专题 18.26 正方形（培优篇）（专项练习）-八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）

这是一份专题 18.26 正方形（培优篇）（专项练习）-八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版），共58页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

专题 18.26 正方形（培优篇）（专项练习）
一、单选题
1．（2015·湖北十堰·中考真题）如图，正方形ABCD的边长为6，点E、F分别在AB，AD上，若CE=3，且∠ECF=45°，则CF长为（ ）

A．2 B．3 C． D．
2．（2021·黑龙江绥化·中考真题）如图所示，在矩形纸片中，，点分别是矩形的边上的动点，将该纸片沿直线折叠．使点落在矩形边上，对应点记为点，点落在处，连接与交于点．则下列结论成立的是（ ）
①；
②当点与点重合时；
③的面积的取值范围是；
④当时，．

A．①③ B．③④ C．②③ D．②④
3．（2020·湖北恩施·中考真题）如图，正方形的边长为4，点在上且，为对角线上一动点，则周长的最小值为（ ）．

A．5 B．6 C．7 D．8
4．（2020·山东东营·中考真题）如图，在正方形中，点是上一动点(不与重合) ，对角线相交于点过点分别作的垂线，分别交于点交于点．下列结论：①；②；③；④；⑤点在两点的连线上．其中正确的是（ ）

A．①②③④ B．①②③⑤ C．①②③④⑤ D．③④⑤
5．（2020·浙江·中考真题）四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形．当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变．如图，改变正方形ABCD的内角，正方形ABCD变为菱形ABC′D′．若∠D′AB＝30°，则菱形ABC′D′的面积与正方形ABCD的面积之比是（　　）

A．1 B． C． D．
6．（2019·山东德州·中考真题）如图，正方形，点在边上，且，，垂足为，且交于点，与交于点，延长至，使，连接．有如下结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是（　　）

A．①② B．①③ C．①②③ D．②③④
7．（2019·浙江湖州·中考真题）在数学拓展课上，小明发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平分该平行四边形的面积. 如图是由5个边长为1的小正方形拼成的图形，是其中4个小正方形的公共顶点，小强在小明的启发下，将该图形沿着过点的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是（ ）

A． B． C． D．
8．（2021·黑龙江集贤·一模）如图，正方形ABCD中，AB=12，点E在边CD上，且BG=CG，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF，下列结论：①△ABG≌△AFG；②∠EAG=45°；③CE=2DE；④AG∥CF；⑤S△FGC=.其中正确结论的个数是（ ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
9．（2021·广东·广州市第三中学三模）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，点A的坐标是（4，0），P为边AB上一点，∠CPB=60°，沿CP折叠正方形OABC，折叠后，点B落在平面内的点B'处，则点B'的坐标为（　　　）

A．（2，） B．（，） C．（2，） D．（，）
10．（2021·江苏江都·二模）如图，在平行四边形ABCD中，∠C=120°，AD=2AB=4，点H、G分别是边CD、BC上的动点．连接AH、HG，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF，则EF的最大值与最小值的差为（   ）

A．1 B． C． D．
11．（2021·山东商河·一模）如图，在正方形ABCD和正方形DEFG中，点G在CD上，DE=2，将正方形DEFG绕点D顺时针旋转60°，得到正方形DE′F′G′，此时点G′在AC上，连接CE′，则CE′+CG′=（　　）

A． B． C． D．
12．（2021·江苏无锡·一模）如图，正三角形ABC的边长为3+，在三角形中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得D、E、F在边AB上，点P、N分别在边CB、CA上，设两个正方形的边长分别为m，n，则这两个正方形的面积和的最小值为（ ）

A． B． C．3 D．
13．（2021·重庆大渡口·二模）如图，已知正方形的边长为将正方形沿对折，使点恰好落在边的中点处，点的对应点为点延长交的延长线于，连接对角线交折痕于Q，则线段的长为（　　　）

A． B． C． D．


二、填空题
14．（2021·天津·中考真题）如图，正方形的边长为4，对角线相交于点O，点E，F分别在的延长线上，且，G为的中点，连接，交于点H，连接，则的长为________．

15．（2021·云南·中考真题）已知的三个顶点都是同一个正方形的顶点，的平分线与线段交于点D．若的一条边长为6，则点D到直线的距离为__________．

16．（2020·湖南张家界·中考真题）如图，正方形的边长为1，将其绕顶点C按逆时针方向旋转一定角度到位置，使得点B落在对角线上，则阴影部分的面积是______．

17．（2020·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图，已知正方形ABCD，点M是边BA延长线上的动点（不与点A重合），且AM＜AB，△CBE由平移得到，若过点E作EH⊥AC，H为垂足，则有以下结论：
①点M位置变化，使得∠DHC＝60°时，2BE＝DM；
②无论点M运动到何处，都有DM＝HM；
③在点M的运动过程中，四边形CEMD不可能成为菱形；
④无论点M运动到何处，∠CHM一定大于135°．
以上结论正确的有_____（把所有正确结论的序号都填上）．

18．（2020·西藏·中考真题）如图，在矩形ABCD中，E为AB的中点，P为BC边上的任意一点，把沿PE折叠，得到，连接CF．若AB＝10，BC＝12，则CF的最小值为_____．

19．（2020·黑龙江穆棱·中考真题）正方形ABCD中，点E在边AD上，点F在边CD上，若∠BEF=∠EBC，AB=3AE，则下列结论：①DF=FC；②AE+DF=EF；③∠BFE=∠BFC；④∠ABE+∠CBF=45°；⑤∠DEF+∠CBF=∠BFC；⑥ DF:DE:EF=3:4:5；⑦ BF:EF=:5．其中结论正确的序号有_____．

