人教版九年级下册数学相似单元测试卷附详细解析

这是一份人教版九年级下册数学相似单元测试卷附详细解析，共17页。
人教版九年级下册数学相似单元测试卷附详细解析一、单选题(共10题；共30分)1．（3分）下列两个图形一定是相似图形的是（　　）  A．菱形 B．矩形 C．等腰三角形 D．等边三角形2．（3分）如图，在△ABC中，DE∥AB，且＝，则的值为（　　）A． B． C． D．3．（3分）如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1 m，继续往前走3 m到达E处时，测得影子EF的长为2 m.已知王华的身高是1.5 m，那么路灯A的高度AB等于(　　)A．4.5 m B．6 m C．7.2 m D．8 m4．（3分）某天同时同地，甲同学测得1m的测竿在地面上影长为0.8m，乙同学测得国旗旗杆在地面上的影长为9.6m，则国旗旗杆的长为（　　）A．10m B．12mC．13m      D．15m5．（3分）如图，△ABC与ΔA′B′C′位似，位似中心为点O，，△ABC的面积为9，则ΔA′B′C′面积为（　　）A． B．6 C．4 D．6．（3分）如图：△AOB与△A1OB1是以原点为位似中心的位似图形，且位似比为1：3，点B的坐标为（﹣1，2），则点B1的坐标为（　　）A．（2，﹣4） B．（﹣2，4） C．（3，﹣6） D．（3，6）7．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，CD平分∠ACB，AD＝2，BD＝3，则AC的长为（　　）A．3 B． C．4 D．8．（3分）如果两个相似三角形的周长比为，那么它们的对应角平分线的比为（　　）A． B． C． D．9．（3分）如图，D，E分别是的边AB，AC的中点，CD与BE交于点O，则的值为（　　）A． B． C． D．10．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，点P为BC边上的任意一点（不与点B、C重合），且∠DPE=90°，PE交AB于点E，设BP=x，BE=y，则y关于x的函数图象大致是（　　）A． B．C． D．二、填空题(共5题；共15分)11．（3分）如果两个相似三角形对应边之比是 ， 那么它们的周长之比等于　     　．12．（3分）若 ， 则 　     　.13．（3分）如图，△ABC中，D、F在AB边上，E、G在AC边上，DE∥FG∥BC，且AD：DF：FB＝3：2：1，若AG＝15，则EC的长为　     　.14．（3分）如图，小明为了测量高楼MN的高度，在离点N18米的点A处放了一个平面镜，小明沿NA方向后退1.5米到点C ，此时从镜子中恰好看到楼顶的点M，已知小明的眼睛（点B）到地面的高度BC是1.6米，则高楼MN的高度是　     　.15．（3分）如图，△ABC中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（﹣1，0）．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．已知点B′的坐标是（3，﹣1），则点B的坐标是　        　.三、解答题(共8题；共75分)16．（8分）如图，弦BC经过圆心D，AD⊥BC，AC交⊙D于E，AD交 ⊙D于M，BE交AD于N.求证：△BND∽△ABD.   17．（8分） 如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，△ABE∽△DEF，AB＝6，AE＝9，DE＝2，求EF的长.
   18．（8分）如图，已知∠1=∠2，AB•AC=AD•AE．求证：∠C=∠E．   19．（9分）如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形，若∠APB=120°，求证：△ACP∽△PDB．     20．（9分）如图，点E在菱形ABCD的边BC的延长线上，AE交CD于点F，FG∥CE交DE于点G．求证：FG=FC．      21．（9分）如图，CD是⊙O的弦，AB是直径，CD⊥AB，垂足为P，求证：PC2＝PA·PB  22．（12分）已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（1，0）、B（3，2）、C（0，1）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．（1）（3分）沿x轴向左平移2个单位，得到△A1B1C1，不画图直接写出发生变化后的B1点的坐标．点B1的坐标是　         　；（2）（3分）①以A点为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1.　     　.②点B2的坐标是　             　；（3）（3分）△A2B2C2的面积是　     　平方单位．         23．（12分）如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，连接AC、CB，过O作EO∥CB并延长EO到F，使EO＝FO，连接AF并延长，AF与CB的延长线交于D.求证：AE2＝FG•FD.
答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：A、两个菱形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，不一定是相似图形，故此选项不符合题意；B、两个矩形的对应角相等，但对应边的比不一定相等，不一定是相似图形，故此选项不符合题意；C、两等腰三角形不一定相似，故此选项不符合题意；D、两个等边三角形的对应边的比相等，对应角一定相等，故两个等边三角形一定相似，故此选项符合题意.故答案为：D.【分析】利用相似多边形的判定：所有的对应边成比例，且所有的对应角分别相等的两个多边形相似，可对A，B作出判断；利用相似三角形的判定定理及等腰三角形的性质，可对C，D作出判断.2．【答案】A【解析】【解答】解：∵DE//AB，∴∴的值为.故答案为：A.
