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浙教版八年级数学下册基础知识专项讲练 专题6.38 反比例函数（全章复习与巩固）（知识讲解）
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这是一份浙教版八年级数学下册基础知识专项讲练 专题6.38 反比例函数（全章复习与巩固）（知识讲解），共27页。
1．使学生理解并掌握反比例函数的概念，能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，能判断一个给定函数是否为反比例函数；
2．能描点画出反比例函数的图象，会用待定系数法求反比例函数的解析式；
3．能根据图象数形结合地分析并掌握反比例函数的性质，能利用这些性质分析和解决一些简单的实际问题.
【要点梳理】
要点一、反比例函数的概念
一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数.
特别说明：在中，自变量的取值范围是， ()可以写成()的形式，也可以写成的形式.
要点二、反比例函数解析式的确定
反比例函数解析式的确定方法是待定系数法.由于反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要知道一对的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出的值，从而确定其解析式.
要点三、反比例函数的图象和性质
1.反比例函数的图象
反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限．它们关于原点对称，反比例函数的图象与轴、轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交．
特别说明：
观察反比例函数的图象可得：和的值都不能为0，并且图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是坐标原点．
①的图象是轴对称图形，对称轴为两条直线；
②的图象是中心对称图形，对称中心为原点（0，0）；
③(k≠0)在同一坐标系中的图象关于轴对称，也关于轴对称.
注：正比例函数与反比例函数，
当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称.
2.反比例函数的性质
（1）图象位置与反比例函数性质
当时，同号，图象在第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小；当时，异号，图象在第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大.
（2）若点()在反比例函数的图象上，则点（）也在此图象上，故反比例函数的图象关于原点对称.
（3）正比例函数与反比例函数的性质比较
（4）反比例函数y＝中的意义
①过双曲线(≠0) 上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为.
②过双曲线(≠0) 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为.
要点四、应用反比例函数解决实际问题须注意以下几点
1．反比例函数在现实世界中普遍存在，在应用反比例函数知识解决实际问题时，要注意将实际问题转化为数学问题.
2．列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围.
【典型例题】
【类型一】反比例函数的定义★★求参数★★函数值★★自变量取值范围
1、已知反比例函数．
说出这个函数的比例系数和自变量的取值范围．
求当时函数的值．
求当时自变量x的值．
答案:(1)；(2)；(3)
分析：（1）根据是反比例函数的比例系数，在分母上求出取值范围即可；
（2）把，代入解析式，求出值，即可得解；
（3）把，代入解析式，求出值，即可得解．
（1）解：∵，
∴；
（2）解：把，代入得：；
∴当时函数的值为：；
（3）解：把，代入得：，解得：；
∴当时的值为：．
【点拨】本题考查反比例函数的定义以及求自变量或函数值．熟练掌握反比例函数的定义，是解题的关键．
举一反三：
【变式1】在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数的图象经过点和点，求m的值．
答案:-3
分析：由反比例函数的图象及其性质将A、B点代入反比例函数即可求得m的值为-3．
解：∵反比例函数的图象经过点，
∴．
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
解得：．
故m的轴为-3．
【点拨】本题考查了反比例函数值的求法，明确图象上点的坐标和解析式的关系是解题的关键．
【变式2】若分式方程的解为，试判断点和点是否在反比例函数的图像上．
答案:点不在反比例函数的图像上，点在反比例函数的图像上
分析：解分式方程得出的值，将其带入点和点，得出两点的坐标，再验证两点坐标是否在反比例函数上即可得出答案．
解：由题，解方程
去分母，得，即，解得，
经检验是原分式方程的解，
∴
∵反比例函数，
∴
∵，
∴，
∴点不在反比例函数的图像上，点在反比例函数的图像上．
【点拨】本题考查解分式方程，以及判断坐标系中点是否在反比例函数上，熟练掌握解分式方程的步骤，尤其注意检验是本题解题关键．
【类型二】反比例函数的解析式★★一次函数解析式➽➼面积★★最值
2、如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于，B两点，轴．垂足为C．
求双曲线的解析式，并直接写出点B的坐标．
求的面积．
答案:(1)，；(2)9
分析：（1）先求出点A的坐标，把点A的坐标代入求得k的值，即可得到双曲线的解析式，再令，解得，即可得到点B的坐标；
（2）先求出点C的坐标，再利用即可得到的面积．
