专题 16.18 二次根式知识点分类训练专题（基础篇）（专项练习）-八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）

这是一份专题 16.18 二次根式知识点分类训练专题（基础篇）（专项练习）-八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版），共36页。试卷主要包含了下列各等式成立的是，m为任意实数，满足，则的值是，在，，，中，最简二次根式是，下列说法正确的是，下列根式中是最简二次根式的是等内容，欢迎下载使用。

专题 16.18 二次根式知识点分类训练专题（基础篇）
（专项练习）
一、 单选题
知识点一：二次根式
1．若是二次根式，则x应满足的条件是（       ）
A． B． C． D．
2．下列各等式成立的是（     ）
A． B． C． D．
3．m为任意实数，满足，则的值是（       ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．无法确定
知识点二：最简二次根式
4．在，，，中，最简二次根式是（       ）
A． B． C． D．
5．下列说法正确的是（　　）
A．1的平方根是1 B．（﹣4）2的算术平方根是4
C．＝±3 D．是最简二次根式
6．下列根式中是最简二次根式的是（       ）
A． B． C． D．
知识点三：同类二次根式
7．将下列二次根式化为最简二次根式后，被开方数与的被开方数不同的是（       ）
A． B． C． D．
8．下列二次根式化成最简后，可以与合并的是（       ）
A． B． C． D．
9．已知是最简二次根式，且它与是同类二次根式，则（       ）
A． B．4 C． D．14
知识点四：分母有理化
10．设a＝6，b，c，则a，b，c的大小关系是（　　）
A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞c＞b
11．化简：（2a﹣3b）＝（       ）
A．﹣1 B．1 C． D．﹣
12．计算的结果是（       ）
A． B． C． D．
知识点五：复合二次根式
13．我们把形如（，为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如是型无理数，则属于无理数的类型为（       ）．
A．型 B．型 C．型 D．型
14．化简二次根式的正确结果是（       ）
A． B． C． D．
15．化简为（       ）
A． B． C． D．1
知识点六：二次根式的参数
16．已知是整数，则正整数n的最小值是（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
17．若|x+2|+＝0，则的值为（　　）
A．5 B．﹣6 C．6 D．36
18．如果，则的平方根是（       ）
A．-7 B．1 C．7 D．±1
知识点七：二次根式的化简
19．若，化简式子的结果是（       ）
A． B． C． D．
20．下列方程中有实数解的是（     ）
A．+1＝0 B．＝1−x
C． ＝2 D． ＝0
21．已知a＜b，则化简二次根式的正确结果是（       ）
A． B． C． D．
知识点八：最简二次根式与参数
22．下列二次根式中，是最简二次根式的是（       ）
A． B． C． D．
23．下列二次根式中，最简二次根式是（       ）
A． B． C． D．
24．下列命题中为真命题的是（　　）
A．三角形的一个外角等于两内角的和
B．是最简二次根式
C．数，，都是无理数
D．已知点E(1，a)与点F(b，2)关于x轴对称，则a+b＝﹣1
25．我们把形如a+b（a，b为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如3+1是型无理数，则是（　　）
A．型无理数 B．型无理数 C．型无理数 D．型无理数
26．若二次根式与可以合并，则的值可以是（     ）
A．6 B．5 C．4 D．2
27．已知二次根式与化成最简二次根式后，被开方式相同，若a是正整数，则a的最小值为（　　）
A．23 B．21 C．15 D．5
知识点九：二次根式的大小比较
28．将，，用不等号连接起来为（        ）
A． B．
C． D．
29．已知a＝2021×2023﹣2021×2022，b＝，c＝，则a，b，c的关系是（       ）
A．b＜c＜a B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．a＜b＜c
30．从，，这三个实数中任选两数相乘，所有积中小于2的有（       ）个．
A．0 B．1 C．2 D．3
知识点十：二次根式的运算
31．已知m＝﹣1，则m2+2m的值是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
32．估计的值应在下列哪两个数之间（　　）
A．2和2.5之间 B．2.5和3之间 C．3和3.5之间 D．3.5和4之间
33．若a＝﹣1，则a+的整数部分是（       ）
A．0 B．1 C．2 D．3
知识点十一：二次根式的化简求值
34．已知，则的值等于（　　）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
35．已知，则的值是（       ）
A． B． C． D．
36．设，则代数式的值为（　　）
A．6 B．4 C． D．
二、 填空题
知识点一：二次根式
37．已知x、y为实数，且，则__________．
38．若在实数范围内有意义，则的取值范围是 __．
