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2021-2022学年北京市海淀区师达中学七年级（下）期中数学试卷
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这是一份2021-2022学年北京市海淀区师达中学七年级（下）期中数学试卷，共27页。试卷主要包含了选择题（共20分，每题2分，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年北京市海淀区师达中学七年级（下）期中数学试卷
一、选择题（共20分，每题2分
1．（2分）2的相反数是（ ）
A． B． C．﹣2 D．2
2．（2分）用三角板作△ABC的边BC上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2分）9的算术平方根是（ ）
A．81 B．3 C．﹣3 D．4
4．（2分）点P（﹣2，1）在平面直角坐标系中所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．（2分）如图，ABC沿着BC所在直线的方向，向右平移到△DEF，已知BC＝5，EC＝3，那么平移的距离为（ ）
A．8 B．5 C．3 D．2
6．（2分）在平面直角坐标系中，点P的坐标为（2m﹣4，m+1），若点P在y轴上，则m的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．2 D．3
7．（2分）共享单车提供了便捷、环保的出行方式．小白同学在北京植物园打开某共享单车APP，如图，“”为小白同学的位置，“★”为检索到的共享单车停放点．为了到达距离最近的共享单车停放点，下列四个区域中，小白同学应该前往的是（ ）
A．F6 B．E6 C．D5 D．F7
8．（2分）下列命题中，是假命题的是（ ）
A．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
B．同旁内角互补，两直线平行
C．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
D．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
9．（2分）如图，点E在CD的延长线上，下列条件中不能判定AB∥CD的是（ ）
A．∠B+∠BDC＝180° B．∠3＝∠4
C．∠5＝∠B D．∠1＝∠2
10．（2分）按《航空障碍灯（MH/T6012﹣1999）》的要求，为保障飞机夜间飞行的安全，在高度为45米至105米的建筑上必须安装中光强航空障碍灯（AviationObstructionlight，中光强航空障碍灯是以规律性的固定模式闪光，如图是某一种中光强航空障碍灯的闪光模式，灯的亮暗呈规律性交替变化，那么在一个连续的10秒内，该航空障碍灯处于亮的状态时间总和最长可达（ ）
A．6秒 B．6.5秒 C．7秒 D．13秒
二、填空题（共24分，每题3分）
11．（3分）比较大小： （填“＞”“＜”“＝”）．
12．（3分）如图，三条直线相交于一点，则∠1+∠2+∠3＝ 度．
13．（3分）若实数a，满足+|b﹣1|＝0，那么a+b的值是 ．
14．（3分）如果x﹣2y＝1，那么用含x的代数式表示y，则y＝ ．
15．（3分）五一假期，班主任孙老师带着班级17名同学，去玉渊潭公园划船，项目收费标准如下：
船型
两人船（限乘两人）
四人船（限乘四人）
六人船（限乘六人）
八人船（限乘八人）
每船租金（元/小时）
90
100
130
150
若每条船划的时间均为1小时，则租船的总费用最低为 元．
16．（3分）故宫是世界上现存规模最大保存最完整的宫殿建筑群，小博和小岩在综合实践活动中来到故宫学习，他们都选取了向右和向上为两个正方向，在正方形网格中建立了相同的坐标系，描述各景点的位置．
小博：“养心殿在原点的西北方向”
小岩：“九龙壁的坐标是（2，0）”；
老师：“他们说的都正确！”
（1）依据两位同学的描述，可以知道他们都选择了景点 为原点建立了平面直角坐标系；
（2）太和门的坐标是 ，景仁宫的坐标是 ．
17．（3分）如图，一条公路两次转弯后，和原来的方向相同．如果第一次的拐角∠A是135°，则第二次的拐角∠B是 ，根据是 ．
18．（3分）如图，在气泡图中，描述了5位同学的语文、数学、英语三科测试成绩，气泡圆的圆心的横、纵坐标分别表示语文和数学测试成绩，气泡的大小表示语文、数学、英语三科平均分的高低，气泡越大平均分越高．
（1）在5位同学中，有_ 位同学语文成绩比数学成绩高；
（2）在甲、乙两位同学中，英语成绩较高的是 ．
三、解答题（共56分，19-20题每题8分，21-25题每题4分，第26题6分，27-28题每题7分）
19．（8分）计算：
（1）+（）2﹣；
（2）．
20．（8分）求下列各式的x的值：
（1）4x2＝100；
（2）（x﹣1）3＝﹣64．
21．（4分）已知一个正数x的平方根分别是﹣a+2和2a﹣1，求x的值．
22．（4分）如图，已知CO⊥AB于点O，∠AOD＝5∠DOB，求∠COD的度数．
23．（4分）列方程解决实际问题
初一年级风筝节刚落下帷幕，学校购置了大、小两种风筝若干，已知大风筝的单价比小风筝单价的两倍多4元，且购买2个大风筝与购买5个小风筝的费用相同，求两种风筝的单价各是多少元？
24．（4分）已知：如图，点D，E，F分别在线段AB，BC，AC上，连接DE、EF，DM平分∠ADE交EF于点M，∠1+∠2＝180°．试说明：∠B＝∠BED．
25．（4分）一个数值转换器，如图所示：
（1）当输入的x为81时，输出的y值是 ；
（2）若输入有效的x值后，始终输不出y值，请写出所有满足要求的x的值；
（3）若输出的y是，请写出两个满足要求的x值．
26．（6分）在平面直角坐标系中，已知点A（a，a），B（a，a﹣3），其中a为整数．
（1）当a＝1时，画出线段AB；
（2）点C在线段AB上（点C不与A、B重合），且点C的横纵坐标均为整数．
①若点C在x轴上，求点C的坐标；
②若点C纵坐标满足1＜y＜，直接写出a的所有可能取值．
27．（7分）如图，已知AB∥CD，点E是直线AB上一个定点，点F在直线CD上运动，设∠CFE＝α，在线段EF上取一点M，射线EA上取一点N，使得∠ANM＝160°．
（1）当∠AEF＝时，α＝ ；
（2）当MN⊥EF时，求α；
（3）作∠CFE的角平分线FQ，若FQ∥MN，直接写出α的值： ．
28．（7分）在平面直角坐标系中，对于给定的两点P，Q，若存在点M，使得△MPQ的面积等于1，则称点M为线段PQ的“单位面积点”．
解答问题：如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（1，0）．
（1）在点A（1，2），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（2，﹣4）中，线段OP的“单位面积点”是 ；
