2022-2023学年河北省邢台市高一上学期期末数学试题含解析

2022-2023学年河北省邢台市高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据不等式的性质可求出，所以，即可得出集合、，进而根据交集的运算即可求出答案.

【详解】由可得，，所以，所以.

所以，.

所以，即.

故选：B.

2．已知函数，则函数的定义域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据函数的定义域列出不等式即可得解.

【详解】因为，

所以，解得，即的定义域为，

若有意义，

则 解得，即的定义域为.

故选：A

3．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由三角函数的定义可得，，然后根据二倍角公式即可得出答案.

【详解】根据三角函数的定义可得，，，

所以，.

故选：D.

4．在定义域内存在，使得成立的幂函数称为“亲幂函数”，则下列函数是“亲幂函数”的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据函数的范围即可判断A、D项；B项不是幂函数；求出即可判断C项.

【详解】对于A项，恒成立，故A项错误；

对于B项，不是幂函数，故B项错误；

对于C项，因为，只要即可，故C项正确；

对于D项，恒成立，故D项错误.

故选：C.

5．已知函数的部分图象如图所示，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据函数的图象及“五点法”作图求解即可.

【详解】根据图象可得，则，解得.

将点的坐标代入的解析式，得，

则.

因为，所以，所以.

故选：D

6．下列是“”的一个充分不必要条件的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】先求“”的充要条件，再结合充分不必要条件的定义判断各选项即可.

【详解】由可得，

因为，但，

所以不是的子集，

所以不是“”的充分条件，A错误，

因为，但，

所以不是的子集，

所以不是“”的充分条件，B错误，

因为，但，

所以不是的子集，

所以不是“”的充分条件，D错误，

因为，所以

为“”的一个充分不必要条件，C正确；

故选：C.

7．已知正实数满足.则的最小值为（    ）

A．3 B．9 C．4 D．8

【答案】B

【分析】对不等式变形后利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.

【详解】a，b均为正实数，

，

当且仅当，即时，等号成立.

故选：B

8．设函数，若，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据函数的对称性可转化为，再比较的大小，从而根据函数在上单调递增比较大小即可.

【详解】因为，，

所以，故的图象关于直线对称，

所以.

而，则，

当时，，则，所以在上单调递增，

所以，则，即.

故选：D.

二、多选题

9．已知命题“”，则（    ）

A．

B．

C．是假命题

D．是真命题

【答案】AD

【分析】根据含量词的命题的否定方法判断AB，通过分解因式判断命题p的真假.

【详解】因为命题为：“”，

所以该命题的否定为：“”，A正确，B错误；

因为，

所以是真命题，C错误，D正确；

故选：AD.

10．将的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位长度得到的图象（    ）

A．若为奇函数，则的值可能为

B．若为奇函数，则的值可能为

C．若为偶函数，则的值可能为

D．若为偶函数，则的值可能为

【答案】BC

【分析】先利用三角函数图象变换规律表示出的解析式，然后根据函数奇偶性的性质逐个分析判断即可.

【详解】由题可知，

若为奇函数，则，即，A错误，B正确；

若为偶函数，则，即，C正确，D错误.

故选：BC.

11．对于函数，若在区间上存在，使得，则称是区间上的“稳定函数”.下列函数中，是区间上的“稳定函数”的有（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】BCD

【分析】求出以及在上的范围，即可判断A项；解，即可判断B、C项；可转化为有解，作出与的图象，即可判断D项.

【详解】对于A，当时，恒成立，则恒成立.

又，所以，在上，不存在，使得，故A错误；

对于B，当时，，故B正确；

对于C，解可得，或，且，，故C正确；

对于D，令，可得.

分别作出与在上的图象，

由图象知，函数与在上有交点，

即有解，故D正确.

故选：BCD.