（1）解：把点代入中得到，，
∴ 点，
把点代入得，
解得，
∴，
令，
解得，
∵点B在第三象限，
∴，
当时，，
∴点B的坐标是；
（2）∵点B的坐标是，轴，
∴点C的坐标是，
∴，
∴，
即的面积为9．
【点拨】此题是反比例函数和一次函数综合题，考查了待定系数法、反比例函数和一次函数的图象交点问题、三角形的面积等知识，数形结合和准确计算是解题的关键．
举一反三：
【变式1】如图，在矩形中，，点D是边的中点，反比例函数的图像经过点D，交于点E．
求k的值及直线的解析式；
在x轴上找一点P，使的周长最小，求此时点P的坐标．
答案:(1)，；(2)
分析：（1）先求出点D的坐标，再把点D的坐标代入反比例函数解析式求出反比例函数解析式，进而求出点E的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式即可；
（2）如图所示，作点D关于x轴对称的点G，连接交x轴于P，则，由轴对称的性质推出当最小时，的周长最小，即此时三点共线，求出直线的解析式为，再求出当时，，即可得到．
（1）解：∵在矩形中，，
∴，，
∴，
∵点D是边的中点，
∴，
∵反比例函数的图像经过点D，
∴，
∴，
∴反比例函数的解析式为，
当时，，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为；
（2）解：如图所示，作点D关于x轴对称的点G，连接交x轴于P，
∴，
由轴对称的性质可知，
∴的周长，
∵是定值，
∴当最小时，的周长最小，即此时三点共线，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
在中，当时，，
∴．
【点拨】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，矩形的性质，轴对称——最短路线问题，正确的理解题意是解题的关键．
【变式2】如图，一次函数（）的图象分别与轴、轴交于点、点，且．直线与反比例函数（，）的图象交于点．
求一次函数与反比例函数的表达式；
在该反比例函数图象上存在点，且到轴的距离为6，连接，直线交轴于点，求的面积．
答案:(1)一次函数的表达式，反比例函数的表达式为；(2)8
分析：（1）先求得点坐标，将、代入一次函数表达式，得到一次函数的表达式，再求得点的坐标，将点代入反比例函数解析式即可求解；
（2）求得点坐标，再求得直线解析式，再求得点坐标，由图形可得，分别求得和即可求解．
（1）解： ，
，
又，
．
将，分别代入中，得 ，
解得：，
一次函数的表达式．
将代入中，
得，
．
将代入中，得，
，
该反比例函数的表达式为．
（2）解：点到y轴的距离为，点在第二象限，
．
在的图象上，
，
，
设直线的表达式为，
将，分别代入中，得 ，
解得：，
直线的表达式为．
直线交轴于点，
当时，，
，
．
．
【点拨】此题主要考查了一次函数与反比例函数的综合应用，涉及了割补法求解三角形面积，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．
【类型三】反比例函数的图象与性质
①、反比例函数的图象➽➼位置★★增减性
3、作出反比例函数的图象，结合图象回答：
当时，y的取值范围；
当时，x的取值范围．
答案:(1)；(2)或
分析：（1）先求出当时，；当时，，然后根据反比例函数的增减性进行求解即可；
（2）先求出当时，；当时，，然后根据反比例函数的增减性进行求解即可．
（1）解：当时，；当时，，
∵，
∴反比例函数经过第二、四象限，且在每个象限内y随x增大而增大，
∴当时，；
（2）解：当时，；当时，，
∵，
∴反比例函数经过第二、四象限，且在每个象限内y随x增大而增大，
∴当时，或．
【点拨】本题主要考查了反比例函数的增减性，解题的关键在于熟知反比例函数的性质．
举一反三：
【变式1】 已知反比例函数，且当时，随的增大而减小．
若该函数图像经过点，求实数的值；
求实数的取值范围及该函数图像经过的象限．
答案:(1)；(2)，该函数图像经过第一、三象限
分析：（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据反比例函数的增减性得出，进而得出经过的象限，即可求解．
（1）解：∵该函数图像经过点，
∴，
解得：．
（2）解：∵当时，随的增大而减小，
∴．
∴的取值范围是．
∴该函数图像经过第一、三象限．
【点拨】本题考查了待定系数法求解析式，反比例函数图象的性质，掌握反比例函数图象的性质是解题的关键．
【变式2】已知反比例函数及一次函数的图象相交于点，
求这两个函数的解析式；
(2) 一次函数的图象不经过第______象限，随的增大而______；
(3) 反比例函数的图象的两个分支分别在第______象限内，如果、两点在该双曲线的同一支上，且，那么______．
答案:(1)；；(2)二；增大；(3)二、四；
分析：（1）将点的坐标代入反比例函数求得反比例函数的解析式后进一步求得一次函数的解析式即可；
（2）根据一次函数解析式判断一次函数的增减性以及经过的的象限，即可求解；
（3）根据反比例函数的的符合确定其所在象限和增减性．
（1）解：将点，代入，
得①
∴反比例函数的解析式为，
将点代入，
得②
联立①②得
解得：
∴一次函数的解析式为；
（2）∵一次函数中，，，
一次函数的图象不经过第二象限，随的增大而增大；
故答案为：二；增大．
（3）∵反比例函数中的，
反比例函数的图象的两个分支分别在第二、四象限内，
如果、两点在该双曲线的同一支上，且，那么
故答案为：二、四；．
【点拨】本题考查了一次函数与反比例函数综合，掌握一次函数与反比例函数的性质是解题的关键．
②、反比例函数的图象➽➼比例系数★★面积
4、 如图，直线与反比例函数的图像交于点，点B是此反比例函数图形上任意一点（不与点A重合），轴于点C．
求k的值；
求的面积；
答案:(1)2；(2)1
分析：（1）将点，代入反比例函数即可求出，然后将A的坐标代入直线即可求出k的值．
