河南省平顶山市2021-2022学年高二数学（理）上学期期末试题（Word版附解析）

2021-2022学年第一学期高二期末调研考试

理科数学

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 若a，b，c为实数，且，则以下不等式成立的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用不等式的性质直接推导和取值验证相结合可解.

【详解】取可排除ABD；由不等式的性质易得C正确.

故选：C

2. 若命题为“，”，则为（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】B

【解析】

【分析】特称命题的否定是全称命题，把存在改为任意，把结论否定.

【详解】“，”的否命题为“，”，

故选：B

3. 在中国古代，人们用圭表测量日影长度来确定节气，一年之中日影最长一天被定为冬至.从冬至算起，依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，小寒、雨水，清明日影长之和为28.5尺，则大寒、惊蛰、谷雨日影长之和为（    ）

A. 25.5尺 B. 34.5尺 C. 37.5尺 D. 96尺

【答案】A

【解析】

【分析】由题意可知，十二个节气其日影长依次成等差数列，设冬至日的日影长为尺，公差为尺，利用等差数列的通项公式，求出，即可求出，从而得到答案．

【详解】设从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列{}，如冬至日的日影长为尺，设公差为尺.

由题可知，所以，

，

，

，

故选：A．

4. 已知实数，满足不等式组，若，则的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】作出不等式组对应的平面区域，然后根据线性规划的几何意义求得答案.

【详解】作出不等式组所对应的可行域如图三角形阴影部分，

平行移动直线直线 ，

可以看到当移动过点A时，在y轴上的截距最小,

联立 ，解得，

当且仅当动直线即过点时，

取得最小值为，

故选：B

5. 已知命题：，，命题：，，则（    ）

A. 是假命题 B. 是真命题 C. 是真命题 D. 是假命题

【答案】C

【解析】

【分析】先分别判断命题、的真假，再利用逻辑联结词“或”与“且”判断命题的真假.

【详解】由题意，，所以，成立，即命题为真命题，

，所以不存在，使得，即命题为假命题，

所以是假命题，为真命题，

所以是真命题，是假命题，是假命题，是真命题.

故选：C

6. 设为椭圆上一点，，为左、右焦点，且，则（    ）

A. 为锐角三角形 B. 为钝角三角形

C. 为直角三角形 D. ，，三点构不成三角形

【答案】D

【解析】

【分析】根据椭圆方程求出，然后结合椭圆定义和已知条件求出并求出，进而判断答案.

【详解】由题意可知，，由椭圆的定义可知，而，联立方程解得，且，则6+2=8，即不构成三角形.

故选：D.

7. 设双曲线的离心率为，则下列命题中是真命题的为（    ）

A. 越大，双曲线开口越小 B. 越小，双曲线开口越大

C. 越大，双曲线开口越大 D. 越小，双曲线开口越大

【答案】C

【解析】

【分析】根据双曲线的性质结合离心率对双曲线开口大小的影响即可得解.

【详解】解：对于A，越大，双曲线开口越大，故A错误；

对于B，越小，双曲线开口越小，故B错误；

对于C，由，越大，则越大，双曲线开口越大，故C正确；

对于D，越小，则越小，双曲线开口越小，故D错误.

故选：C.

8. 已知，为正实数，且，则的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D. 1

【答案】D

【解析】

【分析】利用基本不等式可求的最小值.

【详解】可化为，

由基本不等式可得，

故，当且仅当时等号成立，

故的最小值为1，

故选：D.

9. 在中，，，且BC边上的高为，则满足条件的的个数为（    ）

A. 3 B. 2 C. 1 D. 0

【答案】B

【解析】

【分析】利用等面积法求得，再利用正弦定理求得，利用内角和的关系及两角和差化积公式，二倍角公式转化为，再利用正弦函数的性质求满足条的的个数，即可求解.

【详解】由三角形的面积公式知，即

由正弦定理知

所以，即，

即，即

利用两角和的正弦公式结合二倍角公式化简得

又，则，，且

由正弦函数的性质可知，满足的有2个，

即满足条件的的个数为2.

故选：B

10. 某海关缉私艇在执行巡逻任务时，发现其所在位置正西方向20nmile处有一走私船只，正以30nmile/h的速度向北偏东30°的方向逃窜，若缉私艇突然发生机械故障，20min后才以的速度开始追赶，则在走私船只不改变航向和速度的情况下，缉私艇追上走私船只的最短时间为（    ）

A. 1h B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】设小时后，相遇地点为，在三角形中根据题目条件得出，再在三角形中，由勾股定理即可求出.

【详解】以缉私艇为原点，建立如下图所示的直角坐标系.图中走私船所在位置为，设缉私艇追上走私船的最短时间为，相遇地点为.则，走私船以的速度向北偏东30°的方向逃窜，60°.

因为20min后缉私艇才以的速度开始追赶走私船，所以20min走私船行走了，到达.在三角形中，由余弦定理知：

，则

，所以.

在三角形中，，，有：

，化简得：，则.

缉私艇追上走私船只的最短时间为1h.

故选： A.

点睛】

11. 在平行六面体中，，，，则（    ）

A.  B. 5 C.  D. 3

【答案】B

【解析】

【分析】由，则结合已知条件及模长公式即可求解.

【详解】解：，

所以，

所以，

故选：B.

