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北京市第十九中学2021-2022学年七年级下学期期中考试数学试卷
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这是一份北京市第十九中学2021-2022学年七年级下学期期中考试数学试卷，共26页。
北京市第十九中学2021-2022学年七年级下学期期中数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）
1．（3分）16的算术平方根是（ ）
A．4 B．﹣4 C．±4 D．8
2．（3分）点A（﹣3，4）所在象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（3分）如图，直线a、b被直线c所截，a∥b，∠1＝140°，则∠2的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
4．（3分）如图，在线段PA、PB、PC、PD中，长度最小的是（ ）
A．线段PA B．线段PB C．线段PC D．线段PD
5．（3分）如图是某游乐城的平面示意图，如图用（8，2）表示入口处的位置，用（6，﹣1）表示球幕电影的位置，那么坐标原点表示的位置是（ ）
A．太空秋千 B．梦幻艺馆 C．海底世界 D．激光战车
6．（3分）下列命题中，真命题的个数是（ ）
①相等的角是对顶角；
②同位角相等；
③等角的余角相等；
④如果x2＝y2，那么x＝y．
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（3分）下列各数314，，0.，，2.1313313331…（相邻两个1之间3的个数逐次多1），，，其中无理数的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
8．（3分）直线AB，CD相交于点O．OE，OF，OG分别平分∠AOC，∠BOC，∠AOD．下列说法正确的是（ ）
A．OE，OF在同一直线上 B．OE，OG在同一直线上
C．OG⊥OF D．OE⊥OF
9．（3分）下列各数中，一定没有平方根的是（ ）
A．﹣a B．﹣a2+1 C．﹣a2 D．﹣a2﹣1
10．（3分）在平面直角坐标系xOy中，对于任意一点P（x，y），规定：f（x，y）＝；比如f（﹣4，）＝4，f（﹣2，﹣3）＝3．当f（x，y）＝2时，所有满足该条件的点P组成的图形为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本题共16分，每小题2分
11．（2分）﹣的相反数是 ，绝对值是 ．
12．（2分）在平面直角坐标系中，点M（﹣1，3）到x轴的距离为 ．
13．（2分）若+|b+1|＝0，则（a+b）2020＝ ．
14．（2分）如图，在数轴上的四点中，与表示数﹣的点最接近的是点 ．
15．（2分）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD，垂足为O．若∠AOE＝55°，则∠BOD的度数为 ．
16．（2分）如图，有一块长为44m、宽为24m的长方形草坪，其中有三条直道将草坪分为六块，则分成的六块草坪的总面积是 m2．
17．（2分）已知线段MN平行于x轴，且MN的长度为5，若M（2，﹣2），则点N的坐标 ．
18．（2分）某市组织全民健身活动，有100名男选手参加由跑、跳、投等10个田径项目组成的“十项全能”比赛，其中25名选手的一百米跑成绩排名，跳远成绩排名与10项总成绩的排名情况如图所示：甲、乙、丙表示三名男选手，下面有3个推断：①甲的一百米跑成绩排名比10项总成绩排名靠前；②乙的一百米跑成绩排名比10项总成绩排名靠后；③丙的一百米跑成绩排名比跳远成绩排名靠前．其中合理的是 ．
三、解答题（本题共54分，第19-20题，每题8分；第21-22题，每小题8分；第23题4分，第24题5分，第25-26题，每小题8分，第27题7分）
19．（8分）计算：
（1）+﹣|2﹣|+；
（2）（2+）﹣2．
20．（8分）求下列各式中x的值：
（1）4x2﹣49＝0；
（2）（x+1）3﹣27＝0．
21．（5分）如图，直线EF分别与直线AB，CD交于点E，F．EM平分∠BEF，FN平分∠CFE，且EM∥FN．求证：AB∥CD．
22．（5分）已知正数a的两个平方根分别是2x﹣3和1﹣x，与互为相反数，求a+2b的值．
23．（4分）在如图所示的直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点均在格点上，点A（﹣3，﹣1）．
（1）把△ABC平移，使点A平移到点A1（2，3），请作出△ABC平移后的△A1B1C1；
（2）△ABC向 平移 个单位，再向 平移 个单位得到△A2B2C2．
（3）△A2B2C2的面积是 ．
24．（5分）工厂的技术人员在设计印刷线路板时，常要考虑哪些线与哪些线不能相交的问题．如图1，图中标有相同字母的两个电器元件需要相连，而所有连线又不能相交，同时为了美观起见，还要求沿着图中的格子连线．从图中元件A的位置可知A与A之间的连线，必须把相同字母的两个元件划在连线的同一侧，具体的说，B、C和E都在A与A连线的上侧，点D则要在这条连线的下侧，于是可得如图所示的印刷线路板．
管道交叉问题是一个与上述问题类似的著名网格问题：
（1）如图2，A、B两幢房子分别要得到电、水和燃气的供应，向这两幢房子供应的六根管道都要正好紧贴地面，请画出六根管道的示意图；
（2）另外要建一幢C房子，也要得到电、水和燃气的供应，向三幢房子供应水、电和燃气的九根管道都正好紧贴地面且相互不交叉，是否可以做到？如果可以做到，请将C房子画在相应的位置并画出管道示意图：如果做不到，请说明理由．
25．（6分）操作与探究：
（1）对数轴上的点P进行如下操作：先把点P表示的数乘以，再把所得数对应的点向右平移1个单位，得到点P的对应点P′．
点A，B在数轴上，对线段AB上的每个点进行上述操作后得到线段A′B′，其中点A，B的对应点分别为A′，B′．如图1，若点A表示的数是﹣3，则点A′表示的数是 ；若点B′表示的数是2，则点B表示的数是 ；已知线段AB上的点E经过上述操作后得到的对应点E′与点E重合，则点E表示的数是 ．
（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，对正方形ABCD及其内部的每个点进行如下操作：把每个点的横、纵坐标都乘以同一个实数a，将得到的点先向右平移m个单位，再向上平移n个单位（m＞0，n＞0），得到正方形A′B′C′D′及其内部的点，其中点A，B的对应点分别为A′，B′．已知正方形ABCD内部的一个点F经过上述操作后得到的对应点F′与点F重合，求点F的坐标．
26．（6分）如图，直线a∥b，点A为直线a上的动点，点B为直线a、b之间的定点，点C为直线上的定点．
（1）当点A运动到图1所示位置时，容易发现∠ABC、∠DAB、∠BCE之间的数量关系为 ；
（2）如图2，当BA⊥BC时，作等边BPQ，BM平分∠ABP，交直线a于点M，BN平分∠QBC，交直线b于点N，将BPQ绕点B转动，且BC始终在∠PBQ的内部时，∠DMB+∠ENB的值是否发生变化？若不变，求其值，若变化，说明理由；
（3）点F为直线a上一点，使得∠AFB＝∠ABF，∠ABC的平分线交直线a于点G．当点A在直线a上运动时（A，B，C三点不共线），探究并直接写出∠FBG与∠ECB之间的数量关系，（本问中的角均为小于180°的角）
27．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1（x1，y1）与P2（x2，y2）的“非常距离”，给出如下定义：
若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1﹣x2|；
若|x1﹣x2|＜|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|y1﹣y2|．
例如：点P1（1，2），点P2（3，5），因为|1﹣3|＜|2﹣5|，所以点P1与点P2的“非常距离”为|2﹣5|＝3，也就是图1中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x轴的直线P2Q的交点）．
