专题 18.24 正方形（基础篇）（专项练习）-八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）

这是一份专题 18.24 正方形（基础篇）（专项练习）-八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版），共39页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

专题 18.24 正方形（基础篇）（专项练习）
一、单选题
1．如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（ ）

A．当▱ABCD是矩形时，∠ABC＝90° B．当▱ABCD是菱形时，AC⊥BD
C．当▱ABCD是正方形时，AC＝BD D．当▱ABCD是菱形时，AB＝AC
2．如图，正方形ABCD外侧作等边三角形ADE，则∠AEB的度数为（ ）

A．30° B．20° C．15° D．10°
3．如图，四边形是正方形，O，D两点的坐标分别是，，点C在第一象限，则点C的坐标是（ ）

A． B． C． D．
4．如图，正方形硬纸片ABCD的边长是4，点E、F分别是AB、BC的中点，若沿左图中的虚线剪开，拼成如图的一座“小别墅”，则图中阴影部分的面积是（　　）

A．2 B．4 C．8 D．10
5．如图，先将正方形纸片对折，折痕为MN，再把B点折叠在折痕MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为H，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
6．将4个边长都是2的正方形按如图所示的样子摆放，点，，分别是三个正方形的中心，则图中三块重叠部分的面积的和为（ ）.

A．2 B．3 C．6 D．8
7．如图，在等腰直角中，，以B为圆心，小于的长为半径画弧，分别交，于点E，F，分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点O，在射线上作，连接，.下列说法不正确的是（ ）

A． B． C． D．若四边形的周长为16，则
8．下列命题是假命题的是（ ）
A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形． B．对角线互相垂直的矩形是正方形．
C．对角线相等的菱形是正方形． D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形．
9．已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）
A．当时，它是菱形 B．当时，它是正方形
C．当时，它是矩形 D．当时，它是菱形
10．在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是（　　）
A．AC＝BD，AB∥CD，AB＝CD B．AD∥BC，∠A＝∠C
C．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD D．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC
11．已知菱形ABCD与线段AE，且AE与AB重合．现将线段AE绕点A逆时针旋转180°，在旋转过程中，若不考虑点E与点B重合的情形，点E还有三次落在菱形ABCD的边上，设∠B=α，则下列结论正确的是(　　)
A． B． C． D．
12．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP，CP的延长线分别交AD于点E，F，连接BD，DP，BD与CF交于点H．下列结论：①BE=2AE；②△DFP∽△BPH；③△PFD∽△PDB；④DP2=PH•PC，其中正确的结论是

A．①②③④ B．②③ C．①②④ D．①③④
13．如图，点P是边长为2cm的正方形ABCD的边上一动点，O是对角线的交点，当点P由A→D→C运动时，设DP＝xcm，则△POD的面积y(cm2)随x(cm)变化的关系图象为( )

A． B．
C． D．
14．如图，在边长为8的正方形中，、分别是边、上的动点，且，为中点，是边上的一个动点，则的最小值是（ ）

A．10 B． C． D．
15．顺次连接矩形ABCD各边的中点，所得四边形必定是（ ）
A．邻边不等的平行四边形 B．矩形
C．正方形 D．菱形
16．下面各图中，所有大正方形边长是，所有小正方形边长是.下面各图中阴影部分面积最大的是( )
A． B． C． D．
17．如图，正方形的两边在坐标轴上，，，点P为OB上一动点，的最小值是（ ）

A．8 B．10 C． D．
18．如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为（ ）

A．2 B．2 C．4 D．2+2
19．将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，BE，EG，FG为折痕，若顶点A，C，D都落在点O处，且点B，O，G在同一条直线上，同时点E，O，F在另一条直线上，则下列说法：①AE＝DE；②EG＞GC；③BE＝BF；④若AB＝1，则AD＝，正确的有（　　）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④


二、填空题
20．如图，以边长为2的正方形的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A、B两点，则线段AB长度的最小值为_________．

21．如图，在正方形ABCD中，点O在内，，则的度数为______．

22．已知正方形ABCD的对角线AC＝，则正方形ABCD的面积为_____．
23．如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，四边形ACEF是正方形，则EF的长为_____．

24．如图，将正方形纸片折叠，使点D落在边点E处，点A落在点F处，折痕为，若_____．

25．如图，两个边长为a的正方形重叠，其中一个的顶点在另一个的对角线的交点上，则重叠部分的面积为___________________平方单位．

26．如图，在正方形，E是对角线上一点，的延长线交于点F，连接．若，则______．

27．用两个全等的直角三角形拼下列图形：
①平行四边形（非菱形、矩形和正方形）;
②矩形;
③正方形;
④等腰三角形.
一定可以拼成的图形是_________.(把所有符合条件的图形的序号都写上)
28．如图，中，交于，交于，是的角平分线，那么四边形的形状是________形；在前面的条件下，若再满足一个条件________，则四边形是正方形．

