专题 18.27 《平行四边形》全章复习与巩固（知识讲解）-八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）

专题 18.27 《平行四边形》全章复习与巩固（知识讲解）

【学习目标】

1. 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念, 了解它们之间的关系.

2. 探索并掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的有关性质和常用判别方法, 并能运用这些知识进行有关的证明和计算.

3. 掌握三角形中位线定理.

【知识网络】

【要点梳理】

要点一、平行四边形

1．定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.

2．性质：（1）对边平行且相等；

        （2）对角相等；邻角互补；

        （3）对角线互相平分；

        （4）中心对称图形.

3．面积：

4．判定：边：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；

            （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

            （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．

         角：（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；

            （5）任意两组邻角分别互补的四边形是平行四边形．

    边与角：（6）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；

     对角线：（7）对角线互相平分的四边形是平行四边形.

特别说明：平行线的性质：

（1）平行线间的距离都相等；

（2）等底等高的平行四边形面积相等.

要点二、矩形

1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.

2．性质：（1）具有平行四边形的所有性质；

（2）四个角都是直角；

（3）对角线互相平分且相等；

        （4）中心对称图形，轴对称图形.

3．面积：

４．判定：（1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形.

         （2）对角线相等的平行四边形是矩形.

         （3）有三个角是直角的四边形是矩形.

特别说明：由矩形得直角三角形的性质：

（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；

（2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半．

要点三、菱形

1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.

2．性质：（1）具有平行四边形的一切性质；

         （2）四条边相等；

         （3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角；

  （4）中心对称图形，轴对称图形.

3．面积：

4．判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；

（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；

（3）四边相等的四边形是菱形.

要点四、正方形

1. 定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.

2．性质：（1）对边平行；

        （2）四个角都是直角；

（3）四条边都相等；

（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；

（5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；

（6）中心对称图形，轴对称图形.

3．面积：边长×边长＝×对角线×对角线

4．判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；

（2）一组邻边相等的矩形是正方形；

（3）对角线相等的菱形是正方形；

（4）对角线互相垂直的矩形是正方形；

（5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；

（6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形.

【典型例题】

类型一、平行四边形 

1  （2021·广东惠州·二模）如图，在平行四边形中，点，分别是，的中点，点，在对角线上，且．

（1）求证：四边形是平行四边形

（2）连接交于点，若，求的长

【答案】（1）见解析；（2）2.5

【分析】

（1）先由平行四边形的性质及点G，H分别是AB，CD的中点，得出△AGE和△CHF全等的条件，从而判定△AGE≌△CHF（SAS），然后由全等三角形的性质和角的互补关系得出GE=HF，GE∥HF，则可得出结论．

（2）先由平行四边形的性质及BD=10，得出OB=OD=5，再根据AE=CF、AE+CF=EF及OA=OC得出AE=OE，从而可得EG是△ABO的中位线，利用中位线定理可得EG的长度．

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，

∴∠GAE=∠HCF，

∵点G，H分别是AB，CD的中点，

∴AG=CH，

∵AE=CF，

∴△AGE≌△CHF（SAS），

∴GE=HF，∠AEG=∠CFH，

∴∠GEF=∠HFE，

∴GE∥HF，

又∵GE=HF，

∴四边形EGFH是平行四边形；

（2）连接BD交AC于点O，如图：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA=OC，OB=OD，

∵BD=10，

∴OB=OD=5，

∵AE=CF，OA=OC，

∴OE=OF，

∵AE+CF=EF，

∴2AE=EF=2OE，

∴AE=OE，

又∵点G是AB的中点，

∴EG是△ABO的中位线，

∴EG=OB=2.5．

∴EG的长为2.5．

【点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及三角形的中位线定理等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．