（1）已知点A（﹣，0），B为y轴上的一个动点，
①若点A与点B的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B的坐标；
②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值；
（2）已知点C（x，x+3）是直线m上的一个动点，
①如图2，点D的坐标是（0，1），求点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标；
②如图3，正方形FGMN的边长为1，边FG在x轴上运动，点F的横坐标大于等于﹣1，点E是正方形FGMN边上的一个动点，直接写出点C与点E的“非常距离”的最小值及相应的点E和点C的坐标．
北京市第十九中学2021-2022学年七年级下学期期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共30分，每小题3分）
1．（3分）16的算术平方根是（ ）
A．4 B．﹣4 C．±4 D．8
【分析】如果一个非负数x的平方等于a，那么x是a的算术平方根，直接利用此定义即可解决问题．
【解答】解：∵4的平方是16，
∴16的算术平方根是4．
故选：A．
【点评】此题主要考查了算术平方根的定义，此题要注意平方根、算术平方根的联系和区别．
2．（3分）点A（﹣3，4）所在象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】应先判断出所求的点的横纵坐标的符号，进而判断点A所在的象限．
【解答】解：因为点A（﹣3，4）的横坐标是负数，纵坐标是正数，符合点在第二象限的条件，所以点A在第二象限．故选：B．
【点评】解决本题的关键是记住平面直角坐标系中各个象限内点的符号，第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
3．（3分）如图，直线a、b被直线c所截，a∥b，∠1＝140°，则∠2的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【分析】先根据邻补角互补求得∠3，然后再根据两直线平行、内错角相等即可解答．
【解答】解：∵∠1+∠3＝180°，∠1＝140°，
∴∠3＝180°﹣∠1＝180°﹣140°＝40°
∵a∥b，
∴∠2＝∠3＝40°．
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质，掌握“两直线平行、内错角相等”是解答本题的关键．
4．（3分）如图，在线段PA、PB、PC、PD中，长度最小的是（ ）
A．线段PA B．线段PB C．线段PC D．线段PD
【分析】由垂线段最短可解．
【解答】解：由直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短，可知答案为B．
故选：B．
【点评】本题考查的是直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短，这属于基本的性质定理，属于简单题．
5．（3分）如图是某游乐城的平面示意图，如图用（8，2）表示入口处的位置，用（6，﹣1）表示球幕电影的位置，那么坐标原点表示的位置是（ ）
A．太空秋千 B．梦幻艺馆 C．海底世界 D．激光战车
【分析】直接利用用（6，﹣1）表示球幕电影的位置，进而得出原点位置，即可得出答案．
【解答】解：如图所示：坐标原点表示的位置是激光战车．
故选：D．
【点评】此题主要考查了坐标确定位置，正确利用已知点得出原点位置是解题关键．
6．（3分）下列命题中，真命题的个数是（ ）
①相等的角是对顶角；
②同位角相等；
③等角的余角相等；
④如果x2＝y2，那么x＝y．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据对顶角、平行线的性质、余角的概念、平方根的概念判断即可．
【解答】解：①相等的角不一定是对顶角，故本说法是假命题；
②两直线平行，同位角相等，故本说法是假命题；
③等角的余角相等，本说法是真命题；
④如果x2＝y2，那么x＝±y，故本说法是假命题；
故选：A．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
7．（3分）下列各数314，，0.，，2.1313313331…（相邻两个1之间3的个数逐次多1），，，其中无理数的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
【解答】解：在314，，0.，，2.1313313331…（相邻两个1之间3的个数逐次多1），，中，无理数有，2.1313313331…（相邻两个1之间3的个数逐次多1），，共3个．
故选：B．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
8．（3分）直线AB，CD相交于点O．OE，OF，OG分别平分∠AOC，∠BOC，∠AOD．下列说法正确的是（ ）
A．OE，OF在同一直线上 B．OE，OG在同一直线上
C．OG⊥OF D．OE⊥OF
【分析】根据角平分线的性质得到∠COE＝∠AOC，∠COF＝∠BOC，又因为∠AOC与∠BOC是补角，所以∠COE+∠COF＝90°，所以OE⊥OF，所以A错误，D正确；因为∠AOG＝∠AOD，且∠AOD与∠BOC是对顶角，所以∠AOG＝∠BOF，所以，OF与OG共线，所以，OE⊥OG，所以B，C均错误．
【解答】解：
解：∵∠AOC＝∠BOD，
∵OE，OF分别是∠AOC，∠BOC的平分线，
∴∠COE＝∠AOC，∠COF＝∠BOF＝∠BOC，
∵OG是∠AOD的平分线，
∴∠AOG＝∠DOG，
∴∠COE+∠COF＝∠AOFE+∠BOF＝×180°＝90°，
∴∠EOG＝∠FOE＝90°，
∴射线OE，OF互相垂直，故D正确；故A错误；射线OF，OG互相垂直；故C错误；故B错误．
故选：D．
【点评】本题考查了垂线，对顶角，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键．
9．（3分）下列各数中，一定没有平方根的是（ ）
A．﹣a B．﹣a2+1 C．﹣a2 D．﹣a2﹣1
【分析】根据平方根的被开方数不能是负数，可得答案．
【解答】解：在﹣a，﹣a2+1，﹣a2，﹣a2﹣1中，﹣a2﹣1是负数，没有平方根．
故选：D．
【点评】本题考查了平方根，注意负数没有平方根．
10．（3分）在平面直角坐标系xOy中，对于任意一点P（x，y），规定：f（x，y）＝；比如f（﹣4，）＝4，f（﹣2，﹣3）＝3．当f（x，y）＝2时，所有满足该条件的点P组成的图形为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据f（x，y）的定义和f（x，y）＝2可知|x|＝2，|y|≤2或|y|＝2，|x|＜2，然后分两种情况分别进行讨论即可得到点P组成的图形．
【解答】解：∵f（x，y）＝2，
∴|x|＝2，|y|≤2或|y|＝2，|x|＜2．
①当|x|＝2，|y|≤2时，点P满足x＝2，﹣2≤y≤2或x＝﹣2，﹣2≤y≤2，
在图象上，线段x＝2，﹣2≤y≤2即为D选项中正方形的右边，线段x＝﹣2，﹣2≤y≤2即为D选项中正方形的左边；
②当|y|＝2，|x|＜2时，点P满足y＝2，﹣2＜x＜2，或y＝﹣2，﹣2＜x＜2，
在图象上，线段y＝2，﹣2＜x＜2即为D选项中正方形的上边，线段y＝﹣2，﹣2＜x＜2即为D选项中正方形的下边．
故选：D．
【点评】本题主要考查了函数的图象，解题的关键是牢记在平面直角坐标系中，与坐标轴平行的线段上的点的坐标特征．
二、填空题（本题共16分，每小题2分
11．（2分）﹣的相反数是 ﹣ ，绝对值是 ﹣ ．
【分析】直接利用相反数的性质以及绝对值的性质分别化简得出答案．
【解答】解：﹣的相反数是：﹣（﹣）＝﹣，
绝对值是：﹣．
故答案为：﹣，﹣．
【点评】此题主要考查了相反数以及绝对值，正确掌握相关定义是解题关键．
12．（2分）在平面直角坐标系中，点M（﹣1，3）到x轴的距离为 3 ．
【分析】根据点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值解答．