39．如果（a为全体实数），那么a______0（填“”“”“”或“”）．
知识点二：最简二次根式
40．像，，这些式子有以下两个特点：（1）被开方数不含________；（2）被开方数中不含能开的尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做________．在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含________．
41．在二次根式；；；；；；中是最简二次根式的是______．
42．下列二次根式：，，，中，是最简二次根式的是__________．
知识点三：同类二次根式
43．若最简二次根式与能合并成一项，则a＝_____．
44．若最简二次根式与是同类根式，则2a﹣b＝___．
45．若最简二次根式与是同类二次根式，则m＝_____．
知识点四：分母有理化
46．计算：________．
47．计算：=____________（结果保留根号）．
48．已知4+的小数部分为k，则＝_____．
知识点五：复合二次根式
49．已知x＝，则4x2+4x﹣2020＝___________．
50．观察与思考：形如的根式叫做复合二次根式，把变成＝叫复合二次根式的化简，请化简＝_____．
51．阅读材料:数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方式及二次根式的性质去一层（或多层）根号。如==.根据以上材料解决下列问题：化简_________.
知识点六：二次根式的参数
52．当m＝____时，二次根式取到最小值．
53．已知有理数满足等式，则______；_____．
54．已知a，b都是实数，，则ab的值为_____．
55．已知，则a＝___．
知识点七：二次根式的化简
56．已知实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为______．

57．计算：________．
知识点八：同类二次根式识别
58．已知：最简二次根式与的被开方数相同，则a＋b＝________.
59．二次根式因为不符合最简二次根式的条件：___________________________，所以它不是最简二次根式．
60．二次根式，，，，，中是最简二次根式的是__________．
61．若是最简二次根式，则自然数_________．
62．已知n为正整数，也是正整数，那么满足条件n的最小值是___．
63．与最简二次根式是同类二次根式，则__________．
知识点九：二次根式的大小比较
64．比较大小：______．
65．比较大小：3_____．（选填“＞”、“＝”或“＜”）
66．估算比较大小：_______；______．
知识点十：二次根式的运算
67．计算：______．
68．已知x＝，y＝，则x2﹣y2＝___．
69．已知，，则______．
知识点十：二次根式的化简求值
70．若a1，则代数式a2+2a﹣4的值为 _____．
71．若的整数部分为a，小数部分为b，则_________．
72．已知x＝3﹣2y，则＝___．



























参考答案
1．A
【分析】根据被开方数是非负数结合分母不为0得出x-2＞0，得到所求．
【详解】
解：根据题意，得x-2＞0，
解得x＞2，
故选：A．
【点拨】本题考查二次根式的定义，注意被开方数是非负数．
2．C
【分析】根据二次根式的性质和有意义的条件逐一判断即可．
【详解】
解：A、被开方数小于0，没有意义，不符合题意；
B、，计算错误，不符合题意；
C、，计算正确，符合题意；
D、，计算错误，不符合题意；
故选C．
【点拨】本题主要考查了根据二次根式的性质化简和二次根式有意义的条件，熟知二次根式的性质和有意义的条件是解题的关键．
3．C
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数化简等式，再变形得到m-20212=2022．
【详解】
解：根据题意，得
m-2022≥0，即m≥2022，
∴由得：
，
即，
两边平方，得
m-2022=20212，
∴m-20212=2022．
故选：C．
【点拨】本题考查了二次根式的意义和性质，掌握去绝对值，去根号的方法是解决本题的关键．
4．B
【分析】根据最简二次根式的定义判断即可．
【详解】
解：A、，故不符合题意；
B、是最简二次根式，故B符合题意；
C．，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：B．
【点拨】此题考查了最简二次根式的定义：被开方数中不含分母，不含能开得尽方的因数或因式，熟记定义是解题的关键．
5．B
【分析】根据平方根与算术平方根、最简二次根式的判断逐项分析即可得．
【详解】
解：A、1的平方根是，此项说法错误；
B、的算术平方根是4，此项说法正确；
C、，此项错误；
D、，所以不是最简二次根式，此项说法错误；
故选：B．
【点拨】本题考查了平方根与算术平方根、最简二次根式，熟练掌握平方根与二次根式是解题关键．
6．C
【分析】：被开方数含分母；
：被开方数中含能开得尽方的因数或因式；
：符合最简二次根式的两个条件；
：被开方数中含能开得尽方的因式．
【详解】
解：：原式，不符合题意；
：原式，不符合题意；
：原式，符合题意；
：原式，不符合题意；
故选：C．
【点拨】本题主要考查了最简二次根式，解题的关键是熟练掌握最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．
7．D
【分析】先将各选项化为最简二次根式，然后再找出和 不是同类二次根式的选项即可.
