河北省邯郸市部分学校2021-2022学年高一上学期期末模拟考试数学试题

河北省邯郸市部分学校2021-2022学年度高一上学期期末模拟考试

数学部分

考试时间：120分钟；满分：120分

一．单选题（本题共12小题，每小题4分，共48分）.

1．下列函数中．是奇函数的为（       ）

A． B．

C． D．

2．已知，则的值为（       ）

A． B． C．－ D．

3．函数，且与函数在同一坐标系内的图象不可能的是（       ）

A． B．

C． D．

4．函数的零点所在的区间为（       ）

A． B． C． D．

5．已知函数为奇函数，为偶函数，且，则（       ）

A． B． C． D．

6．已知函数，若存在R，使得不等式成立，则实数的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

7．已知，则“”是“”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

8．定义在R上的偶函数在上单调递增，且，则满足的x的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

9．双曲函数是一类与三角函数类似的函数，在物理学众多领域中有丰富的实际应用.最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数.令，得到下面结论①为偶函数；②为奇函数；③在上单调递增；④在上单调递减.则以上结论正确的是（       ）

A．①③ B．②③ C．①④ D．②④

10．已知函数，则下列判断正确的是（       ）

A．的最小正周期为 B．的最大值为2

C．在上单调递增 D．的图象关于点对称

11．已知，则下列选项错误的是（       ）

A． B． C．的最大值是 D．的最小值是

12．已知，则的值为（       ）

A． B． C．1 D．2

二．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）

13．已知一等腰三角形的周长为12，则将该三角形的底边长y（单位：）表示为腰长x（单位：）的函数解析式为___________.（请注明函数的定义域）

14．已知函数，若有四个不同的解，且，则的最小值________

15．命题“，”为假命题，则实数a的取值范围是______．

16．某医药研究所研发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，服药后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（时）之间近似满足如图所示的关系.若每毫升血液中含药量不低于0.5微克时，治疗疾病有效，则服药一次治疗疾病的有效时间为___________小时.

三、解答题（本大题共5小题，共56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.

17．已知函数为定义在上的奇函数．

(1)若当时，，求在上的解析式；

(2)若在上单调递增，，且，求实数m的取值范围．．

18．设函数的定义域为，对任意实数，有，且

(1)求证：；

(2)若时，，求证：在上单调递减.

19．已知与都是锐角，且，．

(1)求的值；

(2)求证：．

20．已知函数.

(1)求函数的零点；

(2)当时，函数的最小值为，求的取值范围.

21．已知函数.

(1)判断在区间上的单调性，并用定义证明；

(2)判断的奇偶性，并求在区间上的值域.

参考答案：

1．D

【解析】

【分析】

对于A、B、D：利用奇函数的定义进行判断；

对于C：由定义域不关于原点对称，即可判断；

【详解】

对于A：的定义域为R.因为，所以不是奇函数，故A错误；

对于B：的定义域为R.因为，所以是偶函数，不是奇函数，故B错误；

对于C：的定义域为，不关于原点对称，所以不是奇函数，故C错误；

对于D：的定义域为R.因为，所以是奇函数，故D正确.

故选：D．

2．B

【解析】

【分析】

利用诱导公式及二倍角的正弦公式即可求解.

【详解】

，

故选：B

3．D

【解析】

【分析】

利用对数函数及二次函数的性质逐项分析即得.

【详解】

对于A，由对数函数图象可知，又函数，对称轴为<1，对应方程的两个根为0，，由图知，从而，选项A可能；

对于B，由对数函数图象可知，又函数，对称轴为<1，对应方程的两个根为0，，由图知，从而，选项B可能；

对于C，由对数函数图象可知，又函数，对称轴为>1，对应方程的两个根为0，，由图知，从而，选项B可能；

对于D，由对数函数图象可知，又函数，对称轴为<1，对应方程的两个根为0，，由图知，从而，选项D不可能.

故选：D.

4．B

【解析】

【分析】

依据函数零点存在定理去判断的零点所在的区间即可.

【详解】

为上的递增函数，

，

，

，

则函数的零点所在的区间为

故选：B

5．C

【解析】

【分析】

利用函数为奇函数，为偶函数和的函数值可得答案.

【详解】

取得①，取得，

即②，①-②得，

所以.

故选：C.

6．D

【解析】

【分析】

利用函数的奇偶性与单调性把函数不等式变形，然后由分离参数法转化为求函数的最值．

【详解】

是奇函数，且在上是增函数，

因此不等式可化为，

所以，，

由得的最小值是2，所以．

故选：D．

7．A

【解析】

【分析】

先判断“”成立时，“”是否成立，反之，再看“”成立，能否推出“”，即可得答案.

【详解】

“”成立时，，故“”成立，

即“”是“”的充分条件；

“”成立时，或，此时推不出“”成立，

故“”不是“”的必要条件，

故选：A.

8．B

【解析】

【分析】

依据偶函数的单调区间把抽象不等式转化为整式不等式即可解决.

【详解】

由R上的偶函数在上单调递增，且，

可知在上单调递减，且，

则等价于①，或②，或③

①可化为，解之得

②可化为，解之得

由③可得，或，或

综上可得原不等式解集为

故选：B

9．B

【解析】

【分析】

先求出，利用奇偶性的定义判断①②，利用和在上的单调性判断③④，即可得到结论.