20．（2019·山东济南·中考真题）如图，在矩形纸片中，将沿翻折，使点落在上的点处，为折痕，连接；再将沿翻折，使点恰好落在上的点处，为折痕，连接并延长交于点，若，，则线段的长等于_____．

21．（2019·辽宁葫芦岛·中考真题）如图，点P是正方形ABCD的对角线BD延长线上的一点，连接PA，过点P作PE⊥PA交BC的延长线于点E，过点E作EF⊥BP于点F，则下列结论中：①PA＝PE；②CE＝PD；③BF﹣PD＝BD；④S△PEF＝S△ADP，正确的是___（填写所有正确结论的序号）

22．（2019·湖北·中考真题）如图，正方形和，，连接．若绕点旋转，当最大时，_____．

23．（2019·湖北·中考真题）如图，已知正方形的边长为，为边上一点（不与端点重合），将沿对折至，延长交边于点，连接，．
给出下列判断：
①；
②若，则；
③若为的中点，则的面积为；
④若，则；
⑤．
其中正确的是______．（写出所有正确判断的序号）

24．（2021·天津河东·二模）已知直角三角形ABC，∠ABC=90°，AB=3，BC=5，以AC为边向外作正方形ACEF，则这个正方形的中心O到点B的距离为______．

25．（2021·河南省淮滨县第一中学一模）如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE=AP=1，PB=．下列结论：①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离为；③EB⊥ED；④S△APD+S△APB=1+；⑤S正方形ABCD=4+．其中正确结论的序号是 ．


三、解答题
26．（2021·山东枣庄·中考真题）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：如图2，在四边形中，，，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由；
（2）性质探究：如图1，垂美四边形的对角线，交于点．猜想：与有什么关系？并证明你的猜想．
（3）解决问题：如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连结，，．已知，，求的长．









27．（2021·甘肃武威·中考真题）问题解决：如图1，在矩形中，点分别在边上，于点．
（1）求证：四边形是正方形；
（2）延长到点，使得，判断的形状，并说明理由．
类比迁移：如图2，在菱形中，点分别在边上，与相交于点，，求的长．


28．（2021·广西来宾·中考真题）（阅读理解）如图1，，的面积与的面积相等吗？为什么？

解：相等，在和中，分别作，，垂足分别为，．
，
．
，
四边形是平行四边形，
．
又，，
．
（类比探究）问题①，如图2，在正方形的右侧作等腰，，，连接，求的面积．

解：过点作于点，连接．
请将余下的求解步骤补充完整．
（拓展应用）问题②，如图3，在正方形的右侧作正方形，点，，在同一直线上，，连接，，，直接写出的面积．



29．（2021·甘肃兰州·中考真题）已知正方形，，为平面内两点．

（探究建模）
（1）如图1，当点在边上时，，且，，三点共线．求证：；
（类比应用）
（2）如图2，当点在正方形外部时，，，且，，三点共线．猜想并证明线段，，之间的数量关系；
（拓展迁移）
（3）如图3，当点在正方形外部时，，，，且，，三点共线，与交于点．若，，求的长．
30．（2021·辽宁盘锦·中考真题）如图，四边形ABCD是正方形，△ECF为等腰直角三角形，∠ECF＝90°，点E在BC上，点F在CD上，N为EF的中点，连结NA，以NA，NF为邻边作□ANFG．连结DG，DN，将Rt△ECF绕点C顺时针方向旋转，旋转角为（0°≤≤360°）．

（1）如图1，当＝0°时，DG与DN的关系为____________________；
（2）如图2，当时，（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（3）在Rt△ECF旋转的过程中，当□ANFG的顶点G落在正方形ABCD的边上，且AB＝12，EC＝时，连结GN，请直接写出GN的长．










参考答案
1．A
【分析】
如图，延长FD到G，使DG=BE，连接CG、EF，证△GCF≌△ECF，得到GF=EF，再利用勾股定理计算即可.
【详解】
解：如图，延长FD到G，使DG=BE，连接CG、EF
∵四边形ABCD为正方形，在△BCE与△DCG中，∵CB=CD，∠CBE=∠CDG，BE=DG，∴△BCE≌△DCG（SAS）
∴CG=CE，∠DCG=∠BCE
∴∠GCF=45°
在△GCF与△ECF中
∵GC=EC，∠GCF=∠ECF，CF=CF
∴△GCF≌△ECF（SAS）
∴GF=EF
∵CE=，CB=6
∴BE===3
∴AE=3，设AF=x，则DF=6﹣x，GF=3+（6﹣x）=9﹣x
∴EF==
∴
∴x=4，即AF=4
∴GF=5
∴DF=2
∴CF===
故选A．

【点拨】本题考查1．全等三角形的判定与性质；2．勾股定理；3．正方形的性质，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键.
2．D
【分析】
①根据题意可知四边形BFGE为菱形，所以EF⊥BG且BN=GN，若BN=AB，则BG=2AB=6，又因为点E是AD边上的动点，所以3 ②如图，过点E作EH⊥BC于点H，再利用勾股定理求解即可；
③当点E与点A重合时，的面积有最小值，当点G与点D重合时的面积有最大值．故<<．
④因为，则EG=BF=6-=．根据勾股定理可得ME= ，从而可求出△MEG的面积．
【详解】
解：①根据题意可知四边形BFGE为菱形，
∴EF⊥BG且BN=GN，
若BN=AB，则BG=2AB=6，
又∵点E是AD边上的动点，
∴3 故①错误；
②如图，过点E作EH⊥BC于点H，则EH=AB=3，
在Rt△ABE中