【详解】
解：A： = 与的被开方数相同，故A不符合题意;
B： =，与的被开方数相同，故B不符合题意;
C：=，与的被开方数相同，故C不符合题意;
D：=，与的被开方数不相同，故D符合题意;
故选D
【点拨】正确对根式进行化简，以及正确理解同类二次根式的定义是解决问题的关键.
8．D
【分析】先化成最简二次根式，再根据同类二次根式的定义判断即可；
【详解】
解：A，，和不能合并，选项不符合题意；
B，，和不能合并，选项不符合题意；
C，，和不能合并，选项不符合题意；
D，，和能合并，选项符合题意；
故选：D
【点拨】本题考查了同类二次根式的应用，注意：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式是同类二次根式．
9．B
【分析】先把化简，然后根据同类二次根式的定义列式求解即可．
【详解】
解：，
∵最简二次根式与是同类二次根式，
∴3a-10=2，
∴a=4，
故选B．
【点拨】本题考查了同类二次根式的定义，熟练掌握同类二次根式的定义是解答本题的关键．化成最简二次根式后，如果被开方式相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．
10．B
【分析】先把已知量化为最简根式或分母有理化，然后用求差法比较各数的大小，最大值比其他任何数都大，找出最大值，以此类推找出次大值和最小值．
【详解】
解答：解：a＝662，b2，
c，
由b﹣a＝2220，则b＞a，
由b﹣c＝220，则b＞c，
∴b最大，
又∵a﹣c＝20，
则a＞c．故b＞a＞c．
故选：B．
【点拨】此题主要考查了分母有理化，正确掌握二次根式的相关计算是解题关键．
11．D
【分析】根据二次根式的非负性判断的符号，进而分母有理化即可．
【详解】
解：
（2a﹣3b）
故选D
【点拨】本题考查了二次根式的性质，分母有理化，掌握二次根式的双重非负性是解题的关键．
12．D
【分析】把分子分母都乘以 ，然后利用二次根式的性质计算；
【详解】
解：，
故选：D．
【点拨】本题考查了二次根式的化简，正确分母有理化是解答本题的关键．
13．B
【分析】将代数式化简即可判断．
【详解】




故选：B
【点拨】本题考查了最简二次根式，熟练将代数式化简是解题的关键．
14．D
【分析】根据二次根式成立的条件确定x的取值，从而利用二次根式的性质进行化简．
【详解】
解：由题意可得：x＜0
∴
故选：D．
【点拨】本题考查二次根式的化简，理解二次根式成立的条件及二次根式的性质正确化简计算是解题关键．
15．C
【分析】利用完全平方公式化简把根号下的式子写成完全平方式，进一步化简即可．
【详解】

=
=   
=
故选：C.