【分析】根据平行线分线段成比例的性质可得，据此解答.3．【答案】B【解析】【解答】解：设BC=xm，
依题可得：GC⊥BD，AB⊥BD，
∴GC∥AB，
∴△ABD∽△GCD，
∴，
∵CD=1，GC=1.5，
∴，
同理可得：，
∴，
∴x=3，
∴=4，
∴AB=6.
故答案为：B.【分析】根据路灯、人和地面都是垂直，得出直线平行，由相似三角形的判定得两组三角形相似，再根据相似三角形的性质对应边成比例得出方程，解之即可得出答案.4．【答案】B【解析】【解答】∵身高与影长成正比例设国旗旗杆的长为xm．∴=，∴国旗旗杆的长为x==12m．故选B．【分析】利用在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．5．【答案】C【解析】【解答】解：△ABC与ΔA′B′C′位似，位似中心为点O，， ，△ABC的面积为9，ΔA′B′C′面积为.
故答案为：C. 【分析】根据位似的两个图形一定相似，进而根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行计算即可.6．【答案】C【解析】【解答】解：∵△AOB与△A1OB1是以原点为位似中心的位似图形，且位似比为1：3，点B的坐标为（﹣1，2），∴点B1的坐标为（﹣1×（﹣3），2×（﹣3）），即（3，﹣6）.故答案为：C.【分析】给点B的横纵坐标分别乘以-3，即可得到点B1的坐标.7．【答案】B【解析】【解答】解：∵CD平分∠ACB，∴∠ACB＝2∠ACD∵∠ACB＝2∠B，∴∠ACD=∠B又∠A=∠A∴△ACD∽△ABC∴=∵AD＝2，BD＝3∴AB= AD+BD=2+3=5∴AC＝.故答案为：B.【分析】根据角平分线的概念可得∠ACB＝2∠ACD，结合已知条件可得∠ACD=∠B，又∠A=∠A，利用有两组角相等的两个三角形相似证明△ACD∽△ABC，接下来根据相似三角形的性质进行计算.8．【答案】A【解析】【解答】解：∵两个相似三角形的周长比为1：4，∴两个相似三角形的相似比为1：4，∴它们的对应角平分线之比为1：4，故答案为：A．
【分析】根据相似三角形的性质可得它们的对应角平分线之比等于相似比且为1：4。9．【答案】D【解析】【解答】解：∵D，E分别是的边AB，AC的中点，∴DE∥BC，，∴，∴，∴；故答案为：D．
【分析】利用相似三角形的判定与性质即可得出的值。10．【答案】A【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠C=90°∵PE⊥DP，∴∠DPC+∠EPB=90°，∠BPE+∠PEB=180°﹣∠B=90°∴∠DPC=∠BEP，又∠B=∠CBAP=∠QPC∴△EBP∽△PCD，∴ = ，又BP=x，PC=BC﹣BP=4﹣x，CD=4，BE=y，即 = ，∴y=﹣ x2+x（0＜x＜4），故选A．【分析】由题意知：PE⊥DP，即：∠DPC+∠EPB=90°，∠BPE+∠PEB=180°﹣∠B=90°，所以∠DPC=∠BEP，又∠B=∠C，即：△EBP∽△PCD，由相似三角形的性质可得： = ，又BP=x，PC=BC﹣BP=4﹣x，CD=4，将其代入该式求出CP的值即可．11．【答案】【解析】【解答】解：∵两个相似三角形对应边之比是4：9， ∴它们的周长之比等于4：9．故答案为：4：9 【分析】根据两个相似三角形对应边之比是4：9，求解即可。12．【答案】【解析】【解答】解：∵ ，
∴a：b=4：3
设a=4x，则b=3x
∴.
故答案为：.
【分析】利用比例的性质可证得a：b=4：3，设a=4x，则b=3x，再代入计算，可求出结果.13．【答案】9【解析】【解答】解：∵DE∥FG∥BC，∴AD：DF：FB＝AE：EG：GC，∵AD：DF：FB＝3：2：1，∴AE：EG：GC＝3：2：1，设AE＝3x，EG＝2x，GC＝x，∵AG＝15，∴3x+2x＝15，解得：x＝3，即AE＝9，EG＝6，GC＝3，∴EC＝EG+GC＝6+3＝9，故答案为：9.
【分析】 根据平行线分线段成比例的性质得出AD：DF：FB=AE：EG：GC=3：2：1，设AE=3x，EG=2x，GC=x，根据AG=15得出方程3x+2x=15，求出x，再求出答案即可．14．【答案】19.2米【解析】【解答】解：由题意得：BC⊥CA，MN⊥AN，∴∠C＝∠MNA＝90°，由光的反射原理可得：∠BAC＝∠MAN，∴ ∽ ，∴ ，即 ，∴MN＝19.2米.故答案为：19.2米.【分析】由题意得：BC⊥CA，MN⊥AN，根据垂直的概念可得∠C＝∠MNA＝90°，由光的反射原理可得：∠BAC＝∠MAN，证明△BCA∽△MNA，然后根据相似三角形的性质进行计算.15．【答案】【解析】【解答】解：如下图，过点B作BD⊥x轴于点D，过点B'作B'D'⊥x轴于点D'，

∵点C的坐标是（﹣1，0），点B′的坐标是（3，﹣1），
∴CD'=4，B'D'=1，
∵点C为位似中心，
∴△ABC∽△A'B'C'，相似比为1:2，
∴△BCD∽△B'CD'，相似比为1:2，
∴，
∴CD=2，BD=.
