专题 16.15 《二次根式》全章复习与巩固（巩固篇）（专项练习）-八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）

专题 16.15 《二次根式》全章复习与巩固（巩固篇）

（专项练习）

一、单选题

1．若最简二次根式和能合并，则a、b的值分别是（　　）

A．2和1 B．1和2 C．2和2 D．1和1

2．化简：＝（　　）

A． B． C． D．

3．下列计算正确的是（    ）

A． B．

C． D．

4．估计的值应在（      ）

A．1和2之间 B．2和3之间

C．3和4之间 D．4和5之间

5．比较大小错误的是（    ）

A．＜ B．＋2＜﹣1

C．＞﹣6 D．|1－|＞－1

6．下列计算①＝•＝6；②＝•＝6；③＝•＝3；④＝•＝1，正确的是（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

7．若0<x<1，则 等于（     ）

A． B．－  C．－2x D．2x

8．设n，k为正整数，A1＝，A2＝，A3＝…Ak＝，已知A100＝2005，则n＝（　　）

A．1806 B．2005 C．3612 D．4011

9．设为实数，且，则的值是（    ）

A．1 B．9 C．4 D．5

10．如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第9行从左至右第5个数是（　　）

A．2 B． C．5 D．

二、填空题

11．计算：______．

12．观察以下等式：①3﹣2＝（﹣1）2，②5﹣2＝（﹣）2，③7﹣2＝（）2，……请你根据以上规律，写出第7个等式___．

13．化简；（1）_____________；（2）___________；（3）_____________；

14．利用下面表格中的规律计算：已知，，，则______．（用含的代数式表示）

15．我们知道是一个无理数，设它的整数部分为a，小数部分为b，则（+a）·b的值是_________．

16．已知，，则ab＝_____；a2+b2＝_____．

17．类比整式的运算法则计算:

（1）______

（2）_____

（3）_____

（4）_____

18．若3，m，5为三角形的三边长，则化简的结果为________．

19．若一个三角形的一边长为a，这条边上的高为6，其面积与一个边长为3的正方形的面积相等，则a＝________．

20．若＝2.5，则的值为_____．

21．如果与是同类二次根式,那么x的最小正整数是________

22．已知a﹣2，若a与b的积为有理数，则b＝_____．

三、解答题

23．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬2个单位长度到达点B，点C与点B关于原点对称，若A、B、C三点表示的数分别为a、b、c，且a＝．