（2）已知点E（0，3），F（0，4），将线段OP沿y轴向上平移t（t＞0）个单位长度，使得线段EF上存在线段OP的“单位面积点”，则t的取值范围是 ；
（3）已知点A（1，2），点M在第一象限且M的纵坐标为3，点M，N是线段PA的两个“单位面积点”，若△OMN是△PAN面积的3倍，直接写出所有满足题意的点N的坐标．
2021-2022学年北京市海淀区师达中学七年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共20分，每题2分
1．（2分）2的相反数是（ ）
A． B． C．﹣2 D．2
【分析】根据相反数的概念解答即可．
【解答】解：2的相反数是﹣2，
故选：C．
【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．
2．（2分）用三角板作△ABC的边BC上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据高线的定义即可得出结论．
【解答】解：B，C，D都不是△ABC的边BC上的高，
故选：A．
【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键．
3．（2分）9的算术平方根是（ ）
A．81 B．3 C．﹣3 D．4
【分析】根据算术平方根的定义即可求出答案．
【解答】解：9的算术平方根是3，
故选：B．
【点评】本题考查算术平方根，解题的关键是熟练运用算术平方根的定义，本题属于基础题型．
4．（2分）点P（﹣2，1）在平面直角坐标系中所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据各象限点的坐标的特点解答．
【解答】解：点P（﹣2，1）在第二象限．
故选：B．
【点评】本题考查了点的坐标，熟记四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）是解题的关键．
5．（2分）如图，ABC沿着BC所在直线的方向，向右平移到△DEF，已知BC＝5，EC＝3，那么平移的距离为（ ）
A．8 B．5 C．3 D．2
【分析】根据平移的性质即可解决问题；
【解答】解：由题意平移的距离为BE＝BC﹣EC＝5﹣3＝2，
故选D．
【点评】本题考查平移变换，解题的关键是理解题意，属于中考基础题．
6．（2分）在平面直角坐标系中，点P的坐标为（2m﹣4，m+1），若点P在y轴上，则m的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．2 D．3
【分析】根据y轴上的点横坐标为0，可得2m﹣4＝0，然后进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
2m﹣4＝0，
解得：m＝2，
故选：C．
【点评】本题考查了点的坐标，熟练掌握y轴上的点横坐标为0是解题的关键．
7．（2分）共享单车提供了便捷、环保的出行方式．小白同学在北京植物园打开某共享单车APP，如图，“”为小白同学的位置，“★”为检索到的共享单车停放点．为了到达距离最近的共享单车停放点，下列四个区域中，小白同学应该前往的是（ ）
A．F6 B．E6 C．D5 D．F7
【分析】根据点的位置，可得答案．
【解答】解：距E6最近的是F6，
故选：A．
【点评】本题考查了坐标确定位置，利用点的位置之间的关系是解题关键．
8．（2分）下列命题中，是假命题的是（ ）
A．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
B．同旁内角互补，两直线平行
C．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
D．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
【分析】根据垂线公理对A进行判断；根据平行线的判定对B进行判断；根据平行线的传递性对C进行判断；根据平行线的性质对D进行判断．
【解答】解：A、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，这个命题为真命题；
B、同旁内角互补，两直线平行，这个命题为真命题；
C、如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，这个命题为真命题；
D、两条直线被第三条直线所截，同位角相等，这个命题为假命题．
故选：D．
【点评】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
9．（2分）如图，点E在CD的延长线上，下列条件中不能判定AB∥CD的是（ ）
A．∠B+∠BDC＝180° B．∠3＝∠4
C．∠5＝∠B D．∠1＝∠2
【分析】A、利用同旁内角互补两直线平行，得到AB与CD平行，本选项不合题意；
B、利用内错角相等两直线平行，得到AB与CD平行，本选项不合题意；
C、利用内错角相等两直线平行，得到AB与CD平行，本选项不合题意；
D、利用内错角相等两直线平行，得到AC与BD平行，本选项符合题意．
【解答】解：A、∵∠B+∠BDC＝180°，
∴AB∥CD，本选项不合题意；
B、∵∠3＝∠4，
∴AB∥CD，本选项不合题意；
C、∵∠5＝∠B，
∴AB∥CD，本选项不合题意；
D、∵∠1＝∠2，
∴AC∥BD，本选项符合题意．
故选：D．
【点评】此题考查了平行线的判定，平行线的判定方法有：同位角相等两直线平行；内错角相等两直线平行；同旁内角互补两直线平行，熟练掌握平行线的判定是解本题的关键．
10．（2分）按《航空障碍灯（MH/T6012﹣1999）》的要求，为保障飞机夜间飞行的安全，在高度为45米至105米的建筑上必须安装中光强航空障碍灯（AviationObstructionlight，中光强航空障碍灯是以规律性的固定模式闪光，如图是某一种中光强航空障碍灯的闪光模式，灯的亮暗呈规律性交替变化，那么在一个连续的10秒内，该航空障碍灯处于亮的状态时间总和最长可达（ ）
A．6秒 B．6.5秒 C．7秒 D．13秒
【分析】当该航空障碍灯处于亮的状态的时间总和最长时，灯的亮暗呈规律性交替变化为亮1秒，暗0.5秒，亮1秒，暗0.5秒，亮1秒，暗0.5秒，亮1秒，暗0.5秒，亮1秒，暗0.5秒，亮1秒，暗0.5秒，亮1秒，从而可求解．
【解答】解：根据题意，当该航空障碍灯处于亮的状态的时间总和最长时，
灯的亮暗呈规律性交替变化为：亮1秒，暗0.5秒，亮1秒，暗0.5秒，亮1秒，暗0.5秒，亮1秒，暗0.5秒，亮1秒，暗0.5秒，亮1秒，暗0.5秒，亮1秒，
在这10秒中，航空障碍灯处于亮的状态的时间总和为7秒，
故选：C．
【点评】本题考查了图形的变化规律，正确理解图示是解题的关键．
二、填空题（共24分，每题3分）
11．（3分）比较大小： ＞ （填“＞”“＜”“＝”）．
【分析】因为分母相同所以比较分子的大小即可，可以估算的整数部分，然后根据整数部分即可解决问题．
【解答】解：∵﹣1＞1，
∴＞．
故填空结果为：＞．
