专题 16.2 二次根式（基础篇）（专项练习）-八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）

专题 16.2  二次根式（基础篇）（专项练习）

一、单选题

知识点一、求二次根式的值 

1．与结果相同的是（    ）．

A． B．

C． D．

2．已知当时，代数式的值是（      ）

A． B． C． D．

3．下列各组数中，互为相反数的是（    ）

A．–2与 B．–2与

C．2与 D．2与

知识点二、求二次根式的参数 

4．已知二次根式的结果是7，则x的值为（    ）

A．7 B．49 C．–7 D．7或–7

5．当式子的值取最小值时，a的取值为（　　）

A．0 B． C．﹣1 D．1

6．下列各式中，是二次根式的是（　　）

A． B． C． D．

知识点三、二次根式有意义的条件 

7．若＝﹣a，则a的取值范围是（　　）

A．﹣3≤a≤0 B．a≤0 C．a＜0 D．a≥﹣3

8．式子有意义的x的取值范围是（ ）

A．且x≠1 B．x≠1 C． D．且x≠1

9．若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是(      )

A． B． C．且 D．且

知识点四、利用二次根式的性质化简 

10．按一定规律排列的一列数：，，，，…，其中第6个数为(　　)

A．        B．        C．        D．

11．如果ab＞0，a＋b＜0，那么下面各式：①  ；  ②＝1；③＝－b．其中正确的是(   )

A．①② B．①③ C．①②③ D．②③

12．下列各式成立的是

A． B． C． D．

知识点五、复合二次根式的化简

13．把(2-x) 的根号外的（2-x）适当变形后移入根号内，得（    ）

A．  B．  C．  D．

14．化简二次根式的正确结果是（    ）

A． B． C． D．

15．对式子作恒等变形，使根号外不含字母，正确的结果是（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

知识点一、求二次根式的值 

16．若整数x满足|x|≤3，则使为整数的x的值是___（只需填一个）．

17．当时，二次根式的值是______．

18．已知－1＜m＜，且m，均为整数，则m＝________.

知识点二、求二次根式的参数 

19．若a、b为实数，且b=+4，则a+b的值为__．

20．符合的正整数的值有______个．

21．已知实数a满足|2014-a|+=a，那么a-20142+1的值是______ ．

知识点三、二次根式有意义的条件 

22．若a，b都是实数，b＝+﹣2，则ab的值为_____．

23．若代数式有意义，则的取值范围为__________．

24．函数的自变量x的取值范围是__________．

知识点四、利用二次根式的性质化简 

25．已知1＜x＜5，化简+|x-5|=____．

26．在数轴上表示实数a的点如图所示，化简＋|a－2|的结果为____________．

27．实数、在数轴上的位置，化简______．

知识点五、复合二次根式的化简

28．观察与思考：形如的根式叫做复合二次根式，把变成＝叫复合二次根式的化简，请化简＝_____．

29．已知，则代数式的值为 __________．

30．设的整数部分为，小数部分为，________.

三、解答题

31．计算：

（1）                              （2）

（3）                             （4）

32．计算:（1）；（2）

33．先化简，再求值：，其中a，b满足．

34．若都是实数，且，求 x＋3y的立方根．

35．已知：实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：﹣|a﹣b|．

36．数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．

材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如a2±2ab+b2＝（a±b）2，那么，如何将双重二次根式化简．我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简．

材料二：在直角坐标系xOy中，对于点P(x，y)和Q(x，y′)给出如下定义：若y则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点(3，2)的“横负纵变点”为(3，2)，点(﹣2，5)的“横负纵变点”为(﹣2，﹣5)．问题：

（1）点的“横负纵变点”为　  　   ，点的“横负纵变点”为　　  ；

（2）化简：

参考答案

1．A

【分析】

根据有理数运算和二次根式的性质计算，即可得到答案．

【详解】

∵，且选项B、C、D的运算结果分别为：4、6、0

故选：A．

【点拨】本题考查了二次根式、有理数运算的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式、含乘方的有理数混合运算的性质，即可得到答案．

2．C

【分析】

由题意直接根据二次根式的性质以及去绝对值的方法，进行分析运算即可.