即
解得：AE=，
∴BF=DE=6-=．
∴HF=-=．
在Rt△EFH中
=；
故②正确；

③当点E与点A重合时，如图所示，的面积有最小值= =，
当点G与点D重合时的面积有最大值==．
故<<．
故③错误．

④因为，则EG=BF=6-=．根据勾股定理可得ME= ，
∴．
故④正确．
故选D．
【点拨】本题考查了矩形的性质和判定，菱形的判定与性质，勾股定理，翻折的性质等知识，掌握相关知识找到临界点是解题的关键．
3．B
【分析】
连接ED交AC于一点F，连接BF，根据正方形的对称性得到此时的周长最小，利用勾股定理求出DE即可得到答案.
【详解】
连接ED交AC于一点F，连接BF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴点B与点D关于AC对称，
∴BF=DF，
∴的周长=BF+EF+BE=DE+BE，此时周长最小，
∵正方形的边长为4，
∴AD=AB=4，∠DAB=90°，
∵点在上且，
∴AE=3，
∴DE=，
∴的周长=5+1=6，
故选：B.

【点拨】此题考查正方形的性质：四条边都相等，四个角都是直角以及正方形的对称性质，还考查了勾股定理的计算，依据对称性得到连接DE交AC于点F是的周长有最小值的思路是解题的关键.
4．B
【分析】
①根据题意及正方形的性质，即可判断；
②根据及正方形的性质，得ME=EP=AE＝MP，同理可证PF=NF=NP，根据题意可证四边形OEPF为矩形，则OE=PF，则OE+AE=PF+PE=NF+ME=AO，AO=AC，故证明；
③根据四边形PEOF为矩形的性质，在直角三角形OPF中，使用勾股定理，即可判断；
④△BNF是等腰直角三角形，而P点是动点，无法保证△POF是等腰直角三角形，故④可判断；
⑤连接MO、NO，证明OP=OM=ON，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，即可证明．
【详解】
∵四边形ABCD正方形，AC、BD为对角线，
∴∠MAE=∠EAP=45°，
根据题意MP⊥AC，故∠AEP=∠AEM=90°， ∴∠AME=∠APE=45°，
在三角形与中，

∴ASA，
故①正确；
∴AE=ME=EP=MP，
同理，可证△PBF≌△NBF，PF=FN=NP，
∵正方形ABCD中，AC⊥BD，
又∵PM⊥AC，PN⊥BD，
∴∠PEO=∠EOF=∠PFO=90°，
∴四边形PEOF为矩形，
∴PF=OE，
∴OE+AE=PF+PE=NF+ME=AO，
又∵ME=PE=MP，
FP=FN=NP，OA=AC，
∴ PM+PN=AC，
故②正确；
∵四边形PEOF为矩形，
∴PE=OF，
在直角三角形OPF中，，
∴，
故③正确；
∵△BNF是等腰直角三角形，而P点是动点，无法保证△POF是等腰直角三角形，
故④错误；
连接MO、NO，
在△OEM和△OEP中，

∴△OEM≌△OEP，OM=OP，
同理可证△OFP≌△OFN，OP=ON，
又∵∠MPN=90°，
OM=OP=ON，
∴M,N,P在以O为圆心，OP为半径的圆上，
又∵∠MPN=90°，
∴MN是圆O的直径，
∴点在两点的连线上．
故⑤正确．
故选择B．
【点拨】本题主要考查几何综合问题，掌握正方形、矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理是解答本题的关键．
5．B
【分析】
如图，连接DD＇,延长C＇D＇交AD于E，由菱形ABC＇D＇，可得AB∥C＇D＇,进一步说明∠ED＇D=30°,得到菱形AE=AD;又由正方形ABCD,得到AB=AD,即菱形的高为AB的一半,然后分别求出菱形ABC＇D＇和正方形ABCD的面积,最后求比即可．
【详解】
解：如图：延长C＇D＇交AD于E
∵菱形ABC＇D＇
∴AB∥C＇D＇
∵∠D＇AB=30°
∴∠A D＇E=∠D＇AB=30°
∴AE=AD
又∵正方形ABCD
∴AB=AD,即菱形的高为AB的一半
∴菱形ABC′D′的面积为，正方形ABCD的面积为AB2．
∴菱形ABC′D′的面积与正方形ABCD的面积之比是．
故答案为B．

【点拨】本题主要考出了正方形的性质、菱形的性质以及含30°直角三角形的性质，其中表示出菱形ABC′D′的面积是解答本题的关键．
6．C
【分析】
①正确．证明，即可判断．
②正确．利用平行线分线段成比例定理，等腰直角三角形的性质解决问题即可．
③正确．作于，设，，则，，通过计算证明即可解决问题．
④错误．设的面积为，由，推出，，推出的面积为，的面积为，推出的面积的面积，由此即可判断．
【详解】
∵四边形是正方形，
，，
∵，
，
，
在与中，
，
，
；故①正确；
∵，
，
∵，
，
，
，
∵，
，
；故②正确；
作于，设，，则，，

由，可得，
由，可得，
，
∵，
，
，
∵，，
，
∵，
；故③正确，
设的面积为，
∵，
，，
的面积为，的面积为，
的面积的面积，
，故④错误，
故选C．
【点拨】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用参数解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
7．D
【分析】
根据中心对称的性质即可作出剪痕，根据三角形全等的性质即可证得EM=DN，利用勾股定理即可求得．
【详解】
如图，为剪痕，过点作于.