12．已知函数的定义域均为，且，.若的图象关于点对称，则（    ）

A．为奇函数

B．是以为周期的周期函数

C．的图象关于点对称

D．

【答案】ACD

【分析】由已知可推得，，即可判断A项；由已知，代入可推出，进而推得，即可判断B项；由已知可推得，结合已知可得，即可判断C项；根据前面求出的周期，只要求出和即可得出.

【详解】对于A，因为，

所以，.

又，所以，

则为奇函数，故A正确；

对于B，因为的图象关于点对称，

所以，则，

即，.

又，两式相减得，

故是以2为周期的周期函数，故B错误；

对于C，因为，所以，

所以，所以关于点对称.，故C正确；

对于D项，因为，，所以.

又因为，，所以.

又的周期为2，

所以，

故D正确.

故选：ACD.

【点睛】方法点睛：赋值代换法推导函数性质.本题中，给的关系式为与的关系，通过赋值变换，消去或，即可得出函数的性质.

三、填空题

13．已知某扇形的周长为27，其圆心角为1，则该扇形的面积为__________.

【答案】

【分析】由已知可求得扇形的弧长、半径，进而根据面积公式即可求出答案.

【详解】设该扇形的半径为，则扇形的弧长.

由已知可得，解得，

则其面积.

故答案为：.

14．某游泳馆实行计时收费，若游泳爱好者在馆内2小时以内（含2小时），则按每分钟0.4元收费；若游泳爱好者在馆内2小时以上，则按每分钟0.3元收费.已知某游泳爱好者在该游泳馆内共消费了49.2元，则该游泳爱好者在馆内的时间为__________分钟.

【答案】164

【分析】根据题意，分段计算即可得解.

【详解】设该游泳爱好者在馆内的时间为分钟，若，解得，不符合题意；若49.2，解得，满足题意，故该游泳爱好者在馆内的时间为164分钟.

故答案为：164

15．写出一个同时具有下列性质①②的函数=_______

①在上单调递增；②对任意的实数，都有.

【答案】（答案不唯一，均满足）

【分析】取，验证满足条件①②即可.

【详解】取，满足①.

因为，

又，

所以，满足②.

故答案为：.

四、双空题

16．定义一种运算：.令函数，且.若有三个零点，则__________，________

【答案】     3    

【分析】由已知可得，即可得出.换元令，可得.作出函数的图象，根据函数图象、二次函数的图象与性质以及已知可得有零点1，代入可得.然后根据函数的对称性，即可求出.

【详解】因为，则.

又，

所以，有，

所以.

令，.

作出函数的图象，

由图象可知，当时，函数最多有两个零点.

因为在区间上有三个零点，

所以有两个不等实根，

设，则，所以，即.

设，

由得，

由，根据函数的对称性可得，所以.

所以，.

故答案为：；.

【点睛】关键点点睛：换元法，根据构成复合函数的函数特性，即可得出零点的分布情况.

五、解答题

17．（1）已知均为第二象限角，，求；

（2）已知，求.

【答案】（1）；（2）

【分析】(1)利用诱导公式化简可得，再由同角关系求，结合两角差余弦公式求，

(2)根据条件关系将转化为的形式，由此可求其值.

【详解】（1）由，得，

因为均为第二象限角，，

所以，，

所以.

（2）

.

18．已知集合.

(1)若，求；

(2)若，求的取值范围.

【答案】(1)，或

(2)

【分析】（1）化简集合A，B，C，根据集合的并集、补集运算求解即可；

（2）根据集合的包含关系，分类讨论，分别建立不等式(组)求解即可.

【详解】（1）因为，，，

所以，或.

（2）当时，由，解得；

当时，由 解得.

综上，的取值范围是.

19．已知函数的图象经过点，函数.

(1)若为偶函数，求在上的最小值；

(2)若，求函数的最大值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意可求出，化简，利用均值不等式求最小值；

（2）由不等式求出范围，代入函数解析式并化简，由二次函数的单调性求最大值.

【详解】（1）由，得，

因为为偶函数，只需让含x的奇数次项系数为0，所以.

当时，，

当且仅当，即时，等号成立.