举一反三：

【变式】（2021·重庆九龙坡·模拟预测）如图，四边形是平行四边形，，，，在一条直线上，已知．

（1）求证：四边形是平行四边形．

（2）若，且，，，求的长．

【答案】（1）见解析；（2）2

【分析】

（1）由平行四边形的性质可得出AD∥CF，AD=CF，由BE=CF得到AD=BE，根据平行四边形的判定即可得到四边形ABED是平行四边形；

（2）由平行四边形的性质得到AD=CF，由含30°角直角三角形的性质求出BC，根据线段的和差求出CF，即可得到AD的长．

证明：（1）∵四边形ACFD是平行四边形，

∴AD∥CF，AD=CF，

∵B，E，C，F在一条直线上，

∴AD∥BE，

∵BE=CF．

∴AD=BE，

∴四边形ABED是平行四边形；

（2）∵四边形ACFD是平行四边形，

∴AD=CF，

∵∠ABC=60°，且AC⊥BF，AB=6，

∴∠BAC=30°，

∴BC=AB=3，

∵BF=5，

∴CF=BF-BC=2，

∴AD=2．

【点拨】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，含30°直角三角形的性质，熟练掌握平行四边形的性质和判定是解决问题的关键．

2、（2020·浙江杭州·模拟预测）已知一个直角三角形，其中，，．将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边交于点C，与边交于点D．

（1）如图1，若折叠后使点B与点O重合，则点D的坐标为__________；

（2）如图2，若折叠后使点B与点A重合，求点C的坐标；

（3）如图3，若折叠后点B落在边上的点为点，设，，试写出y关于x的函数解析式．

【答案】（1）（0.5，1）；（2）C（0，）；（3）y＝﹣x2+1（0≤x≤2）

【分析】

（1）由题意可得CD为△OAB的中位线，进一步即可求出D点坐标；

（2）设C点坐标为（0，m），则由折叠的性质可用含m的代数式表示AC，然后在Rt△AOC中，利用勾股定理建立方程即可求出m的值；

（3）由折叠的性质可用含y的代数式表示出B′C，然后在Rt△B′OC中，根据勾股定理可得关于x、y的方程，整理即得结果．

解：（1）由折叠的性质可知，BC＝OC，CD⊥OB，

则CD为△OAB的中位线，

∴，，

∴D（0.5，1），

故答案为：（0.5，1）；

（2）如图2，设C点坐标为（0，m）（m＞0），则BC＝OB﹣OC＝2﹣m，

∵折叠后点B与点A重合，

∴AC＝BC＝2﹣m，

在Rt△AOC中，由勾股定理，得AC2＝OC2+OA2，即（2﹣m）2＝m2+12，

解得m＝，所以C（0，）；

（3）如图3，∵OB′＝x，OC＝y，折叠后点B落在边OA上的点为B′，

∴B′C＝BC＝OB﹣OC＝2﹣y，

在Rt△B′OC中，由勾股定理，得B′C2＝OC2+OB′2，即（2﹣y）2＝y2+x2，即y＝﹣x2+1，

由点B′在边OA上，有0≤x≤2，

所以函数解析式为y＝﹣x2+1（0≤x≤2）．

【点拨】本题以直角坐标系为载体，主要考查了折叠的性质、三角形的中位线和勾股定理等知识，熟练掌握上述知识，灵活应用方程思想是解题的关键．

举一反三：

【变式】（2020·浙江杭州·模拟预测）如图，在平行四边形ABCD中，点G，H分别是AB，CD的中点，点E，F在对角线AC上，且AE＝CF

（1）求证：四边形EGFH是平行四边形

（2）连接BD交AC于点O，若BD＝10，AE＋CF＝EF，求EG的长

【答案】（1）证明见解析；（2）

【分析】

（1）根据已知条件易证得，可得，所以，所以可得四边形EGFH是平行四边形；

（2）因为O为平行四边形ABCD对角线的交点，所以，因为，且，等量代换可得，所以点为中点，所以且，即可得出EG的长.

解：（1）四边形为平行四边形，

且，

，

点，分别是，的中点，

，

在与中，

,

四边形是平行四边形.

（2）如图，连接BD交AC于点O，

四边形ABCD为平行四边形，

，

，

，

，

，为中点，

为中点，

且

.

【点拨】本题考查平行四边形的性质以及判定综合题型，做题时如果已知有平行四边形要想到该平行四边形的所有性质都可以当做已知条件应用，熟练掌握平行四边形的性质及判定是本题做题关键；涉及到求长度的，如果没有直角，则不考虑勾股定理，只考虑全等或线段的等量代换，有中点的话要想到特殊的中线以及中位线，验证题中是否可转化成这两个结论进行应用.