（2）根据反比例函数k的几何意义求解即可．
解：（1）∵直线与反比例函数的图像交于点，
∴点，代入反比例函数即可求出，
∴，
将代入，得．
（2）设点B的坐标为，
∴，
∵点B在反比例函数上，
∴，
∴．
【点拨】此题考查了一次函数和反比例函数结合问题，反比例函数k的几何意义，解题的关键是根据题意求出a的值．
举一反三：
【变式1】 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点、在轴上，顶点在轴上，顶点在反比例函数的第一象限的图象上．
的取值范围为 ；
若平行四边形的面积为．
①求反比例函数的表达式；
②若时，求点的坐标．
答案:(1)；(2)①；②，
分析：（1）根据反比例函数的第一象限，得出，即可求解；
（2）①过点作轴于，证明，得出，则矩形的面积等于平行四边形的面积，即，即可求解；
②根据题意，平行四边形的面积为，，得出，即可求解．
（1）解：∵反比例函数在第一象限，
，
，
故答案为：；
（2）①过点作轴于，
四边形是平行四边形，则四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
矩形的面积等于平行四边形的面积，
，
反比例函数解析式为；
②平行四边形的面积为，，即，
，
，．
【点拨】本题考查了反比例函数与几何图形综合，反比例函数的几何意义，反比例函数图象的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键．
【变式2】如图，反比例函数的图象经过点．过点A作轴于点B，的面积为2．求：
k和b的值；
求所在直线的解析式．
答案:(1)，；(2)
分析：（1）根据反比例函数k的几何意义得到，求出k得到反比例函数解析式，然后把代入反比例函数解析式可求出b；
（2）利用待定系数法求直线的解析式．
解：（1）∵轴，
∴，
解得，
∴反比例函数解析式为，
把代入得；
（2）由（1）得，
设直线的解析式为，
把代入得，解得，
所以直线的解析式为．
【点拨】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，一般的，从反比例函数（k为常数，）图象上任一点P，向x轴和y轴作垂线，以点P及点P的两个垂足和坐标原点为顶点的矩形的面积等于常数，以点P及点P的一个垂足和坐标原点为顶点的三角形的面积等于．
【类型四】一次函数与反比例函数综合
5、 如图，直线y=kx+b与双曲线y=相交于A（1，2），B两点，与x轴相交于点C（4，0）．
分别求直线AC和双曲线对应的函数表达式；
连接OA，OB，求△AOB的面积；
直接写出当x＞0时，关于x的不等式kx+b＞的解集．
答案:(1)y=x+，y=；(2)△AOB的面积为；(3)1分析：（1）将点A ( 1，2 )代入y =，求得m=2，再利用待定系数法求得直线的表达式即可；
（2）解方程组求得点B的坐标，根据，利用三角形面积公式即可求解；
（3）观察图象，写出直线的图象在反比例函数图象的上方的自变量的取值范围即可．
（1）解：将点A ( 1，2 )代入y =，得m=2，
∴双曲线的表达式为： y=，
把A（1，2）和C（4，0）代入y=kx+b得：
y=，解得：，
∴直线的表达式为：y=x+；
（2）解：联立 ，
解得，或，
∵点A 的坐标为（1，2），
∴点B的坐标为（3，），
∵
=，
∴△AOB的面积为；
（3）解：观察图象可知：不等式kx+b>的解集是1【点拨】本题考查反比例函数与一次函数图象的交点问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数解析式，学会利用方程组求两个函数的交点坐标，学会利用分割法求三角形面积．
举一反三：
【变式1】 如图，一次函数与反比例函数的图像交于点和，与轴交于点．
求一次函数和反比例函数的解析式．
在轴上求一点，当的面积为3时，则点的坐标为______．
将直线向下平移2个单位后得到直线，当函数值时，求的取值范围．
答案:(1)，；(2)或；(3)或
分析：（1）将点A坐标代入反比例函数可求得反比例函数解析式，进而求得点B坐标，进而把A、B坐标代入一次函数解析式可求得一次函数的解析式．
（2）首先求得直线AB与x轴的交点P的坐标，设点N坐标为（0，n），进而可确定和三角形的底和高，再根据三角形面积求得点N的坐标即可；
（3）由题意可得直线的解析式，然后根据图像可进行求解．
（1）解：∵过点，
∴，
即反比例函数解析式为，
当时，，即，
∵过和，
可得，解得，
∴一次函数解析式为；
（2）如下图，设点P为一次函数与x轴的交点，
当时，有，
∴点P的坐标为（-1，0），
设点N的坐标为（n，0），则，
∵
，
∴，
解得或，
∴点N的坐标为或．
故答案为：或；
（3）如图，设与的图像交于、两点，
∵向下平移两个单位得，且，
∴，
将直线解析式与反比例函数解析式联立，
得，解得或，
∴，，
在A、两点之间或B、两点之间时，存在，
∴当函数值时，的取值范围为或．
【点拨】本题主要考查了一次函数和反比例函数综合，解题关键是熟练运用待定系数法求出解析式，利用数形结合思想解决问题．
【变式2】已知直线与反比例函数的图象在第一象限交于点．
求反比例函数的解析式；
如图，将直线向上平移个单位后与的图象交于点和点，求的值；
在（2）的条件下，设直线与轴、轴分别交于点，，求证：．
答案:(1)；(2)；(3)见分析
分析：（1）先根据一次函数求出M点坐标，再代入反比例函数计算即可；
（2）先求出A的点坐标，再代入平移后的一次函数解析式计算即可；
（3）过点作轴于点，过点作轴于点，即可根据A、B坐标证明，得到，，再求出C、D坐标即可得到OC=OD，即可证明．
解：（1）∵直线过点，
∴
∴将代入中，得，
∴反比例函数的表达式为
（2）∵点在的图象上，
∴，
∴
设平移后直线的解析式为，
将代入中，得4=1+b，
解得．
（3）如图，过点作轴于点，过点作轴于点．
∵在反比例函数的图象上，
∴n=-4，
∴B（-4，-1）
又∵，
∴，，
∴
∴，
∴，
又∵直线与轴、轴分别交于点，，