【解答】解：点P（﹣1，3）到x轴的距离3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值是解题的关键．
13．（2分）若+|b+1|＝0，则（a+b）2020＝ 1 ．
【分析】由+|b+1|＝0得a＝2，b＝﹣1，代入求解．
【解答】解：∵≥，|b+1|≥0，+|b+1|＝0，
∴a﹣2＝0，a＝2，
b+1＝0，b＝﹣1，
∴（a+b）2020＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查二次根式及绝对值的非负性，解题关键是熟练掌握二次根式及绝对值的非负性．
14．（2分）如图，在数轴上的四点中，与表示数﹣的点最接近的是点 B ．
【分析】用夹逼法估算无理数的大小即可得出答案．
【解答】解：∵2.25＜3＜4，
∴1.5＜＜2，
∴﹣2＜﹣＜﹣1.5，
∴与表示数﹣的点最接近的是点是点B．
故答案为：B．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
15．（2分）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD，垂足为O．若∠AOE＝55°，则∠BOD的度数为 145° ．
【分析】根据垂直定义可得∠EOC＝90°，然后求出∠AOC的度数，再利用对顶角相等可得答案．
【解答】解：∵EO⊥CD，
∴∠EOC＝90°，
∵∠AOE＝55°，
∴∠AOC＝145°，
∴∠BOD＝145°．
故答案为：145°．
【点评】此题主要考查了垂线，关键是掌握对顶角相等．
16．（2分）如图，有一块长为44m、宽为24m的长方形草坪，其中有三条直道将草坪分为六块，则分成的六块草坪的总面积是 880 m2．
【分析】草坪的面积等于矩形的面积﹣三条路的面积+三条路重合部分的面积，由此计算即可．
【解答】解：S＝44×24﹣2×24×2﹣2×44+2×2×2＝880（m2）．
故答案为：880．
【点评】本题考查了生活中的平移现象，解答本题的关键是求出草坪总面积的表达式．
17．（2分）已知线段MN平行于x轴，且MN的长度为5，若M（2，﹣2），则点N的坐标 （7，﹣2）或（﹣3，﹣2） ．
【分析】根据平行于x轴的直线上点的纵坐标相同，再分点N在点M的坐左边和右边两种情况讨论求解．
【解答】解：MN平行于x轴，故N的纵坐标不变，是﹣2，
点N在点M的左边时，横坐标为2﹣5＝﹣3，
点N在点M的右边时，横坐标为2+5＝7，
所以，点N的坐标为（7，﹣2）或（﹣3，﹣2）．
故答案为：（7，﹣2）或（﹣3，﹣2）．
【点评】本题考查了坐标与图形性质，主要利用了平行于x轴的直线上点的纵坐标相同，难点在于要分情况讨论．
18．（2分）某市组织全民健身活动，有100名男选手参加由跑、跳、投等10个田径项目组成的“十项全能”比赛，其中25名选手的一百米跑成绩排名，跳远成绩排名与10项总成绩的排名情况如图所示：甲、乙、丙表示三名男选手，下面有3个推断：①甲的一百米跑成绩排名比10项总成绩排名靠前；②乙的一百米跑成绩排名比10项总成绩排名靠后；③丙的一百米跑成绩排名比跳远成绩排名靠前．其中合理的是 ① ．
【分析】先从由统计图获取信息，明确图表中数据的来源及所表示的意义，依据所示的实际意义获取正确的信息，即可得出答案．
【解答】解：由折线统计图可知：
①甲的一百米跑成绩排名比10项总成绩排名靠前；结论正确；
②乙的一百米跑成绩排名比10项总成绩排名靠前；故原说法错误；
③无法比较丙的一百米跑成绩与跳远成绩；故原说法错误．
所以合理的是①，
故答案为：①．
【点评】本题考查折线统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
三、解答题（本题共54分，第19-20题，每题8分；第21-22题，每小题8分；第23题4分，第24题5分，第25-26题，每小题8分，第27题7分）
19．（8分）计算：
（1）+﹣|2﹣|+；
（2）（2+）﹣2．
【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；
（2）先算乘法，再算加减，即可解答．
【解答】解：（1）+﹣|2﹣|+
＝5+（﹣4）﹣+2+3
＝5﹣4﹣+2+3
＝6﹣；
（2）（2+）﹣2
＝2+2﹣2
＝2．
【点评】本题考查了实数的运算，准确熟练地化简各式是解题的关键．
20．（8分）求下列各式中x的值：
（1）4x2﹣49＝0；
（2）（x+1）3﹣27＝0．
【分析】（1）根据等式的性质以及平方根的定义进行计算即可；
（2）根据等式的性质和立方根的定义进行计算即可．
【解答】解：（1）移项得4x2＝49，
两边都除以4得x2＝，
由平方根的定义得x＝；
（2）移项得（x+1）3＝27，
由立方根的定义得x+1＝3，
即x＝2．
【点评】本题考查平方根、立方根，理解平方根、立方根的定义是正确解答的前提．
21．（5分）如图，直线EF分别与直线AB，CD交于点E，F．EM平分∠BEF，FN平分∠CFE，且EM∥FN．求证：AB∥CD．
【分析】根据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠FEB＝∠EFC，进而得出AB∥CD．
【解答】证明：∵EM∥FN，
∴∠FEM＝∠EFN，
又∵EM平分∠BEF，FN平分∠CFE，
∴∠BEF＝2∠FEM，∠EFC＝2∠EFN，
∴∠FEB＝∠EFC，
∴AB∥CD．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是熟记角平分线的性质和平行线的性质．
22．（5分）已知正数a的两个平方根分别是2x﹣3和1﹣x，与互为相反数，求a+2b的值．
【分析】利用平方根的意义求出a值，利用相反数的意义求出b值，将a，b值代入代数式计算即可．
【解答】解：∵正数a的两个平方根分别是2x﹣3和1﹣x，
∴2x﹣3+1﹣x＝0，
解得：x＝2．
∴2x﹣3＝1，1﹣x＝﹣1，
∴a＝1；
∵与互为相反数，
∴1﹣2b+3b﹣5＝0，
解得：b＝4．
当a＝1，b＝4时，
a+2b＝1+2×4＝1+8＝9．
【点评】本题主要考查了实数的性质，平方根，立方根，相反数的意义，利用平方根的意义求出a值，利用相反数的意义求出b值是解题的关键．
23．（4分）在如图所示的直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点均在格点上，点A（﹣3，﹣1）．
（1）把△ABC平移，使点A平移到点A1（2，3），请作出△ABC平移后的△A1B1C1；
（2）△ABC向 上 平移 5 个单位，再向 左 平移 1 个单位得到△A2B2C2．
（3）△A2B2C2的面积是 ．
【分析】（1）根据平移的性质可画出△A1B1C1；
（2）根据平移的性质即可画出图形；
（3）利用△A2B2C2所在的矩形面积减去周围三个直角三角形面积，可得答案．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）由图形可知，△ABC向上平移5个单位，再向左平移1个单位得到△A2B2C2（答案不唯一），
故答案为：上，5，左，1；
（3）S＝2×＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了作图﹣平移变换，平移的性质，三角形面积等知识，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
24．（5分）工厂的技术人员在设计印刷线路板时，常要考虑哪些线与哪些线不能相交的问题．如图1，图中标有相同字母的两个电器元件需要相连，而所有连线又不能相交，同时为了美观起见，还要求沿着图中的格子连线．从图中元件A的位置可知A与A之间的连线，必须把相同字母的两个元件划在连线的同一侧，具体的说，B、C和E都在A与A连线的上侧，点D则要在这条连线的下侧，于是可得如图所示的印刷线路板．
管道交叉问题是一个与上述问题类似的著名网格问题：
（1）如图2，A、B两幢房子分别要得到电、水和燃气的供应，向这两幢房子供应的六根管道都要正好紧贴地面，请画出六根管道的示意图；
（2）另外要建一幢C房子，也要得到电、水和燃气的供应，向三幢房子供应水、电和燃气的九根管道都正好紧贴地面且相互不交叉，是否可以做到？如果可以做到，请将C房子画在相应的位置并画出管道示意图：如果做不到，请说明理由．