∵将该图形分成了面积相等的两部分，
∴经过正方形对角线的交点，
∴.
易证，
∴，
而，
∴.
在中， .
故选D.
【点拨】本题考查了图形的剪拼，中心对称的性质，勾股定理的应用，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键．
8．D
【分析】
根据翻折变换的性质和正方形的性质可证Rt△ABG≌Rt△AFG；根据角的和差关系求得∠GAF=45°；在直角△ECG中，根据勾股定理可证CE=2DE；通过证明∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，由平行线的判定可得AG∥CF；求出S△ECG，由S△FCG=即可得出结论．
【详解】
①正确．理由：
∵AB=AD=AF，AG=AG，∠B=∠AFG=90°，∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）；
②正确．理由：
∵∠BAG=∠FAG，∠DAE=∠FAE．
又∵∠BAD=90°，∴∠EAG=45°；
③正确．理由：
设DE=x，则EF=x，EC=12-x．在直角△ECG中，根据勾股定理，得：（12﹣x）2+62=（x+6）2，解得：x=4，∴DE=x=4，CE=12-x=8，∴CE=2DE；
④正确．理由：
∵CG=BG，BG=GF，∴CG=GF，∴∠GFC=∠GCF．
又∵Rt△ABG≌Rt△AFG，∴∠AGB=∠AGF，∠AGB+∠AGF=2∠AGB=∠GFC+∠GCF=2∠GFC=2∠GCF，∴∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，∴AG∥CF；

⑤正确．理由：
∵S△ECG=GC•CE=×6×8=24．
∵S△FCG===．
故选D．
【点拨】本题考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，三角形的面积计算等知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用．
9．C
【分析】
过点作E⊥y轴于E，根据四边形OABC是正方形，得到OC=BC=OA=4，∠ABC=∠BCO=90°，由∠CPB=60°及折叠的性质得到C=BC=4，∠CB=60°，推出∠CE=30°，E=2，根据勾股定理求出CE=，即可得到答案.
【详解】
过点作E⊥y轴于E，
∵四边形OABC是正方形，点A的坐标是（4，0），
∴OC=BC=OA=4，∠ABC=∠BCO=90°，
∵∠CPB=60°，
∴∠PCB=30°，
由折叠得C=BC=4，∠CB=60°，
∴∠CE=30°，
∴E=2，
∴CE=,
∴B′（2，），
故选：C.

【点拨】此题考查正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，直角坐标系中点的坐标，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握各知识点并运用解决问题是解题的关键.
10．C
【详解】
如图，取AD的中点M，连接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N．

∵四边形ABCD是平行四边形，∠BCD=120°，
∴∠D=180°-∠BCD=60°，AB=CD=2，
∵AM=DM=DC=2，
∴△CDM是等边三角形，
∴∠DMC=∠MCD=60°，AM=MC，
∴∠MAC=∠MCA=30°，
∴∠ACD=90°，
∴AC=2，
在Rt△ACN中，∵AC=2，∠ACN=∠DAC=30°，
∴AN=AC=，
∵AE=EH，GF=FH，
∴EF=AG，
易知AG的最大值为AC的长，最小值为AN的长，
∴AG的最大值为2，最小值为，
∴EF的最大值为，最小值为，
∴EF的最大值与最小值的差为．
点睛：本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理、等边三角形的判定和性质、直角三角形30度角性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，本题的突破点是证明∠ACD=90°，属于中考选择题中的压轴题．
11．A
【详解】
试题解析：作G′I⊥CD于I，G′R⊥BC于R，E′H⊥BC交BC的延长线于H．连接RF′．则四边形RCIG′是正方形．

∵∠DG′F′=∠IGR=90°，∴∠DG′I=∠RG′F′，在△G′ID和△G′RF中，∵G′D= G′F，∠D G′I=∠R G′F′，G′I= G′R，∴△G′ID≌△G′RF，∴∠G′ID=∠G′RF′=90°，∴点F′在线段BC上，在Rt△E′F′H中，∵E′F′=2，∠E′F′H=30°，∴E′H=E′F′=1，F′H=，易证△RG′F′≌△HF′E′，∴RF′=E′H，RG′RC=F′H，∴CH=RF′=E′H，∴CE′=，∵RG′=HF′=，∴CG′=RG′=，∴CE′+CG′=．
故选A．
12．D
【分析】
设正方形DEMN、正方形EFPH的边长分别为m、n，它们的面积和为S，根据等边三角形的性质得∠A=∠B=60°，利用含30度的直角三角形三边的关系得 ，，则 ，所以 ， ，接着确定m的取值范围为： ，然后根据二次函数的性质求出S的最小值．
【详解】
解：设正方形DEMN、正方形EFPH的边长分别为m、n，它们的面积和为S，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A=∠B=60°， ，
在Rt△ADN中，，
在Rt△BPF中，，
∵BD+DE+EF+CF=AB，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵当点M落在AC上，则正方形DEMN的边长最大，正方形EFPH的边长最小，
当点H落在BC上，则正方形DEMN的边长最小，正方形EFPH的边长最大，
∴当点M落在AC上时：
为正三角形，
在中，，，
∴ ，解得
在中，，
∵BD+DE+EF+CF=AB，
∴
解得，
∴，
∴当 时，S最小，S的最小值为 ．
故选D．
【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；利用相似比计算相应线段的长．也考查了正方形的性质、等边三角形的性质和二次函数的性质．
13．C
【分析】
如图，过点F作FJ⊥AD于J，过点Q作QK⊥BC于K．想办法求出PB，BK，QK，再利用勾股定理即可解决问题．
【详解】
解：如图，过点F作FJ⊥AD于J，过点Q作QK⊥BC于K．