∴，，
∴
在和中，
∴．
【点拨】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，全等三角形的判定与性质，熟练根据坐标找线段关系是解题的关键．
【类型五】反比例函数的应用
6、 某种商品上市之初采用了大量的广告宣传，其销售量与上市的天数之间成正比，当广告停止后，销售量与上市的天数之间成反比（如图），现已知上市30天时，当日销售量为120万件．
写出该商品上市以后销售量y（万件）与时间x（天数）之间的表达式；
求上市至第100天（含第100天），日销售量在36万件以下（不含36万件）的天数；
广告合同约定，当销售量不低于100万件，并且持续天数不少于12天时，广告设计师就可以拿到“特殊贡献奖”，那么本次广告策划，设计师能否拿到“特殊贡献奖”？
答案:(1)；；(2)8；(3)能
分析：（1）分类讨论当时或当时，分别设函数解析式，代入求值即可；
（2）分类讨论当时或当时，分别不等式即可求解；
（3）分类讨论当时或当时，分别不等式即可求解；
（1）解：根据题意可知：
当时，设与的函数解析式为，
∴，
解得：，
∴；
当时，设与的函数解析式为，
∴，
解得：
∴
综上所述，该商品上市以后销售量y（万件）与时间x（天数）之间的表达式为：；．
（2）解：当时，
令，
解得：，
∴，
∴销量不到36万件的天数为8天；
当时，
令，
解得： （不符合题意），
∴上市至第100天（含第100天），日销售量在36万件以下（不含36万件）的天数为8天；
（3）解：当时，
令，
解得：
∴，
∴销量超过100万件的天数为6天，
当时，
令，
解得：
∴，
销量超过100万件的天数为6天，
综上所述，销售量不低于100万件，并且持续天数为12天，广告设计师可以拿到“特殊贡献奖”．
【点拨】本题考查了分段函数的实际运用，把握正比函数、反比例函数的图像及性质和运用分类讨论思想是解决本题的关键．
举一反三：
【变式1】 某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y （℃）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段AB、BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段．
请根据图中信息解答下列问题：
求这天的温度y与时间x（0≤x≤24）的函数关系式；
求恒温系统设定的恒定温度；
若大棚内的温度低于10℃时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？
答案:(1)y关于x的函数解析式为；(2)恒温系统设定恒温为20°C；
(3)恒温系统最多关闭10小时，蔬菜才能避免受到伤害．
分析：（1）应用待定系数法分段求函数解析式；
（2）观察图象可得；
（3）代入临界值y=10即可．
（1）解：设线段AB解析式为y=k1x+b（k≠0）
∵线段AB过点（0，10），（2，14），
代入得，
解得，
∴AB解析式为：y=2x+10（0≤x＜5）．
∵B在线段AB上当x=5时，y=20，
∴B坐标为（5，20），
∴线段BC的解析式为：y=20（5≤x＜10），
设双曲线CD解析式为：y=（k2≠0），
∵C（10，20），
∴k2=200．
∴双曲线CD解析式为：y=（10≤x≤24），
∴y关于x的函数解析式为：；
（2）解：由（1）恒温系统设定恒温为20°C；
（3）解：把y=10代入y=中，解得x=20，
∴20-10=10．
答：恒温系统最多关闭10小时，蔬菜才能避免受到伤害．
【点拨】本题为实际应用背景的函数综合题，考查求得一次函数、反比例函数和常函数关系式．解答时应注意临界点的应用．
【变式2】制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻造两个工序，即需要将材料烧到800 ℃，然后停止煅烧进行锻造操作，经过8min时，材料温度降为600℃，煅烧时温度y(℃)与时间x(min)成一次函数关系；锻造时，温度y(℃)与时间x(min)成反比例函数关系(如图)，已知该材料初始温度是26 ℃．
（1）分别求出材料煅烧和锻造时y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（2）根据工艺要求，当材料温度低于400℃时，须停止操作，那么锻造的操作时间有多长？
答案:（1）材料煅烧时：，锻造时：；（2）锻造的操作时间有6min
分析：（1）首先根据题意，材料煅烧时，温度y与时间x成一次函数关系；锻造操作时，温度y与时间x成反比例关系，将题中数据代入用待定系数法可得两个函数的关系式；
（2）把y=480代入中，进一步求解可得答案．
解：（1）设材料锻造时y关于x的函数解析式为，将点C（8，600）代入得，
．
当时，，解得，
∴点B的坐标为(6，800)，锻造时y关于x的函数解析式为．
设材料煅烧时y关于x的函数解析式为，将点A(0，26)，点B（6，800）代入得，
，解得，
∴材料煅烧时y关于x的函数解析式为．
（2）把代入，得，
，
∴锻造的操作时间有6min．
【点拨】考查了反比例函数和一次函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
正比例函数
反比例函数
解析式
图 像
直线
有两个分支组成的曲线（双曲线）
位 置
，一、三象限；
，二、四象限
，一、三象限
，二、四象限
增减性
，随的增大而增大
，随的增大而减小
，在每个象限，随的增大而减小
，在每个象限，随的增大而增大
1．使学生理解并掌握反比例函数的概念，能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，能判断一个给定函数是否为反比例函数；
2．能描点画出反比例函数的图象，会用待定系数法求反比例函数的解析式；
3．能根据图象数形结合地分析并掌握反比例函数的性质，能利用这些性质分析和解决一些简单的实际问题.