【分析】（1）根据要求设计线路即可；
（2）能，根据要求设计线路即可．
【解答】解：（1）图形如图2所示：
（2）能．图形如图2﹣1所示：
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
25．（6分）操作与探究：
（1）对数轴上的点P进行如下操作：先把点P表示的数乘以，再把所得数对应的点向右平移1个单位，得到点P的对应点P′．
点A，B在数轴上，对线段AB上的每个点进行上述操作后得到线段A′B′，其中点A，B的对应点分别为A′，B′．如图1，若点A表示的数是﹣3，则点A′表示的数是 0 ；若点B′表示的数是2，则点B表示的数是 3 ；已知线段AB上的点E经过上述操作后得到的对应点E′与点E重合，则点E表示的数是 ．
（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，对正方形ABCD及其内部的每个点进行如下操作：把每个点的横、纵坐标都乘以同一个实数a，将得到的点先向右平移m个单位，再向上平移n个单位（m＞0，n＞0），得到正方形A′B′C′D′及其内部的点，其中点A，B的对应点分别为A′，B′．已知正方形ABCD内部的一个点F经过上述操作后得到的对应点F′与点F重合，求点F的坐标．
【分析】（1）根据题目规定，以及数轴上的数向右平移用加计算即可求出点A′，设点B表示的数为a，根据题意列出方程求解即可得到点B表示的数，设点E表示的数为b，根据题意列出方程计算即可得解；
（2）先根据向上平移横坐标不变，纵坐标加，向右平移横坐标加，纵坐标不变求出平移规律，然后设点F的坐标为（x，y），根据平移规律列出方程组求解即可．
【解答】解：（1）点A′：﹣3×+1＝﹣1+1＝0，
设点B表示的数为a，则a+1＝2，
解得a＝3，
设点E表示的数为b，则b+1＝b，
解得b＝；
故答案为：0，3，；
（2）根据题意得，，
解得，
设点F的坐标为（x，y），
∵对应点F′与点F重合，
∴x+＝x，y+2＝y，
解得x＝1，y＝4，
所以，点F的坐标为（1，4）．
【点评】本题考查了坐标与图形的变化，数轴上点右边的总比左边的大的性质，读懂题目信息是解题的关键．
26．（6分）如图，直线a∥b，点A为直线a上的动点，点B为直线a、b之间的定点，点C为直线上的定点．
（1）当点A运动到图1所示位置时，容易发现∠ABC、∠DAB、∠BCE之间的数量关系为 ∠ABC＝∠DAB+∠BCE ；
（2）如图2，当BA⊥BC时，作等边BPQ，BM平分∠ABP，交直线a于点M，BN平分∠QBC，交直线b于点N，将BPQ绕点B转动，且BC始终在∠PBQ的内部时，∠DMB+∠ENB的值是否发生变化？若不变，求其值，若变化，说明理由；
（3）点F为直线a上一点，使得∠AFB＝∠ABF，∠ABC的平分线交直线a于点G．当点A在直线a上运动时（A，B，C三点不共线），探究并直接写出∠FBG与∠ECB之间的数量关系，（本问中的角均为小于180°的角）
【分析】（1）过点B作BH∥a，根据两直线平行、内错角相等解答；
（2）根据角平分线的定义得到∠MBP＝∠ABP，∠NBC＝∠QBC，结合图形计算，得到答案；
（3）根据三角形的外角性质得到∠AFB＝∠1+∠2，根据（1）的结论得到∠3＝∠2+∠4，得到∠4＝2∠1，即∠ECB＝2∠FBG．
【解答】解：（1）作BH∥a，如图1：
则∠ABH＝∠DAB，
∵BH∥a，a∥b，
∴BH∥b，
∴∠HBC＝∠BCE，
∴∠ABC＝∠ABH+∠HBC＝∠DAB+∠BCE，
故答案为：∠ABC＝∠DAB+∠BCE；
（2）∠DMB+∠ENB的值不变化，理由如下：
如图2：
∵∠ABQ＝∠ABC+∠QBP﹣∠PBC＝90°+60°﹣∠PBC，
∴∠ABQ+∠PBC＝150°，
∵∠ABQ＝∠PBC+∠ABP+∠QBC，
∴2∠PBC+∠ABP+∠QBC＝150°，
∵∠MBP＝∠ABP，∠NBC＝∠QBC，
∴2∠PBC+2∠MBP+2∠NBC＝150°，即∠PBC+∠MBP+∠NBC＝75°，
由（1）得∠DMB+∠ENB＝∠MBN＝∠PBC+∠MBP+∠NBC，
∴∠DMB+∠ENB＝75°；
（3）如图3：
∠ECB＝2∠FBG，理由如下：
∵∠AFB＝∠1+∠2，
由（1）知∠3＝∠2+∠4，
∵∠3＝∠ABG，
∵∠ABG＝∠1+∠ABF，
∴∠2+∠4＝∠1+∠ABF，
∵∠AFB＝∠ABF，
∴∠2+∠4＝∠1+∠1+∠2，
∴∠4＝2∠1，
即∠ECB＝2∠FBG．
【点评】本题考查的是平行线的性质、三角形的外角性质，掌握平行线的性质定理、三角形的外角的性质是解题的关键．
27．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1（x1，y1）与P2（x2，y2）的“非常距离”，给出如下定义：
若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1﹣x2|；
若|x1﹣x2|＜|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|y1﹣y2|．
例如：点P1（1，2），点P2（3，5），因为|1﹣3|＜|2﹣5|，所以点P1与点P2的“非常距离”为|2﹣5|＝3，也就是图1中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x轴的直线P2Q的交点）．
（1）已知点A（﹣，0），B为y轴上的一个动点，
①若点A与点B的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B的坐标；
②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值；
（2）已知点C（x，x+3）是直线m上的一个动点，
①如图2，点D的坐标是（0，1），求点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标；
②如图3，正方形FGMN的边长为1，边FG在x轴上运动，点F的横坐标大于等于﹣1，点E是正方形FGMN边上的一个动点，直接写出点C与点E的“非常距离”的最小值及相应的点E和点C的坐标．
【分析】（1）①根据点B位于y轴上，可以设点B的坐标为（0，y）．由“非常距离”的定义可以确定|0﹣y|＝2，据此可以求得y的值；
②设点B的坐标为（0，y）．因为|﹣﹣0|≥|0﹣y|，所以点A与点B的“非常距离”最小值为|﹣﹣0|＝；
（2）①设点C的坐标为（x，x+3）．根据材料“若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1﹣x2|”知，C、D两点的“非常距离”的最小值为﹣x＝x+2，据此可以求得点C的坐标；
②当点F在点（﹣1，0）处，且点E在与点N重合时，求出的最小值符合题意；再结合当C，E的“非常距离”最小，且CH＝HN，由此列出方程即可求解．
【解答】解：（1）①∵B为y轴上的一个动点，
∴设点B的坐标为（0，y）．
∵|﹣﹣0|＝≠2，
∴|0﹣y|＝2，
解得y＝2或y＝﹣2；
∴点B的坐标是（0，2）或（0，﹣2）；
故答案是：（0，2）或（0，﹣2）；
②点A与点B的“非常距离”的最小值为．
故答案是：．
（2）①如图2，取点C与点D的“非常距离”的最小值时，
根据运算定义“若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1﹣x2|”知：|x1﹣x2|＝|y1﹣y2|．即AC＝AD，
由题意可知，点C是直线y＝x+3上的一个动点，点D的坐标是（0，1），
∴设点C的坐标为（x，x+3），
∴﹣x＝x+2，
此时，x＝﹣，
∴点C与点D的“非常距离”的最小值为：|x|＝，
此时C（﹣，）；
②如图3，根据“非常距离”的定义可知，当点F与（﹣1，0）重合，且点E与点N重合时，C，E的“非常距离”最小，且CH＝HN，
此时，N（﹣1，1），
∴﹣1﹣x＝x+3﹣1，解得x＝﹣，
∴y＝×（﹣）+3＝．
此时，点C的坐标为（﹣，），“非常静距离”的最小值为﹣1+＝．
综上，C与点E的“非常距离”的最小值为；相应的点E的坐标为（﹣1，1），点C的坐标（﹣，）．