类型二、矩形 

3、（2021·新疆·中考真题）如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，点F在BC的延长线上，且．

求证：（1）；

（2）四边形AEFD是平行四边形．

【答案】（1）证明过程见解析；（2）证明过程见解析．

【分析】

（1）根据矩形的性质可得AB=DC，∠B=∠DCF=90°，根据全等三角形的判定即可得到；

（2）根据矩形的性质可得AD∥BC，AD=BC，根据可得AD=EF，根据平行四边形的判定即可得到四边形AEFD是平行四边形．

 证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，

∴AB=DC，∠B=∠DCB=90°，

∴∠DCF=90°，

在△ABE和△DCF中，

，

∴（SAS）．

（2）∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，AD=BC，

即AD=BE+EC，

∵BE=CF，

∴AD=CF+EC，

即AD=EF，

∵点F在BC的延长线上，

∴AD∥EF，

∴四边形AEFD是平行四边形．

【点拨】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定，平行四边形的判定．熟记各个图形的性质和判定是解题的关键．

【变式】（2011·贵州遵义·中考真题）把一张矩形ABCD纸片按如图方式折叠，使点A与点E重合，点C与点F重合（E、F两点均在BD上），折痕分别为BH、DG．

（1）求证：△BHE≌△DGF；

（2）若AB＝6cm，BC＝8cm，求线段FG的长．

【答案】（1）见解析 （2）3cm

【分析】

1）先根据矩形的性质得出∠ABD=∠BDC，再由图形折叠的性质得出∠1=∠2，∠3=∠4，∠A=∠HEB=90°，∠C=∠DFG=90°，进而可得出△BEH≌△DFG；

（2）先根据勾股定理得出BD的长，进而得出BF的长，由图形翻折变换的性质得出CG=FG，设FG=x，则BG=8﹣x，再利用勾股定理即可求出x的值．

解：（1）如图，，

，，.

是翻折而成的，，，.

翻折而成的，

，，，

在和中，，，，.

（2）四边形是矩形，，，，，

，又由（1）知，，，.

设，则，在中，，即，

，即.