∴点B的坐标为（-3，）.
故答案为：（-3，）.
【分析】过点B作BD⊥x轴于点D，过点B'作B'D'⊥x轴于点D'，根据位似的两个图形是相似形、相似三角形的性质列式计算，求出CD和BD的长，得到点B的坐标即可.16．【答案】解：∵AD⊥BC，  ∴∠ADB=∠ADC=90°，∵在△ADB和△ADC中，∴△ABD≌△ACD（SAS），∴∠ABD=∠ACD，∵BC是直径，∴∠BEC=90°，∵∠BND=∠ANE=90°-∠DAC=∠ACD，∴△ABD∽△ACD.【解析】【分析】首先证明△ABD≌△ACD，由全等三角形的性质可知：∠ABD=∠ACD因为BC是直径，所以∠BEC=90°再证明∠BND=∠ACD即可证明△ABD∽△ACD.17．【答案】解：∵△ABE∽△DEF，AB＝6，AE＝9，DE＝2， ，即 ，解得DF＝3， ∵四边形ABCD为矩形， ∴∠D＝90°，   由勾股定理得：  【解析】【分析】利用相似三角形的对应边成比例，可求出DF的长；再利用矩形的性质可证得∠D=90°，然后利用勾股定理求出EF的长.18．【答案】证明：在△ABE和△ADC中， ∵AB•AC=AD•AE，∴又∵∠1=∠2，∴△ABE∽△ADC∴∠C=∠E．【解析】【分析】根据 AB•AC=AD•AE， 可得，再结合 ∠1=∠2， 可证明 △ABE∽△ADC ，所以 ∠C=∠E．19．【答案】证明：∵△PCD为等边三角形，∴∠PCD=∠PDC=60°．∴∠ACP=∠PDB=120°．∵∠APB=120°，∴∠A+∠B=60°．∵∠PDB=120°，∴∠DPB+∠B=60°．∴∠A=∠DPB．∴△ACP∽△PDB．【解析】【分析】先证明∠ACP=∠PDB=120°，然后由∠A+∠B=60°，∠DPB+∠B=60°可证明∠A=∠DPB，从而可证明△ACP∽△PDB．20．【答案】证明：四边形ABCD是菱形，  ∴AB=AD，DC∥AB，AD∥BC，∵FC∥BC，∵FG∥AD，∴ ，   ∴∴FG=FC【解析】【分析】由菱形的性质可知对边平行，四条边相等，然后利用平行线分线段成比例，列出比例式，等量代换即可.21．【答案】证明：连接AC，BD，
∵∠A=∠D，∠C=∠B，
∴△APC∽△DPB.
∴ ，
∴CP•DP=AP•BP.
∵AB是直径，CD⊥AB，
∴CP=PD.
∴PC2=PA•PB.【解析】【分析】 连接AC，BD， 利用同弧所对的圆周角相等得∠A=∠D，∠C=∠B，可推出△APC∽△DPB，利用相似三角形的对应边成比例，可证得CP•DP=AP•BP，利用垂径定理可证得CP=DP，由此可证得结论.22．【答案】（1）（1，2）（2）；（﹣3，﹣4）（3）8【解析】【解答】解：（1.）根据平移规律，将点B（3，2）左平移2个单位，得到点B1的坐标是（1，2），故答案为：（1，2）；（2.）如图所示，△A2B2C2即为所求，B2（﹣3，﹣4）；故答案为：（﹣3，﹣4）；（3.）△A2B2C2的面积是： ×4×2+ ×4×2=8．故答案为：8【分析】（1）直接利用平移的性质，得出各对应点位置进而得出答案；（2）利用位似图形的性质，得出对应点位置进而得出答案；（3）直接利用割补法，求得△A2B2C2面积即可，将该三角形看成上下两部分即可得出答案．23．【答案】证明：连结BF、BG. ∵在△AEO和△BFO中， ，∴△AEO≌△BFO（SAS），∴AE＝BF.又∵∠ACB＝90°，EF∥BC，∴∠OFB＝∠AEO＝∠ACB＝90°，∴∠FBD＝90°，又∵BG⊥FD，∴△FGB∽△FBD，∴ ＝ ，即 ＝ ，∴AE2＝FG•FD.【解析】【分析】如图，连结BF、BG.由△AEO≌△BFO的对应边相等得到AE=BF，然后由圆周角定理和平行线的性质易证△FGB∽△FBD，则根据该相似三角形的对应边成比例证得结论.