【要点梳理】
要点一、反比例函数的概念
一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数.
特别说明：在中，自变量的取值范围是， ()可以写成()的形式，也可以写成的形式.
要点二、反比例函数解析式的确定
反比例函数解析式的确定方法是待定系数法.由于反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要知道一对的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出的值，从而确定其解析式.
要点三、反比例函数的图象和性质
1.反比例函数的图象
反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限．它们关于原点对称，反比例函数的图象与轴、轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交．
特别说明：
观察反比例函数的图象可得：和的值都不能为0，并且图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是坐标原点．
①的图象是轴对称图形，对称轴为两条直线；
②的图象是中心对称图形，对称中心为原点（0，0）；
③(k≠0)在同一坐标系中的图象关于轴对称，也关于轴对称.
注：正比例函数与反比例函数，
当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称.
2.反比例函数的性质
（1）图象位置与反比例函数性质
当时，同号，图象在第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小；当时，异号，图象在第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大.
（2）若点()在反比例函数的图象上，则点（）也在此图象上，故反比例函数的图象关于原点对称.
（3）正比例函数与反比例函数的性质比较
（4）反比例函数y＝中的意义
①过双曲线(≠0) 上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为.
②过双曲线(≠0) 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为.
要点四、应用反比例函数解决实际问题须注意以下几点
1．反比例函数在现实世界中普遍存在，在应用反比例函数知识解决实际问题时，要注意将实际问题转化为数学问题.
2．列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围.
【典型例题】
【类型一】反比例函数的定义★★求参数★★函数值★★自变量取值范围
1、已知反比例函数．
说出这个函数的比例系数和自变量的取值范围．
求当时函数的值．
求当时自变量x的值．
答案:(1)；(2)；(3)
分析：（1）根据是反比例函数的比例系数，在分母上求出取值范围即可；
（2）把，代入解析式，求出值，即可得解；
（3）把，代入解析式，求出值，即可得解．
（1）解：∵，
∴；
（2）解：把，代入得：；
∴当时函数的值为：；
（3）解：把，代入得：，解得：；
∴当时的值为：．
【点拨】本题考查反比例函数的定义以及求自变量或函数值．熟练掌握反比例函数的定义，是解题的关键．
举一反三：
【变式1】在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数的图象经过点和点，求m的值．
答案:-3
分析：由反比例函数的图象及其性质将A、B点代入反比例函数即可求得m的值为-3．
解：∵反比例函数的图象经过点，
∴．
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
解得：．
故m的轴为-3．
【点拨】本题考查了反比例函数值的求法，明确图象上点的坐标和解析式的关系是解题的关键．
【变式2】若分式方程的解为，试判断点和点是否在反比例函数的图像上．
答案:点不在反比例函数的图像上，点在反比例函数的图像上
分析：解分式方程得出的值，将其带入点和点，得出两点的坐标，再验证两点坐标是否在反比例函数上即可得出答案．
解：由题，解方程
去分母，得，即，解得，
经检验是原分式方程的解，
∴
∵反比例函数，
∴
∵，
∴，
∴点不在反比例函数的图像上，点在反比例函数的图像上．
【点拨】本题考查解分式方程，以及判断坐标系中点是否在反比例函数上，熟练掌握解分式方程的步骤，尤其注意检验是本题解题关键．
【类型二】反比例函数的解析式★★一次函数解析式➽➼面积★★最值
2、如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于，B两点，轴．垂足为C．
求双曲线的解析式，并直接写出点B的坐标．
求的面积．
答案:(1)，；(2)9
分析：（1）先求出点A的坐标，把点A的坐标代入求得k的值，即可得到双曲线的解析式，再令，解得，即可得到点B的坐标；
（2）先求出点C的坐标，再利用即可得到的面积．
（1）解：把点代入中得到，，
∴ 点，
把点代入得，
解得，
∴，
令，
解得，
∵点B在第三象限，
∴，
当时，，
∴点B的坐标是；
（2）∵点B的坐标是，轴，
∴点C的坐标是，
∴，
∴，
即的面积为9．
【点拨】此题是反比例函数和一次函数综合题，考查了待定系数法、反比例函数和一次函数的图象交点问题、三角形的面积等知识，数形结合和准确计算是解题的关键．
举一反三：
【变式1】如图，在矩形中，，点D是边的中点，反比例函数的图像经过点D，交于点E．