（1）则b＝       ，c＝       ，bc＋6＝       ；

（2）化简：．

24．计算：

（1）；          （2）；

（3）

25．计算：

（1）；     （2）；

（3）；     （4）；

（5）；          （6）．

26．计算：（1）；       （2）；

27．已知，求代数式的值．

28．阅读理解：

材料：小华在学习分式运算时，通过具体运算：，，，，…，

发现规律：（为正整数），并证明了此规律成立．

应用规律，快速计算：．

根据材料，回答问题：

在学习二次根式运算时，小华根据分式学习积累的活动经验，类比探究二次根式的运算规律，并解决问题．请将下面的探究过程，补充完整．

（1）具体运算：

特例1：，

特例2：，

特例3：，

特例4：        （填写一个符合上述运算特征的例子）．

 ……

（2）发现规律：        （为正整数），并证明此规律成立．

（3）应用规律：

①计算：；

②如果，那么n＝         ．

参考答案

1．D

【分析】由二次根式的定义可知，由最简二次根式和能合并，可得，由此即可求解．

解：∵最简二次根式和能合并，

∴，

∴，

解得，

故选D．

【点拨】本题主要考查了二次根式的定义和最简二次根式的定义，熟知定义是解题的关键．

2．C

【分析】首先根据二次根式有意义的条件判断，再根据二次根式的性质进行化简即可．

解：＝＝，

故选：C．

【点拨】本题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．

3．D

【分析】根据二次根式的性质与运算法则逐项计算，即可求解．

解：A. ，故原选项计算错误，不合题意；

B. 被开方数要为非负数，故故原选项计算错误，不合题意；

C. ，故原选项计算错误，不合题意；

D. ，故原选项计算正确，符合题意．

故选：D

【点拨】本题考查了二次根式的性质与除法运算，熟知二次根式的性质与运算法则是解题关键．

4．B

【分析】先根据二次根式的乘法运算计算，再估算的大小，进而估算，即可求得答案．

解：

\

故选B

【点拨】本题考查了二次根式的乘法运算，无理数大小估算，掌握以上知识是解题的关键．

5．D

【分析】利用比较实数大小的方法逐项判断正误即可．

解：A、由于5<7，则＜，故正确；

B、由于＋2<6+2=8，而8=9-1<－1，则＋2＜﹣1，故正确；

C、由于，则，故正确；

D、由于，故错误．

故选：D

【点拨】本题考查了实数大小的比较，涉及二次根式的比较，不等式的性质等知识，其中掌握二次根式大小的比较是关键．

6．A

【分析】利用二次根式的性质分别分析进而判断各选项即可．

解：①＝根号下不能为负数，故此选项错误；

②＝＝6根号下不能为负数，故此选项错误；

③＝＝3，故此选项正确；

④＝＝1由③得，此选项错误．

故正确的有1个．

故选：A．

【点拨】本题考查了二次根式的性质，正确利用二次根式乘法运算法则是解题的关键．

7．D

【分析】利用完全平方公式以及二次根式的性质，结合0<x<1，进行化简，即可得到答案．

解：∵0<x<1，

∴＞0，＜0，

∴=

=

=+

=2x，

故选D

【点拨】本题主要考查二次根式的性质以及完全平方公式，熟练掌握，是解题的关键．

8．A

【分析】利用多项式的乘法把各被开方数进行计算，然后求出A1、A2、A3的值，从而找出规律并写出规律表达式，再把k＝100代入进行计算即可求解．

解：∵（n＋3）（n−1）＋4＝n2＋2n−3＋4＝n2＋2n＋1＝（n＋1）2，

∴A1＝＝n＋1，

（n＋5）A1＋4＝（n＋5）（n＋1）＋4＝n2＋6n＋5＋4＝n2＋6n＋9＝（n＋3）2，

∴A2＝＝n＋3，

（n＋7）A2＋4＝（n＋7）（n＋3）＋4＝n2＋10n＋21＋4＝n2＋10n＋25＝（n＋5）2，

A3＝＝n＋5，

…

依此类推Ak＝n＋（2k−1），

∴A100＝n＋（2×100−1）＝2005，

解得n＝1806．

故选：A．

【点拨】本题是对数字变化规律的考查，对被开方数整理，求出A1、A2、A3，从而找出规律写出规律的表达式是解题的关键．

9．A

【解析】

试题解析：根据题意可得: 解得：

当时，

故选A.

10．B

【解析】

【分析】由图形可知，第n行最后一个数为，据此可得答案．

【详解】由图形可知，第n行最后一个数为，

∴第8行最后一个数为=6，

则第9行从左至右第5个数是，

故选B．

【点睛】本题主要考查数字的变化类，解题的关键是根据题意得出第n行最后一个数为．

11．##

【分析】由题可得，，即可得出，再根据二次根式的性质化简即可．

解：由题可得，，

∴，
∴，

∴

．

故答案为：．

【点拨】本题主要考查了二次根式有意义的条件以及二次根式的性质与化简，掌握二次根式的性质是解决问题的关键．

12．15﹣2＝（）2

【分析】直接利用已知数据得出数字变化规律，进而得出答案．

解：∵①，

②，

③……

∴第n个式子为：，,

∴第7个等式为：，

故答案为：．

【点拨】题目主要考查对新运算的理解、二次根式的运算、完全平方公式，对新运算的理解是解题关键．

13．
，   
，   
．   

【分析】（1）根据二次根式的乘法运算法则计算，然后利用二次根式性质化简即可；

（2）先把被开方式因式分解，利用二次根式性质化简，化简结果也可即可；

（3）利用乘方的逆运算分出一次幂与10次幂即，再利用积的乘方逆运将底数用平方差公式化简后再与一次幂因式相乘．

解：解:（1）；

（2）；

（3）

故答案为（1）；（2）；（3）．

【点拨】本题考查二次根式的乘法乘方混合运算，掌握二次根式性质，二次根式乘方与乘法运算法则是解题关键．

14．

【分析】根据已知条件将a+b化为，利用二次根式的乘法法则的逆运算以及求一个数的算术平方根，即可得到答案．

解：∵，，，

∴

=

=

=0.1k+10k

=10.1k，

故答案为：．

【点拨】此题考查多项式的求值计算，二次根式的乘法法则的逆运算，求一个数的算术平方根，将a+b化为是解题的关键．

15．1

【分析】先根据2＜＜3，确定a=2，b=-2，代入所求代数式，运用平方差公式计算即可．

解：∵2＜＜3，

∴a=2，b=-2，

∴（+a）·b

=（+2）（-2）

=5-4

=1，

故答案为：1．

【点拨】本题考查了无理数的估算，无理数整数部分的表示法，平方差公式，正确进行无理数的估算，灵活运用平方差公式是解题的关键．

16．1    14   

【分析】先求出a+b、ab，再利用平方差公式、完全平方公式计算即可．

解：∵，，

∴a+b＝2+2﹣＝4，

ab＝（2+）（2﹣）

＝4﹣3

＝1．

∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab

＝42﹣2

＝14．

故答案为：1，14．

【点拨】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则和乘法公式是解答本题的关键．

17．            -23   

【分析】（1）先利用二次根式的性质化简，然后类似于整式的混合运算法则求解即可；

（2）类似于多项式除以单项式的计算法则求解即可；

（3）类似于多项式乘以多项式的计算法则求解即可；

（4）类似于整式的混合计算法则，利用平方差公式求解即可．

解：（1）

；

故答案为：；

（2）

；

故答案为：；

（3）

；

故答案为：；

（4）

．

故答案为：．

【点拨】本题主要考查了利用二次根式的性质化简，二次根式的混合运算，平方差公式，解题的关键在于能够根据题意用类似于整式的计算法则求解．

18．

【分析】先根据三角形三边的关系判断2-m和m-8的正负，然后根据二次根式的性质化简即可．

解：∵3，m，5为三角形的三边长，

∴5-3<m<5+3，

∴2<m<8，

∴2-m<0，m-8<0，

∴

=-(2-m)+(m-8)

