2021-2022学年北京市陈经纶中学望京实验校区七年级（下）期中数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年北京市陈经纶中学望京实验校区七年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共16分）

1. 的平方根是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列命题中，真命题是(    )

A. 互为邻补角的两个角相加为 B. 相等的角是对顶角
C. 带根号的数一定是无理数 D. 两点之间垂线段最短

3. 下列方程组中是二元一次方程组的是(    )

A.  B.
C.  D.

4. 如果，那么下列不等式成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 如图，在数轴上表示实数的点可能是(    )

A. 点 B. 点 C. 点 D. 点

6. 如图，在平面直角坐标系中，如果一个点的坐标可以用来表示关于、的二元一次方程组的解，那么这个点是(    )

A.
B.
C.
D.

7. 如图，将北京市地铁部分线路图置于正方形网格中，若设定崇文门站的坐标为，雍和宫站的坐标为，则西单站的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 高速公路某收费站出城方向有编号为，，，，的五个小客车收费出口，假定各收费出口每分钟通过小客车的数量分别都是不变的．同时开放其中的某两个收费出口，这两个出口分钟一共通过的小客车数量记录如表：

在，，，，五个收费出口中，每分钟通过小客车数量最多的一个收费出口的编号是(    )

A. 编号为 B. 编号为 C. 编号为  D. 编号为

二、填空题（本大题共8小题，共16分）

9. 请写出一个关于的一元一次不等式，满足解集为，这个不等式可以是______．
10. 已知，方程，用含的代数式表示，就是______．
11. 在平面直角坐标系中，点在第四象限，且点到轴的距离为，到轴的距离为，点的坐标为______．
12. 如图，若，与，分别相交于点，，，的平分线与相交于点，且，则______度．

13. 根据如表回答下列问题：

更接近表格中的数是______；
精确到十分位 ______．

14. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，，点坐标为，且的面积等于的面积，点坐标为______．

15. 九章算术中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十问甲、乙持钱各几何？”其大意是：“今有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也为问甲、乙各有多少钱？”设甲的钱数为，乙的钱数为，根据题意，可列方程组为______ ．
16. 定义：在平面直角坐标系中，把从点出发沿纵或横方向到达点至多拐一次弯的路径长称为，的“实际距离”如图，若，，则，的“实际距离”为，即或环保低碳的共享单车，正式成为市民出行喜欢的交通工具．设，两个小区的坐标分别为，，若点表示单车停放点，且满足到，的“实际距离”相等，则______．

三、计算题（本大题共2小题，共10分）

17. 计算：．
18. 解方程组．

四、解答题（本大题共10小题，共58分）

19. 解不等式，并把解集在数轴上表示出来．
20. 阅读下面解题过程，再解题．
    已知，试比较与的大小．
    解：因为，
    所以，
    故
    问：上述解题过程中，从第______步开始出现错误；
    错误的原因是什么？
    请写出正确的解题过程．
21. 完成下面的证明．
    已知：如图，是平分线上一点，交于点．
    求证：．
    证明：，
    ____________，
    ____________
    平分，
    ______．
    ．

22. 如果关于、的二元一次方程组的解满足，求的值．
23. 在平面直角坐标系中，的两个顶点坐标分别是，．
    在所给的图中，先画出这个中面直角坐标系，点坐标为______；
    点经过平移后对应点为，将作同样的平移得到，画出平移后的；
    在的条件下，点在直线上，若，点的坐标为______．
24. 是三角形内一点，射线，射线．
    当点，分别在，上时，
    补全图；
    猜想与的数量关系，并证明；
    若，，求的度数．

25. 由甲、乙两运输队承包运输立方米沙石的任务，要求在天之内包含天完成．已知两队共有辆汽车，甲队每辆车每天能够运输立方米的沙石，乙队每辆车每天能够运输立方米的沙石，前天两队一共运输了立方米．
    求甲乙两队各有多少辆汽车？
    天后，甲队另有紧急任务需要抽调车辆支援，在不影响工期的情况下，甲队最多可以抽调多少辆汽车走？
26. 如图，方格中每个小正方形的边长都为．
    