求k的值及直线的解析式；
在x轴上找一点P，使的周长最小，求此时点P的坐标．
答案:(1)，；(2)
分析：（1）先求出点D的坐标，再把点D的坐标代入反比例函数解析式求出反比例函数解析式，进而求出点E的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式即可；
（2）如图所示，作点D关于x轴对称的点G，连接交x轴于P，则，由轴对称的性质推出当最小时，的周长最小，即此时三点共线，求出直线的解析式为，再求出当时，，即可得到．
（1）解：∵在矩形中，，
∴，，
∴，
∵点D是边的中点，
∴，
∵反比例函数的图像经过点D，
∴，
∴，
∴反比例函数的解析式为，
当时，，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为；
（2）解：如图所示，作点D关于x轴对称的点G，连接交x轴于P，
∴，
由轴对称的性质可知，
∴的周长，
∵是定值，
∴当最小时，的周长最小，即此时三点共线，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
在中，当时，，
∴．
【点拨】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，矩形的性质，轴对称——最短路线问题，正确的理解题意是解题的关键．
【变式2】如图，一次函数（）的图象分别与轴、轴交于点、点，且．直线与反比例函数（，）的图象交于点．
求一次函数与反比例函数的表达式；
在该反比例函数图象上存在点，且到轴的距离为6，连接，直线交轴于点，求的面积．
答案:(1)一次函数的表达式，反比例函数的表达式为；(2)8
分析：（1）先求得点坐标，将、代入一次函数表达式，得到一次函数的表达式，再求得点的坐标，将点代入反比例函数解析式即可求解；
（2）求得点坐标，再求得直线解析式，再求得点坐标，由图形可得，分别求得和即可求解．
（1）解： ，
，
又，
．
将，分别代入中，得 ，
解得：，
一次函数的表达式．
将代入中，
得，
．
将代入中，得，
，
该反比例函数的表达式为．
（2）解：点到y轴的距离为，点在第二象限，
．
在的图象上，
，
，
设直线的表达式为，
将，分别代入中，得 ，
解得：，
直线的表达式为．
直线交轴于点，
当时，，
，
．
．
【点拨】此题主要考查了一次函数与反比例函数的综合应用，涉及了割补法求解三角形面积，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．
【类型三】反比例函数的图象与性质
①、反比例函数的图象➽➼位置★★增减性
3、作出反比例函数的图象，结合图象回答：
当时，y的取值范围；
当时，x的取值范围．
答案:(1)；(2)或
分析：（1）先求出当时，；当时，，然后根据反比例函数的增减性进行求解即可；
（2）先求出当时，；当时，，然后根据反比例函数的增减性进行求解即可．
（1）解：当时，；当时，，
∵，
∴反比例函数经过第二、四象限，且在每个象限内y随x增大而增大，
∴当时，；
（2）解：当时，；当时，，
∵，
∴反比例函数经过第二、四象限，且在每个象限内y随x增大而增大，
∴当时，或．
【点拨】本题主要考查了反比例函数的增减性，解题的关键在于熟知反比例函数的性质．
举一反三：
【变式1】 已知反比例函数，且当时，随的增大而减小．
若该函数图像经过点，求实数的值；
求实数的取值范围及该函数图像经过的象限．
答案:(1)；(2)，该函数图像经过第一、三象限
分析：（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据反比例函数的增减性得出，进而得出经过的象限，即可求解．
（1）解：∵该函数图像经过点，
∴，
解得：．
（2）解：∵当时，随的增大而减小，
∴．
∴的取值范围是．
∴该函数图像经过第一、三象限．
【点拨】本题考查了待定系数法求解析式，反比例函数图象的性质，掌握反比例函数图象的性质是解题的关键．
【变式2】已知反比例函数及一次函数的图象相交于点，
求这两个函数的解析式；
(2) 一次函数的图象不经过第______象限，随的增大而______；
(3) 反比例函数的图象的两个分支分别在第______象限内，如果、两点在该双曲线的同一支上，且，那么______．
答案:(1)；；(2)二；增大；(3)二、四；
分析：（1）将点的坐标代入反比例函数求得反比例函数的解析式后进一步求得一次函数的解析式即可；
（2）根据一次函数解析式判断一次函数的增减性以及经过的的象限，即可求解；
（3）根据反比例函数的的符合确定其所在象限和增减性．
（1）解：将点，代入，
得①
∴反比例函数的解析式为，
将点代入，
得②
联立①②得
解得：
∴一次函数的解析式为；
（2）∵一次函数中，，，
一次函数的图象不经过第二象限，随的增大而增大；
故答案为：二；增大．
（3）∵反比例函数中的，
反比例函数的图象的两个分支分别在第二、四象限内，
如果、两点在该双曲线的同一支上，且，那么
故答案为：二、四；．
【点拨】本题考查了一次函数与反比例函数综合，掌握一次函数与反比例函数的性质是解题的关键．
②、反比例函数的图象➽➼比例系数★★面积
4、 如图，直线与反比例函数的图像交于点，点B是此反比例函数图形上任意一点（不与点A重合），轴于点C．
求k的值；
求的面积；
答案:(1)2；(2)1
分析：（1）将点，代入反比例函数即可求出，然后将A的坐标代入直线即可求出k的值．
（2）根据反比例函数k的几何意义求解即可．
解：（1）∵直线与反比例函数的图像交于点，
∴点，代入反比例函数即可求出，