【点评】此题主要考查了实数的大小的比较，比较两个实数的大小，可以采用作差法、取近似值法、比较n次方的方法等．当分母相同时比较分子的大小即可．
12．（3分）如图，三条直线相交于一点，则∠1+∠2+∠3＝ 180 度．
【分析】根据对顶角相等的性质，将∠2进行转化，这样就可以与∠1、∠3一起构成平角，从而解答题目的问题．
【解答】解：根据对顶角相等，可得∠2＝∠4，
由平角的定义，可得∠1+∠4+∠3＝180°，
∴∠1+∠2+∠3＝180°．
【点评】本题根据对顶角的性质，把∠2转化为∠4，从而得到三角的和是平角．
13．（3分）若实数a，满足+|b﹣1|＝0，那么a+b的值是 ﹣1 ．
【分析】直接利用绝对值的性质以及二次根式的性质得出a，b的值，进而得出答案．
【解答】解：∵+|b﹣1|＝0，
∴a+2＝0，b﹣1＝0，
解得：a＝﹣2，b＝1，
则a+b＝﹣2+1＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】此题主要考查了绝对值的性质以及二次根式的性质，正确把握相关定义是解题关键．
14．（3分）如果x﹣2y＝1，那么用含x的代数式表示y，则y＝ ．
【分析】把x看作已知数求出y即可．
【解答】解：方程x﹣2y＝1，
移项得：2y＝x﹣1，
解得y＝．
故答案为：．
【点评】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将一个未知数看作已知数求出另一个未知数．
15．（3分）五一假期，班主任孙老师带着班级17名同学，去玉渊潭公园划船，项目收费标准如下：
船型
两人船（限乘两人）
四人船（限乘四人）
六人船（限乘六人）
八人船（限乘八人）
每船租金（元/小时）
90
100
130
150
若每条船划的时间均为1小时，则租船的总费用最低为 380 元．
【分析】根据表格可知八人船的人均费用最低，然后计算相应的最低费用即可．
【解答】解：由表格可得，
八人船的人均费用最低，
孙老师和学生们一共有1+17＝18（人），
当租用一条八人船，一条六人船和一条四人船时的花费为：150+130+100＝380（元），
当租用两条八人船，一条两人船时的花费为：150×2+90＝390（元），
故最低费用为380元，
故答案为：380．
【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，列出相应的算式．
16．（3分）故宫是世界上现存规模最大保存最完整的宫殿建筑群，小博和小岩在综合实践活动中来到故宫学习，他们都选取了向右和向上为两个正方向，在正方形网格中建立了相同的坐标系，描述各景点的位置．
小博：“养心殿在原点的西北方向”
小岩：“九龙壁的坐标是（2，0）”；
老师：“他们说的都正确！”
（1）依据两位同学的描述，可以知道他们都选择了景点 保和殿 为原点建立了平面直角坐标系；
（2）太和门的坐标是 （0，﹣1） ，景仁宫的坐标是 （1，1.5） ．
【分析】根据题意建立直角坐标系即可．
【解答】解：如图建立直角坐标系：（1）依据两位同学的描述，可以知道他们都选择了景点保和殿原点建立了平面直角坐标系；
故答案为：保和殿．
（2）太和门的坐标是（0，﹣1），景仁宫的坐标是（1，1.5）．
故答案为：（0，﹣1），（1，1.5）．
【点评】此题主要考查了坐标确定位置，正确建立平面直角坐标系是解题关键．
17．（3分）如图，一条公路两次转弯后，和原来的方向相同．如果第一次的拐角∠A是135°，则第二次的拐角∠B是 135° ，根据是 两直线平行，内错角相等 ．
【分析】由于拐弯前、后的两条路平行，可考虑用平行线的性质解答．
【解答】解：∠B＝135°，
理由是：∵道路是平行的，
∴∠B＝∠A＝135°．
即两直线平行，内错角相等；
故答案为：135°；两直线平行，内错角相等
【点评】此题考查平行线的性质，解答此题的关键是将实际问题转化为几何问题，利用平行线的性质求解．
18．（3分）如图，在气泡图中，描述了5位同学的语文、数学、英语三科测试成绩，气泡圆的圆心的横、纵坐标分别表示语文和数学测试成绩，气泡的大小表示语文、数学、英语三科平均分的高低，气泡越大平均分越高．
（1）在5位同学中，有_ 3 位同学语文成绩比数学成绩高；
（2）在甲、乙两位同学中，英语成绩较高的是 甲 ．
【分析】（1）看横坐标比纵坐标大的有几个同学；
（2）看甲、乙两位同学哪个的气泡大．
【解答】解：（1）在5位同学中，有3个同学横的横坐标比纵坐标大，
所以有3位同学语文成绩比数学成绩高；
故答案为：3；
（2）在甲、乙两位同学中，
根据甲、乙两位同学的位置可知第一次和第二次成绩的平均分差不多，
而甲的气泡大，表示三科成绩的平均分的高，
所以英语成绩较高的是甲．
故答案为：甲．
【点评】本题考查了象形统计图，象形统计图是人们描述数据常用的一种方法，其类型较多，其中用所统计的物体的象形图形来表示的一类统计图叫做象形统计图．解题的关键是得出每个象形符号代表什么．
三、解答题（共56分，19-20题每题8分，21-25题每题4分，第26题6分，27-28题每题7分）
19．（8分）计算：
（1）+（）2﹣；
（2）．
【分析】（1）根据实数的混合计算解答即可；
（2）根据实数的混合计算解答即可．
【解答】解：（1）原式＝
＝
（2）原式＝
＝．
【点评】此题考查实数的运算，关键是根据实数的混合计算解答．
20．（8分）求下列各式的x的值：
（1）4x2＝100；
（2）（x﹣1）3＝﹣64．
【分析】（1）根据平方根的定义进行计算即可；
（2）根据立方根的定义进行计算即可．
【解答】解：（1）两边都除以4得，x2＝25，
由平方根的定义得，x＝±5；
（2）由立方根的定义得，x﹣1＝﹣4，
即x＝﹣3．
【点评】本题考查平方根、立方根，理解平方根、立方根的定义是正确解答的前提．
21．（4分）已知一个正数x的平方根分别是﹣a+2和2a﹣1，求x的值．
【分析】利用正数的平方根有2个，且互为相反数列出方程，求出方程的解得到a的值，即可确定出正数x的值．
【解答】解：根据题意得：﹣a+2+2a﹣1＝0，
解得：a＝﹣1，
则x＝（1+2）2＝9．
【点评】此题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键．
22．（4分）如图，已知CO⊥AB于点O，∠AOD＝5∠DOB，求∠COD的度数．
【分析】根据邻补角的意义，可得关于x的方程，根据余角的性质的性质，可得答案．
【解答】解：∵∠AOD＝5∠BOD，
设∠BOD＝x°，∠AOD＝5x°．
∵∠AOD+∠BOD＝180°，
∴x+5x＝180．
∴x＝30．
∴∠BOD＝30°．
∵CO⊥AB，
∴∠BOC＝90°．
∴∠COD＝∠BOC﹣∠BOD
＝90°﹣30°
＝60°．
【点评】本题考查了垂线，利用邻补角的意义得出∠BOD的度数是解题关键．
23．（4分）列方程解决实际问题
初一年级风筝节刚落下帷幕，学校购置了大、小两种风筝若干，已知大风筝的单价比小风筝单价的两倍多4元，且购买2个大风筝与购买5个小风筝的费用相同，求两种风筝的单价各是多少元？