29．对下列现象中蕴含的数学原理阐述正确的是_____（填序号）

①如图（1），剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合的部分构成一个平行四边形．其依据是两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
②如图（2），工人师傅在做矩形门窗时，不仅测量出两组对边的长度是否相等，还要测量出两条条对角线的长度相等，以确保图形是矩形．其依据是对角线相等的四边形是矩形．
③如图（3），将两张等宽的纸条放在一起，重合部分构成的四边形ABCD一定是菱形．其依据是一组邻边相等的平行四边形是菱形．
④如图（4），把一张长方形纸片按如图方式折一下，就可以裁出正方形．其依据是一组邻边相等的矩形是正方形．
30．如图，点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点，∠1＝∠2，则∠BPC的度数为_____°．

31．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝4，点E是AB的中点，点F是AD边上的一个动点，将△AEF沿EF所在直线翻折，得到△A'EF，连接A'C，A'D，则当△A'DC是以A'D为腰的等腰三角形时，FD的长是_____．

32．如图，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE=BF=CG=DH=5，则四边形EFGH的面积是______．

33．如图，矩形纸片ABCD中，，．现将其沿AE对折，使得点B落在边AD上的点处，折痕与边BC交于点E，则的长为___________（cm）．

34．如图所示,在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O,点E，F，G,H分别为边AD，AB，BC，CD的中点.若AC＝8，BD＝6,则四边形EFGH的面积为____．

35．如图，在菱形中，，，点，同时由，两点出发，分别沿，方向向点匀速运动，点的运动速度为，点的运动速度为，点到达点后，点与点同时停止运动．若运动时间为秒时，为等边三角形，则的值为__________．

36．如图，在中，，，，点E为边上的一个动点，连接，， 以、为邻边构造，连接，则的最小值为__________．

37．如图，四边形ABCD中，E、F、G、H依次是各边中点，O是形内一点，若四边形AEOH、四边形BFOE、四边形CGOF的面积分别为6、7、8，四边形DHOG面积为（　）

A．6 B．7 C．8 D．9

三、解答题
38．如图，△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE，
（1）求证：四边形AEBD是矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由．










39．如图，四边形ABCD是正方形，M为BC上一点，连接AM，延长AD至点E，使得AE=AM，过点E作EF⊥AM，垂足为F，求证：AB=EF．






40．如图所示，已知平行四边形ABCD，对角线AC，BD相交于点O，∠OBC＝∠OCB．
（1）求证：平行四边形ABCD是矩形；
（2）请添加一个条件使矩形ABCD为正方形．






41．如图，在四边形纸片 ABCD 中，∠B＝∠D＝90°，点 E，F 分别在边 BC，CD 上，将 AB，AD 分别沿 AE，AF 折叠，点 B，D 恰好都和点 G 重合，∠EAF＝45°．