【点拨】本题考查实数的运算，解体的关键是把根号下的式子写成完全平方式．
16．C
【分析】因为是整数，且，则6n是完全平方数，满足条件的最小正整数n为6．
【详解】
解：，且是整数，
∴是整数，即6n是完全平方数；
∴n的最小正整数值为6．
故选：C．
【点拨】本题主要考查了二次根式的定义，关键是根据乘除法则和二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件时被开方数是非负数进行解答
17．C
【分析】先根据非负数的性质求出x、y，然后把x、y的值代入所求式子根据算术平方根的定义解答即可．
【详解】
解：∵|x+2|+＝0，
∴x+2＝0，y－3=0，解得：x=﹣2，y=3，
∴．
故选：C．
【点拨】本题考查了非负数的性质和算术平方根的定义，属于基础题型，熟练掌握基本知识是解题的关键．
18．D
【分析】根据二次根式的性质求出x、y的值，再代入求解即可．
【详解】
解：由题意可得：，
解得：，
故，则，
故的平方根是：±1．
故选：D．
【点拨】本题考查了关于二次根式的运算问题，掌握二次根式的性质、平方根的性质是解题的关键．
19．A
【分析】运用二次根式性质化简二次根式即可求解．
【详解】
解：∵a<2，
∴=2-a+2=4-a，
故选：A．
【点拨】本题考查二次式化简，绝对值，熟练掌握二次根式性质:是解题的关键．
20．D
【分析】A选项根据二次根式的非负性可判断该方程不可能有实数解；B选项两边同时平方转化为整式方程讨论；C选项根据等式左右两边的大小关系可以做出判断该方程是否有实根；D选项根据被开放式的非负性，容易求出x的大小，从而判断选项的正确与否．
【详解】
解：A选项：∵≥0，
∴+1＞0
∴左边和右边不可能相等
即该方程无解．
B选项：将方程＝1−x两边同时平方得2x-6=（1-x）2
∴x2-4x+7=0
∵△=16-49＜0
∴此方程无实数解；
C选项：方程左边最小值为，右边等于2，所以方程无解．
D选项：由题意：x-1≥0，1-x≤0，可以得到x=1，检验x=1为方程的解．
故选：D．
【点拨】本题考查了二次根式的非负性，同时也考查了解根式方程的基本方法，即将根式方程转化为整式方程，它体现数学中的转化思想．
21．A
【分析】由于二次根式的被开方数是非负数，那么﹣a3b≥0，得出a3b≤0，，而a＜b，易确定ab的取值范围，也就易求二次根式的值．
【详解】
解：∵有意义，
∴﹣a3b≥0，
∴a3b≤0，
又∵a＜b，
∴a＜0，b≥0，
∴，
故选：A．
【点拨】本题考查二次根式化简，掌握二次根式的性质和化简方法，根据二次根式有意义的条件判断字母的取值范围是解题关键
22．C
【分析】利用最简二次根式定义：根号里边不能含有分母，分母中不能含有根号，被开方数不能含有等于或超过2次的因式，判断即可．
【详解】
解：A、不是最简二次根式，该选项不符合题意；
B、不是最简二次根式，该选项不符合题意；
C、是最简二次根式，该选项符合题意；
D、不是最简二次根式，该选项不符合题意；
故选：C．
【点拨】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
23．C
【分析】根据最简二次根式中被开方数不含分母；根据被开方数中不含开得尽方的因数；根据最简二次根式的定义进行判断即可．
【详解】
解：、被开方数中含开得尽方的因数，不符合题意；
、被开方数中含开得尽方的因数，不符合题意；
、是最简二次根式，故选项符合题意；
、被开方数中含开得尽方的因式，故选项不符合题意；
故选：C．
【点拨】本题考查了最简二次根式，解题的关键是掌握满足①被开方数不含分母；②被开方数中不含开得尽方的因数或因式的二次根式叫最简二次根式．
24．D
【分析】利用三角形的外角的性质、最简二次根式的定义、无理数的定义及关于坐标轴对称的点的特点分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】
解：A、三角形的外角等于不相邻的两个内角的和，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、，不是最简二次根式，故原命题是假命题，不符合题意；
C、是有理数，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
D、已知点E（1，a）与点F（b，2）关于x轴对称，a=1，b=-2，则a+b＝﹣1，正确，为真命题，符合题意．
故选：D．
【点拨】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解三角形的外角的性质、最简二次根式的定义、无理数的定义及关于坐标轴对称的点的特点，难度不大.