【点拨】本题主要考查矩形的折叠问题，涉及知识点有全等三角形的证明与性质，勾股定理，折叠性质等知识点，解题关键在于能够灵活运用勾股定理

类型三、菱形

4．（2021·青海西宁·中考真题）如图，四边形是菱形，对角线，相交于点O，．

（1）求证：四边形是矩形；

（2）若，，求矩形的周长．

【答案】（1）见解析；（2）

【分析】

（1）利用全等三角形性质和菱形对角线互相垂直平分，证四边形是矩形；

（2）根据菱形性质得出，，由含30度直角三角形的性质求出OB，即可求解．

（1）证明：∵△BOC≅△CEB ．

∴，（全等三角形的对应边相等）

∴四边形是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）

∵四边形是菱形，

∴ （菱形的两条对角线互相垂直）

∴

∴四边形是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）；

（2）∵四边形是菱形，，，

∴ （菱形的四条边相等），

∵

∴

在中，

（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）

，

∴矩形的周长．

【点拨】本题考查了菱形的性质、全等三角形性质、平行四边形的判定和性质以及矩形的性质，熟记各种特殊四边形的判定方法和性质以及勾股定理是解题的关键．

举一反三：

【变式】（2021·青海·中考真题）如图，是的对角线．

（1）尺规作图（请用2B铅笔）：作线段的垂直平分线，交，，分别于，，，连接，（保留作图痕迹，不写作法）．

（2）试判断四边形的形状并说明理由．

【答案】（1）见解析；（2）菱形，见解析

【分析】

（1）利用尺规作图画出垂直平分线即可；

（2）根据一组对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可求解．

解：（1）作的垂直平分线

连接，．

（2）解：四边形是菱形，

理由如下：

∵是的垂直平分线，

∴，，

∵四边形是平行四边形，

∴，

∴，

在和中

，

∴，

∴，

∴四边形是平行四边形，

又∵，

∴四边形是菱形．

【点拨】本题考查尺规作图——线段垂直平分线、菱形的判定与性质，掌握上述基本性质定理是解题的关键．

类型四、正方形

5、（2021·湖北荆门·中考真题）如图，点E是正方形ABCD的边BC上的动点，，且，．

（1）求证：；

（2）若，，用x表示DF的长．

【答案】（1）见解析；（2）

【分析】

（1）证明△ABE≌△EHF，即可证明BE=CH；

（2）作FP⊥CD于P，求得PD=3−x，利用勾股定理即可求解．

 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABE=90°，AB=BC，

∵∠AEF=90°，

∴∠AEB+∠FEH=90°．

而∠AEB+∠BAE=90°，

∴∠BAE=∠FEH．

又∵EF=AE，

∴△ABE≌△EHF．

∴BE=FH，AB=EH，

∴AB=BC=EH，则BC-EC=EH-EC，

∴BE=CH；

（2）解：作FP⊥CD于P，

由（1）可知EH=AB，

∴CE=3−x．

∴CH=FH=FP=x，

∴PD=3−x．

．

【点拨】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．

举一反三：

【变式1】（2021·山东泰安·中考真题）四边形为矩形，E是延长线上的一点．

（1）若，如图1，求证：四边形为平行四边形；

（2）若，点F是上的点，，于点G，如图2，求证：是等腰直角三角形．

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【分析】

（1）根据等腰三角形的性质得出，再根据一组对边平行且相等证明即可；

（2）先证矩形是正方形，再证，得出，再证即可．

 证明：（1）∵是矩形，

，，

又，

，

，

∴四边形是平行四边形．

（2），

∴矩形是正方形，

，

，

，

，

又，

，

，

又，

，

，，

，

是等腰直角三角形．

【点拨】本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定、正方形的判定与性质和全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练准确运用相关知识进行推理证明．

【变式2】 （2021·江西·新余市第一中学模拟预测）如图，在正方形中，点、分别在边和上，且，连接、，其相交于点，将沿翻折得到，延长交延长线于点．

（1）求证：；

（2）若，，求的长．

【答案】（1）见解析；（2）5．

【分析】

（1）根据正方形的性质得到，，利用定理证明，根据全等三角形的性质证明结论；

（2）根据折叠的性质得到，，证明，根据勾股定理列式计算即可．

 （1）证明：四边形是正方形，

，，

在和中，

，

，

；

（2）解：，，

，，

，

由折叠的性质可知，，，

，，

，

，

，

在中，，

即，

解得：，

．

【点拨】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、折叠的性质、勾股定理的应用，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、正方形的性质定理是解题的关键．

【变式3】 （2019·江苏宝应·一模）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．

（1）求证：四边形ADCE为矩形；

（2）当△ABC满足         时（添加一个条件），四边形ADCE是正方形．

【答案】（1）见解析；（2）∠BAC＝90°

【分析】

（1）先根据等腰三角形的性质“三线合一”可得AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，再利用角平分线的定义得∠MAE=∠CAE，从而证得；然后根据矩形的判定“有三个角是直角的四边形是矩形”即可证明结论．

（2）假设当，先根据等腰三角形的性质由AB=AC得，再根据等腰直角三角形的性质得AD=DC，从而根据正方形的判定得四边形ADCE为正方形．

解：（1）证明：在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，

∴∠BAD=∠CAD=，

∵AN是∠CAM的平分线，

∴∠MAE=∠CAE=，

∴∠DAE=，

∵AD⊥BC，CE⊥AN，

∴，

∴四边形ADCE为矩形．

（2）当△ABC满足时，四边形ADCE是一个正方形，理由如下；

∵AB＝AC，

∴，

∵AD⊥BC，

∴，

∴，

∵四边形ADCE为矩形，

∴矩形ADCE是正方形，

故当时，四边形ADCE是一个正方形．

【点拨】本题主要考查了矩形的判定、正方形的判定、等腰三角形的性质及角平分线的定义等知识点的综合运用．