（1）求证：四边形 ABCD 是正方形；
（2）若 EC＝FC＝1，求 AB 的长度．




参考答案
1．D
【分析】
由矩形的四个角是直角可判断A，由菱形的对角线互相垂直可判断B，由正方形的对角线相等可判断C，由菱形的四条边相等可判断D，从而可得答案.
【详解】
解：当▱ABCD是矩形时，∠ABC＝90°，正确，故A不符合题意；
当▱ABCD是菱形时，AC⊥BD，正确，故B不符合题意；
当▱ABCD是正方形时，AC＝BD，正确，故C不符合题意；
当▱ABCD是菱形时，AB＝BC，故D符合题意；
故选D
【点拨】本题考查的是矩形，菱形，正方形的性质，熟练的记忆矩形，菱形，正方形的性质是解本题的关键.
2．C
【分析】
根据正方形、等边三角形和三角形内角和定理可以得到答案．
【详解】
四边形是正方形，
，，
是等边三角形，
，，
，，
，
故选：C．
【点拨】本题考查正方形、等边三角形和三角形内角和定理的综合应用，灵活运用有关性质求解是解题关键．
3．D
【分析】
利用O，D两点的坐标，求出OD的长度，利用正方形的性质求出ＯB，BC的长度，进而得出C点的坐标即可．
【详解】
解：∵O，D两点的坐标分别是，，
∴OD＝6，
∵四边形是正方形，
∴OB⊥BC，OB=BC=6
∴C点的坐标为：，
故选：D．
【点拨】本题主要考查了点的坐标和正方形的性质，正确求出OB，BC的长度是解决本题的关键．
4．B
【详解】
解：根据题意，“小别墅”的上面是一个等腰三角形，它的面积是正方形ABCD的一半，而“小别墅”的下面的面积是正方形ABCD的一半，并且下面是两个相等的矩形，
所以图中阴影部分的面积是正方形ABCD面积的
即阴影部分的面积=
考点：正方形
点评：本题考查正方形，解答本题的关键是通过审题，弄清楚阴影部分的面积与正方形面积之间的关系，考生要善于观察
5．C
【分析】
由翻折的性质得到AH=AB，MN垂直平分AD，证明△ADH是等边三角形，得到∠DAH，可得∠HAB，结合AB=AH计算出∠ABH，从而可得∠HBC．
【详解】
解：由翻折的性质可知：AH=AB，MN垂直平分AD，
∴DH=AH，
∴AH=AD=DH=AB，
∴△ADH是等边三角形，
∴∠DAH=60°．
∴∠HAB=30°．
∵AB=AH，
∴∠ABH=×（180°-30°）=75°．
∴∠HBC=15°．
故选C．
【点拨】本题主要考查的是翻折的性质、线段垂直平分线的性质、等边三角形的性质和判定、等腰三角形的性质，证得三角形ADH是一个等边三角形是解题的关键．
6．B
【分析】
如图：连接AP，AN，点A是正方形的对角线的交点，易证≌，可得的面积是正方形的面积的，即每个阴影部分的面积都等于正方形面积的，即可解答.
【详解】
解：如图，

连接AP，AN，点A是正方形的对角线的交点，
则，，
，
，
≌，
四边形AENF的面积等于的面积，
而的面积是正方形的面积的，而正方形的面积为4，
四边形AENF的面积为，三块阴影面积的和为．
故选B．
【点拨】本题主要考查了正方形的特性及面积公式，由图形的特点可知，每个阴影部分的面积都等于正方形面积的，据此解题解答本题的关键是发现每个阴影部分的面积都等于正方形面积的．
7．D
【分析】
根据作图过程可以得出四边形ABCD为正方形，根据正方形的性质逐项判断即可.
【详解】
由作法可知平分，
∴.
∵为等腰直角三角形，
∴.
∴，.
又∵，
∴四边形是菱形.
又∵，
∴四边形是正方形.
∴，.
∵四边形的周长为16，
∴.
∴.
故选D.
【点拨】本题考查了尺规作图，正方形的判定和性质，关键是由作图过程得出判定的条件.
错因分析 中等题.失分的原因是：1.没有掌握基本的尺规作图；2.不能根据角平分线性质，等腰直角三角形性质推导出四边形为正方形.
8．D
【分析】
根据正方形的各种判定方法逐项分析即可．
【详解】
解：对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，正确；
对角线互相垂直的矩形是正方形，正确；
对角线相等的菱形是正方形，正确；
对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；
可知选项D是错误的．
故选：D．
【点拨】本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．

9．B
【分析】
根据菱形、正方形、矩形的判定方法一一判断即可．
【详解】
解：A、正确．根据邻边相等的平行四边形是菱形；
B、错误．对角线相等的四边形是矩形，不一定是正方形．
C、正确．有一个角是直角的平行四边形是矩形．
D、正确．对角线垂直的平行四边形是菱形．
故选：B．
【点拨】此题主要考查学生对正方形的判定、平行四边形的性质、菱形的判定和矩形的判定的理解和掌握，属于基础题．
10．C
【详解】
试题分析：根据正方形的判定：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形进行分析从而得到最后的答案．
解：A，不能，只能判定为矩形；
B，不能，只能判定为平行四边形；
C，能；
D，不能，只能判定为菱形．
故选C．
11．C
【解析】
【分析】
通过临界值的情况结合图形分析，可知当60°< <90°时满足题意.
【详解】
解：因为AE与AB重合，在旋转过程中必过D点，所以需要满足AE与边BC、CD有交点，此时考虑临界值位置：当AB=AC时，旋转过程经过C、D两点，如图，AB=BC=AC，△ABC为等边三角形，所以α=60°，易知当α＞60°时即有三个交点，而当α=90°时，菱形ABCD为正方形，此时AB不会与BC有交点（不考虑点E与点B重合的情形），∴60°< <90°，
故选C.