【详解】

解：∵，

∴.

故选：C.

【点拨】本题考查二次根式和去绝对值，熟练掌握二次根式的性质以及去绝对值的方法是解题的关键.

3．A

【分析】

根据二次根式的性质可判断A、C、D三项，根据立方根的定义可判断B项，进而可得答案．

【详解】

解：A、因为，所以–2与互为相反数，故本选项符合题意；

B、因为，所以–2与相等，故本选项不符合题意；

C、因为，所以2与相等，故本选项不符合题意；

D、因为，所以2与相等，故本选项不符合题意．

故选A．

【点拨】本题考查了二次根式的性质和立方根的定义，属于基本题型，熟练掌握基本知识是解题关键．

4．D

【分析】

根据二次根式的性质可得：，再根据绝对值的意义解答即可．

【详解】

解：由题意得：，所以，即x的值为7或–7．

故选D．

【点拨】本题考查的是二次根式的性质，属于基础题型，熟练掌握是解题关键．

5．B

【详解】

分析：二次根式一定是非负数，则最小值即为0，列方程求解即可.

详解：∵，

∴时为最小值.

即：，

∴.

故选B.

点睛：本题考查了二次根式有意义的条件.

6．A

【解析】

【分析】

根据二次根式的定义逐一判断即可．

【详解】

A、是二次根式，故此选项正确；

B、，根号下不能是负数，故不是二次根式；

C、是立方根，故不是二次根式；

D、，根号下不能是负数，故不是二次根式；

故选A．

【点拨】本题考查了二次根式的定义：形如（a≥0）叫二次根式．

7．A

【分析】

根据二次根式的性质列出不等式，解不等式即可解答.

【详解】

∵= =﹣a，

∴a≤0，a+3≥0，

∴﹣3≤a≤0.

故选A.

【点拨】本题考查二次根式的性质，根据二次根式的性质列出不等式是解题的关键.

8．A

【详解】

根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件，要使在实数范围内有意义，必须且．故选A．

9．A

【分析】

根据分式的分母不为零、二次根式的被开方数是非负数列出关于的不等式组，然后求得的取值范围．

【详解】

解：根据题意，得

解之得：，

故选：A．

【点拨】本题综合考查了分式有意义的条件、二次根式有意义的条件，解答该题时，需要注意分式的分母不为零这一条件．

10．D

【分析】

观察可知第n个数分母是n，分子是(n＋1)2－1的算术平方根，据此即可得.

【详解】

根据一列数：，，，，…，可知

第n个数分母是n，分子是(n＋1)2－1的算术平方根，

据此可知：第六个数是＝，

故答案为.

【点拨】本题考查了规律题——数字的变化类，仔细观察找出这列数的变化规律是解题的关键.

11．D

【分析】

先根据ab＞0，a＋b＜0，判断出a、b的符号，再逐个式子分析即可.

【详解】

∵ab＞0，a＋b＜0，

∴a<0，b<0，

∴无意义，故①不正确；

，故②正确

，故③正确.

故选D.

【点拨】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键. ，， （a≥0，b>0）.

12．D

【分析】

根据二次根式的性质化简即可．

【详解】

A．2，故本选项错误；

B．4，故本选项错误；

C．，故本选项错误；

D．，故本选项正确．

故选D．

【点拨】本题考查了二次根式的基本性质：①a≥0；0（双重非负性）．②（）2=a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．③a（a≥0）（算术平方根的意义）．