【点评】本题考查了一次函数的综合题，涉及一次函数上点的坐标特征，解一元一次方程等相关知识，对于信息给予题，一定要弄清楚题干中的已知条件．本题中的“非常距离”的定义是正确解题的关键．
北京市第十九中学2021-2022学年七年级下学期期中数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）
1．（3分）16的算术平方根是（ ）
A．4 B．﹣4 C．±4 D．8
2．（3分）点A（﹣3，4）所在象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（3分）如图，直线a、b被直线c所截，a∥b，∠1＝140°，则∠2的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
4．（3分）如图，在线段PA、PB、PC、PD中，长度最小的是（ ）
A．线段PA B．线段PB C．线段PC D．线段PD
5．（3分）如图是某游乐城的平面示意图，如图用（8，2）表示入口处的位置，用（6，﹣1）表示球幕电影的位置，那么坐标原点表示的位置是（ ）
A．太空秋千 B．梦幻艺馆 C．海底世界 D．激光战车
6．（3分）下列命题中，真命题的个数是（ ）
①相等的角是对顶角；
②同位角相等；
③等角的余角相等；
④如果x2＝y2，那么x＝y．
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（3分）下列各数314，，0.，，2.1313313331…（相邻两个1之间3的个数逐次多1），，，其中无理数的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
8．（3分）直线AB，CD相交于点O．OE，OF，OG分别平分∠AOC，∠BOC，∠AOD．下列说法正确的是（ ）
A．OE，OF在同一直线上 B．OE，OG在同一直线上
C．OG⊥OF D．OE⊥OF
9．（3分）下列各数中，一定没有平方根的是（ ）
A．﹣a B．﹣a2+1 C．﹣a2 D．﹣a2﹣1
10．（3分）在平面直角坐标系xOy中，对于任意一点P（x，y），规定：f（x，y）＝；比如f（﹣4，）＝4，f（﹣2，﹣3）＝3．当f（x，y）＝2时，所有满足该条件的点P组成的图形为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本题共16分，每小题2分
11．（2分）﹣的相反数是 ，绝对值是 ．
12．（2分）在平面直角坐标系中，点M（﹣1，3）到x轴的距离为 ．
13．（2分）若+|b+1|＝0，则（a+b）2020＝ ．
14．（2分）如图，在数轴上的四点中，与表示数﹣的点最接近的是点 ．
15．（2分）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD，垂足为O．若∠AOE＝55°，则∠BOD的度数为 ．
16．（2分）如图，有一块长为44m、宽为24m的长方形草坪，其中有三条直道将草坪分为六块，则分成的六块草坪的总面积是 m2．
17．（2分）已知线段MN平行于x轴，且MN的长度为5，若M（2，﹣2），则点N的坐标 ．
18．（2分）某市组织全民健身活动，有100名男选手参加由跑、跳、投等10个田径项目组成的“十项全能”比赛，其中25名选手的一百米跑成绩排名，跳远成绩排名与10项总成绩的排名情况如图所示：甲、乙、丙表示三名男选手，下面有3个推断：①甲的一百米跑成绩排名比10项总成绩排名靠前；②乙的一百米跑成绩排名比10项总成绩排名靠后；③丙的一百米跑成绩排名比跳远成绩排名靠前．其中合理的是 ．
三、解答题（本题共54分，第19-20题，每题8分；第21-22题，每小题8分；第23题4分，第24题5分，第25-26题，每小题8分，第27题7分）
19．（8分）计算：
（1）+﹣|2﹣|+；
（2）（2+）﹣2．
20．（8分）求下列各式中x的值：
（1）4x2﹣49＝0；
（2）（x+1）3﹣27＝0．
21．（5分）如图，直线EF分别与直线AB，CD交于点E，F．EM平分∠BEF，FN平分∠CFE，且EM∥FN．求证：AB∥CD．
22．（5分）已知正数a的两个平方根分别是2x﹣3和1﹣x，与互为相反数，求a+2b的值．
23．（4分）在如图所示的直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点均在格点上，点A（﹣3，﹣1）．
（1）把△ABC平移，使点A平移到点A1（2，3），请作出△ABC平移后的△A1B1C1；
（2）△ABC向 平移 个单位，再向 平移 个单位得到△A2B2C2．
（3）△A2B2C2的面积是 ．
24．（5分）工厂的技术人员在设计印刷线路板时，常要考虑哪些线与哪些线不能相交的问题．如图1，图中标有相同字母的两个电器元件需要相连，而所有连线又不能相交，同时为了美观起见，还要求沿着图中的格子连线．从图中元件A的位置可知A与A之间的连线，必须把相同字母的两个元件划在连线的同一侧，具体的说，B、C和E都在A与A连线的上侧，点D则要在这条连线的下侧，于是可得如图所示的印刷线路板．
管道交叉问题是一个与上述问题类似的著名网格问题：
（1）如图2，A、B两幢房子分别要得到电、水和燃气的供应，向这两幢房子供应的六根管道都要正好紧贴地面，请画出六根管道的示意图；
（2）另外要建一幢C房子，也要得到电、水和燃气的供应，向三幢房子供应水、电和燃气的九根管道都正好紧贴地面且相互不交叉，是否可以做到？如果可以做到，请将C房子画在相应的位置并画出管道示意图：如果做不到，请说明理由．
25．（6分）操作与探究：
（1）对数轴上的点P进行如下操作：先把点P表示的数乘以，再把所得数对应的点向右平移1个单位，得到点P的对应点P′．
点A，B在数轴上，对线段AB上的每个点进行上述操作后得到线段A′B′，其中点A，B的对应点分别为A′，B′．如图1，若点A表示的数是﹣3，则点A′表示的数是 ；若点B′表示的数是2，则点B表示的数是 ；已知线段AB上的点E经过上述操作后得到的对应点E′与点E重合，则点E表示的数是 ．
（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，对正方形ABCD及其内部的每个点进行如下操作：把每个点的横、纵坐标都乘以同一个实数a，将得到的点先向右平移m个单位，再向上平移n个单位（m＞0，n＞0），得到正方形A′B′C′D′及其内部的点，其中点A，B的对应点分别为A′，B′．已知正方形ABCD内部的一个点F经过上述操作后得到的对应点F′与点F重合，求点F的坐标．
26．（6分）如图，直线a∥b，点A为直线a上的动点，点B为直线a、b之间的定点，点C为直线上的定点．
（1）当点A运动到图1所示位置时，容易发现∠ABC、∠DAB、∠BCE之间的数量关系为 ；
（2）如图2，当BA⊥BC时，作等边BPQ，BM平分∠ABP，交直线a于点M，BN平分∠QBC，交直线b于点N，将BPQ绕点B转动，且BC始终在∠PBQ的内部时，∠DMB+∠ENB的值是否发生变化？若不变，求其值，若变化，说明理由；
（3）点F为直线a上一点，使得∠AFB＝∠ABF，∠ABC的平分线交直线a于点G．当点A在直线a上运动时（A，B，C三点不共线），探究并直接写出∠FBG与∠ECB之间的数量关系，（本问中的角均为小于180°的角）
27．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1（x1，y1）与P2（x2，y2）的“非常距离”，给出如下定义：
若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1﹣x2|；
若|x1﹣x2|＜|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|y1﹣y2|．
例如：点P1（1，2），点P2（3，5），因为|1﹣3|＜|2﹣5|，所以点P1与点P2的“非常距离”为|2﹣5|＝3，也就是图1中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x轴的直线P2Q的交点）．
（1）已知点A（﹣，0），B为y轴上的一个动点，
①若点A与点B的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B的坐标；