【点拨】本题主要考查菱形的性质和正方形的性质，结合图形分析出临界值情况是解题关键.
12．C
【分析】
由正方形的性质和相似三角形的判定与性质，即可得出结论．
【详解】
∵△BPC是等边三角形，
∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°，
在正方形ABCD中，
∵AB=BC=CD，∠A=∠ADC=∠BCD=90°
∴∠ABE=∠DCF=30°，
∴BE=2AE；故①正确；
∵PC=CD，∠PCD=30°，
∴∠PDC=75°，
∴∠FDP=15°，
∵∠DBA=45°，
∴∠PBD=15°，
∴∠FDP=∠PBD，
∵∠DFP=∠BPC=60°，
∴△DFP∽△BPH；故②正确；
∵∠FDP=∠PBD=15°，∠ADB=45°，
∴∠PDB=30°，而∠DFP=60°，
∴∠PFD≠∠PDB，
∴△PFD与△PDB不会相似；故③错误；
∵∠PDH=∠PCD=30°，∠DPH=∠DPC，
∴△DPH∽△CPD，
∴，
∴DP2=PH∙PC，故④正确；
故选C．
13．B
【分析】
△POD的面积可分为两部分讨论，P由A运动到D时，面积逐渐减小，由D运动到C时，面积逐渐增大，从而得出函数关系的图象．
【详解】
解：∵正方形ABCD的边长为2cm，O是对角线的交点，
∴点O到AD或CD的距离为1cm，
∴当P由A运动到D时，y＝x(0≤x≤2)，
当P由D运动到C时，y=x(0≤x≤2)，
故符合条件的图象只有选项B．
故选B．
【点拨】本题考查了动点函数图象问题，用到的知识点是三角形的面积、一次函数，在图象中应注意自变量的取值范围．
14．B
【分析】
延长CD到C′，使C′D＝CD，CP＋PM＝C′P＋PM，当C′，P，N三点共线时，C′P＋PM的值最小，根据题意，点M的轨迹是以B为圆心，3为半径的圆弧上，圆外一点C′到圆上一点M距离的最小值C′M＝C′B−3，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】
延长CD到C′，使C′D＝CD，
CP＋PM＝C′P＋PM，
当C′，P，M三点共线时，C′P＋PM的值最小，
根据题意，点M的轨迹是以B为圆心，3为半径的圆弧上，
圆外一点C′到圆上一点M距离的最小值C′M＝C′B−3，
∵BC＝CD＝8，
∴CC′＝16，
∴C′B＝，
∴CP＋PM的最小值是−3，
故选B．

【点拨】本题考查了轴对称−最短路线问题，正方形的性质，勾股定理，正确的找到P点的位置是解题的关键．
15．D
【详解】
试题解析：如图，连接AC、BD，

∵E、F、G、H分别是矩形ABCD的AB、BC、CD、AD边上的中点，
∴EF=GH=AC，FG=EH=BD（三角形的中位线等于第三边的一半），
∵矩形ABCD的对角线AC=BD，
∴EF=GH=FG=EH，
∴四边形EFGH是菱形．
故选D．
考点：中点四边形.

16．B
【分析】
大正方形的边长为4，小正方形的边长为3，根据：三角形的面积=底×高÷2，平行四边形的面积=底×高，分别求出四个选项中阴影部分的面积，然后进行比较即可．
【详解】
解：大正方形的边长为4，小正方形的边长为3，则：
A、阴影部分的面积为：3×4=12；
B、阴影部分的面积为：4×（3+4）÷2=14；
C、阴影部分的面积为：3×（3+4）÷2=10.5；
D、阴影部分的面积为：4×4÷2+3×3÷2=12.5；
B图形的阴影面积最大.
故选：B．
【点拨】此题主要考查平行四边形、三角形的面积公式的计算应用，关键是明确阴影部分平行四边形的底和高，三角形的底与高的值．
17．C
【分析】
先找到点A关于OB的对称点C，连结CD交OB于点P′，当点P运动到P′时PA+PD最短，在Rt△COD中用勾股定理求出CD即可．
【详解】
正方形ABCO，
A、C两点关于OB对称，
连接CD，交OB于，

，
，
当C、P、D三点共线时，取最小值，
，，
，
故选择：C．
【点拨】本题考查动点问题，掌握正方形的性质，与轴对称的性质，三角形三边关系，勾股定理，会利用对称性找对称点，会利用P、C、D三点一线最短，会用勾股定理求出最短距离是解题关键．
18．B
【详解】
解：作点P关于BD的对称点P′，作P′Q⊥CD交BD于K，交CD于Q，