25．B
【分析】先利用完全平方公式计算，再化简得到原式，然后利用新定义对各选项进行判断．
【详解】
解：，
所以是型无理数，
故选：B．
【点拨】本题考查了最简二次根式：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．也考查了无理数．
26．B
【分析】把a的值依次代入即可判断求解．
【详解】
当a=6时，=，不能与可以合并，
当a=5时，=，能与可以合并，
当a=4时，=，不能与可以合并，
当a=2时，=，不能与可以合并，
故选B．
【点拨】此题主要考查二次根式的性质，解题的关键是熟知二次根式的化简方法．
27．D
【分析】由，且与是同类二次根式知23﹣a＝2n2，分别取n＝1、2、3即可得答案．
【详解】
解：∵，且与是同类二次根式，
∴23﹣a＝2时，a＝21；
23﹣a＝8时，a＝15；
23﹣a＝18时，a＝5；
23﹣a＝32时，a＝﹣9（不符合题意，舍）；
∴符合条件的正整数a的值为5、15、21．
∴a的最小值为5．
故选D．
【点拨】本题主要考查最简二次根式，解题的关键是掌握同类二次根式的概念．
28．B
【分析】先利用计算器估算出三个无理数的值，再进行比较即可得出答案．
【详解】
解：方法一：∵，，，且，
∴；
方法二：∵，，且，
∴，
∵，，且，
∴，
∴，
故选：B．
【点拨】本题考查的是无理数大小的估算及实数的大小的比较，能熟记实数的大小比较法则以及幂的乘方是解此题的关键．．
29．D
【分析】利用平方差公式计算a，利用完全平方公式和二次根式的化简求出b，利用二次根式大小的比较办法，比较b、c得结论．
【详解】
解：a=2021×2023-2021×2022
=2021（2023-2022）
=2021；
∵20242-4×2023
=（2023+1）2-4×2023
=20232+2×2023+1-4×2023
=20232-2×2023+1
=（2023-1）2
=20222，
∴b=2022；
∵，
∴c＞b＞a．
故选：D．
【点拨】本题考查了完全平方公式、平方差公式、二次根式的化简、二次根式大小的比较等知识点，利用完全平方公式计算出值，是解决本题的关键．
30．C
【分析】根据题意分别求出这三个实数中任意两数的积，进而问题可求解．
【详解】
解：由题意得：
，
∴所有积中小于2的有两个；
故选C．
【点拨】本题主要考查二次根式的乘法运算，熟练掌握二次根式的乘法运算是解题的关键．
31．C
【分析】直接将已知代入提取公因式后的代数式计算即可求解 ．
【详解】
解：∵m＝﹣1，
∴m2+2m＝m（m+2）
＝（﹣1）（+1）
＝4．
故选：C．
【点拨】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，正确地计算是解题的关键．
32．D
【分析】根据二次根式的混合计算法则化简后，估算即可得到结果．
【详解】
解：原式＝，
∵1.5＜＜2，
∴3.5＜＜4，
故选：D．
【点拨】此题考查了无理数的估算及二次根式的混合运算，熟练掌握各个运算法则是解题关键．
33．C
【分析】把a的值代入，利用二次根式的混合运算法则计算得出最简结果，再估算即可求解．
【详解】
解：∵a=，
∴a+，
∵4<8<9，
∴2<<3，
∴a+的整数部分是2，
故选：C
【点拨】本题主要考查了二次根式的混合运算，无理数的估算能力，掌握二次根式的混合运算法则是解决问题的关键．
34．C
【分析】根据非负性求出x、y的值，代入求解即可．
【详解】
解：∵（x﹣1）2+＝0，
∴x﹣1＝0，y+4＝0，
解得：x＝1，y＝﹣4，
∴＝＝＝4．
故选：C．
【点拨】本题考查二次方根的求值、偶次方和算术平方根的非负性、解一元一次方程，熟知偶次方和算术平方根的非负性是解答的关键．
35．B
【分析】根据已知条件得出x、y同号，并且x、y都是负数，求出x=-1，y=-4或x=-4，y=-1，再求出答案即可．
【详解】
解：，，
、同号，并且、都是负数，
解得：，或，，
当，时，
；
当，时，
，
则的值是，
故选：B．
【点拨】本题考查了二次根式的化简与求值，能选择适当的方法求解是解此题的关键．
36．A
【分析】先利用已知条件得a＋2＝ ，两边平方后得到＋4a＝1，再把＋4−a＋6变形为a（＋4a）−a＋6，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】
解：∵a＝−2，
∴，即＋4a＝1，
∴＋4−a＋6＝a（＋4a）−a＋6
＝a×1−a＋6
＝6．
故选：A．
【点拨】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．
37．0或-8
【分析】根据二次根式有意义的条件得出，解之可得x的值，再将x的值代入等式求出y的值，继而可得答案．
【详解】
解：根据题意知，
解得x=±4，
则y=4，
∴或，
故答案为：0或-8．
【点拨】本题主要考查二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式的概念.