∴，
将代入，得．
（2）设点B的坐标为，
∴，
∵点B在反比例函数上，
∴，
∴．
【点拨】此题考查了一次函数和反比例函数结合问题，反比例函数k的几何意义，解题的关键是根据题意求出a的值．
举一反三：
【变式1】 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点、在轴上，顶点在轴上，顶点在反比例函数的第一象限的图象上．
的取值范围为 ；
若平行四边形的面积为．
①求反比例函数的表达式；
②若时，求点的坐标．
答案:(1)；(2)①；②，
分析：（1）根据反比例函数的第一象限，得出，即可求解；
（2）①过点作轴于，证明，得出，则矩形的面积等于平行四边形的面积，即，即可求解；
②根据题意，平行四边形的面积为，，得出，即可求解．
（1）解：∵反比例函数在第一象限，
，
，
故答案为：；
（2）①过点作轴于，
四边形是平行四边形，则四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
矩形的面积等于平行四边形的面积，
，
反比例函数解析式为；
②平行四边形的面积为，，即，
，
，．
【点拨】本题考查了反比例函数与几何图形综合，反比例函数的几何意义，反比例函数图象的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键．
【变式2】如图，反比例函数的图象经过点．过点A作轴于点B，的面积为2．求：
k和b的值；
求所在直线的解析式．
答案:(1)，；(2)
分析：（1）根据反比例函数k的几何意义得到，求出k得到反比例函数解析式，然后把代入反比例函数解析式可求出b；
（2）利用待定系数法求直线的解析式．
解：（1）∵轴，
∴，
解得，
∴反比例函数解析式为，
把代入得；
（2）由（1）得，
设直线的解析式为，
把代入得，解得，
所以直线的解析式为．
【点拨】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，一般的，从反比例函数（k为常数，）图象上任一点P，向x轴和y轴作垂线，以点P及点P的两个垂足和坐标原点为顶点的矩形的面积等于常数，以点P及点P的一个垂足和坐标原点为顶点的三角形的面积等于．
【类型四】一次函数与反比例函数综合
5、 如图，直线y=kx+b与双曲线y=相交于A（1，2），B两点，与x轴相交于点C（4，0）．
分别求直线AC和双曲线对应的函数表达式；
连接OA，OB，求△AOB的面积；
直接写出当x＞0时，关于x的不等式kx+b＞的解集．
答案:(1)y=x+，y=；(2)△AOB的面积为；(3)1
（2）解方程组求得点B的坐标，根据，利用三角形面积公式即可求解；
（3）观察图象，写出直线的图象在反比例函数图象的上方的自变量的取值范围即可．
（1）解：将点A ( 1，2 )代入y =，得m=2，
∴双曲线的表达式为： y=，
把A（1，2）和C（4，0）代入y=kx+b得：
y=，解得：，
∴直线的表达式为：y=x+；
（2）解：联立 ，
解得，或，
∵点A 的坐标为（1，2），
∴点B的坐标为（3，），
∵
=，
∴△AOB的面积为；
（3）解：观察图象可知：不等式kx+b>的解集是1
举一反三：
【变式1】 如图，一次函数与反比例函数的图像交于点和，与轴交于点．
求一次函数和反比例函数的解析式．
在轴上求一点，当的面积为3时，则点的坐标为______．
将直线向下平移2个单位后得到直线，当函数值时，求的取值范围．
答案:(1)，；(2)或；(3)或
分析：（1）将点A坐标代入反比例函数可求得反比例函数解析式，进而求得点B坐标，进而把A、B坐标代入一次函数解析式可求得一次函数的解析式．
（2）首先求得直线AB与x轴的交点P的坐标，设点N坐标为（0，n），进而可确定和三角形的底和高，再根据三角形面积求得点N的坐标即可；
（3）由题意可得直线的解析式，然后根据图像可进行求解．
（1）解：∵过点，
∴，
即反比例函数解析式为，
当时，，即，
∵过和，
可得，解得，
∴一次函数解析式为；
（2）如下图，设点P为一次函数与x轴的交点，
当时，有，
∴点P的坐标为（-1，0），
设点N的坐标为（n，0），则，
∵
，
∴，
解得或，
∴点N的坐标为或．
故答案为：或；
（3）如图，设与的图像交于、两点，
∵向下平移两个单位得，且，
∴，
将直线解析式与反比例函数解析式联立，
得，解得或，
∴，，
在A、两点之间或B、两点之间时，存在，
∴当函数值时，的取值范围为或．
【点拨】本题主要考查了一次函数和反比例函数综合，解题关键是熟练运用待定系数法求出解析式，利用数形结合思想解决问题．
【变式2】已知直线与反比例函数的图象在第一象限交于点．
求反比例函数的解析式；
如图，将直线向上平移个单位后与的图象交于点和点，求的值；
在（2）的条件下，设直线与轴、轴分别交于点，，求证：．
答案:(1)；(2)；(3)见分析
分析：（1）先根据一次函数求出M点坐标，再代入反比例函数计算即可；
（2）先求出A的点坐标，再代入平移后的一次函数解析式计算即可；
（3）过点作轴于点，过点作轴于点，即可根据A、B坐标证明，得到，，再求出C、D坐标即可得到OC=OD，即可证明．
解：（1）∵直线过点，
∴
∴将代入中，得，
∴反比例函数的表达式为
（2）∵点在的图象上，
∴，
∴
设平移后直线的解析式为，
将代入中，得4=1+b，
解得．
（3）如图，过点作轴于点，过点作轴于点．
∵在反比例函数的图象上，
∴n=-4，
∴B（-4，-1）
又∵，
∴，，
∴
∴，
∴，
又∵直线与轴、轴分别交于点，，
∴，，
∴
在和中，
∴．
