C都是存在量词命题，B是全称量词命题，但其是假命题，如时，，D选项为全称命题且为真命题．

故选：D.

3．下列函数中，为偶函数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】利用函数的奇偶性的定义逐一判断即可.

【详解】A，因为函数定义域为：，且，所以为奇函数，故错误；

B，因为函数定义域为：R，，而，所以函数为非奇非偶函数，故错误；

C，，因为函数定义域为：R，，而，所以函数为非奇非偶函数，故错误；

D，因为函数定义域为：R，，所以函数为偶函数，故正确；

故选：D.

4．若是第二象限角，是其终边上的一点，且，则（    ）

A． B． C． D．或

【答案】C

【分析】根据余弦函数的定义有，结合是第二象限角求解即可.

【详解】由题设，，整理得，又是第二象限角，

所以.

故选：C

5．命题“，”的否定为（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】B

【分析】根据特称命题的否定为全称命题可得.

【详解】根据特称命题的否定为全称命题，

可得命题“，”的否定为“，”．

故选：B.

6．已知，，，则，，的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】通过计算可知，，，从而得出，，的大小关系.

【详解】解：因为，所以，，所以.

故选：B.

7．函数的图像大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】先分析给定函数的奇偶性，排除两个选项，再在x>0时，探讨函数值正负即可判断得解.

【详解】函数的定义域为，

，即函数是定义域上的奇函数，其图象关于原点对称，排除选项A，B；

x>0时，，而，则有，显然选项D不满足，C符合要求.

故选：C

8．若函数在上是增函数，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】令，则可得，解出即可.

【详解】令，其对称轴为，

要使在上是增函数，

则应满足，解得.

故选：B.

9．要得到函数的图像，只要将函数的图像（    ）

A．向左平移单位 B．向右平移单位

C．向左平移单位 D．向右平移单位

【答案】D

【分析】由条件利用诱导公式，以及函数y＝Acos（ωx+φ）的图像变换规律，可得结论．

【详解】∵

∴将的图像向右平移个单位，可得函数的图像，

故选：D．

10．已知，且，则（    ）．

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先对化简可得，再结合，可得，再给分子分母同除以，结合化简可求出答案

【详解】解：由，得

，

所以，

，

，

所以，，

解得或，

因为，所以，

所以，

故选：A

11．若正实数，满足，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由基本不等式有， 令，将已知等式转化为关于的一元二次不等式，解不等式即可得答案.

【详解】解：由题意，正实数满足，则，

令，可得，即，解得，或(舍去)，

所以当且仅当时，取得最小值2，

故选：B.

12．函数的零点个数为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】B

【分析】先用诱导公式得化简，再画出图象，利用数形结合即可．

【详解】由三角函数的诱导公式得，函数的零点个数，即方程的根的个数，即曲线（）与的公共点个数．在同一坐标系中分别作出图象，观察可知两条曲线的交点个数为3，故函数的零点个数为3．

故选：B.

二、填空题

13．已知幂函数y＝xα的图象过点(4，)，则α＝__________.

【答案】

【解析】把点的坐标代入幂函数解析式中即可求出.

【详解】解：由幂函数的图象过点，

所以，

解得.

故答案为：.

14．已知集合，，则集合中的元素个数为___________.

【答案】

【解析】解不等式确定集合，解方程确定集合，再由交集定义求得交集后可得结论．

【详解】由题意，，

∴，只有1个元素．

故答案为：1．

15．已知函数，若，则______.

【答案】16或-2

【解析】讨论和两种情况讨论，解方程，求的值.

【详解】当时，，成立，

当时，，成立，

所以或.

故答案为：或

16．设，，则的取值范围是______.