38．x≥
【分析】利用二次根式有意义的条件可得2x-1≥0，再解不等式即可．
【详解】
解：由题意得：2x-1≥0，
解得：x≥，
故答案为：x≥．
【点拨】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
39．
【分析】根据二次根式的性质解答即可；
【详解】
解：∵，即，则．
故答案为：≤
【点拨】此题考查了二次根式的性质： ，掌握二次根式的性质是解题关键．
40．     字母     最简二次根式     二次根式
略
41．，，
【分析】根据最简二次根式的定义：如果一个二次根式符合下列两个条件： 1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式，那么，这个根式叫做最简二次根式；判断即可．
【详解】
解：，不是最简二次根式；
，是最简二次根式；
，不是最简二次根式；
，是最简二次根式；
，是最简二次根式；
，不是最简二次根式；
，不是最简二次根式；
∴是最简二次根式的有：，，，
故答案为：，，．
【点拨】本题考查了最简二次根式，熟知最简二次根式的定义是解本题的关键．
42．
【分析】最简二次根式：满足：被开方数不含有分母，被开方数不含有开得尽方的因数或因式，根据定义逐一判断即可得到答案.
【详解】
解：被开方数含有分母，不是最简二次根式；
含有开得尽方的因数，不是最简二次根式；
含有开得尽方的因数，不是最简二次根式；
是最简二次根式；
故答案为：
【点拨】本题考查的是最简二次根式的定义，掌握定义并进行最简二次根式的判断是解题的关键.
43．1
【分析】根据同类二次根式的定义可求出a的值．
【详解】
解：由题意可知：a+1＝2，
∴a＝1，
故答案为：1．
【点拨】本题考查最简二次根式，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
44．9
【分析】结合同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．进行求解即可．
【详解】
解：∵最简二次根式与是同类根式，
∴2a﹣4＝2，3a+b＝a﹣b，
解得：a＝3，b＝﹣3．
∴2a﹣b＝2×3﹣（﹣3）＝9．
故答案为：9．
【点拨】此题考查了同类二次根式的定义，熟记定义是解题的关键．
45．2021
【分析】结合同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．求解即可．
【详解】
解：∵最简二次根式与是同类二次根式，
则
解得：
故答案为：2021．
【点拨】本题主要考查了同类二次根式的概念，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
46．##
【分析】先把和利用二次根式的性质化简，然后根据二次根式的加法计算法则求解即可．
【详解】
解：


，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了利用二次根式的性质化简，分母有理化，二次根式的加法，熟知相关计算法则是解题的关键．
47．
【分析】根据平方差公式，把分子分母同时乘以，将分母有理化即可.
【详解】
解：==．
故答案为：．
【点拨】本题考查分母有理化. 找出分母的有理化因式，把分子分母同时乘以分母的有理化因式是解题的关键.