【分析】设大风筝的单价是x元，小风筝的单价是y元，根据“大风筝的单价比小风筝单价的两倍多4元，且购买2个大风筝与购买5个小风筝的费用相同”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设大风筝的单价是x元，小风筝的单价是y元，
依题意得：，
解得：．
答：大风筝的单价是20元，小风筝的单价是8元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
24．（4分）已知：如图，点D，E，F分别在线段AB，BC，AC上，连接DE、EF，DM平分∠ADE交EF于点M，∠1+∠2＝180°．试说明：∠B＝∠BED．
【分析】首先证明DM∥BC，推出∠ADM＝∠B，∠DEB＝∠EDM，再根据角平分线的定义即可解决问题．
【解答】证明：∵∠1+∠2＝180°，∠1+∠BEF＝180°，
∴∠2＝∠BEF，
∴DM∥BE，
∴∠ADM＝∠B，∠DEB＝∠EDM，
∵DM平分∠ADE，
∴∠ADM＝∠EDM，
∴∠B＝∠BED．
【点评】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
25．（4分）一个数值转换器，如图所示：
（1）当输入的x为81时，输出的y值是 ；
（2）若输入有效的x值后，始终输不出y值，请写出所有满足要求的x的值；
（3）若输出的y是，请写出两个满足要求的x值．
【分析】（1）根据算术平方根，即可解答；
（2）根据0和1的算术平方根是它们本身，0和1是有理数，所以始终输不出y值；
（3）2和4都可以．
【解答】解：（1）第一次，81的算术平方根是＝9，9是有理数，不能输出；
第二次，9的算术平方根是3，3是有理数不能输出；
第三次，3的算术平方根是，是无理数，输出，
故答案为：；
（2）0和1满足要求．理由如下：
0和1的算术平方根是它们本身，0和1是有理数，当x＝0和1时，始终输不出y的值；
（3）∵4的算术平方根是2，2的算术平方根是．
∴两个满足要求的x值为4和2．
【点评】本题考查了算术平方根，解决本题的关键是熟记算术平方根．
26．（6分）在平面直角坐标系中，已知点A（a，a），B（a，a﹣3），其中a为整数．
（1）当a＝1时，画出线段AB；
（2）点C在线段AB上（点C不与A、B重合），且点C的横纵坐标均为整数．
①若点C在x轴上，求点C的坐标；
②若点C纵坐标满足1＜y＜，直接写出a的所有可能取值．
【分析】（1）根据坐标与图形的特点解答即可；
（2）①根据x轴的点的特点解答即可；
②根据无理数的估计和坐标特点解答即可．
【解答】解：（1）当a＝1时，点A（1，1），B（1，﹣2），
（2）①由题意可知，点C的坐标为（a，a﹣1）或（a，a﹣2），
∵点C在x轴上，
∴点C的纵坐标为0．
由此可得a的取值为1或2，
因此点C的坐标是（1，0）或（2，0）；
②∵点C纵坐标满足1＜y＜，
由（2）得点C的纵坐标为a﹣1或a﹣2，
当a﹣1＞1时，a＞2，
当a﹣2＜时，a＜+2，
∴2＜a＜+2，
∴a的所有可能取值是3，4．
【点评】本题考查坐标与图形性质，不等式，解题的关键是根据坐标与图形的特点和代数式求值解答．
27．（7分）如图，已知AB∥CD，点E是直线AB上一个定点，点F在直线CD上运动，设∠CFE＝α，在线段EF上取一点M，射线EA上取一点N，使得∠ANM＝160°．
（1）当∠AEF＝时，α＝ 120° ；
（2）当MN⊥EF时，求α；
（3）作∠CFE的角平分线FQ，若FQ∥MN，直接写出α的值： 40° ．
【分析】（1）根据平行线的性质即可得到结论；
（2）如图1所示，过点M作直线PM∥AB，由平行公理推论可知：AB∥PM∥CD．根据平行线的性质即可得到结论；
（3）如图2，根据角平分线的定义和平行线的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）∵AB∥CD，
∴∠AEF+∠CFE＝180°，
∵∠CFE＝α，∠AEF＝，
∴α+＝180°，
∴α＝120°；
（2）如，1所示，过点M作直线PM∥AB，由平行公理推论可知：AB∥PM∥CD．
∵∠ANM＝160°，
∴∠NMP＝180°﹣160°＝20°，
又∵NM⊥EF，
∴∠NMF＝90°，∠PMF＝∠NMF﹣∠NMP＝90°﹣20°＝70°．
∴α＝180°﹣∠PMF＝180°﹣70°＝110°；
（3）如图2，∵FQ平分∠CFE，
∴∠QFM＝，
∵AB∥CD，
∴∠NEM＝180°﹣α，
∵MN∥FQ，
∴∠NME＝，
∵∠ENM＝180°﹣∠ANM＝20°，
∴20°++180°﹣α＝180°，
∴α＝40°．
故答案为：40°．
【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线定义，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键．
28．（7分）在平面直角坐标系中，对于给定的两点P，Q，若存在点M，使得△MPQ的面积等于1，则称点M为线段PQ的“单位面积点”．
解答问题：如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（1，0）．
（1）在点A（1，2），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（2，﹣4）中，线段OP的“单位面积点”是 点A和点C ；
（2）已知点E（0，3），F（0，4），将线段OP沿y轴向上平移t（t＞0）个单位长度，使得线段EF上存在线段OP的“单位面积点”，则t的取值范围是 1≤t≤2或5≤t≤6 ；
（3）已知点A（1，2），点M在第一象限且M的纵坐标为3，点M，N是线段PA的两个“单位面积点”，若△OMN是△PAN面积的3倍，直接写出所有满足题意的点N的坐标．
【分析】通过题目理解，单位面积点的轨迹是平行于底边，且到底边所在直线的距离等于三角形的高的平行线，再根据具体问题具体求解．
【解答】解：（1）由题意知，单位面积点的轨迹是平行于底边，且到底边所在直线的距离等于三角形的高的平行线，
∵S△＝×h×OP＝1，
∴h＝2，
故平行线到底边所在直线的距离为2，如图，直线m，n．满足条件的是A，C两点．
，
故答案为：点A和点C；
（2）由（1）知，三角形的高为2，根据题意得，如图，
，
①当线段OP在线段EF下方时，3≤t+2≤4，解得1≤t≤2，
②当线段OP在线段EF上方时，3≤t﹣2≤4，解得5≤t≤6，
故答案为：1≤t≤2或5≤t≤6．
（3）如图，
∵点M，N是线段PA的两个“单位面积点”，且AP＝2，
∴S△APM＝S△APN＝1，
∴点N，点M在y轴上或直线x＝2上，
∵点M在第一象限且M的纵坐标为3，
∴点M（2，3），
∵△OMN是△PAN面积的3倍，
∴S△OMN＝3，
当点N在y轴上时，×ON×2＝3，
∴ON＝3，
∴点N（0，3）或（0，﹣3）；
当点N在直线x＝2时，×MN×2＝3，
∴MN＝3，
∴点N（2，0）或（2，6），
综上所述：点N的坐标为（0，3）或（0，﹣3）或（2，0）或（2，6）．