②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值；
（2）已知点C（x，x+3）是直线m上的一个动点，
①如图2，点D的坐标是（0，1），求点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标；
②如图3，正方形FGMN的边长为1，边FG在x轴上运动，点F的横坐标大于等于﹣1，点E是正方形FGMN边上的一个动点，直接写出点C与点E的“非常距离”的最小值及相应的点E和点C的坐标．
北京市第十九中学2021-2022学年七年级下学期期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共30分，每小题3分）
1．（3分）16的算术平方根是（ ）
A．4 B．﹣4 C．±4 D．8
【分析】如果一个非负数x的平方等于a，那么x是a的算术平方根，直接利用此定义即可解决问题．
【解答】解：∵4的平方是16，
∴16的算术平方根是4．
故选：A．
【点评】此题主要考查了算术平方根的定义，此题要注意平方根、算术平方根的联系和区别．
2．（3分）点A（﹣3，4）所在象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】应先判断出所求的点的横纵坐标的符号，进而判断点A所在的象限．
【解答】解：因为点A（﹣3，4）的横坐标是负数，纵坐标是正数，符合点在第二象限的条件，所以点A在第二象限．故选：B．
【点评】解决本题的关键是记住平面直角坐标系中各个象限内点的符号，第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
3．（3分）如图，直线a、b被直线c所截，a∥b，∠1＝140°，则∠2的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【分析】先根据邻补角互补求得∠3，然后再根据两直线平行、内错角相等即可解答．
【解答】解：∵∠1+∠3＝180°，∠1＝140°，
∴∠3＝180°﹣∠1＝180°﹣140°＝40°
∵a∥b，
∴∠2＝∠3＝40°．
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质，掌握“两直线平行、内错角相等”是解答本题的关键．
4．（3分）如图，在线段PA、PB、PC、PD中，长度最小的是（ ）
A．线段PA B．线段PB C．线段PC D．线段PD
【分析】由垂线段最短可解．
【解答】解：由直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短，可知答案为B．
故选：B．
【点评】本题考查的是直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短，这属于基本的性质定理，属于简单题．
5．（3分）如图是某游乐城的平面示意图，如图用（8，2）表示入口处的位置，用（6，﹣1）表示球幕电影的位置，那么坐标原点表示的位置是（ ）
A．太空秋千 B．梦幻艺馆 C．海底世界 D．激光战车
【分析】直接利用用（6，﹣1）表示球幕电影的位置，进而得出原点位置，即可得出答案．
【解答】解：如图所示：坐标原点表示的位置是激光战车．
故选：D．
【点评】此题主要考查了坐标确定位置，正确利用已知点得出原点位置是解题关键．
6．（3分）下列命题中，真命题的个数是（ ）
①相等的角是对顶角；
②同位角相等；
③等角的余角相等；
④如果x2＝y2，那么x＝y．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据对顶角、平行线的性质、余角的概念、平方根的概念判断即可．
【解答】解：①相等的角不一定是对顶角，故本说法是假命题；
②两直线平行，同位角相等，故本说法是假命题；
③等角的余角相等，本说法是真命题；
④如果x2＝y2，那么x＝±y，故本说法是假命题；
故选：A．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
7．（3分）下列各数314，，0.，，2.1313313331…（相邻两个1之间3的个数逐次多1），，，其中无理数的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
【解答】解：在314，，0.，，2.1313313331…（相邻两个1之间3的个数逐次多1），，中，无理数有，2.1313313331…（相邻两个1之间3的个数逐次多1），，共3个．
故选：B．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
8．（3分）直线AB，CD相交于点O．OE，OF，OG分别平分∠AOC，∠BOC，∠AOD．下列说法正确的是（ ）
A．OE，OF在同一直线上 B．OE，OG在同一直线上
C．OG⊥OF D．OE⊥OF
【分析】根据角平分线的性质得到∠COE＝∠AOC，∠COF＝∠BOC，又因为∠AOC与∠BOC是补角，所以∠COE+∠COF＝90°，所以OE⊥OF，所以A错误，D正确；因为∠AOG＝∠AOD，且∠AOD与∠BOC是对顶角，所以∠AOG＝∠BOF，所以，OF与OG共线，所以，OE⊥OG，所以B，C均错误．
【解答】解：
解：∵∠AOC＝∠BOD，
∵OE，OF分别是∠AOC，∠BOC的平分线，
∴∠COE＝∠AOC，∠COF＝∠BOF＝∠BOC，
∵OG是∠AOD的平分线，
∴∠AOG＝∠DOG，
∴∠COE+∠COF＝∠AOFE+∠BOF＝×180°＝90°，
∴∠EOG＝∠FOE＝90°，
∴射线OE，OF互相垂直，故D正确；故A错误；射线OF，OG互相垂直；故C错误；故B错误．
故选：D．
【点评】本题考查了垂线，对顶角，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键．
9．（3分）下列各数中，一定没有平方根的是（ ）
A．﹣a B．﹣a2+1 C．﹣a2 D．﹣a2﹣1
【分析】根据平方根的被开方数不能是负数，可得答案．
【解答】解：在﹣a，﹣a2+1，﹣a2，﹣a2﹣1中，﹣a2﹣1是负数，没有平方根．
故选：D．
【点评】本题考查了平方根，注意负数没有平方根．
10．（3分）在平面直角坐标系xOy中，对于任意一点P（x，y），规定：f（x，y）＝；比如f（﹣4，）＝4，f（﹣2，﹣3）＝3．当f（x，y）＝2时，所有满足该条件的点P组成的图形为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据f（x，y）的定义和f（x，y）＝2可知|x|＝2，|y|≤2或|y|＝2，|x|＜2，然后分两种情况分别进行讨论即可得到点P组成的图形．
【解答】解：∵f（x，y）＝2，
∴|x|＝2，|y|≤2或|y|＝2，|x|＜2．
①当|x|＝2，|y|≤2时，点P满足x＝2，﹣2≤y≤2或x＝﹣2，﹣2≤y≤2，
在图象上，线段x＝2，﹣2≤y≤2即为D选项中正方形的右边，线段x＝﹣2，﹣2≤y≤2即为D选项中正方形的左边；
②当|y|＝2，|x|＜2时，点P满足y＝2，﹣2＜x＜2，或y＝﹣2，﹣2＜x＜2，
在图象上，线段y＝2，﹣2＜x＜2即为D选项中正方形的上边，线段y＝﹣2，﹣2＜x＜2即为D选项中正方形的下边．
故选：D．
【点评】本题主要考查了函数的图象，解题的关键是牢记在平面直角坐标系中，与坐标轴平行的线段上的点的坐标特征．
二、填空题（本题共16分，每小题2分
11．（2分）﹣的相反数是 ﹣ ，绝对值是 ﹣ ．
【分析】直接利用相反数的性质以及绝对值的性质分别化简得出答案．
【解答】解：﹣的相反数是：﹣（﹣）＝﹣，
绝对值是：﹣．
故答案为：﹣，﹣．
【点评】此题主要考查了相反数以及绝对值，正确掌握相关定义是解题关键．
12．（2分）在平面直角坐标系中，点M（﹣1，3）到x轴的距离为 3 ．
【分析】根据点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值解答．
【解答】解：点P（﹣1，3）到x轴的距离3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值是解题的关键．
13．（2分）若+|b+1|＝0，则（a+b）2020＝ 1 ．