∵AB=4，∠A=120°，
∴点P′到CD的距离为4×=，
∴PK+QK的最小值为，
故选B．
【点拨】本题考查轴对称-最短路线问题；菱形的性质．
19．B
【分析】
根据矩形的性质和折叠的性质可得E，G分别为AD，CD的中点，再根据勾股定理可得AD＝，再根据三角形的性质得到EG＞GC，即可得到结果；
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝90°，AB＝CD，AD＝BC，
由折叠的性质得：AE＝OE＝DE，CG＝OG＝DG，
∴E，G分别为AD，CD的中点，故①正确，
设CD＝2a，AD＝2b，则AB＝2a＝OB，DG＝OG＝CG＝a，BG＝3a，BC＝AD＝2b，
在Rt△BCG中，CG2+BC2＝BG2，
即a2+（2b）2＝（3a）2，
∴b2＝2a2，
∴b＝a，
∵AB＝CD＝1，
∴AD＝，故④正确，
∵∠EOG＝∠D＝90°，
∴EG＞OG，
∵OG＝GC，
∴EG＞GC，故②正确，
不妨设BE＝BF，则∠BEF＝∠BFE＝∠DEF＝∠AEB＝60°，这个显然不可能，故③错误．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了利用矩形的性质证明，准确分析判断是解题的关键．
20．
【分析】
根据正方形的对角线平分一组对角线可得∠OCD=∠ODB=45°，正方形的对角线互相垂直平分且相等可得∠COD=90°，OC=OD，然后根据同角的余角相等求出∠COA=∠DOB，再利用“ASA”证明△COA和△DOB全等，根据全等三角形对应边相等可得OA=OB，从而得到△AOB是等腰直角三角形，再根据垂线段最短可得OA⊥CD时，OA最小，然后求出OA，再根据等腰直角三角形的斜边等于直角边的倍解答．
【详解】
解：如图，

∵四边形CDEF是正方形，
，

，

，
在与中，
，
，
∴OA=OB，
∵∠AOB=90°，
∴△AOB是等腰直角三角形，
由勾股定理得： ,
要使AB最小，只要OA取最小值即可，
根据垂线段最短，OA⊥CD时，OA最小，
∵正方形CDEF，
∴FC⊥CD，OD=OF，
∴CA=DA，
∴OA=,
∴AB=．
【点拨】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，勾股定理，熟记各性质并求出三角形全等，然后求出△AOB是等腰直角三角形是解题的关键．
21．135°
【分析】
先根据正方形的性质得到∠OAC+∠OAD=45°，再由∠OAC=∠ODA，推出∠ODA+∠OAD=45°，即可利用三角形内角和定理求解．
【详解】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CAD=45°，
∴∠OAC+∠OAD=45°，
又∵∠OAC=∠ODA，
∴∠ODA+∠OAD=45°，
∴∠AOD=180°-∠ODA-∠OAD=135°，
故答案为：135°．
【点拨】本题主要考查了正方形的性质，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握正方形的性质．
22．1
【详解】
分析：在直角△ABC中，AC为斜边，且AB=BC，已知AC的长即可求AB、BC的长，根据AB的长即可求正方形ABCD的面积． 
详解：∵四边形ABCD是正方形，
∴△ABC是等腰直角三角形， 
∴AB=BC， 
∵AB2+BC 2=AC 2， AC=，
∴AB2+BC2=2， 
∴AB=BC=1，
故正方形的面积为S=AB2=1，
故答案为：1．

点睛：本题考查了正方形各边长相等的性质，勾股定理在直角三角形中的运用，正方形面积的计算，本题中正确的计算正方形ABCD的边长是解题的关键．
23．3
【分析】
由菱形的性质可得AB=BC，且∠B=60°，可得AC=AB=3，由正方形的性质可得AC=EF=3．
【详解】
解：∵四边形ABCD是菱形
∴AB=BC，且∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=3，
∵四边形ACEF是正方形，
∴AC=EF=3
故答案为3
【点拨】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键．
24．119
【分析】
根据正方形的性质得到∠A=∠C=∠D=90°，根据折叠的性质得到∠F=∠A=90°，∠FEN=∠C=90°，∠DNM=∠ENM，根据平角的定义得到∠ENM=（180°-∠ENC）=（180°-58°）=61°，根据四边形的内角和即可得到结论．
【详解】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠C=∠D=90°，
∵将正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边点E处，点A落在点F处，
∴∠F=∠A=90°，∠FEN=∠D=90°，∠DNM=∠ENM，
∵∠NEC=32°，
∴∠ENC=58°，
∴∠ENM=（180°-∠ENC）=（180°-58°）=61°，
∴∠FMN=360°-90°-90°-61°=119°，
故答案为：119．
【点拨】本题考查了角的计算，翻折变换的问题，折叠问题其实质是轴对称，对应线段相等，对应角相等，找到相等的角是解决本题的关键．
25．
【分析】
根据题意，证明△COF≌△DOE进而可得四边形OECF的面积＝S△OCD＝S正方形ABCD．
【详解】
解：如图，