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠ABC=90°，AB=AD=4，
由翻折的性质可知，EG=DE，
设EG=DE=x，
在Rt△AEG中，则有22+（4-x）2=x2，
∴x=，
∴EG=DE=，
∵EF⊥DG，
∴∠FEJ+∠ADG=90°，∠ADG+∠AGD=90°，
∴∠FEJ=∠AGD，
∵∠A=∠FJE=90°，FJ=AB=AD，
∴△FJE≌△DAG（AAS），
∴EJ=AG=2，
∴DJ=CF=，
∴BF=BC-CF=，
∵BD=AB=4，DE∥BF，
∴BQ：DQ=BF：DE=7：5，
∴BQ=BD=，
∵∠KBQ=45°，
∴BK=QK=，
∵∠A=∠GBP=90°，AG=GB，∠AGE=∠BGP，
∴△AGE≌△BGP（ASA），
∴AE=PB=，
∴PK=PB+BK=，
∴．
故选：C．
【点拨】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
14．
【分析】
先作辅助线构造直角三角形，求出CH和MG的长，再求出MH的长，最后利用勾股定理求解即可．
【详解】
解:如图,作OK⊥BC，垂足为点K，
∵正方形边长为4，
∴OK=2，KC=2，
∴KC=CE，
∴CH是△OKE的中位线
∴，
作GM⊥CD，垂足为点M，
∵G点为EF中点，
∴GM是△FCE的中位线，
∴，，
∴，
在Rt△MHG中，，
故答案为：．

【点拨】本题综合考查了正方形的性质、三角形中位线定理、勾股定理等内容，解决本题的关键是能作出辅助线构造直角三角形，得到三角形的中位线，利用三角形中位线定理求出相应线段的长，利用勾股定理解直角三角形等．
15．3或或或
【分析】
将△ABC放入正方形中，分∠ABC=90°，∠BAC=90°，再分别分AB=BC=6，AC=6，进行解答．
【详解】
解：∵△ABC三个顶点都是同一个正方形的顶点，
如图，若∠ABC=90°，
则∠ABC的平分线为正方形ABCD的对角线，D为对角线交点，
过点D作DF⊥AB，垂足为F，
当AB=BC=6，
则DF=BC=3；
当AC=6，
则AB=BC==，
∴DF=BC=；

如图，若∠BAC=90°，过点D作DF⊥BC于F，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，AD=DF，
又∠BAD=∠BFD=90°，BD=BD，
∴△BAD≌△BFD（AAS），
∴AB=BF，
当AB=AC=6，
则BC=，
∴BF=6，CF=，
在正方形ABEC中，∠ACB=45°，
∴△CDF是等腰直角三角形，则CF=DF=AD=；
当BC=6，
则AB=AC==，
同理可得：，

综上：点D到直线AB的距离为：3或或或，
故答案为：3或或或．
【点拨】本题考查了正方形的性质，角平分线的定义，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，知识点较多，解题时要结合题意画出符合题意的图形，分情况解答．
16．
【分析】
如下图所示，△ENC、△MPF为等腰直角三角形，先求出MB=NC=，证明△PBC≌△PEC，进而得到EP=BP，设MP=x，则EP=BP=，解出x，最后阴影部分面积等于2倍△BPC面积即可求解．
【详解】
解：过E点作MN∥BC交AB、CD于M、N点，设AB与EF交于点P点，连接CP,如下图所示，

∵B在对角线CF上，∴∠DCE=∠ECF=45°，EC=1，
∴△ENC为等腰直角三角形，
∴MB=CN=EC=，
又BC=AD=CD=CE，且CP=CP，△PEC和△PBC均为直角三角形，
∴△PEC≌△PBC(HL)，
∴PB=PE，
又∠PFB=45°，∴∠FPB=45°=∠MPE，
∴△MPE为等腰直角三角形，
设MP=x，则EP=BP=，
∵MP+BP=MB，
∴，解得，
∴BP=，
∴阴影部分的面积=．
故答案为：．
【点拨】本题考查了正方形的性质及旋转的性质，本题关键是能想到过E点作BC的平行线，再证明△ENC、△MPF为等腰直角三角形进而求解线段长.
17．①②③④
【分析】
①正确．证明∠ADM＝30°，即可得出结论．
②正确．证明△DHM是等腰直角三角形即可．
③正确．首先证明四边形CEMD是平行四边形，再证明，DM＞CD即可判断．
④正确．证明∠AHM＜∠BAC＝45°，即可判断．
【详解】
解：如图，连接DH，HM．

由题可得，AM＝BE，
∴AB＝EM＝AD，
∵四边形ABCD是正方形，EH⊥AC，
∴EM＝AD，∠AHE＝90°，∠MEH＝∠DAH＝45°＝∠EAH，
∴EH＝AH，
∴△MEH≌△DAH（SAS），
∴∠MHE＝∠DHA，MH＝DH，
∴∠MHD＝∠AHE＝90°，△DHM是等腰直角三角形，
∴DM＝HM，故②正确；
当∠DHC＝60°时，∠ADH＝60°﹣45°＝15°，
∴∠ADM＝45°﹣15°＝30°，
∴Rt△ADM中，DM＝2AM，
即DM＝2BE，故①正确；
∵CD∥EM，EC∥DM，
∴四边形CEMD是平行四边形，
∵DM＞AD，AD＝CD，
∴DM＞CD，
∴四边形CEMD不可能是菱形，故③正确，
∵点M是边BA延长线上的动点（不与点A重合），且AM＜AB，
∴∠AHM＜∠BAC＝45°，
∴∠CHM＞135°，故④正确；
由上可得正确结论的序号为①②③．
故答案为：①②③④．
【点拨】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
18．8
【分析】
点F在以E为圆心、EA为半径的圆上运动，当E、F、C共线时时，此时FC的值最小，根据勾股定理求出CE，再根据折叠的性质得到BE＝EF＝5即可．
【详解】
解：如图所示，点F在以E为圆心EA为半径的圆上运动，当E、F、C共线时时，此时CF的值最小，

