河北省沧州市2021-2022学年高一上学期期末数学试题

沧州市2021~2022学年度高一年级第一学期期末教学质量监测

数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. （    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用诱导公式求得正确答案.

【详解】.

故选：A

2. 已知集合，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】解不等式求得集合，求函数的值域求得集合，由此求得.

【详解】，解得或，

所以.

，

所以.

所以.

故选：B

3. 下列函数是幂函数的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

分析】由幂函数定义可直接得到结果.

【详解】形如的函数为幂函数，则为幂函数.

故选：C.

4. 下列说法正确的是（    ）

A. 若，，则 B. 若a，，则

C. 若，，则 D. 若，则

【答案】C

【解析】

【分析】结合特殊值、差比较法确定正确选项.

【详解】A：令，；，，则，，不满足，故A错误；

B：a，b异号时，不等式不成立，故B错误；

C：，，，，即，故C正确；

D：令，，不成立，故D错误.

故选：C

5. 已知， ，则下列说法正确的是（   ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用对数函数以及指数函数的性质判断即可.

【详解】∵，∴，

∵，∴，

∵，∴，则

故选:.

6. 若，则下列关系式一定成立的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】判断函数的奇偶性以及单调性，由此可判断函数值的大小，即得答案.

【详解】由可知：

，为偶函数，

又,

知在上单调递减，在上单调递增，

故，

故选：A.

7. 符号函数是一个很有用的函数，符号函数能够把函数的符号析离出来，其表达式为若定义在上的奇函数，当时，，则的图象是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据函数的奇偶性画出的图象，结合的知识确定正确答案.

【详解】依题意，是定义在上的奇函数，图象关于原点对称.

当时，，

结合的奇偶性，作出的大致图象如下图所示，

根据的定义可知，选项C符合题意.

故选：C

8. 已知函数关于x的方程有4个根，，，，则的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】依题意画出函数图象，结合图象可知且，，即可得到，则，再令，根据二次函数的性质求出的取值范围，最后根据对勾函数的性质计算可得；

【详解】解：因，所以函数图象如下所示：

由图象可知，其中，其中，，，则，得..令，，

又在上单调减，，即.  

故选：B.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 下列函数是奇函数的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】ACD

【解析】

【分析】按照奇函数的定义依次判断四个选项即可.

【详解】A：定义域为，满足，为奇函数，A正确；

B：定义域为，，为偶函数，B错误；

C：定义域为，，为奇函数，C正确；

D：定义域为，，为奇函数，D正确.

故选：ACD.

10. 已知，则下列结论正确的是（    ）

A. 的最小正周期为

B. 在上单调递增

C. 的图象向左平移个单位长度后关于原点对称

D. 的图象的对称轴方程为

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据三角函数的最小正周期、单调性、图象变换、对称轴等知识对选项进行分析，从而确定正确选项.

【详解】A：，A正确；

B：，，所以在上不单调，所以B错误；

C：的图象向左平移个单位长度得到：

，为奇函数，C正确.

D：由，得，D正确.

故选：ACD

11. 已知，且，则下列结论正确的是（    ）

A. 的最小值是4

B. 的最小值是2

C. 的最小值是

D. 的最小值是

【答案】AC

【解析】

【分析】对于A：利用“乘1法”转化后，利用基本不等式求得最小值，进而判定；

对于B：先利用基本不等式求得的取值范围，根据此范围利用基本不等式求最小值时注意基本不等式取等号的条件不能成立，进而判定；

对于C：利用基本不等式和指数幂的运算性质得到最小值，进而判定；

对于D：利用对数的运算法则、对数函数的单调性和B中求得的的取值范围，得到所求式子的最大值为-2，进而判定.

【详解】对于A：，当且仅当时等号成立，

故A正确；

对于B：，当且仅当时等号成立，

∵,∴，当且仅当时取等号.

但,故等号取不到，∴，故B错误；

对于C：，当且仅当时等号成立，

故C正确；

对于D：，当且仅当时等号成立，故D错误．

故选：AC．

12. 下列命题为真命题的是（    ）

A. ，

B. 已知函数，则

C. 命题“角是第一象限角”是“”的充分不必要条件

D. 当时，函数有2个零点

【答案】BCD

【解析】

【分析】A选项用三角函数的最值来判断，B选项用来判断，C选项结合充分、必要条件的知识来判断，D选项由与的交点个数来判断.