48．
【分析】先估算出k的值，再代入化简即可．
【详解】




故答案为：
【点拨】本题考查无理数的估算、分母有理化，掌握二次根式的运算法则是得出正确答案的前提．
49．-2018
【分析】先对式子4x2+4x-2020进行化简变为完全平方式，然后代入求值即可解答本题．
【详解】
解：∵x＝，
∴4x2+4x-2020
=（2x+1）2-2021
=（2×+1）2-2021
=（+1）2-2021
=（+1）2-2021
=（+1）2-2021
=（+1）2-2021
=（−1+1）2-2021
=3-2021
=-2018．
故答案为：-2018．
【点拨】本题考查二次根式的化简求值，解题的关键是巧妙的对原式进行变形，然后进行求值即可．
50．﹣．
【分析】将12拆成，再利用完全平方差公式：即可得．
【详解】



故答案为：．
【点拨】本题考查了完全平方公式化简二次根式，熟记公式是解题关键．另一个重要的公式是平方差公式：，这是常考知识点，需重点掌握．
51．,
【分析】根据题目所给例子直接利用完全平方公式的逆运算化简即可.
【详解】
解：
【点拨】本题主要考查学生对完全平方公式的逆运算掌握运用能力.属于基础性题目.
52．2
【分析】根据二次根式的非负性即可解答．
【详解】
解：∵≥0，
∴当m﹣2＝0，即m＝2时，有最小值0．
故答案为：2．
【点拨】此题主要考查二次根式的非负性，解题的关键是熟知≥0．
53．         
【分析】根据有理数的定义以及等式的性质即可求出答案．
【详解】
解：由于，
，
由于与是有理数，
，，
，．
故答案为：；．
【点拨】本题考查实数，解题的关键是将等式进行适当的变形，本题属于中等题型．
54．-1
【分析】先根据二次根式的定义求解a，从而确定出b，代入求解即可．
【详解】
根据二次根式的定义：，解得：，
∴，
代入原式得：，
∴，
故答案为：-1．
【点拨】本题考查二次根式的定义，理解被开方数为非负数是解题关键．
55．4
【分析】利用两次平方运算把二次根式化简，整理为一元一次方程，求出问题．
【详解】
解：两边分别平方得：
，
整理得：，
两边平方得：，
解得：．
故答案为：4．
【点拨】本题考查解无理方程，常用方法：多次利用完全平方公式把二次根式化简成一元一次方程（或一元二次方程）；熟练掌握完全平方公式是解题关键．
56．1
【分析】根据数轴得出，根据平方及算术平方根化简即可得．
【详解】
解：由数轴可得，
∴，
故答案为：1．
【点拨】题目主要考查数轴上的数的大小，平方及算术平方根的求法，二次根式的化简等，理解题意，熟练掌握平方及算术平方根的化简方法是解题关键．
57．
【分析】根据二次根式的性质求解即可．
【详解】
解析   解：原式．
故答案为．
【点拨】本题考查了二次根式的双重非负性，无理数的大小比较，掌握二次根式的性质是解题的关键．
58．8
【分析】根据最简二次根式的被开方数相同知开方次数相同，被开方数相同，即可解出二元一次方程组，再解出即可.
【详解】
由题意得解得
∴a＋b＝8.
【点拨】此题主要考查最简二次根式的定义，解题的关键是最简二次根式的定义列出方程进行求解.
59．被开方数中不含能开的尽方的因式
【分析】最简二次根式必须同时符合两个条件：一是被开方数中不含能开的尽方的因数或因式，二是被开方数中不含分母，据此解答即可．
【详解】
解：∵，
∴二次根式因为不符合最简二次根式的条件：被开方数中不含能开的尽方的因式，所以它不是最简二次根式．
故答案为：被开方数中不含能开的尽方的因式．
【点拨】本题考查了最简二次根式的定义，属于基础概念题型，熟知概念是关键．
60．，，
【分析】如果一个二次根式符合下列两个条件： 1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式，那么这个根式叫做最简二次根式.根据定义的两个条件逐个判断即可.
【详解】
解：被开方数不是整数，不是最简二次根式；
符合最简二次根式定义，是最简二次根式；
符合最简二次根式定义，是最简二次根式；
= ，所以不是最简二次根式；
符合最简二次根式定义，是最简二次根式；
，所以不是最简二次根式.