【点评】本题是三角形综合题，考查了三角形的面积公式，并且能够理解单位面积点的定义，解题关键是找到单位面积点的轨迹进行求解．
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2021-2022学年北京市海淀区师达中学七年级（下）期中数学试卷
一、选择题（共20分，每题2分
1．（2分）2的相反数是（ ）
A． B． C．﹣2 D．2
2．（2分）用三角板作△ABC的边BC上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2分）9的算术平方根是（ ）
A．81 B．3 C．﹣3 D．4
4．（2分）点P（﹣2，1）在平面直角坐标系中所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．（2分）如图，ABC沿着BC所在直线的方向，向右平移到△DEF，已知BC＝5，EC＝3，那么平移的距离为（ ）
A．8 B．5 C．3 D．2
6．（2分）在平面直角坐标系中，点P的坐标为（2m﹣4，m+1），若点P在y轴上，则m的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．2 D．3
7．（2分）共享单车提供了便捷、环保的出行方式．小白同学在北京植物园打开某共享单车APP，如图，“”为小白同学的位置，“★”为检索到的共享单车停放点．为了到达距离最近的共享单车停放点，下列四个区域中，小白同学应该前往的是（ ）
A．F6 B．E6 C．D5 D．F7
8．（2分）下列命题中，是假命题的是（ ）
A．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
B．同旁内角互补，两直线平行
C．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
D．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
9．（2分）如图，点E在CD的延长线上，下列条件中不能判定AB∥CD的是（ ）
A．∠B+∠BDC＝180° B．∠3＝∠4
C．∠5＝∠B D．∠1＝∠2
10．（2分）按《航空障碍灯（MH/T6012﹣1999）》的要求，为保障飞机夜间飞行的安全，在高度为45米至105米的建筑上必须安装中光强航空障碍灯（AviationObstructionlight，中光强航空障碍灯是以规律性的固定模式闪光，如图是某一种中光强航空障碍灯的闪光模式，灯的亮暗呈规律性交替变化，那么在一个连续的10秒内，该航空障碍灯处于亮的状态时间总和最长可达（ ）
A．6秒 B．6.5秒 C．7秒 D．13秒
二、填空题（共24分，每题3分）
11．（3分）比较大小： （填“＞”“＜”“＝”）．
12．（3分）如图，三条直线相交于一点，则∠1+∠2+∠3＝ 度．
13．（3分）若实数a，满足+|b﹣1|＝0，那么a+b的值是 ．
14．（3分）如果x﹣2y＝1，那么用含x的代数式表示y，则y＝ ．
15．（3分）五一假期，班主任孙老师带着班级17名同学，去玉渊潭公园划船，项目收费标准如下：
船型
两人船（限乘两人）
四人船（限乘四人）
六人船（限乘六人）
八人船（限乘八人）
每船租金（元/小时）
90
100
130
150
若每条船划的时间均为1小时，则租船的总费用最低为 元．
16．（3分）故宫是世界上现存规模最大保存最完整的宫殿建筑群，小博和小岩在综合实践活动中来到故宫学习，他们都选取了向右和向上为两个正方向，在正方形网格中建立了相同的坐标系，描述各景点的位置．
小博：“养心殿在原点的西北方向”
小岩：“九龙壁的坐标是（2，0）”；
老师：“他们说的都正确！”
（1）依据两位同学的描述，可以知道他们都选择了景点 为原点建立了平面直角坐标系；
（2）太和门的坐标是 ，景仁宫的坐标是 ．
17．（3分）如图，一条公路两次转弯后，和原来的方向相同．如果第一次的拐角∠A是135°，则第二次的拐角∠B是 ，根据是 ．
18．（3分）如图，在气泡图中，描述了5位同学的语文、数学、英语三科测试成绩，气泡圆的圆心的横、纵坐标分别表示语文和数学测试成绩，气泡的大小表示语文、数学、英语三科平均分的高低，气泡越大平均分越高．
（1）在5位同学中，有_ 位同学语文成绩比数学成绩高；
（2）在甲、乙两位同学中，英语成绩较高的是 ．
三、解答题（共56分，19-20题每题8分，21-25题每题4分，第26题6分，27-28题每题7分）
19．（8分）计算：
（1）+（）2﹣；
（2）．
20．（8分）求下列各式的x的值：
（1）4x2＝100；
（2）（x﹣1）3＝﹣64．
21．（4分）已知一个正数x的平方根分别是﹣a+2和2a﹣1，求x的值．
22．（4分）如图，已知CO⊥AB于点O，∠AOD＝5∠DOB，求∠COD的度数．
23．（4分）列方程解决实际问题
初一年级风筝节刚落下帷幕，学校购置了大、小两种风筝若干，已知大风筝的单价比小风筝单价的两倍多4元，且购买2个大风筝与购买5个小风筝的费用相同，求两种风筝的单价各是多少元？
24．（4分）已知：如图，点D，E，F分别在线段AB，BC，AC上，连接DE、EF，DM平分∠ADE交EF于点M，∠1+∠2＝180°．试说明：∠B＝∠BED．
25．（4分）一个数值转换器，如图所示：
（1）当输入的x为81时，输出的y值是 ；
（2）若输入有效的x值后，始终输不出y值，请写出所有满足要求的x的值；
（3）若输出的y是，请写出两个满足要求的x值．
26．（6分）在平面直角坐标系中，已知点A（a，a），B（a，a﹣3），其中a为整数．
（1）当a＝1时，画出线段AB；
（2）点C在线段AB上（点C不与A、B重合），且点C的横纵坐标均为整数．
①若点C在x轴上，求点C的坐标；
②若点C纵坐标满足1＜y＜，直接写出a的所有可能取值．
27．（7分）如图，已知AB∥CD，点E是直线AB上一个定点，点F在直线CD上运动，设∠CFE＝α，在线段EF上取一点M，射线EA上取一点N，使得∠ANM＝160°．
（1）当∠AEF＝时，α＝ ；
（2）当MN⊥EF时，求α；
（3）作∠CFE的角平分线FQ，若FQ∥MN，直接写出α的值： ．
28．（7分）在平面直角坐标系中，对于给定的两点P，Q，若存在点M，使得△MPQ的面积等于1，则称点M为线段PQ的“单位面积点”．
解答问题：如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（1，0）．
（1）在点A（1，2），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（2，﹣4）中，线段OP的“单位面积点”是 ；
（2）已知点E（0，3），F（0，4），将线段OP沿y轴向上平移t（t＞0）个单位长度，使得线段EF上存在线段OP的“单位面积点”，则t的取值范围是 ；
（3）已知点A（1，2），点M在第一象限且M的纵坐标为3，点M，N是线段PA的两个“单位面积点”，若△OMN是△PAN面积的3倍，直接写出所有满足题意的点N的坐标．