【分析】由+|b+1|＝0得a＝2，b＝﹣1，代入求解．
【解答】解：∵≥，|b+1|≥0，+|b+1|＝0，
∴a﹣2＝0，a＝2，
b+1＝0，b＝﹣1，
∴（a+b）2020＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查二次根式及绝对值的非负性，解题关键是熟练掌握二次根式及绝对值的非负性．
14．（2分）如图，在数轴上的四点中，与表示数﹣的点最接近的是点 B ．
【分析】用夹逼法估算无理数的大小即可得出答案．
【解答】解：∵2.25＜3＜4，
∴1.5＜＜2，
∴﹣2＜﹣＜﹣1.5，
∴与表示数﹣的点最接近的是点是点B．
故答案为：B．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
15．（2分）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD，垂足为O．若∠AOE＝55°，则∠BOD的度数为 145° ．
【分析】根据垂直定义可得∠EOC＝90°，然后求出∠AOC的度数，再利用对顶角相等可得答案．
【解答】解：∵EO⊥CD，
∴∠EOC＝90°，
∵∠AOE＝55°，
∴∠AOC＝145°，
∴∠BOD＝145°．
故答案为：145°．
【点评】此题主要考查了垂线，关键是掌握对顶角相等．
16．（2分）如图，有一块长为44m、宽为24m的长方形草坪，其中有三条直道将草坪分为六块，则分成的六块草坪的总面积是 880 m2．
【分析】草坪的面积等于矩形的面积﹣三条路的面积+三条路重合部分的面积，由此计算即可．
【解答】解：S＝44×24﹣2×24×2﹣2×44+2×2×2＝880（m2）．
故答案为：880．
【点评】本题考查了生活中的平移现象，解答本题的关键是求出草坪总面积的表达式．
17．（2分）已知线段MN平行于x轴，且MN的长度为5，若M（2，﹣2），则点N的坐标 （7，﹣2）或（﹣3，﹣2） ．
【分析】根据平行于x轴的直线上点的纵坐标相同，再分点N在点M的坐左边和右边两种情况讨论求解．
【解答】解：MN平行于x轴，故N的纵坐标不变，是﹣2，
点N在点M的左边时，横坐标为2﹣5＝﹣3，
点N在点M的右边时，横坐标为2+5＝7，
所以，点N的坐标为（7，﹣2）或（﹣3，﹣2）．
故答案为：（7，﹣2）或（﹣3，﹣2）．
【点评】本题考查了坐标与图形性质，主要利用了平行于x轴的直线上点的纵坐标相同，难点在于要分情况讨论．
18．（2分）某市组织全民健身活动，有100名男选手参加由跑、跳、投等10个田径项目组成的“十项全能”比赛，其中25名选手的一百米跑成绩排名，跳远成绩排名与10项总成绩的排名情况如图所示：甲、乙、丙表示三名男选手，下面有3个推断：①甲的一百米跑成绩排名比10项总成绩排名靠前；②乙的一百米跑成绩排名比10项总成绩排名靠后；③丙的一百米跑成绩排名比跳远成绩排名靠前．其中合理的是 ① ．
【分析】先从由统计图获取信息，明确图表中数据的来源及所表示的意义，依据所示的实际意义获取正确的信息，即可得出答案．
【解答】解：由折线统计图可知：
①甲的一百米跑成绩排名比10项总成绩排名靠前；结论正确；
②乙的一百米跑成绩排名比10项总成绩排名靠前；故原说法错误；
③无法比较丙的一百米跑成绩与跳远成绩；故原说法错误．
所以合理的是①，
故答案为：①．
【点评】本题考查折线统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
三、解答题（本题共54分，第19-20题，每题8分；第21-22题，每小题8分；第23题4分，第24题5分，第25-26题，每小题8分，第27题7分）
19．（8分）计算：
（1）+﹣|2﹣|+；
（2）（2+）﹣2．
【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；
（2）先算乘法，再算加减，即可解答．
【解答】解：（1）+﹣|2﹣|+
＝5+（﹣4）﹣+2+3
＝5﹣4﹣+2+3
＝6﹣；
（2）（2+）﹣2
＝2+2﹣2
＝2．
【点评】本题考查了实数的运算，准确熟练地化简各式是解题的关键．
20．（8分）求下列各式中x的值：
（1）4x2﹣49＝0；
（2）（x+1）3﹣27＝0．
【分析】（1）根据等式的性质以及平方根的定义进行计算即可；
（2）根据等式的性质和立方根的定义进行计算即可．
【解答】解：（1）移项得4x2＝49，
两边都除以4得x2＝，
由平方根的定义得x＝；
（2）移项得（x+1）3＝27，
由立方根的定义得x+1＝3，
即x＝2．
【点评】本题考查平方根、立方根，理解平方根、立方根的定义是正确解答的前提．
21．（5分）如图，直线EF分别与直线AB，CD交于点E，F．EM平分∠BEF，FN平分∠CFE，且EM∥FN．求证：AB∥CD．
【分析】根据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠FEB＝∠EFC，进而得出AB∥CD．
【解答】证明：∵EM∥FN，
∴∠FEM＝∠EFN，
又∵EM平分∠BEF，FN平分∠CFE，
∴∠BEF＝2∠FEM，∠EFC＝2∠EFN，
∴∠FEB＝∠EFC，
∴AB∥CD．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是熟记角平分线的性质和平行线的性质．
22．（5分）已知正数a的两个平方根分别是2x﹣3和1﹣x，与互为相反数，求a+2b的值．
【分析】利用平方根的意义求出a值，利用相反数的意义求出b值，将a，b值代入代数式计算即可．
【解答】解：∵正数a的两个平方根分别是2x﹣3和1﹣x，
∴2x﹣3+1﹣x＝0，
解得：x＝2．
∴2x﹣3＝1，1﹣x＝﹣1，
∴a＝1；
∵与互为相反数，
∴1﹣2b+3b﹣5＝0，
解得：b＝4．
当a＝1，b＝4时，
a+2b＝1+2×4＝1+8＝9．
【点评】本题主要考查了实数的性质，平方根，立方根，相反数的意义，利用平方根的意义求出a值，利用相反数的意义求出b值是解题的关键．
23．（4分）在如图所示的直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点均在格点上，点A（﹣3，﹣1）．
（1）把△ABC平移，使点A平移到点A1（2，3），请作出△ABC平移后的△A1B1C1；
（2）△ABC向 上 平移 5 个单位，再向 左 平移 1 个单位得到△A2B2C2．
（3）△A2B2C2的面积是 ．
【分析】（1）根据平移的性质可画出△A1B1C1；
（2）根据平移的性质即可画出图形；
（3）利用△A2B2C2所在的矩形面积减去周围三个直角三角形面积，可得答案．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）由图形可知，△ABC向上平移5个单位，再向左平移1个单位得到△A2B2C2（答案不唯一），
故答案为：上，5，左，1；
（3）S＝2×＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了作图﹣平移变换，平移的性质，三角形面积等知识，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
24．（5分）工厂的技术人员在设计印刷线路板时，常要考虑哪些线与哪些线不能相交的问题．如图1，图中标有相同字母的两个电器元件需要相连，而所有连线又不能相交，同时为了美观起见，还要求沿着图中的格子连线．从图中元件A的位置可知A与A之间的连线，必须把相同字母的两个元件划在连线的同一侧，具体的说，B、C和E都在A与A连线的上侧，点D则要在这条连线的下侧，于是可得如图所示的印刷线路板．
管道交叉问题是一个与上述问题类似的著名网格问题：
（1）如图2，A、B两幢房子分别要得到电、水和燃气的供应，向这两幢房子供应的六根管道都要正好紧贴地面，请画出六根管道的示意图；
（2）另外要建一幢C房子，也要得到电、水和燃气的供应，向三幢房子供应水、电和燃气的九根管道都正好紧贴地面且相互不交叉，是否可以做到？如果可以做到，请将C房子画在相应的位置并画出管道示意图：如果做不到，请说明理由．
【分析】（1）根据要求设计线路即可；
（2）能，根据要求设计线路即可．
【解答】解：（1）图形如图2所示：
（2）能．图形如图2﹣1所示：