13．D

【分析】

由题意易得x>2，然后根据二次根式的性质可进行求解．

【详解】

解：由题意得：

，解得：x>2，

∴；

故选D．

【点拨】本题主要考查二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．

14．D

【分析】

根据二次根式成立的条件确定x的取值，从而利用二次根式的性质进行化简．

【详解】

解：由题意可得：x＜0

∴

故选：D．

【点拨】本题考查二次根式的化简，理解二次根式成立的条件及二次根式的性质正确化简计算是解题关键．

15．C

【分析】

直接利用二次根式的性质化简求出答案．

【详解】

解：由题意可得：，∴

∴

故选：C

【点拨】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．

16．﹣2（答案不唯一）

【详解】

试题分析：∵|x|≤3，∴﹣3≤x≤3．

∵x为整数，∴x=﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3．

分别代入可知，只有x=﹣2，3时为整数．

∴使为整数的x的值是﹣2或3（填写一个即可）．

17．

【分析】

把x＝﹣2代入已知二次根式，通过开平方求得答案．

【详解】

把x＝﹣2代入4．

故答案为4．

【点拨】本题考查了二次根式的定义及性质，注意二次根式的结果是非负数是解答此题的关键．

18．3

【分析】

先求出的范围，根据不等式求出m的值，再根据为整数可得答案.

【详解】

解：-1＜m＜，3＜＜4，

m的值为0，1，2，3，

为整数，

m只能为3

故答案：3.

【点拨】本题考查了估算无理数的大小，二次根式的性质，不等式的应用等，解题的关键是求出的范围，及利用为整数求解.

19．3

【分析】

根据二次根式的性质解出a值，然后代入b的代数式，求出b，即可得出答案

【详解】

解：根据二次根式的性质，被开方数大于等于0可知：a2−1≥0且1−a2≥0，
解得a2＝1，即a＝±1，
又0做除数无意义，所以a-1≠0，
故a＝-1，

将a值代入b的代数式得b＝4，

∴a＋b＝3，

故答案为：3．

【点拨】本题主要考查了二次根式的意义和性质．求出a，b的值是解题关键．

20．3

【分析】

由二次根式的性质可得关于a的不等式，解不等式即得a的范围，然后取符合条件的正整数即可．

【详解】

解：，，

，∴符合条件的正整数为1，2，3，共3个．

故答案为：3．

【点拨】本题考查了二次根式的性质和一元一次不等式的正整数解，属于常考题型，熟练掌握基本知识是解题关键．

21．2016

【分析】

先根据a-2015≥0求出a的取值范围，进而可把绝对值符号去掉，然后把|2014-a|+=a变形可得a-2015=20142，再把a=20142+2015代入a-20142+1计算即可.

【详解】

∵a-2015≥0，

∴，

∴原式可变形为：a-2014+a，

∴a-2015=20142，

∴a=20142+2015，

∴a-20142+1=20142+2015-20142+1=2016.

故答案为2016.

【点拨】本题考查了二次根式的定义，绝对值的意义及求代数式的值，根据二次根式成立的条件求出a的取值范围是解答本题的关键.

22．4

【分析】

直接利用二次根式有意义的条件得出a的值，进而利用负指数幂的性质得出答案．

【详解】

解：∵b＝+﹣2，

∴

∴1-2a=0，
解得：a=，则b=-2，
故ab=（）-2=4．
故答案为4．

【点拨】此题主要考查了二次根式有意义的条件，以及负指数幂的性质，正确得出a的值是解题关键．

23．且.

【分析】

根据二次根式和分式有意义的条件进行解答即可.

【详解】

解：∵代数式有意义，

∴x≥0，x-1≠0，

解得x≥0且x≠1.

故答案为x≥0且x≠1.

【点拨】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不为零.

24．x≥2且x≠3

【分析】

根据分式分母不为0、二次根式的被开方数是非负数列式计算即可．

【详解】

解：由题意得，x−2>0，3-x≠0,

解得，x≥2且x≠3．

故答案为：x≥2且x≠3．

【点拨】本题考查了函数自变量的取值范围，掌握分式有意义的条件、二次根式有意义的条件是解题的关键．

25．4

【解析】

【分析】由已知判断x-1>0,x-5<0,再求绝对值.