【详解】

由已知，所以，故为奇函数，所以①错误，②正确；

因为在上为增函数，在上为减函数，所以在上单调递增，所以③正确，④错误.

故选：B.

10．D

【解析】

【分析】

先对函数化简变形，然后根据三角函数的性质逐个分析判断即可

【详解】

由题意得，

所以其最小正周期为，最大值为1，所以AB错误

对于C，由，得，所以函数的单调递增区间为，所以C错误，

对于D，因为，的图象关于点对称，所以D正确.

故选：D.

11．D

【解析】

【分析】

根据题意求出b的范围可以判断A，然后结合基本不等式判断B,C，最后消元通过二次函数的角度判断D.

【详解】

对A，，正确；

对B，，当且仅当时取“=”，正确；

对C，，当且仅当时取“=”，正确；

对D，由题意，，由A可知，所以，错误.

故选：D.

12．A

【解析】

【分析】

先使用诱导公式，将要求的式子进行化简，然后再将带入即可完成求解.

【详解】

由已知使用诱导公式化简得：，

将代入即.

故选：A.

13．

【解析】

【分析】

根据题意得，再结合两边之和大于第三边，底边长大于得，进而得答案.

【详解】

解：根据题意得，

由三角形两边之和大于第三边得，

所以，即，

又因为，解得

所以该三角形的底边长y（单位：）表示为腰长x（单位：）的函数解析式为

故答案为：

14．##

【解析】

【分析】

先画出分段函数的大致图像，找出与的四个交点之间的关系，将转化为只含有一个变量（如）的形式，然后根据变量的范围，从而求得的最小值为

【详解】

当时，；

当时，；

当时，

由题意，作函数的图像，如下图所示：

易知与直线有四个交点，分别为，，，

因为有四个不同的解，且

所以，且，

又，

所以，即，则

所以，且

构造函数，且

可知在上单调递减，且

所以的最小值为

故答案为：

15．

【解析】

【分析】

写出原命题的否定，再利用二次型不等式恒成立求解作答.

【详解】

因命题“，”为假命题，则命题“，”为真命题，

当时，恒成立，则，

当时，必有，解得，

所以实数a的取值范围是.

故答案为：

16．

【解析】

【分析】

根据图象求出函数的解析式，然后由已知构造不等式，解不等式即可得解.

【详解】

当时，函数图象是一个线段，由于过原点与点，故其解析式为，

当时，函数的解析式为，因为在曲线上，所以，

解得，所以函数的解析式为，

综上，，

由题意有或，解得，所以，

所以服药一次治疗疾病有效的时间为个小时，

故答案为：．

17．(1)

(2)

【解析】

【分析】

(1)利用奇函数的定义，定义域关于原点对称以及，可以求出函数表达式；

(2)利用偶函数的性质及函数的单调性，得到在定义区间上是增函数，自变量越大，函数值也越大，得到不等式组，然后求解.

(1)

当时，，

当时，，

则，

∴，

∴

(2)

∵为奇函数，∴，

，

∴为偶函数，且在上为增函数，，

∴∴∴，

∴m的取值范围为．

18．(1)证明见解析

(2)证明见解析

【解析】

【分析】

（1）首先可得，然后分别令、可证明；

（2）令可得，然后结合条件和单调性的定义可证明.

(1)

令，可得，

由，解得，

令可得，

化简得，

令可得

所以，

综上，；

(2)

因为，所以时，

又因为，所以时，时，

任取，

令可得，

因为，

所以

所以上式可化为，所以函数在上单调递减.

19．(1)

(2)见解析

【解析】

【分析】

（1）先确定的取值范围，再利用同角三角函数的平方关系，求得和的值，然后根据，并结合两角和的正弦公式，得解；

（2）由，，结合两角和差的正弦公式，分别求出和的值，即可得证．

(1)

解：因为与都是锐角，

所以，，

又，，

所以，，

所以，，

所以；

(2)

证明：因为，所以①，

因为，所以②，

①②得，，

①②得，，

故．

20．(1)零点为，，

(2)

【解析】

【分析】

（1）由解出方程即可得到答案.

（2）令，结合的最小值可得所求的取值范围.

(1)

由得：，

令，解得或，

当时，，；

当时，，.

所以函数的零点为，，.

(2)

因为，令，则，

因为的最小值为，所以（等号可取），

解得（等号可取），即（等号可取），

因为，且，

由（等号可取）可得

所以的取值范围为.

21．(1)在区间上单调递减，证明见解析

(2)为奇函数，

【解析】

【分析】

(1)由单调性的定义证明；

(2)确定函数的奇偶性，结合(1)可以得到上的单调性.

(1)

在区间上单调递减，证明如下：

，，且，有

.

因为，，且，所以，.

于是，即.

所以在区间上单调递减.

(2)

的定义域为.

因为，所以为奇函数.

由（1）知在区间上单调递减，结合奇偶性可得在区间上单调递减，故在区间上单调递减.

又因为，，所以在区间上的值域为.