所以在上的最小值为.

（2）因为，所以，解得.

，

因为在上单调递增，

所以当时，取得最大值.

20．某地农业检测机构统计发现：该地区近几年的活鸡收购价格（元/斤）每年四个季度会重复出现，但活鸡养殖成本（元/斤）逐季递增.下表是该地区今年四个季度的统计情况：

现打算从以下两个函数模型：①；②中选择适当的函数模型，分别来拟合今年活鸡收购价格与第季度之间的函数关系､养殖成本与第季度之间的函数关系（从今年第1季度为第1个季度开始计算）.

（数据参考：取.）

(1)请你选择适当的函数模型，分别求出这两个函数模型的解析式.

(2)若活鸡的收购价格高于养殖成本，则该地区活鸡养殖户盈利，若活鸡的收购价格低于养殖成本，则该地区活鸡养殖户亏损.按照你选定的函数模型，帮助该机构估计一下，明年四个季度该地区活鸡养殖户是盈利还是亏损？

【答案】(1)模型①为，模型②为；

(2)估计明年四个季度该地区活鸡养殖户都会盈利.

【分析】（1）分析表中数字变化情况，即可得出函数模型. 模型①中，根据表中数据可得出，.进而由最值解出、的值，代入点可求出；模型②中，将表中的两个点的坐标代入，联立即可得出；

（2）根据（1）中求出的函数解析式，将、、、，分别代入即可得出明年各个季度的养殖成本与收购价格，比较大小即可得出答案.

【详解】（1）由表中数据可知，收购价格随月份变化上下波动，应选择模型①；

由表中数据可知，收养殖成本随月份缓慢上升，应选择模型②.

对于模型①，由点及可得该函数周期为，

则由，可得.

又该函数最大值为10以及最小值为6可得，，解得.

所以.

将代入可得，

所以，

又，所以，所以模型①为.

对于模型②，的图象过点，.

所以，解得.

所以模型②为.

（2）由（1）设，.

若，则盈利，若，则亏损.

当时，，，则；

当时，，，则；

当时，，，则；

当时，，，则.

这说明明年四个季度的收购价格都高于养殖成本，所以估计明年四个季度该地区活鸡养殖户都会盈利.

21．已知函数.

(1)判断的单调性，并用定义证明；

(2)若关于的方程有解，求的取值范围.

【答案】(1)在上单调递增，证明见解析；

(2).

【分析】（1）作差整理可得，判断式子的符号，即可得出函数的单调性；

（2）先判断为奇函数.根据已知，结合函数的单调性、奇偶性可推得方程有解.然后求出的范围，即可得出的取值范围.

【详解】（1）在上单调递增，证明如下：

易知的定义域为，

设，则，

因为，所以，，

所以，，，

所以，则在上单调递增.

（2）因为的定义域为，且，

所以是奇函数.

由已知，方程有解，

由的奇偶性可知有解，

由的单调性可知有解，得方程有解，即方程有解.

因为，所以，则，

所以有，故的取值范围是.

22．已知函数，且函数的图象与的图象关于直线对称.

(1)求的解析式；

(2)若函数，当时，的值域为，求的值：

(3)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）由三角恒等变换化简，再由对称性可知即可得解；

（2）根据所给自变量范围，利用正弦型函数的性质求出值域，列出方程即可得解；

（3）化简不等式后，分三种情况讨论，利用函数的单调性求出函数最小值即可求解.

【详解】（1）

，

因为的图象与的图象关于直线对称，

则，

所以.

（2）依题意可得.

因为，所以，

所以，所以.

因为的值域为，所以

解得.

（3）由不等式，

可得，

即.

当时，，

若，因为，即恒成立，所以符合题意.

若，因为在上单调递增，所以当时，取得最小值，原不等式恒成立可转化为恒成立，即1，因此.

若，当时，取得最小值，

则原不等式恒成立可转化为恒成立，即，因此.

综上，的取值范围是.