所以只有，，是最简二次根式.
故答案为：，，
【点拨】本题考查最简二次根式的定义，即判断一个二次根式是否为最简二次根式主要方法是，根据最简二次根式的定义进行，或直观地观察被开方数的每一个因数（或因式）的指数都小于2，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察.
61．0
【分析】根据根号下不含能开的尽的因式，根号下不含分母，是最简二次根式，可得答案．
【详解】
解：∵是最简二次根式，
∴1+n=1或1+n=0，
解得：n=0或n=-1(舍去)，
∴自然数n=0，
故答案为：0．
【点拨】本题考查了最简二次根式，熟悉最简二次根式的定义是解题的关键．
62．3
【分析】由为正整数，也是正整数，知是一个完全平方数，再将12分解质因数，从而得出结果．
【详解】
解：为正整数，也是正整数，
则是一个完全平方数，
又∵，
∴是一个完全平方数，
∴的最小值是3．
故答案为：3．
【点拨】本题主要考查了二次根式的性质，解题的关键是掌握如果是正整数，那么是一个完全平方数．
63．1
【分析】先把化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义得到m＋1＝2，然后解方程即可．
【详解】
解：∵，
∴m＋1＝2，
∴m＝1．
故答案为1．
【点拨】本题考查了同类二次根式：几个二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．
64．＞
【分析】先将二次根式进行计算得，，根据即可得．
【详解】
解：，，
，
，
则，
故答案为：>．
【点拨】本题考查了二次根式比较大小，解题的关键是掌握二次根式的运算．
65．＞
【分析】求出，再比较即可．
【详解】
解：，
故答案为：＞．
【点拨】本题考查了实数的大小比较，能选择适当的方法比较两个数的大小是解此题的关键．
66．     >     <
【分析】①二次根式比较大小，可比较其平方的大小；
②二者作差与作比较，可比较二者的大小．
【详解】
解：①，，

故答案为：．
②，


故答案为：．
【点拨】本题考察了根式的大小比较．解题的关键在于识别根式适用的方法．常用的方法有：平方法、作差法、作商法、分子有理化、分母有理化等．
67．##
【分析】根据二次根式的混合运算和分母有理化计算即可．
【详解】




故答案为：．
【点拨】本题考查二次根式的混合运算和分母有理化．掌握二次根式的混合运算法则是解题关键．
68．
【分析】根据平方差公式进行计算即可．
【详解】
解：∵x＝，y＝，
∴x2﹣y2＝



故答案为：．
【点拨】本题考查了平方差公式和二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
69．
【分析】先计算出x+y，xy的值，再把变形整体代入即可求解．
【详解】
解：∵，，
∴x+y=2，xy=3-1=2，
∴，
故答案为：．
【点拨】本题考查了分式的化简求值以及二次根式的运算，根据x、y的值的特点和所求分式的特点进行正确变形，熟知相关运算公式，法则是解题关键，本题也可以直接代入计算，但运算量比较大．
70．2
【分析】此题可先把代数式a2+2a﹣4变形为（a+1）2﹣5，再把a1代入变形的式子计算即可．
【详解】
∵a²+2a﹣4＝（a+1）2﹣5．
∴当a1时，
原式＝（1+1）2﹣5
＝7﹣5
＝2．
故答案为：2．
【点拨】本题考查了完全平方公式的逆用、二次根式的化简求值，解答本题的关键是一定要先化简到最简二次根式，再代入求值．
71．6
【分析】根据题意表示出a和b的值，进而得出答案．
【详解】
解：
，



故答案为：6．
【点拨】本题考查了估计无理数的大小，代数式求值等知识点的应用，解题的关键是求出无理数的取值范围．
72．
【分析】由x＝3﹣2y得，原式化简为，从而可求得值．
【详解】
解：∵x＝3﹣2y
∴
∴
故答案为：
【点拨】本题是化简求值问题，考查了二次根式的除法运算，二次根式的化简，求代数式的值，涉及整体思想，关键是二次根式的除法运算．