【点拨】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，全等三角形的判定与性质，熟练根据坐标找线段关系是解题的关键．
【类型五】反比例函数的应用
6、 某种商品上市之初采用了大量的广告宣传，其销售量与上市的天数之间成正比，当广告停止后，销售量与上市的天数之间成反比（如图），现已知上市30天时，当日销售量为120万件．
写出该商品上市以后销售量y（万件）与时间x（天数）之间的表达式；
求上市至第100天（含第100天），日销售量在36万件以下（不含36万件）的天数；
广告合同约定，当销售量不低于100万件，并且持续天数不少于12天时，广告设计师就可以拿到“特殊贡献奖”，那么本次广告策划，设计师能否拿到“特殊贡献奖”？
答案:(1)；；(2)8；(3)能
分析：（1）分类讨论当时或当时，分别设函数解析式，代入求值即可；
（2）分类讨论当时或当时，分别不等式即可求解；
（3）分类讨论当时或当时，分别不等式即可求解；
（1）解：根据题意可知：
当时，设与的函数解析式为，
∴，
解得：，
∴；
当时，设与的函数解析式为，
∴，
解得：
∴
综上所述，该商品上市以后销售量y（万件）与时间x（天数）之间的表达式为：；．
（2）解：当时，
令，
解得：，
∴，
∴销量不到36万件的天数为8天；
当时，
令，
解得： （不符合题意），
∴上市至第100天（含第100天），日销售量在36万件以下（不含36万件）的天数为8天；
（3）解：当时，
令，
解得：
∴，
∴销量超过100万件的天数为6天，
当时，
令，
解得：
∴，
销量超过100万件的天数为6天，
综上所述，销售量不低于100万件，并且持续天数为12天，广告设计师可以拿到“特殊贡献奖”．
【点拨】本题考查了分段函数的实际运用，把握正比函数、反比例函数的图像及性质和运用分类讨论思想是解决本题的关键．
举一反三：
【变式1】 某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y （℃）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段AB、BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段．
请根据图中信息解答下列问题：
求这天的温度y与时间x（0≤x≤24）的函数关系式；
求恒温系统设定的恒定温度；
若大棚内的温度低于10℃时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？
答案:(1)y关于x的函数解析式为；(2)恒温系统设定恒温为20°C；
(3)恒温系统最多关闭10小时，蔬菜才能避免受到伤害．
分析：（1）应用待定系数法分段求函数解析式；
（2）观察图象可得；
（3）代入临界值y=10即可．
（1）解：设线段AB解析式为y=k1x+b（k≠0）
∵线段AB过点（0，10），（2，14），
代入得，
解得，
∴AB解析式为：y=2x+10（0≤x＜5）．
∵B在线段AB上当x=5时，y=20，
∴B坐标为（5，20），
∴线段BC的解析式为：y=20（5≤x＜10），
设双曲线CD解析式为：y=（k2≠0），
∵C（10，20），
∴k2=200．
∴双曲线CD解析式为：y=（10≤x≤24），
∴y关于x的函数解析式为：；
（2）解：由（1）恒温系统设定恒温为20°C；
（3）解：把y=10代入y=中，解得x=20，
∴20-10=10．
答：恒温系统最多关闭10小时，蔬菜才能避免受到伤害．
【点拨】本题为实际应用背景的函数综合题，考查求得一次函数、反比例函数和常函数关系式．解答时应注意临界点的应用．
【变式2】制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻造两个工序，即需要将材料烧到800 ℃，然后停止煅烧进行锻造操作，经过8min时，材料温度降为600℃，煅烧时温度y(℃)与时间x(min)成一次函数关系；锻造时，温度y(℃)与时间x(min)成反比例函数关系(如图)，已知该材料初始温度是26 ℃．
（1）分别求出材料煅烧和锻造时y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（2）根据工艺要求，当材料温度低于400℃时，须停止操作，那么锻造的操作时间有多长？
答案:（1）材料煅烧时：，锻造时：；（2）锻造的操作时间有6min
分析：（1）首先根据题意，材料煅烧时，温度y与时间x成一次函数关系；锻造操作时，温度y与时间x成反比例关系，将题中数据代入用待定系数法可得两个函数的关系式；
（2）把y=480代入中，进一步求解可得答案．
解：（1）设材料锻造时y关于x的函数解析式为，将点C（8，600）代入得，
．
当时，，解得，
∴点B的坐标为(6，800)，锻造时y关于x的函数解析式为．
设材料煅烧时y关于x的函数解析式为，将点A(0，26)，点B（6，800）代入得，
，解得，
∴材料煅烧时y关于x的函数解析式为．
（2）把代入，得，
，
∴锻造的操作时间有6min．
【点拨】考查了反比例函数和一次函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
正比例函数
反比例函数
解析式
图 像
直线
有两个分支组成的曲线（双曲线）
位 置
，一、三象限；
，二、四象限
，一、三象限
，二、四象限
增减性
，随的增大而增大
，随的增大而减小
，在每个象限，随的增大而减小
，在每个象限，随的增大而增大
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