2021-2022学年北京市海淀区师达中学七年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共20分，每题2分
1．（2分）2的相反数是（ ）
A． B． C．﹣2 D．2
【分析】根据相反数的概念解答即可．
【解答】解：2的相反数是﹣2，
故选：C．
【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．
2．（2分）用三角板作△ABC的边BC上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据高线的定义即可得出结论．
【解答】解：B，C，D都不是△ABC的边BC上的高，
故选：A．
【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键．
3．（2分）9的算术平方根是（ ）
A．81 B．3 C．﹣3 D．4
【分析】根据算术平方根的定义即可求出答案．
【解答】解：9的算术平方根是3，
故选：B．
【点评】本题考查算术平方根，解题的关键是熟练运用算术平方根的定义，本题属于基础题型．
4．（2分）点P（﹣2，1）在平面直角坐标系中所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据各象限点的坐标的特点解答．
【解答】解：点P（﹣2，1）在第二象限．
故选：B．
【点评】本题考查了点的坐标，熟记四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）是解题的关键．
5．（2分）如图，ABC沿着BC所在直线的方向，向右平移到△DEF，已知BC＝5，EC＝3，那么平移的距离为（ ）
A．8 B．5 C．3 D．2
【分析】根据平移的性质即可解决问题；
【解答】解：由题意平移的距离为BE＝BC﹣EC＝5﹣3＝2，
故选D．
【点评】本题考查平移变换，解题的关键是理解题意，属于中考基础题．
6．（2分）在平面直角坐标系中，点P的坐标为（2m﹣4，m+1），若点P在y轴上，则m的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．2 D．3
【分析】根据y轴上的点横坐标为0，可得2m﹣4＝0，然后进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
2m﹣4＝0，
解得：m＝2，
故选：C．
【点评】本题考查了点的坐标，熟练掌握y轴上的点横坐标为0是解题的关键．
7．（2分）共享单车提供了便捷、环保的出行方式．小白同学在北京植物园打开某共享单车APP，如图，“”为小白同学的位置，“★”为检索到的共享单车停放点．为了到达距离最近的共享单车停放点，下列四个区域中，小白同学应该前往的是（ ）
A．F6 B．E6 C．D5 D．F7
【分析】根据点的位置，可得答案．
【解答】解：距E6最近的是F6，
故选：A．
【点评】本题考查了坐标确定位置，利用点的位置之间的关系是解题关键．
8．（2分）下列命题中，是假命题的是（ ）
A．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
B．同旁内角互补，两直线平行
C．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
D．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
【分析】根据垂线公理对A进行判断；根据平行线的判定对B进行判断；根据平行线的传递性对C进行判断；根据平行线的性质对D进行判断．
【解答】解：A、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，这个命题为真命题；
B、同旁内角互补，两直线平行，这个命题为真命题；
C、如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，这个命题为真命题；
D、两条直线被第三条直线所截，同位角相等，这个命题为假命题．
故选：D．
【点评】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
9．（2分）如图，点E在CD的延长线上，下列条件中不能判定AB∥CD的是（ ）
A．∠B+∠BDC＝180° B．∠3＝∠4
C．∠5＝∠B D．∠1＝∠2
【分析】A、利用同旁内角互补两直线平行，得到AB与CD平行，本选项不合题意；
B、利用内错角相等两直线平行，得到AB与CD平行，本选项不合题意；
C、利用内错角相等两直线平行，得到AB与CD平行，本选项不合题意；
D、利用内错角相等两直线平行，得到AC与BD平行，本选项符合题意．
【解答】解：A、∵∠B+∠BDC＝180°，
∴AB∥CD，本选项不合题意；
B、∵∠3＝∠4，
∴AB∥CD，本选项不合题意；
C、∵∠5＝∠B，
∴AB∥CD，本选项不合题意；
D、∵∠1＝∠2，
∴AC∥BD，本选项符合题意．
故选：D．
【点评】此题考查了平行线的判定，平行线的判定方法有：同位角相等两直线平行；内错角相等两直线平行；同旁内角互补两直线平行，熟练掌握平行线的判定是解本题的关键．
10．（2分）按《航空障碍灯（MH/T6012﹣1999）》的要求，为保障飞机夜间飞行的安全，在高度为45米至105米的建筑上必须安装中光强航空障碍灯（AviationObstructionlight，中光强航空障碍灯是以规律性的固定模式闪光，如图是某一种中光强航空障碍灯的闪光模式，灯的亮暗呈规律性交替变化，那么在一个连续的10秒内，该航空障碍灯处于亮的状态时间总和最长可达（ ）
A．6秒 B．6.5秒 C．7秒 D．13秒
【分析】当该航空障碍灯处于亮的状态的时间总和最长时，灯的亮暗呈规律性交替变化为亮1秒，暗0.5秒，亮1秒，暗0.5秒，亮1秒，暗0.5秒，亮1秒，暗0.5秒，亮1秒，暗0.5秒，亮1秒，暗0.5秒，亮1秒，从而可求解．
【解答】解：根据题意，当该航空障碍灯处于亮的状态的时间总和最长时，
灯的亮暗呈规律性交替变化为：亮1秒，暗0.5秒，亮1秒，暗0.5秒，亮1秒，暗0.5秒，亮1秒，暗0.5秒，亮1秒，暗0.5秒，亮1秒，暗0.5秒，亮1秒，
在这10秒中，航空障碍灯处于亮的状态的时间总和为7秒，
故选：C．
【点评】本题考查了图形的变化规律，正确理解图示是解题的关键．
二、填空题（共24分，每题3分）
11．（3分）比较大小： ＞ （填“＞”“＜”“＝”）．
【分析】因为分母相同所以比较分子的大小即可，可以估算的整数部分，然后根据整数部分即可解决问题．
【解答】解：∵﹣1＞1，
∴＞．
故填空结果为：＞．
【点评】此题主要考查了实数的大小的比较，比较两个实数的大小，可以采用作差法、取近似值法、比较n次方的方法等．当分母相同时比较分子的大小即可．
12．（3分）如图，三条直线相交于一点，则∠1+∠2+∠3＝ 180 度．