∵四边形ABCD是正方形，
∴BO＝CO＝DO，∠BDC＝∠BCO＝45°，AC⊥BD，
∴∠DOC＝∠EOF＝90°，
∴∠DOE＝∠COF，
在△COF和△DOE中，
，
∴△COF≌△DOE（ASA），
∴S△COF＝S△DOE，
∴四边形OECF的面积＝S△OCD＝S正方形ABCD＝a2，
∴重叠部分的面积为a2，
故答案为a2．
【点拨】本题考查了根据正方形的性质求正方形重叠面积，三角形全等的性质与判定，证明△COF≌△DOE是解题的关键．
26．
【分析】
先证明，得到，可得到，再根据平行线的性质得到，可得，根据三角形内角和定理即可求解；
【详解】
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CB，AB∥CD，
又∵BD是角平分线，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案是．
【点拨】本题主要考查了利用正方形的性质求角度，准确利用三角形全等和三角形内角和定理求解是解题的关键．
27．①②④
【详解】
两全等的直角三角形对应的直角边叠合，当一个直角三角形的直角顶点对应另一个直角三角形的非直角顶点时，拼成平行四边形（非矩形、菱形、正方形）；
当一个直角三角形的直角顶点对应另一个直角三角形的直角顶点时，拼成等腰三角形.
两全等的直角三角形对应的斜边叠合，两互余角的顶点对应时，拼成矩形.
28．菱
【分析】
由角平分线的性质与平行线的性质，可得∠EAD=∠DAF=∠ADE，进而可得AE=DE，由菱形的判定方法即可得答案，由前面的条件下和正方形的判定方法：有一个角是直角的菱形是正方形即可得问题答案．
【详解】
根据题意，，，
则四边形AEDF是平行四边形，
又∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠EAD=∠DAF=∠ADE，
则AE=DE，
即四边形AEDF是菱形；
∵四边形AEDF是菱形；
∴当时，四边形AEDF是正方形，
故答案为菱，．
【点拨】本题主要考查菱形的判定与性质，正方形的判定，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.
29．①③④
【解析】
【分析】
①平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
②矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形；
③首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条纸条宽度相同；再由平行四边形的等积转换可得邻边相等，则重叠部分为菱形；
④根据折叠定理得：所得的四边形有三个直角，且一组邻边相等，所以可以裁出正方形纸片．
【详解】
解：①由题意得：AB∥CD，AD∥BC，
∵两组对边分别平行，
∴四边形ABCD是平行四边形，故正确；
②∵两组对边的长度相等，
∴四边形是平行四边形，
∵对角线相等，
∴此平行四边形是矩形，故错误；
③∵四边形ABCD是用两张等宽的纸条交叉重叠地放在一起而组成的图形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形（对边相互平行的四边形是平行四边形）；
过点D分别作AB，BC边上的高为DE，DF．如图所示：
则DE＝DF（两纸条相同，纸条宽度相同）；
∵平行四边形ABCD的面积＝AB×DE＝BC×DF，
∴AB＝BC．
∴平行四边形ABCD为菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形），故正确；
④根据折叠原理，对折后可得：
所得的四边形有三个直角，且一组邻边相等，
所以可以裁出正方形纸片，故正确．
故答案为①③④．

【点拨】本题考查了平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的判定以及正方形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．
30．135
【分析】
由正方形的性质可得∠ACB＝∠BAC＝45°，可得∠2＋∠BCP＝45°＝∠1＋∠BCP，由三角形内角和定理可求解．
【详解】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB＝∠BAC＝45°，
∴∠2+∠BCP＝45°，
∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠BCP＝45°，
∵∠BPC＝180°﹣∠1﹣∠BCP，
∴∠BPC＝135°，
故答案为：135．
【点拨】本题考查了正方形的性质，三角形内角和定理，掌握正方形的性质是本题的关键．
31．4﹣2或3
【分析】
存在两种情况：当A′D=DC，连接ED，勾股定理求得ED的长，可判断E，A′，D三点共线，根据勾股定理即可得到结论；当A′D=A′C，证明AEA′F是正方形，于是得到结论．
【详解】
解：①当A′D=DC时，如图1，连接ED，