=-2+m+m-8

=2m-10．

故答案为：2m-10．

【点拨】本题考查了三角形三条边的关系，以及二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键．

19．2

【解析】

由题意可得：，

∴，解得：.

故答案为.

20．

【分析】设=a，将原等式变形后可求得a的值，代入所求式子可得结论．

解：设=a，则24-t2=a2，8-t2=a2-16，

∵−=2.5，

a-=，

a−＝，

两边同时平方得：(a−)2＝a2−16，

解得：a=，

则，

=+，

=+，

=+，

=+，

=，

故答案为．

【点拨】本题是二次根式的化简求值问题，利用换元法，将原方程转化为关于a的方程，解方程可解决问题，计算量大，要细心．

21．11.

【分析】根据题意，它们化简后的被开方数相同，列出方程求解即可．

解：∴2x+5=3,解得x=−1(舍去)，

2x+5=12,解得x=3.5(舍去)，

2x+5=27，解得x=11.

即：当x取最小正整数11时，与是同类根式.

故答案是：11.

【点拨】此题考查同类二次根式，解题关键在于掌握运算法则.

22．n（+2）（n为有理数）．

【解析】

【分析】设a与b的乘积为有理数n，再计算求出b即可.

解：设，则，其中也为有理数，一个有理数除以一个非零有理数结果还是有理数，所以（n为有理数）.

【点拨】解答该题的关键在于设出和二次根式除法的正确计算.

23．（1），，；（2）

【分析】（1）根据A表示，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬2个单位长度到达点B，可得，再由点C与点B关于原点对称，可得，然后代值计算即可；

（2）根据（1）中所求，利用二次根式的性质和绝对值的化简方法求解即可．

解：（1）∵A表示一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬2个单位长度到达点B

∴，

∵点C与点B关于原点对称，

∴， 

∴bc＋6＝． 

故答案为：；；；

（2）

．

【点拨】本题主要考查了实数与数轴，二次根式的性质化简，化简绝对值，完全平方公式，实数的混合运算等等，解题的关键在于能够熟练掌握实数与数轴的关系．

24．（1）；（2）；（3）．

【分析】（1）本题首先需要将二次根式化简，之后进行计算，去括号注意符号变化；

（2）先对二次根式进行化简，去括号利用完全平方公式进行运算在进行合并；

（3）利用平方差公式对括号进行化简，之后针对绝对值，判断绝对值内符号的正负，再去绝对值，之后进行合并运算．

解：（1）原式；

（2）原式；

（3）原式

．

【点拨】本题重点考察的是二次根式的混合运算，需要用到简便运算，熟练掌握二次根式的化简及运算方法是解此类题型的关键．

25．（1）；（2）；（3）6；（4）；（5）；（6）

【分析】（1）先化简二次根式，再根据二次根式加减运算法则计算即可；

（2）先化简二次根式，再根据二次根式乘除运算法则计算即可；

（3）利用平方差公式计算即可；

（4）先化简二次根式，再合并后计算乘除运算即可；

（5）利用完全平方公式进行计算即可；

（6）利用完全平方公式进行计算即可；

解：（1）原式

；

（2）原式

；

（3）原式

；

（4）原式

；

（5）原式

；

（6）原式

【点拨】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后进行二次根式的加减运算．

26．（1）；（2）

【分析】（1）先根据二次根式的基本性质以及二次根式的除法法则、零指数幂法则化简每一个二次根式，再合并同类二次根式即可；

（2）先根据二次根式的基本性质化简每一个二次根式，再合并同类二次根式即可．

解：（1）原式

；

（2）原式

．

【点拨】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式，熟练掌握二次根式的运算法则和运算顺序是解决本题的关键．也考查了零指数幂法则．

27．

【分析】根据x的值，可以求得，将所求值代入原式即可求得结果．

解：∵，

∴，

∴

．

【点拨】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的运算方法及乘法公式是解题的关键．

28．（1）；（2）；（3）①；②

【分析】（1）根据前3个例题写出一个符合上述运算特征的例子即可；

（2）根据材料中的进行计算即可；

（3）结合（1）（2）的规律进行计算即可

解：（1）（答案不唯一）；

（2）；

故答案为：

证明：

=

故答案为：

（3）①；

，

，

，

．

②

则

【点拨】本题考查了分式的加减运算，完全平方公式的计算，二次根式的性质，掌握分式的性质，以及是解题的关键．