【答案】

【分析】由已知求得，然后应用诱导公式把求值式化为一个角的一个三角函数形式，结合正弦函数性质求得范围．

【详解】，，所以，

所以

，

，，，．

故答案为：．

三、解答题

17．已知角的终边经过点，求下列各式的值：

（1）；

（2）．

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）先求任意角的三角函数的定义求出的值，然后利用诱导公式化简，再代值计算即可，

（2）利用诱导公式化简即可

【详解】∵角的终边经过点，

∴，，．

（1）原式．

（2）原式．

18．已知，，其中．

(1)若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；

(2)是否存在m，使得是的必要条件？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)；

(2)不存在；理由见解析.

【分析】分别求出命题与命题，再根据充分条件与必要条件列不等式，进而即得.

【详解】（1）由，可得，即，

由，可得，

若p是q的充分条件，则，

所以，

解得；

（2）由题可得:或，

因为是的必要条件,则，

所以或，

解得或，又，

故不存在，使是q的必要条件.

19．已知函数（且）的图象过点．

(1)求a的值；

(2)若，求的定义域并判断其奇偶性和单调递增区间．

【答案】(1)

(2)定义域为，在上单调递增，单调递增区间为

【分析】（1）根据给定条件结合指数式与对数式的互化计算作答.

（2）由（1）求出的解析式，列不等式求定义域，利用奇偶性定义判断作答.

【详解】（1）解：（1）由条件知，即，又且，∴．

（2）（2）．①由，得

，∴的定义域为．∵，

∴是偶函数；②，

∵函数单调递增，函数在上单调递增，故的单调递增区间为．

20．已知函数在区间上的最大值为3，最小值为0．

(1)求函数的解析式；

(2)求在上的单调递增区间．

【答案】(1)；

(2)和.

【分析】（1）由题意知，利用正弦函数的性质可得关于的方程组，解得的值，即可求得函数的解析式；

（2）根据正弦函数的单调性即可求解．

【详解】（1）当时，，

所以，

又因为，所以，得，

所以．

（2）当时，，

正弦函数在区间上的单调递增区间为和，

由或，得或.

所以在上的单调递增区间为和．

21．某企业为努力实现“碳中和”目标，计划从明年开始，通过替换清洁能源减少碳排放量，每年减少的碳排放量占上一年的碳排放量的比例均为，并预计年后碳排放量恰好减少为今年碳排放量的一半.

（1）求的值；

（2）若某一年的碳排放量为今年碳排放量的，按照计划至少再过多少年，碳排放量不超过今年碳排放量的？

【答案】（1）；（2）年.

【解析】（1）设今年碳排放量为，则由题意得，从而可求出的值；

（2）设再过年碳排放量不超过今年碳排放量的，则，再把代入解关于的不等式即可得答案

【详解】解：设今年碳排放量为.

（1）由题意得，

所以，得.

（2）设再过年碳排放量不超过今年碳排放量的，

则，

将代入得，

即，得.

故至少再过年，碳排放量不超过今年碳排放量的.

22．已知为R上的奇函数．

(1)求实数的值；

(2)判断的单调性，并说明理由；

(3)当时，恒成立，求实数k的取值范围．

【答案】(1).

(2)函数在R上单调递增；证明见解析.

(3).

【分析】（1）利用 ，求出m和n的值，然后再利用奇函数的定义进行检验即可；

（2）根据函数解析式判断单调性，利用单调性的定义证明即可；

（3）利用函数的单调性和奇偶性将不等式转化为，即对任意，有 恒成立，然后结合二次函数性质求解函数的最大值，即可得到答案．

【详解】（1）因为函数 是定义域为R的奇函数，

则即，所以 ，

又，即，所以 ，

当 时，，

此时，所以为奇函数，符合题意，

故；

（2）函数在R上单调递增，证明如下：

因为 ，

设，则 ，

因为，所以 ，故，

故 ，所以在R上单调递增.

（3）因为为奇函数，

所以不等式可变形为，

又在R上单调递增，所以 ，

则由题意可知对任意 ，有恒成立，

令，则 ，所以令 ，

故 ，所以 ，

故实数k的取值范围为．