根据折叠的性质，△EBP≌△EFP，
∴EF⊥PF，EB＝EF，
∵E是AB边的中点，AB＝10，
∴AE＝EF＝5，
∵AD＝BC＝12，
∴CE＝＝＝13，
∴CF＝CE﹣EF＝13﹣5＝8．
故答案为8．
【点拨】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短的综合运用，灵活应用相关知识是解答本题的关键．
19．①②③④⑤⑥⑦
【分析】
设正方形的边长为3，假设F为DC的中点，证明进而证明PE=PB可得假设成立，故可对①进行判断；由勾股定理求出EF的长即可对② 进行判断；过B作BG⊥EF，证明即可对③进行判断；过点E作EH⊥BF，利用三角形BEF的面积求出EH和BH的长，判断△BEH是等腰直角三角形即可对④进行判断；过F作 FQ//AD，利用平行线的性质得，从而可对⑤进行判断；根据DE，DF，EF的长可对⑥进行判断；根据BF和CF的长可对⑦进行判断．
【详解】
如图，不妨设正方形ABCD的边长为3，即，
，
，，

①假设F为CD的中点，延长EF交BC的延长线于点P，
在和中



由勾股定理得，，
，，
，
，故假设成立，
，故①正确；
②，，
，
而，
，故②正确；
③过B作，垂足为G，



而


在和中，

∴
，
即，故③正确；
④过E和，垂足为H，
∵，
又，
，

在中，，，


在中，，
，
而

是等腰直角三角形，
，
，故④正确；
⑤过F作FQ// AD，交AB于Q，则FQ// BC，
，，

，
，故⑤正确；
⑥，，
，故⑥正确；
⑦，，
，故⑦正确；
综上所述，正确的结论是①②③④⑤⑥⑦．
故答案为：①②③④⑤⑥⑦．
【点拨】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，假设出AB=3是解答此题的关键．
20．．
【分析】
根据折叠可得是正方形，，，，可求出三角形的三边为3，4，5，在中，由勾股定理可以求出三边的长，通过作辅助线，可证∽，三边占比为3：4：5，设未知数，通过，列方程求出待定系数，进而求出的长，然后求的长．
【详解】
过点作，，垂足为、，
由折叠得：是正方形，，
，，，
∴，
在中，，
∴，
在中，设，则，由勾股定理得，
，
解得：，
∵，，
∴∽，
∴，
设，则，，
∴，，
解得：，
∴，
∴，
故答案为．

【点拨】考查折叠轴对称的性质，矩形、正方形的性质，直角三角形的性质等知识，知识的综合性较强，是有一定难度的题目．
21．①②③．
【分析】
①解法一：如图1，作辅助线，构建三角形全等和平行四边形，证明，得BG=PE，再证明四边形ABGP是平行四边形，可得结论；
解法二：如图2，连接AE，利用四点共圆证明△APE是等腰直角三角形，可得结论；
②如图3，作辅助线，证明四边形DCGP是平行四边形，可得结论；
③证明四边形OCGF是矩形，可作判断；
④证明，则，可作判断．
【详解】
①解法一：如图1，在EF上取一点G，使FG＝FP，连接BG、PG，

∵EF⊥BP，
∴∠BFE＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠FBC＝∠ABD＝45°，
∴BF＝EF，
在△BFG和△EFP中，
∵ ，
∴△BFG≌△EFP（SAS），
∴BG＝PE，∠PEF＝∠GBF，
∵∠ABD＝∠FPG＝45°，
∴AB∥PG，
∵AP⊥PE，
∴∠APE＝∠APF+∠FPE＝∠FPE+∠PEF＝90°，
∴∠APF＝∠PEF＝∠GBF，
∴AP∥BG，
∴四边形ABGP是平行四边形，
∴AP＝BG，
∴AP＝PE；
解法二：如图2，连接AE，∵∠ABC＝∠APE＝90°，

∴A、B、E、P四点共圆，
∴∠EAP＝∠PBC＝45°，
∵AP⊥PE，
∴∠APE＝90°，
∴△APE是等腰直角三角形，
∴AP＝PE，
故①正确；
②如图3，连接CG，由①知：PG∥AB，PG＝AB，

∵AB＝CD，AB∥CD，
∴PG∥CD，PG＝CD，
∴四边形DCGP是平行四边形，
∴CG＝PD，CG∥PD，
∵PD⊥EF，
∴CG⊥EF，即∠CGE＝90°，
∵∠CEG＝45°，
∴；
故②正确；
③如图4，连接AC交BD于O，由②知：∠CGF＝∠GFD＝90°，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
∴∠COF＝90°，
∴四边形OCGF是矩形，
∴CG＝OF＝PD，
∴，
故③正确；
④如图4中，在△AOP和△PFE中，
∵ ，
∴△AOP≌△PFE（AAS），
∴，
∴，
故④不正确；
本题结论正确的有：①②③，
故答案为①②③．
【点拨】此题属于四边形综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，正方形的性质，平行四边形和矩形的判定和性质，勾股定理，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．
22．6
【分析】
作于，如图，由于，则绕点旋转时，点在以为圆心，为半径的圆上，当为此圆的切线时，最大，即，利用勾股定理计算出，接着证得到，然后根据三角形面积公式求解．
【详解】
作于，如图，

