河北省邢台市2021-2022学年高一上学期期末数学试题

邢台市2021~2022学年高一（上）期末测试数学

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据集合的交集运算求解即可.

【详解】解：因为，，

所以

故选：C

2. ，，则p是q的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可；

【详解】解：因为，，

所以由不能推出，由能推出，故是的必要不充分条件．

故选：B

3. 函数的零点所在区间为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由零点存在定理判定可得答案.

【详解】因为在上单调递减，

且，，

所以的零点所在区间为．

故选：B.

4. 已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据奇偶性排除A和D，由排除B.

【详解】由图可知，的图象关于原点对称，是奇函数,，，

则函数，是偶函数，排除A和D．当时，恒成立，排除B.

故选：C．

5. 已知，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用余弦的二倍角公式即可求解.

【详解】由题意得，.

故选：D.

6. 已知一扇形的周长为28，则该扇形面积的最大值为（    ）

A. 36 B. 42 C. 49 D. 56

【答案】C

【解析】

【分析】由题意，根据扇形面积公式及二次函数的知识即可求解.

【详解】解：设扇形的半径为R，弧长为l，由题意得，

则扇形的面积，

所以该扇形面积的最大值为49，

故选：C.

7. 已知，，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据中间值比大小.

【详解】因为，所以．

故选：A

8. 某服装厂2020年生产了15万件服装，若该服装厂的产量每年以20%的增长率递增，则该服装厂的产量首次超过40万件的年份是（参考数据：取，）（    ）

A. 2023年 B. 2024年

C. 2025年 D. 2026年

【答案】D

【解析】

【分析】设该服装厂的产量首次超过40万件的年份为n，进而得，再结合对数运算解不等式即可得答案.

【详解】解：设该服装厂的产量首次超过40万件的年份为n，

则，得，

因为

，所以．

故选：D

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 已知是定义在R上的奇函数，当时，，则（    ）

A.  B. 函数为奇函数

C.  D. 当时，

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据定义在R上的奇函数性质，可判断A;利用奇函数的定义来判断B;利用f(-1)=-f(1)可判断C;根据奇函数满足f(-x)=-f(x)可判断D.

【详解】对于A,是定义在R上的奇函数,故，A正确．

对于B，由，得为偶函数，B错误．

对于C,，C正确,

对于D,当时，，，D正确．

故选：ACD.

10. 已知不等式的解集为，则（    ）

A.  B.

C.  D. .

【答案】BCD

【解析】

【分析】由一元二次不等式的解集与其对应的一元二次方程的根的关系，结合两角和的正切公式和弦切互化法即可求解.

【详解】由题意得，，故A错误，正确，

由于，故C正确，

又，故D正确.

故选：BCD.

11. 已知函数，且，则（    ）

A. 值域为

B. 的最小正周期可能为

C. 的图象可能关于直线对称

D. 的图象可能关于点对称

【答案】ACD

【解析】

【分析】先通过诱导公式将函数化简，进而通过三角函数的图象和性质求得答案.

【详解】，A正确；

由，得或，即或，因为，所以或，当时，，则的图象关于直线对称，C正确；当时，，则，B错误，D正确.

故选：ACD.

12. 若函数则下列说法正确的是（    ）

A. 是奇函数

B. 若定义域上单调递减，则

C. 当时，若，则

D. 若函数有2个零点，则

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据函数解析式，结合选项逐项分析即可求出结果.

【详解】函数的定义域为，定义域关于原点对称，

当时，，则，

当时，，则，

即，故是奇函数，A正确．

因为在定义域上单调递减，所以，得或，B错误．

当时，在定义域上单调递减，由得且，C正确．

的零点个数等于的图象与直线的交点个数，由题意得，解得，D正确．

故选：ACD.

【点睛】函数零点的求解与判断方法：

（1）直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．

（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．

（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知幂函数在上单调递减，则______．

【答案】##

【解析】

【分析】依题意得且，即可求出，从而得到函数解析式，再代入求值即可；

【详解】解：由题意得且，则，，故．

故答案为：

14. 写出一个能说明“若函数满足，则为奇函数”是假命题的函数：______．

【答案】（答案不唯一）

【解析】

【分析】根据余弦型函数的性质求解即可.