【分析】根据对顶角相等的性质，将∠2进行转化，这样就可以与∠1、∠3一起构成平角，从而解答题目的问题．
【解答】解：根据对顶角相等，可得∠2＝∠4，
由平角的定义，可得∠1+∠4+∠3＝180°，
∴∠1+∠2+∠3＝180°．
【点评】本题根据对顶角的性质，把∠2转化为∠4，从而得到三角的和是平角．
13．（3分）若实数a，满足+|b﹣1|＝0，那么a+b的值是 ﹣1 ．
【分析】直接利用绝对值的性质以及二次根式的性质得出a，b的值，进而得出答案．
【解答】解：∵+|b﹣1|＝0，
∴a+2＝0，b﹣1＝0，
解得：a＝﹣2，b＝1，
则a+b＝﹣2+1＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】此题主要考查了绝对值的性质以及二次根式的性质，正确把握相关定义是解题关键．
14．（3分）如果x﹣2y＝1，那么用含x的代数式表示y，则y＝ ．
【分析】把x看作已知数求出y即可．
【解答】解：方程x﹣2y＝1，
移项得：2y＝x﹣1，
解得y＝．
故答案为：．
【点评】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将一个未知数看作已知数求出另一个未知数．
15．（3分）五一假期，班主任孙老师带着班级17名同学，去玉渊潭公园划船，项目收费标准如下：
船型
两人船（限乘两人）
四人船（限乘四人）
六人船（限乘六人）
八人船（限乘八人）
每船租金（元/小时）
90
100
130
150
若每条船划的时间均为1小时，则租船的总费用最低为 380 元．
【分析】根据表格可知八人船的人均费用最低，然后计算相应的最低费用即可．
【解答】解：由表格可得，
八人船的人均费用最低，
孙老师和学生们一共有1+17＝18（人），
当租用一条八人船，一条六人船和一条四人船时的花费为：150+130+100＝380（元），
当租用两条八人船，一条两人船时的花费为：150×2+90＝390（元），
故最低费用为380元，
故答案为：380．
【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，列出相应的算式．
16．（3分）故宫是世界上现存规模最大保存最完整的宫殿建筑群，小博和小岩在综合实践活动中来到故宫学习，他们都选取了向右和向上为两个正方向，在正方形网格中建立了相同的坐标系，描述各景点的位置．
小博：“养心殿在原点的西北方向”
小岩：“九龙壁的坐标是（2，0）”；
老师：“他们说的都正确！”
（1）依据两位同学的描述，可以知道他们都选择了景点 保和殿 为原点建立了平面直角坐标系；
（2）太和门的坐标是 （0，﹣1） ，景仁宫的坐标是 （1，1.5） ．
【分析】根据题意建立直角坐标系即可．
【解答】解：如图建立直角坐标系：（1）依据两位同学的描述，可以知道他们都选择了景点保和殿原点建立了平面直角坐标系；
故答案为：保和殿．
（2）太和门的坐标是（0，﹣1），景仁宫的坐标是（1，1.5）．
故答案为：（0，﹣1），（1，1.5）．
【点评】此题主要考查了坐标确定位置，正确建立平面直角坐标系是解题关键．
17．（3分）如图，一条公路两次转弯后，和原来的方向相同．如果第一次的拐角∠A是135°，则第二次的拐角∠B是 135° ，根据是 两直线平行，内错角相等 ．
【分析】由于拐弯前、后的两条路平行，可考虑用平行线的性质解答．
【解答】解：∠B＝135°，
理由是：∵道路是平行的，
∴∠B＝∠A＝135°．
即两直线平行，内错角相等；
故答案为：135°；两直线平行，内错角相等
【点评】此题考查平行线的性质，解答此题的关键是将实际问题转化为几何问题，利用平行线的性质求解．
18．（3分）如图，在气泡图中，描述了5位同学的语文、数学、英语三科测试成绩，气泡圆的圆心的横、纵坐标分别表示语文和数学测试成绩，气泡的大小表示语文、数学、英语三科平均分的高低，气泡越大平均分越高．
（1）在5位同学中，有_ 3 位同学语文成绩比数学成绩高；
（2）在甲、乙两位同学中，英语成绩较高的是 甲 ．
【分析】（1）看横坐标比纵坐标大的有几个同学；
（2）看甲、乙两位同学哪个的气泡大．
【解答】解：（1）在5位同学中，有3个同学横的横坐标比纵坐标大，
所以有3位同学语文成绩比数学成绩高；
故答案为：3；
（2）在甲、乙两位同学中，
根据甲、乙两位同学的位置可知第一次和第二次成绩的平均分差不多，
而甲的气泡大，表示三科成绩的平均分的高，
所以英语成绩较高的是甲．
故答案为：甲．
【点评】本题考查了象形统计图，象形统计图是人们描述数据常用的一种方法，其类型较多，其中用所统计的物体的象形图形来表示的一类统计图叫做象形统计图．解题的关键是得出每个象形符号代表什么．
三、解答题（共56分，19-20题每题8分，21-25题每题4分，第26题6分，27-28题每题7分）
19．（8分）计算：
（1）+（）2﹣；
（2）．
【分析】（1）根据实数的混合计算解答即可；
（2）根据实数的混合计算解答即可．
【解答】解：（1）原式＝
＝
（2）原式＝
＝．
【点评】此题考查实数的运算，关键是根据实数的混合计算解答．
20．（8分）求下列各式的x的值：
（1）4x2＝100；
（2）（x﹣1）3＝﹣64．
【分析】（1）根据平方根的定义进行计算即可；
（2）根据立方根的定义进行计算即可．
【解答】解：（1）两边都除以4得，x2＝25，
由平方根的定义得，x＝±5；
（2）由立方根的定义得，x﹣1＝﹣4，
即x＝﹣3．
【点评】本题考查平方根、立方根，理解平方根、立方根的定义是正确解答的前提．
21．（4分）已知一个正数x的平方根分别是﹣a+2和2a﹣1，求x的值．
【分析】利用正数的平方根有2个，且互为相反数列出方程，求出方程的解得到a的值，即可确定出正数x的值．
【解答】解：根据题意得：﹣a+2+2a﹣1＝0，
解得：a＝﹣1，
则x＝（1+2）2＝9．
【点评】此题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键．
22．（4分）如图，已知CO⊥AB于点O，∠AOD＝5∠DOB，求∠COD的度数．
【分析】根据邻补角的意义，可得关于x的方程，根据余角的性质的性质，可得答案．
【解答】解：∵∠AOD＝5∠BOD，
设∠BOD＝x°，∠AOD＝5x°．
∵∠AOD+∠BOD＝180°，
∴x+5x＝180．
∴x＝30．
∴∠BOD＝30°．
∵CO⊥AB，
∴∠BOC＝90°．
∴∠COD＝∠BOC﹣∠BOD
＝90°﹣30°
＝60°．
【点评】本题考查了垂线，利用邻补角的意义得出∠BOD的度数是解题关键．
23．（4分）列方程解决实际问题
初一年级风筝节刚落下帷幕，学校购置了大、小两种风筝若干，已知大风筝的单价比小风筝单价的两倍多4元，且购买2个大风筝与购买5个小风筝的费用相同，求两种风筝的单价各是多少元？
【分析】设大风筝的单价是x元，小风筝的单价是y元，根据“大风筝的单价比小风筝单价的两倍多4元，且购买2个大风筝与购买5个小风筝的费用相同”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设大风筝的单价是x元，小风筝的单价是y元，