∵点E是AB的中点，AB=4，BC=4，四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=4，∠A=90°，
∴DE==6，
∵将△AEF沿EF所在直线翻折，得到△A'EF，
∴A′E=AE=2，
∵A′D=DC=AB=4，
∴DE=A′E+A′D=6，
∴点E，A′，D三点共线，
∵∠A=90°，
∴∠FA′E=∠FA′D=90°，

设AF=x，则A′F=x，FD=4-x，
在Rt△FA′D中，42+x2=（4-x）2，
解得：x=，
∴FD=3；
②当A′D=A′C时，如图2，
∵A′D=A′C，
∴点A′在线段CD的垂直平分线上，
∴点A′在线段AB的垂直平分线上，
∵点E是AB的中点，
∴EA′是AB的垂直平分线，
∴∠AEA′=90°，
∵将△AEF沿EF所在直线翻折，得到△A'EF，
∴∠A=∠EA′F=90°，AF=FA′，
∴四边形AEA′F是正方形，
∴AF=AE=2，
∴DF=4-2，
故答案为：4-2或3．
【点拨】此题考查翻折变换（折叠问题），矩形的性质，等腰三角形的性质，正方形的判定和性质，分类讨论思想的运用是解题的关键．
32．34
【分析】
由正方形的性质得出∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA，证出AH=BE=CF=DG，由SAS证明△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，得出EH=FE=GF=GH，∠AEH=∠BFE，证出四边形EFGH是菱形，再证出∠HEF=90°，即可得出四边形EFGH是正方形，由勾股定理得EH，即可得出正方形EFGH的面积．
【详解】
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA，
∵AE=BF=CG=DH，
∴AH=BE=CF=DG．
在△AEH、△BFE、△CGF和△DHG中，

∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG（SAS），
∴EH=FE=GF=GH，∠AEH=∠BFE，
∴四边形EFGH是菱形，
∵∠BEF+∠BFE=90°，
∴∠BEF+∠AEH=90°，
∴∠HEF=90°，
∴四边形EFGH是正方形，
∵AB=BC=CD=DA=8，AE=BF=CG=DH=5，
∴EH=FE=GF=GH=
所以正方形EFGH的面积
【点拨】本题主要考查了正方形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握正方形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
33．
【分析】
根据翻折变换的性质可以证明四边形ABEB1为正方形，得到BE=AB，根据EC=BC-BE计算得到EC，再根据勾股定理可求答案．
【详解】
解：∵∠AB1E=∠B=90°，∠BAB1=90°，
∴四边形ABEB1为矩形，
又∵AB=AB1，
∴四边形ABEB1为正方形，
∴BE=AB= EB1=6cm，
∴EC=BC-BE=2cm，
，
故答案为：
【点拨】本题考查的是翻折变换、矩形和正方形的判定和性质及勾股定理，掌握翻折变换的性质和矩形和正方形的判定定理和性质定理是解题的关键．
34．12
【分析】
有一个角是直角的平行四边形是矩形．利用中位线定理可得出四边形EFGH矩形，根据矩形的面积公式解答即可．
【详解】
解：∵点E、F分别为四边形ABCD的边AD、AB的中点，
∴EF∥BD，且EF=BD=3．
同理求得EH∥AC∥GF，且EH=GF=AC=4，
又∵AC⊥BD，
∴EF∥GH，FG∥HE且EF⊥FG．
四边形EFGH是矩形．
∴四边形EFGH的面积=EF•EH=3×4=12，即四边形EFGH的面积是12．
故答案是：12．
35．
【分析】
延长AB至M，使BM=AE，连接FM，证出△DAE≌EMF，得到△BMF是等边三角形，再利用菱形的边长为4求出时间t的值.
【详解】
延长AB至M，使BM=AE，连接FM，

∵四边形ABCD是菱形，∠ADC=120°
∴AB=AD，∠A=60°，
∵BM=AE，
∴AD=ME，
∵△DEF为等边三角形，
∴∠DAE=∠DFE=60°，DE=EF=FD，
∴∠MEF+∠DEA═120°，∠ADE+∠DEA=180°-∠A=120°，
∴∠MEF=∠ADE，
∴在△DAE和△EMF中，

∴△DAE≌EMF（SAS），
∴AE=MF，∠M=∠A=60°，
又∵BM=AE，
∴△BMF是等边三角形，
∴BF=AE，
∵AE=t，CF=2t，
∴BC=CF+BF=2t+t=3t，
∵BC=4，
∴3t=4，
∴t=
故答案为：.
【点拨】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质等知识，解题的关键是运用三角形全等得出△BMF是等边三角形.
36．
【分析】
根据平行四边形的性质得到EG，FG，根据垂线段最短得到EG⊥CD时取最小值，过点C作CH⊥AB于点H，求出CH的长度，从而得到结果．
【详解】
解：∵四边形EDGC是平行四边形，
∴EF=FG，
∴当EF⊥CD时，EF最小，此时EG最小，
过点C作CH⊥AB于点H，则CH=EF，
∵∠B=60°，
∴∠BCH=30°，
∵BC=8，
∴BH=4，
∴CH==，
∴EF的最小值为，
∴EG的最小值为，
故答案为：．