，当绕点旋转时，点在以为圆心，为半径的圆上，
当为此圆的切线时，最大，即，
在中，,
，
，
，
，
在和中

，
，
．
故答案为．
【点拨】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质．
23．①②④⑤
【分析】
①由折叠的性质可得，然后证明≌()，可得，继而可判断①；②由①可得，，设，在中，，，利用勾股定理求出x的长，继而可得，且，从而可推导得出，可得，由此可判断②；③先求得，再根据进行求解，由此可判断③；④由可得，继而可得，，进而可得，求出DE可判断④；⑤设，，则，，根据勾股定理可得，求得，即，再根据，，可得，由可得，可判断⑤.
【详解】
①∵四边形是正方形，
∴，
∵将沿对折至，
∴，，，，
在和中，
∴≌()，
∴，
∴，故①正确；
②∴，，
设，∵，
∴，
∴，
在中，，，
由勾股定理可得，解得，此时，
∴，
∴，
且，
∴，
∴，
∴，
∴②正确；
③若为的中点，则，
设，则，
，
即，
解得，，
∴，，
∴，
∴，
故③错误；
④当，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，即，
∴，
故④正确；
⑤设，，则，，
由勾股定理得，，整理得，
∴，
即，
∵，
∴，
∵，
∴，
故⑤正确，
故答案为①②④⑤．
【点拨】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理的应用，三角形的面积，全等三角形的判定与性质等，综合性较强，有一定的难度，熟练掌握并灵活运用相关知识是解题的关键.注意数形结合思想的应用.
24．
【详解】
如图，延长BA到D，使AD=BC，连接OD，OA，OC，

∵四边形ACEF是正方形，∴∠AOC=90°，CO=AO，
∵∠ABC=90°，∠ABC+∠AOC=180°，
∴∠BCO+∠BAO=180°，∠BCO=∠DAO，
在△BCO与△DAO中，

∴△BCO≌△DAO（SAS），
∴OB=OD，∠BOC=∠DOA，∴∠BOD=∠COA=90°，
∴△BOD是等腰直角三角形，∴BD=，
∵BD=AB+AD=AB+BC=8，∴OB=.
故答案为.
25．①③⑤
【分析】
①利用同角的余角相等，易得∠EAB=∠PAD，再结合已知条件利用SAS可证两三角形全等； 
②过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，利用③中的∠BEP=90°，利用勾股定理可求BE，结合△AEP是等腰直角三角形，可证△BEF是等腰直角三角形，再利用勾股定理可求EF、BF； 
③利用①中的全等，可得∠APD=∠AEB，结合三角形的外角的性质，易得∠BEP=90°，即可证； 
④连接BD，求出△ABD的面积，然后减去△BDP的面积即可； 
⑤在Rt△ABF中，利用勾股定理可求AB2，即是正方形的面积．
【详解】
①∵∠EAB+∠BAP=90°，∠PAD+∠BAP=90°， 
∴∠EAB=∠PAD， 
又∵AE=AP，AB=AD， 
∵在△APD和△AEB中， 
， 
∴△APD≌△AEB（SAS）； 
故此选项成立； 
③∵△APD≌△AEB， 
∴∠APD=∠AEB， 
∵∠AEB=∠AEP+∠BEP，∠APD=∠AEP+∠PAE， 
∴∠BEP=∠PAE=90°， 
∴EB⊥ED； 
故此选项成立； 
②过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F， 
∵AE=AP，∠EAP=90°， 
∴∠AEP=∠APE=45°， 
又∵③中EB⊥ED，BF⊥AF， 
∴∠FEB=∠FBE=45°， 
又∵BE= = = ， 
∴BF=EF= ， 
故此选项不正确； 
④如图，连接BD，在Rt△AEP中，
 
∵AE=AP=1， 
∴EP= ， 
又∵PB= ， 
∴BE= ， 
∵△APD≌△AEB， 
∴PD=BE= ， 
∴S △ABP+S △ADP=S △ABD-S △BDP= S 正方形ABCD- ×DP×BE= ×（4+ ）- × × = + ． 
故此选项不正确． 
⑤∵EF=BF= ，AE=1， 
∴在Rt△ABF中，AB 2=（AE+EF） 2+BF 2=4+ ， 
∴S 正方形ABCD=AB 2=4+ ， 
故此选项正确． 
故答案为①③⑤．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质的运用、正方形的性质的运用、正方形和三角形的面积公式的运用、勾股定理的运用等知识．
26．（1）四边形是垂美四边形，理由见解析；（2），证明见解析；（3）．
【分析】
（1）连接，先根据线段垂直平分线的判定定理可证直线是线段的垂直平分线，再根据垂美四边形的定义即可得证；
（2）先根据垂美四边形的定义可得，再利用勾股定理解答即可；
（3）设分别交于点，交于点，连接，先证明，得到，再根据角的和差可证，即，从而可得四边形是垂美四边形，然后结合（2）的结论、利用勾股定理进行计算即可得．
【详解】
证明：（1）四边形是垂美四边形，理由如下：
如图，连接，

∵，
∴点在线段的垂直平分线上，
∵，
∴点在线段的垂直平分线上，
∴直线是线段的垂直平分线，即，
∴四边形是垂美四边形；
（2）猜想，证明如下：
∵四边形是垂美四边形，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
，
∴；
（3）如图，设分别交于点，交于点，连接，