【详解】A：，故不存在实数x使，A错误；

B：，，B正确；

C：角是第一象限角，而角终边在第一象限或者第四象限或者在x非负半轴，C正确；

D：时，有2个零点，则关于x的方程有2个根，有2个根，

即图象与图象有2个交点，由图可知：当时满足题意，D正确.

故选：BCD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知角的终边经过点，则________.

【答案】

【解析】

【分析】根据终边上的点，结合即可求函数值.

【详解】由题意知：角在第一象限，且终边过，

∴.

故答案为：.

14. 求方程在区间内的实数根，用“二分法”确定的下一个有根的区间是____________.

【答案】

【解析】

【分析】根据二分法的步骤可求得结果.

【详解】令，

因为，，，

所以下一个有根的区间是.

故答案为：

15. 已知，且，则______.

【答案】##

【解析】

【分析】化简已知条件，求得，通过两边平方的方法求得，进而求得.

【详解】依题意，

①，

，，

化简得①，则，

由，得，，

.

故答案为：

16. 已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则__________.

【答案】##

【解析】

【分析】先求得是周期为的周期函数，然后结合周期性、奇偶性求得.

【详解】因为函数为上的奇函数，所以，

故，函数是周期为4的周期函数.

当时，，

则.

故答案为：

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知集合，.

（1）当时，求；

（2）若，求实数的取值范围.

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】(1)求出集合A和B，根据并集的计算方法计算即可；

(2)求出，分B为空集和不为空集讨论即可.

【小问1详解】

，

当时，，

∴；

【小问2详解】

{或x＞4}，

当时，，，解得a＜1；

当时，若，则解得.

综上，实数的取值范围为.

18. 已知函数.

（1）求的单调区间；

（2）若，且，求值.

【答案】（1）的单调递增区间为，单调递减区间   

（2）

【解析】

【分析】（1）化简解析式，根据三角函数单调区间的求法，求得的单调区间.

（2）求得、，结合两角差的正弦公式求得.

【小问1详解】

.

由，得，

的单调递增区间为，

同理可得的单调递减区间.

【小问2详解】

，.

，.

.

.

19. 某镇发展绿色经济，因地制宜将该乡镇打造成“特色农产品小镇”，根据研究发现：生产某农产品，固定投入万元，最大产量万斤，每生产万斤，需其他投入万元，，根据市场调查，该农产品售价每万斤万元，且所有产量都能全部售出.（利润收入成本）

（1）写出年利润（万元）与产量（万斤）的函数解析式；

（2）求年产量为多少万斤时，该镇所获利润最大？求出利润最大值.

【答案】（1）；   

（2）当年产量为万斤时，该镇所获利润最大，最大利润为万元

【解析】

【分析】（1）根据利润收入成本可得函数解析式；

（2）分别在和两种情况下，利用二次函数和对勾函数最值的求法可得结果.

【小问1详解】

由题意得：；

【小问2详解】

当时，，

则当时，；

当时，（当且仅当，即时取等号），；

，当，即年产量为万斤时，该镇所获利润最大，最大利润为万元.

20. 已知函数

（1）求的值域；

（2）当时，关于的不等式有解，求实数的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由．令，换元后再配方可得答案；

（2）由得，令，转化为时有解的问题可得答案．

【小问1详解】

，

令，则，

所以的值域为．

【小问2详解】

，即，

令，则，即在上有解，

当时，m无解；当时，可得，

因为，当且仅当时，等号成立，

所以．综上，实数m的取值范围为．

21. 已知函数为偶函数.

（1）判断在上的单调性并证明；

（2）求函数在上的最小值.

【答案】（1）在上单调递增，证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）先利用函数的奇偶性求得，然后利用单调性的定义证得，从而证得在上递增.

（2）利用换元法化简，对进行分类讨论，结合二次函数的性质求得在上的最小值.

【小问1详解】

为偶函数，，

即，

，则.

所以.

在为增函数,证明如下：

任取，，且，

，

，，，

.

即，在上单调递增.

【小问2详解】

，

令，结合题意及（1）的结论可知.

，

.

①当时，；

②当时，；

③当时，.

综上，.

22. 已知函数部分图象如图所示.

（1）当时，求的最值；

（2）设，若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1），；   

（2）

【解析】

【分析】(1)根据正弦型图像的性质求出函数解析式，在根据求出函数最值；

(2)求出g(x)解析式，令，利用二次函数根分布解题即可.

【小问1详解】

由图象可知，又.

，又，

.

由，得.

当，即时，；

当，即时，.

【小问2详解】

，

则.

令，

原不等式转化为对恒成立.

令，

则，解得

综上，实数的取值范围为.