【详解】解：因为，所以的周期为4，

所以余弦型函数都满足，但不是奇函数．

故答案为：

15. 函数的最小值为______．

【答案】

【解析】

【分析】根据，并结合基本不等式“1”的用法求解即可.

【详解】解：因为，

所以

，当且仅当时，等号成立．

故函数的最小值为.

故答案为：

16. 某挂钟秒针的端点A到中心点的距离为，秒针均匀地绕点旋转，当时间时，点A与钟面上标12的点重合，A与两点距离地面的高度差与存在函数关系式，则解析式___________，其中，一圈内A与两点距离地面的高度差不低于的时长为___________.

【答案】    ①     ②.

【解析】

【分析】先求出经过，秒针转过的圆心角的为，进而表达出函数解析式，利用求出的解析式建立不等式，解出解集，得到答案.

【详解】经过，秒针转过的圆心角为，

得.

由，得，

又，故，

得，解得：，

故一圈内A与两点距离地面的高度差不低于的时长为.

故答案为：，

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.

17. 已知集合，．

（1）当时，求；

（2）若，求a的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）解一元二次不等式求得集合，由补集和并集的定义可运算求得结果；

（2）分别在和两种情况下，根据交集空集可构造不等式求得结果.

【小问1详解】

由题意得，或，

，

.

【小问2详解】

，

当时，，符合题意，

当时，由，得，

故a的取值范围为．

18. 求值：

（1）；

（2）．

【答案】（1）   

（2）3

【解析】

【分析】（1）利用指数幂的运算性质和根式和指数幂的互化公式计算即可．

（2）利用对数的运算性质计算即可求得结果.

【小问1详解】

原式．

【小问2详解】

原式．

19. 已知函数的部分图象如图所示.

（1）求的解析式；

（2）把图象上所有点的横坐标缩小到原来的，再向左平移个单位长度，向下平移1个单位长度，得到的图象，求的单调区间.

【答案】（1）   

（2）单调递减区间为，单调递增区间为

【解析】

【分析】（1）根据最值求的值；根据周期求的值；把点代入求的值.

（2）首先根据图象的变换求出的解析式，然后利用整体代入的方法即可求出的单调区间.

【小问1详解】

由图可知，所以，.

又，所以，因为，所以.

因为，所以，

即，又|，得，

所以

【小问2详解】

由题意得，

由，得，

故的单调递减区间为，

由，得，

故的单调递增区间为.

20. 已知函数．

（1）若的定义域为R，求a的取值范围；

（2）若对恒成立，求a的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）转化为，可得答案；

（2）转化为时，利用基本不等式对求最值可得答案．

【小问1详解】

由题意得恒成立，

得，

解得，故a的取值范围为．

【小问2详解】

由，得，

即，因为，所以，

因为，所以

，

当且仅当，即时，等号成立．

故，a的取值范围为．

21. 已知函数.

（1）若，求的解集；

（2）若为锐角，且，求的值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用三角恒等变换，将函数转化为，由求解；

（2）由得到，再由，利用二倍角公式求解.

【小问1详解】

解：，

，

，

由，得，

即，

又，故的解集为.

【小问2详解】

由，得，

因为为锐角，

所以，

则，

故，

，

 .

22. 已知二次函数的图象关于直线对称，且关于x的方程有两个相等的实数根．

（1）求函数的值域；

（2）若函数（且）在上有最小值﹣2，最大值7，求a的值．

【答案】（1）   

（2）或

【解析】

【分析】（1）根据对称轴以及判别式等于得出，再由基本不等式得出函数的值域；

（2）利用换元法结合对数函数以及二次函数的单调性得出a的值．

【小问1详解】

依题意得，

因为，所以，

解得，，故，，

当时，，当且仅当，即时，等号成立．

当时，，当且仅当，即时，等号成立．

故的值域为．

【小问2详解】

，

令，则．

①当时，，因为，所以，解得．

因为，所以，解得或（舍去）．

②当时，，因为，所以，解得．

，解得或（舍去）．

综上，a的值为或．