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
25．（6分）操作与探究：
（1）对数轴上的点P进行如下操作：先把点P表示的数乘以，再把所得数对应的点向右平移1个单位，得到点P的对应点P′．
点A，B在数轴上，对线段AB上的每个点进行上述操作后得到线段A′B′，其中点A，B的对应点分别为A′，B′．如图1，若点A表示的数是﹣3，则点A′表示的数是 0 ；若点B′表示的数是2，则点B表示的数是 3 ；已知线段AB上的点E经过上述操作后得到的对应点E′与点E重合，则点E表示的数是 ．
（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，对正方形ABCD及其内部的每个点进行如下操作：把每个点的横、纵坐标都乘以同一个实数a，将得到的点先向右平移m个单位，再向上平移n个单位（m＞0，n＞0），得到正方形A′B′C′D′及其内部的点，其中点A，B的对应点分别为A′，B′．已知正方形ABCD内部的一个点F经过上述操作后得到的对应点F′与点F重合，求点F的坐标．
【分析】（1）根据题目规定，以及数轴上的数向右平移用加计算即可求出点A′，设点B表示的数为a，根据题意列出方程求解即可得到点B表示的数，设点E表示的数为b，根据题意列出方程计算即可得解；
（2）先根据向上平移横坐标不变，纵坐标加，向右平移横坐标加，纵坐标不变求出平移规律，然后设点F的坐标为（x，y），根据平移规律列出方程组求解即可．
【解答】解：（1）点A′：﹣3×+1＝﹣1+1＝0，
设点B表示的数为a，则a+1＝2，
解得a＝3，
设点E表示的数为b，则b+1＝b，
解得b＝；
故答案为：0，3，；
（2）根据题意得，，
解得，
设点F的坐标为（x，y），
∵对应点F′与点F重合，
∴x+＝x，y+2＝y，
解得x＝1，y＝4，
所以，点F的坐标为（1，4）．
【点评】本题考查了坐标与图形的变化，数轴上点右边的总比左边的大的性质，读懂题目信息是解题的关键．
26．（6分）如图，直线a∥b，点A为直线a上的动点，点B为直线a、b之间的定点，点C为直线上的定点．
（1）当点A运动到图1所示位置时，容易发现∠ABC、∠DAB、∠BCE之间的数量关系为 ∠ABC＝∠DAB+∠BCE ；
（2）如图2，当BA⊥BC时，作等边BPQ，BM平分∠ABP，交直线a于点M，BN平分∠QBC，交直线b于点N，将BPQ绕点B转动，且BC始终在∠PBQ的内部时，∠DMB+∠ENB的值是否发生变化？若不变，求其值，若变化，说明理由；
（3）点F为直线a上一点，使得∠AFB＝∠ABF，∠ABC的平分线交直线a于点G．当点A在直线a上运动时（A，B，C三点不共线），探究并直接写出∠FBG与∠ECB之间的数量关系，（本问中的角均为小于180°的角）
【分析】（1）过点B作BH∥a，根据两直线平行、内错角相等解答；
（2）根据角平分线的定义得到∠MBP＝∠ABP，∠NBC＝∠QBC，结合图形计算，得到答案；
（3）根据三角形的外角性质得到∠AFB＝∠1+∠2，根据（1）的结论得到∠3＝∠2+∠4，得到∠4＝2∠1，即∠ECB＝2∠FBG．
【解答】解：（1）作BH∥a，如图1：
则∠ABH＝∠DAB，
∵BH∥a，a∥b，
∴BH∥b，
∴∠HBC＝∠BCE，
∴∠ABC＝∠ABH+∠HBC＝∠DAB+∠BCE，
故答案为：∠ABC＝∠DAB+∠BCE；
（2）∠DMB+∠ENB的值不变化，理由如下：
如图2：
∵∠ABQ＝∠ABC+∠QBP﹣∠PBC＝90°+60°﹣∠PBC，
∴∠ABQ+∠PBC＝150°，
∵∠ABQ＝∠PBC+∠ABP+∠QBC，
∴2∠PBC+∠ABP+∠QBC＝150°，
∵∠MBP＝∠ABP，∠NBC＝∠QBC，
∴2∠PBC+2∠MBP+2∠NBC＝150°，即∠PBC+∠MBP+∠NBC＝75°，
由（1）得∠DMB+∠ENB＝∠MBN＝∠PBC+∠MBP+∠NBC，
∴∠DMB+∠ENB＝75°；
（3）如图3：
∠ECB＝2∠FBG，理由如下：
∵∠AFB＝∠1+∠2，
由（1）知∠3＝∠2+∠4，
∵∠3＝∠ABG，
∵∠ABG＝∠1+∠ABF，
∴∠2+∠4＝∠1+∠ABF，
∵∠AFB＝∠ABF，
∴∠2+∠4＝∠1+∠1+∠2，
∴∠4＝2∠1，
即∠ECB＝2∠FBG．
【点评】本题考查的是平行线的性质、三角形的外角性质，掌握平行线的性质定理、三角形的外角的性质是解题的关键．
27．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1（x1，y1）与P2（x2，y2）的“非常距离”，给出如下定义：
若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1﹣x2|；
若|x1﹣x2|＜|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|y1﹣y2|．
例如：点P1（1，2），点P2（3，5），因为|1﹣3|＜|2﹣5|，所以点P1与点P2的“非常距离”为|2﹣5|＝3，也就是图1中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x轴的直线P2Q的交点）．
（1）已知点A（﹣，0），B为y轴上的一个动点，
①若点A与点B的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B的坐标；
②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值；
（2）已知点C（x，x+3）是直线m上的一个动点，
①如图2，点D的坐标是（0，1），求点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标；
②如图3，正方形FGMN的边长为1，边FG在x轴上运动，点F的横坐标大于等于﹣1，点E是正方形FGMN边上的一个动点，直接写出点C与点E的“非常距离”的最小值及相应的点E和点C的坐标．
【分析】（1）①根据点B位于y轴上，可以设点B的坐标为（0，y）．由“非常距离”的定义可以确定|0﹣y|＝2，据此可以求得y的值；
②设点B的坐标为（0，y）．因为|﹣﹣0|≥|0﹣y|，所以点A与点B的“非常距离”最小值为|﹣﹣0|＝；
（2）①设点C的坐标为（x，x+3）．根据材料“若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1﹣x2|”知，C、D两点的“非常距离”的最小值为﹣x＝x+2，据此可以求得点C的坐标；
②当点F在点（﹣1，0）处，且点E在与点N重合时，求出的最小值符合题意；再结合当C，E的“非常距离”最小，且CH＝HN，由此列出方程即可求解．
【解答】解：（1）①∵B为y轴上的一个动点，
∴设点B的坐标为（0，y）．
∵|﹣﹣0|＝≠2，
∴|0﹣y|＝2，
解得y＝2或y＝﹣2；
∴点B的坐标是（0，2）或（0，﹣2）；
故答案是：（0，2）或（0，﹣2）；
②点A与点B的“非常距离”的最小值为．
故答案是：．
（2）①如图2，取点C与点D的“非常距离”的最小值时，
根据运算定义“若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1﹣x2|”知：|x1﹣x2|＝|y1﹣y2|．即AC＝AD，
由题意可知，点C是直线y＝x+3上的一个动点，点D的坐标是（0，1），
∴设点C的坐标为（x，x+3），
∴﹣x＝x+2，
此时，x＝﹣，
∴点C与点D的“非常距离”的最小值为：|x|＝，
此时C（﹣，）；
②如图3，根据“非常距离”的定义可知，当点F与（﹣1，0）重合，且点E与点N重合时，C，E的“非常距离”最小，且CH＝HN，
此时，N（﹣1，1），
∴﹣1﹣x＝x+3﹣1，解得x＝﹣，
∴y＝×（﹣）+3＝．
此时，点C的坐标为（﹣，），“非常静距离”的最小值为﹣1+＝．
综上，C与点E的“非常距离”的最小值为；相应的点E的坐标为（﹣1，1），点C的坐标（﹣，）．
【点评】本题考查了一次函数的综合题，涉及一次函数上点的坐标特征，解一元一次方程等相关知识，对于信息给予题，一定要弄清楚题干中的已知条件．本题中的“非常距离”的定义是正确解题的关键．
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