12. 已知等差数列的公差为，前项和为，等比数列的公比为，前项和为．若，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】用基本量表示可得基本量的关系式，从而可得，故可得正确的选项.

【详解】若，则，而，

此时，这与题设不合，

故，故，

故

，

而

，

故，此时不确定，

故选：D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 在正项等比数列中，，，则的公比为___________.

【答案】3

【解析】

【分析】由题设知等比数列公比，根据已知条件及等比数列通项公式列方程求公比即可.

【详解】由题设，等比数列公比，且，

所以，可得或（舍），

故公比为3.

故答案为：3

14. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，为的右支上一点，且，则的离心率为___________.

【答案】

【解析】

【分析】由双曲线定义可得a，代入点P坐标可得b，然后可解.

【详解】由题知，故，又点在双曲线上，所以，

解得，所以.

故答案为：

15. 如图，已知正方形边长为，长方形中，，平面与平面互相垂直，是线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为______．

【答案】

【解析】

【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，求出，后可求异面直线所成角的余弦值.

【详解】长方形可得，

因为平面与平面互相垂直，平面平面，

平面，故平面，

故可建立如图所示的空间直角坐标系，

则，

故，，

故.

故答案为：

16. 若，，都为正实数，，且，，成等比数列，则的最小值为______．

【答案】##

【解析】

【分析】利用等比中项及条件可得，进而可得，再利用基本不等式即得.

【详解】∵，，都为正实数，，，成等比数列，

∴，又，

∴，即，

∴，

∴

，当且仅当，即取等号.

故答案为：.

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17. 在△中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，.

（1）求的大小及△的面积；

（2）求的值.

【答案】（1），△的面积为；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）应用余弦定理求的大小，由三角形面积公式求△的面积；

（2）由（1）及正弦定理的边角关系可得，即可求目标式的值.

【小问1详解】

在△中，由余弦定理得：，又，则.

所以△的面积为.

【小问2详解】

由（1）得：，

由正弦定理得：，则，

所以.

18. 设：，：.

（1）若命题“，是真命题”，求的取值范围；

（2）若是的充分不必要条件，求的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）解不等式得到解集，根据题意列出不等式组，求出的取值范围；（2）先解不等式，再根据充分不必要条件得到是的真子集，进而求出的取值范围.

【小问1详解】

因为，由可得：，

因为“，”为真命题，

所以，

即，解得：.

即的取值范围是.

【小问2详解】

因为，由可得：，

，

因为是的充分不必要条件，所以是的真子集，

所以（等号不同时取），解得：，

即的取值范围是.

19. 已知在等差数列中，，．

（1）求的通项公式；

（2）若，求数列的前项和．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）设的公差为，由等差数列的通项公式结合条件可得答案.

（2）由（1）可得，由错位相减法可得答案.

【小问1详解】

设的公差为，由已知得且，

解得，，

所以的通项公式为．

【小问2详解】

由（1）可得，

所以，

所以，

两式相减得：

，

所以

，

所以

20. 如图，在长方体中，，若点P为棱上一点，且，Q，R分别为棱上的点，且.

（1）求直线与平面所成角的正弦值；

（2）求平面与平面的夹角的余弦值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求线面角；

（2）用空间向量法求二面角．

【小问1详解】

以D为坐标原点，射线方向为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系.

当时，，

所以，

设平面的法向量为，

所以，即

不妨得，，

又，所以，

则

【小问2详解】

在长方体中，

因为平面，所以平面平面，

因为平面与平面交于，

因为四边形为正方形，所以，

所以平面，即为平面的一个法向量，

，所以，

又平面的法向量为，

所以.

21. 已知椭圆：的离心率为，且经过点.

（1）求的方程；

（2）设的右焦点为F，过F作两条互相垂直的直线AB和DE，其中A，B，D，E都在椭圆上，求的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据椭圆的离心率为，及经过点建立等式可求解；

（2）分斜率存在与不存在两种情况进行讨论，当斜率存在时，计算与后再求范围即可.

【小问1详解】

由题意知的离心率为，整理得，

又因为经过点，所以，解得，

所以，

因此，的方程为.

小问2详解】

由已知可得，

当直线AB或DE有一条的斜率不存在时，可得，或，，

此时有或.

当AB和DE的斜率都存在时且不为0时，设直线：，直线：，

，，，

由得，

所以，，

所以，

用替换可得.

所以，

综上所述，的取值范围为.

22. 已知抛物线：（）的焦点为，点在上，点在的内侧，且的最小值为．

（1）求的方程；

（2）过点的直线与抛物线交于不同的两点，，直线，（为坐标原点）分别交直线于点，记直线，，的斜率分别为，，，若，求的值．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）先求出抛物线的准线，作于由抛物线的定义，可得，从而当且仅当，，三点共线时取得最小，得出答案.

（2）设，，设：与抛物线方程联立，得出韦达定理，设出直线的方程分别与直线的方程联立得出点的坐标，进一步得到，的表达式，由条件可得答案.

【小问1详解】

的准线为：，作于，

则，所以，

因为点在的内侧，所以当且仅当，，三点共线时取得最小值，

所以，解得，所以的方程为．

【小问2详解】

由题意可知的斜率一定存在，且不为0，设：（），

联立消去得，

由，即，得，结合，知．

记，，则

直线的方程为．

由得．

易知，

所以．

同理可得．

由，可得，

即，

化简得，