依题意得：，
解得：．
答：大风筝的单价是20元，小风筝的单价是8元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
24．（4分）已知：如图，点D，E，F分别在线段AB，BC，AC上，连接DE、EF，DM平分∠ADE交EF于点M，∠1+∠2＝180°．试说明：∠B＝∠BED．
【分析】首先证明DM∥BC，推出∠ADM＝∠B，∠DEB＝∠EDM，再根据角平分线的定义即可解决问题．
【解答】证明：∵∠1+∠2＝180°，∠1+∠BEF＝180°，
∴∠2＝∠BEF，
∴DM∥BE，
∴∠ADM＝∠B，∠DEB＝∠EDM，
∵DM平分∠ADE，
∴∠ADM＝∠EDM，
∴∠B＝∠BED．
【点评】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
25．（4分）一个数值转换器，如图所示：
（1）当输入的x为81时，输出的y值是 ；
（2）若输入有效的x值后，始终输不出y值，请写出所有满足要求的x的值；
（3）若输出的y是，请写出两个满足要求的x值．
【分析】（1）根据算术平方根，即可解答；
（2）根据0和1的算术平方根是它们本身，0和1是有理数，所以始终输不出y值；
（3）2和4都可以．
【解答】解：（1）第一次，81的算术平方根是＝9，9是有理数，不能输出；
第二次，9的算术平方根是3，3是有理数不能输出；
第三次，3的算术平方根是，是无理数，输出，
故答案为：；
（2）0和1满足要求．理由如下：
0和1的算术平方根是它们本身，0和1是有理数，当x＝0和1时，始终输不出y的值；
（3）∵4的算术平方根是2，2的算术平方根是．
∴两个满足要求的x值为4和2．
【点评】本题考查了算术平方根，解决本题的关键是熟记算术平方根．
26．（6分）在平面直角坐标系中，已知点A（a，a），B（a，a﹣3），其中a为整数．
（1）当a＝1时，画出线段AB；
（2）点C在线段AB上（点C不与A、B重合），且点C的横纵坐标均为整数．
①若点C在x轴上，求点C的坐标；
②若点C纵坐标满足1＜y＜，直接写出a的所有可能取值．
【分析】（1）根据坐标与图形的特点解答即可；
（2）①根据x轴的点的特点解答即可；
②根据无理数的估计和坐标特点解答即可．
【解答】解：（1）当a＝1时，点A（1，1），B（1，﹣2），
（2）①由题意可知，点C的坐标为（a，a﹣1）或（a，a﹣2），
∵点C在x轴上，
∴点C的纵坐标为0．
由此可得a的取值为1或2，
因此点C的坐标是（1，0）或（2，0）；
②∵点C纵坐标满足1＜y＜，
由（2）得点C的纵坐标为a﹣1或a﹣2，
当a﹣1＞1时，a＞2，
当a﹣2＜时，a＜+2，
∴2＜a＜+2，
∴a的所有可能取值是3，4．
【点评】本题考查坐标与图形性质，不等式，解题的关键是根据坐标与图形的特点和代数式求值解答．
27．（7分）如图，已知AB∥CD，点E是直线AB上一个定点，点F在直线CD上运动，设∠CFE＝α，在线段EF上取一点M，射线EA上取一点N，使得∠ANM＝160°．
（1）当∠AEF＝时，α＝ 120° ；
（2）当MN⊥EF时，求α；
（3）作∠CFE的角平分线FQ，若FQ∥MN，直接写出α的值： 40° ．
【分析】（1）根据平行线的性质即可得到结论；
（2）如图1所示，过点M作直线PM∥AB，由平行公理推论可知：AB∥PM∥CD．根据平行线的性质即可得到结论；
（3）如图2，根据角平分线的定义和平行线的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）∵AB∥CD，
∴∠AEF+∠CFE＝180°，
∵∠CFE＝α，∠AEF＝，
∴α+＝180°，
∴α＝120°；
（2）如，1所示，过点M作直线PM∥AB，由平行公理推论可知：AB∥PM∥CD．
∵∠ANM＝160°，
∴∠NMP＝180°﹣160°＝20°，
又∵NM⊥EF，
∴∠NMF＝90°，∠PMF＝∠NMF﹣∠NMP＝90°﹣20°＝70°．
∴α＝180°﹣∠PMF＝180°﹣70°＝110°；
（3）如图2，∵FQ平分∠CFE，
∴∠QFM＝，
∵AB∥CD，
∴∠NEM＝180°﹣α，
∵MN∥FQ，
∴∠NME＝，
∵∠ENM＝180°﹣∠ANM＝20°，
∴20°++180°﹣α＝180°，
∴α＝40°．
故答案为：40°．
【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线定义，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键．
28．（7分）在平面直角坐标系中，对于给定的两点P，Q，若存在点M，使得△MPQ的面积等于1，则称点M为线段PQ的“单位面积点”．
解答问题：如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（1，0）．
（1）在点A（1，2），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（2，﹣4）中，线段OP的“单位面积点”是 点A和点C ；
（2）已知点E（0，3），F（0，4），将线段OP沿y轴向上平移t（t＞0）个单位长度，使得线段EF上存在线段OP的“单位面积点”，则t的取值范围是 1≤t≤2或5≤t≤6 ；
（3）已知点A（1，2），点M在第一象限且M的纵坐标为3，点M，N是线段PA的两个“单位面积点”，若△OMN是△PAN面积的3倍，直接写出所有满足题意的点N的坐标．
【分析】通过题目理解，单位面积点的轨迹是平行于底边，且到底边所在直线的距离等于三角形的高的平行线，再根据具体问题具体求解．
【解答】解：（1）由题意知，单位面积点的轨迹是平行于底边，且到底边所在直线的距离等于三角形的高的平行线，
∵S△＝×h×OP＝1，
∴h＝2，
故平行线到底边所在直线的距离为2，如图，直线m，n．满足条件的是A，C两点．
，
故答案为：点A和点C；
（2）由（1）知，三角形的高为2，根据题意得，如图，
，
①当线段OP在线段EF下方时，3≤t+2≤4，解得1≤t≤2，
②当线段OP在线段EF上方时，3≤t﹣2≤4，解得5≤t≤6，
故答案为：1≤t≤2或5≤t≤6．
（3）如图，
∵点M，N是线段PA的两个“单位面积点”，且AP＝2，
∴S△APM＝S△APN＝1，
∴点N，点M在y轴上或直线x＝2上，
∵点M在第一象限且M的纵坐标为3，
∴点M（2，3），
∵△OMN是△PAN面积的3倍，
∴S△OMN＝3，
当点N在y轴上时，×ON×2＝3，
∴ON＝3，
∴点N（0，3）或（0，﹣3）；
当点N在直线x＝2时，×MN×2＝3，
∴MN＝3，
∴点N（2，0）或（2，6），
综上所述：点N的坐标为（0，3）或（0，﹣3）或（2，0）或（2，6）．
【点评】本题是三角形综合题，考查了三角形的面积公式，并且能够理解单位面积点的定义，解题关键是找到单位面积点的轨迹进行求解．
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