【详解】因为1＜x＜5，

+|x-5|=|x-1|+|x-5|=x-1+5-x=4

故答案为4

【点睛】本题考核知识点：二次根式化简. 解题关键点：求绝对值.

26．3.

【详解】

试题分析：由数轴得知，a>2,且a<5,所以a-5<0,a-2>0,原式化简=5-a+a-2=3.故答案为3.

考点：绝对值意义与化简.

27．

【分析】

由数轴得：，，，根据二次根式的性质化简即可.

【详解】

解：由数轴得：，，

故答案为：.

【点拨】本小题主要考查利用数轴判断实数取值范围、二次根式的化简、代数式的恒等变形等基础知识，考查基本的代数运算能力．观察数轴确定a、b及a-b的符号是解答本题的关键，本题巧用数轴给出了每个数的符号，渗透了数形结合的思想，这也是中考时常考的知识点．

28．﹣．

【分析】

将12拆成，再利用完全平方差公式：即可得．

【详解】

故答案为：．

【点拨】本题考查了完全平方公式化简二次根式，熟记公式是解题关键．另一个重要的公式是平方差公式：，这是常考知识点，需重点掌握．

29．

【分析】

直接把的值代入，利用二次根式的混合运算法则计算得出答案．

【详解】

解：，

．

故答案为：．

【点拨】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确掌握二次根式的性质是解题的关键．

30．

【分析】

根据分母有理化进行化简,然后判断出整数部分和小数部分,相乘解出即可.

【详解】

∵,,∴,∴,∴,,∴.

【点拨】本题考查分式的有理化,熟悉定义是本题关键.

31．（1）2；（2）11；（3）；（4）0

【分析】

（1）根据二次根式的性质直接计算即可；

（2）根据算术平方根的定义计算；

（3）根据二次根式的性质直接计算即可；

（4）根据二次根式的性质分别计算每一项，再合并即可．

【详解】

解：（1）；

（2）；

（3）原式；

（4）原式．

【点拨】本题考查了二次根式的性质和算术平方根的定义，属于应知应会题型，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．

32．（1）;

（2）.

【分析】

（1）先根据三次根式、二次根式的性质去化简，再进行加减运算；

（2）先根据三次根式、二次根式和绝对值的性质去化简，再进行加减运算；

【详解】

（1）

=

=

（2）

=

=

【点拨】本题考查三次根式、二次根式和绝对值的性质，解题的关键是掌握三次根式、二次根式和绝对值的求法.

33．-1

【分析】

根据平方差公式进行变形，再根据分式混合运算法则进行计算，再根据平方差公式的性质和二次根式的性质进行求解，即可得到答案.

【详解】

解：原式

，

∵a，b满足，

∴，，

，，

原式．

【点拨】本题考查平方差公式和二次根式的性质，解题的关键是掌握平方差公式和二次根式的性质.

34．3

【分析】

首先根据二次根式的非负性可以求出x的值，再将其代入已知等式即可求出y的值，从而求出x+3y的值，再对其开立方根即可求解．

【详解】

由题意可知，

解得：x=3，
则y=8，x+3y=27，

故x+3y的立方根是3．

【点拨】本题考查了二次根式有意义的条件，立方根及平方根的知识，属于基础题，掌握各个知识点是关键. 二次根式有意义的条件：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．

35．2a-3b+3

【详解】

试题分析：首先根据数轴得出a+1、b-1和a-b的正负性，然后绝对值的化简法则将绝对值去掉，从而得出答案.

试题解析：原式＝（a+1）-2(b-1)+(a+b)

＝a+1-2b+2+a-b

＝2a-3b+3

36．（1），；（2）；

【分析】

（1）根据“横负纵变点”的定义即可解决问题．

（2）模仿例题解决问题即可．

【详解】

解：（1）根据题目意思，

∵和,

点的“横负纵变点”为，

点的“横负纵变点”为，

故答案为：，；

（2）∵2+5=7,2×5=10,

∴；

【点拨】双重二次根式的化简等知识，解题的关键是理解题意，学会模仿解决问题，属于中考常考题型．