【点拨】本题考查了平行四边形的性质，垂线段最短，直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是理解题意，找到EG最短时满足的条件．
37．B
【解析】
连接OC，OB，OA，OD，

∵E、F、G、H依次是各边中点，
∴△AOE和△BOE等底等高，所以S△OAE=S△OBE，
同理可证，S△OBF=S△OCF，S△ODG=S△OCG，S△ODH=S△OAH，
∴S四边形AEOH+S四边形CGOF=S四边形DHOG+S四边形BFOE，
∵S四边形AEOH=6，S四边形BFOE=7，S四边形CGOF=8，
∴6+8=7+S四边形DHOG，
解得S四边形DHOG=7．
故答案为7．
点睛：本题考查了三角形的面积.解决本题的关键将各个四边形划分,充分利用给出的中点这个条件,证得三角形的面积相等,进而证得结论.
38．解：（1）证明：∵点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，
∴四边形AEBD是平行四边形．
∵AB=AC，AD是△ABC的角平分线，∴AD⊥BC．
∴∠ADB=90°．
∴平行四边形AEBD是矩形．
（2）当∠BAC=90°时，矩形AEBD是正方形．理由如下：
∵∠BAC=90°，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，∴AD=BD=CD．
∵由（1）得四边形AEBD是矩形，∴矩形AEBD是正方形．
【详解】
试题分析：（1）利用平行四边形的判定首先得出四边形AEBD是平行四边形，进而由等腰三角形的性质得出∠ADB=90°，即可得出答案；
（2）利用等腰直角三角形的性质得出AD=BD=CD，进而利用正方形的判定得出即可．
（1）证明：∵点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∵AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴平行四边形AEBD是矩形；
（2）当∠BAC=90°时，
理由：∵∠BAC=90°，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，
∴AD=BD=CD，
∵由（1）得四边形AEBD是矩形，
∴矩形AEBD是正方形．

39．证明见解析.
【详解】
分析：根据AAS证明△ABM≌△EFA，可得结论．
详解：证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B=90°，AD∥BC，
∴∠EAF=∠BMA，
∵EF⊥AM，
∴∠AFE=90°=∠B，
在△ABM和△EFA中，
∵，
∴△ABM≌△EFA（AAS），
∴AB=EF．
点睛：本题考查了正方形的性质、三角形全等的性质和判定，熟练掌握三角形全等的判定是关键．
40．（1）证明见解析；（2）AB=AD（或AC⊥BD答案不唯一）．
【详解】
试题分析：（1）根据平行四边形对角线互相平分可得OA=OC，OB=OD，根据等角对等边可得OB=OC，然后求出AC=BD，再根据对角线相等的平行四边形是矩形证明；
（2）根据正方形的判定方法添加即可．
试题解析：解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∵∠OBC=∠OCB，∴OB=OC，∴AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形；
（2）AB=AD（或AC⊥BD答案不唯一）．
理由：∵四边形ABCD是矩形，又∵AB=AD，∴四边形ABCD是正方形．
或：∵四边形ABCD是矩形，又∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是正方形．

41．（1）见解析；（2）AB=．
【分析】
(1)由题意得，∠BAE=∠EAG，∠DAF=∠FAG，于是得到∠BAD=2∠EAF=90°，推出四边形ABCD是矩形，根据正方形的判定定理即可得到结论；
(2)根据EC=FC=1，得到BE=DF，根据勾股定理得到EF的长，即可求解．
【详解】
(1)由折叠性质知：∠BAE=∠EAG，∠DAF=∠FAG，
∵∠EAF=45°,
∴∠BAD=2∠EAF=245°=90°，
又∵∠B=∠D=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
由折叠性质知：AB=AG，AD=AG，
∴AB=AD，
∴四边形ABCD是正方形；
(2)∵EC=FC=1，
∴BE=DF，EF=，
∵EF=EG+GF=BE+DF，
∴BE=DF=EF=，
∴AB=BC=BE+EC=．
【点拨】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，正方形的判定和性质，解答本题的关键是熟练掌握翻折变换的性质：翻折前后对应边、对应角相等．