∵四边形和四边形都是正方形，
∴，
∴，即，
在和中，，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，即，
∴四边形是垂美四边形，
由（2）得：，
∵是的斜边，且，，
∴，，
在中，，
在中，，
∴，
解得或（不符题意，舍去），
故的长为．
【点拨】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定定理与性质、线段垂直平分线的判定、勾股定理等知识点，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题关键．
27．问题解决：（1）见解析；（2）等腰三角形，理由见解析；类比迁移：8
【分析】
问题解决：（1）证明矩形ABCD是正方形，则只需证明一组邻边相等即可．结合和可知，再利用矩形的边角性质即可证明，即，即可求解；
（2）由（1）中结论可知，再结合已知，即可证明，从而求得是等腰三角形；
类比迁移：由前面问题的结论想到延长到点，使得，结合菱形的性质，可以得到，再结合已知可得等边，最后利用线段BF长度即可求解．
【详解】
解：问题解决：
（1）证明：如图1，∵四边形是矩形，
．
．
．
．

又．
∴矩形是正方形．
（2）是等腰三角形．理由如下：
，
．
又，即是等腰三角形．
类比迁移：
如图2，延长到点，使得，连接．
∵四边形是菱形，
．
．
．

又．
是等边三角形，
，
．
【点拨】本题考查正方形的证明、菱形的性质、三角形全等的判断与性质等问题，属于中档难度的几何综合题．理解题意并灵活运用，做出辅助线构造三角形全等是解题的关键．
28．①；②．
【分析】
①过点作于点，连接，可得，根据材料可知，再由等腰三角形性质可知，即可求出；
②连接CE，证明，即可得，由此即可求解．
【详解】
解：①过点作于点，连接，

∵在正方形中，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵在正方形中，，
∴；
②，
过程如下：如解图3，连接CE，

∵在正方形、正方形中，
∴，
∴，
∴，
∵在正方形中，，，
∴．
【点拨】本题主要考查了正方形性质和平行线判定和性质以及三角形面积，解题关键是理解阅读材料，根据平行线找到等底等高的三角形．
29．（1）见解析；（2）；理由见解析（3）
【分析】
（1）根据正方形性质以及题意证明即可得出结论；
（2）根据已知条件证明，然后证明为等腰直角三角形即可得出结论；
（3）先证明，得出为等腰直角三角形，根据勾股定理以及等腰直角三角形的性质求出的长度，即可得出结论．
【详解】
解：（1）∵四边形是正方形，，，三点共线，
∴,
∵，
∴，
∴,
在和中，
,
∴,
∴;
（2）∵，四边形是正方形，
∴,,
∴,
∵，，
∴,
∴,
在和中，
,
∴,
∴,
∴为等腰直角三角形，
∴,
即；
（3）过点D作于点H，连接BD，

∵，
∵，
∴，
∵,
∴，
在和中，
,
∴,
∴，，
∵且,
∴为等腰直角三角形，
∴，
在中，,
∴,
∵是正方对角线，
∴,
∵
∴,
∴为等腰直角三角形，
∴,
∴在中，,
∴．
【点拨】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形判定与性质，熟知性质定理是解本题的关键．
30．（1）DG＝DN，且DG⊥DN；（2）成立，理由见解析；（3）GN＝或
【分析】
（1）如图1中，连接AE，AF，CN．证明△GAD≌△NCD（SAS），推出DG=DN，∠ADG=∠CDN，推出∠GDN=∠ADC=90°，可得结论；
（2）如图2中，作直线EF交AD于J，交BC于K，连接CN．证明△GAD≌△NCD（SAS），推出DG=DN，∠ADG=∠CDN，推出∠GDN=∠ADC=90°，可得结论；
（3）分两种情形：如图3-1中，当点G落在AD上时，如图3-2中，当点G落在AB上时，分别利用勾股定理求出GN即可．
【详解】
解：（1）如图1中，连接AE，AF，CN．

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=CB=CD，∠B=∠ADF=90°，
∵CE=CF，
∴BE=DF，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AE=AF，
∵EN=NF，
∴AN⊥EF，CN=NF=EN，
∵CE=CF，EN=NF，
∴CN⊥EF，
∴A，N，C共线，
∵四边形ANFG是平行四边形，∠ANF=90°，
∴四边形ANFG是矩形，
∴AG=FN=CN，∠GAN=90°，
∵∠DCA=∠DAC=45°，
∴∠GAD=∠NCD=45°，
∴△GAD≌△NCD（SAS），
∴DG=DN，∠ADG=∠CDN，
∴∠GDN=∠ADC=90°，
∴DG⊥DN，DG=DN．
故答案为：DG⊥DN，DG=DN；
（2）结论成立．
理由：如图2中，作直线EF交AD于J，交BC于K，连接CN．

∵四边形ANFG是平行四边形，
∴AG∥KJ，AG=NF，
∴∠DAG=∠J，
∵AJ∥BC，
∴∠J=∠CKE，
∵CE=CF，EN=NF，
∴CN=NE=NF=AG，CN⊥EF，
∴∠ECN=∠CEN=45°，
∴∠EKC+∠ECK=∠ECK+∠DCN，
∴∠DCN=∠CKE，
∴∠GAD=∠DCN，
∵GA=CN，AD=CD，
∴△GAD≌△NCD（SAS），
∴DG=DN，∠ADG=∠CDN，
∴∠GDN=∠ADC=90°，
∴DG⊥DN，DG=DN；
（3）如图3-1中，当点G落在AD上时，

∵△ECN是等腰直角三角形，EC=5，
∴EN=CN=NF=5，
∵四边形ANFG是平行四边形，
∴AG=NF=5，
∵AD-CD=12，
∴DG=DN=7，
∴GN=7．
如图3-2中，当点G落在AB上时，

同法可证，CN=5，
∵△DAG≌△DCN，
∴AG=CN=5，
∴BG=AB-AG=7，BN=BC+CN=17，

综上所述，满足条件的GN的值为或
【点拨】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考常考题型．