    图中正方形的面积为______，边长为______；
    在图的方格中，画一个面积为的格点正方形四个顶点都在方格的顶点上；并在图的数轴上，用圆规找出实数的准确位置．
27. 在平面直角坐标系中，过的直线垂直于轴，点为直线上一点，若点从点出发，以每秒的速度沿直线向左移动，点从原点同时出发，以每秒的速度沿轴向右移动．
    几秒后平行于轴？
    在点、两点运动的过程中，若线段，求点的坐标．

28. 对于平面直角坐标系中的点，给出如下定义：若存在点不与点重合，且直线不与坐标轴平行或重合，过点作直线轴，过点作直线轴，直线，相交于点当线段，的长度相等时，称点为点的等效点，称三角形的面积为点的等效数据．例如：如图，点，点，因为，所以为点的等效点，此时点的等效数据为．
    
    点的坐标是，在点，，中，求点的等效点．
    点的坐标是，点的等距点在第三象限，
    若点的等效数据为，求此时点的坐标______；
    若点的坐标是，求此时点的等效数据______；
    若点的等效数据不小于，求此时点的横坐标的取值范围______．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的平方根是．
故选D．
根据，可得出答案．
本题考查了平方根的知识，注意掌握一个正数的平方根有两个，且互为相反数．
 

2.【答案】 

【解析】解：、互为邻补角的两个角相加为，为真命题，符合题意；
B、相等的角不一定是对顶角，故原命题为假命题，不符合题意；
C、带根号的数不一定是无理数，故原命题为假命题，不符合题意；
D、两点之间，线段最短，故原命题为假命题，不符合题意；
故选：．
根据对顶角的定义、无理数的定义、邻补角的性质及线段的性质等知识逐项判定即可．
本题主要考查命题与定理知识，熟练掌握对顶角的定义、无理数的定义、邻补角的性质及线段的性质等知识是解答此题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：选项，含三个未知数，故A选项错误；
选项，方程组的两个方程都是只含有两个未知数，未知数的次数都是，且都是整式方程，故B选项正确；
选项，不是二元一次方程，故C选项错误；
选项，，分母中含未知数，是分式方程，故D选项错误．
故选：．
根据二元一次方程组的定义，逐项判断即可．
本题主要考查二元一次方程组的定义，解决此类题的关键是掌握二元一次方程组的定义的关键点：两个未知数，未知数的次数都是，且都是整式方程．
 

4.【答案】 

【解析】解：、两边都减，不等号的方向不变，故A错误；
B、两边都减，不等号的方向不变，故B错误；
C、两边都乘，不等号的方向改变，故C正确；
D、两边都除以，不等号的方向不变，故D错误；
故选：．
根据不等式的性质，可得答案．
本题考查了不等式的性质，利用不等式的性质是解题关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
，
故选：．
利用算术平方根的定义推理即可．
本题考查的是算术平方根的大小比较，解题的关键是掌握被开方数越大，算术平方根也越大．
 

6.【答案】 

【解析】解：两直线都过定点，
所以点表示关于、的二元一次方程组的解，
故选C
本题可以通过直线与方程的关系得到两直线都过定点，得到本题结论．
本题考查的是直线与方程的关系，还可以用解方程组的方法加以解决．
 

7.【答案】 

【解析】解：如图所示：西单站的坐标为：．

故选：．
首先利用已知点确定原点位置，进而得出答案．
此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：，，，，，
，，，，，
由和得，
由和得，
每分钟通过小客车数量最多的一个收费出口的编号是，
故答案为：．
根据表中数据两两相比较即可得到结论．
本题主要考查统计表和不等式的基本性质，正确的理解题意是解题的关键．
 

9.【答案】答案不唯一 

【解析】解：根据题意得：，
故答案为：答案不唯一．
根据已知解集写出不等式即可．
此题考查了不等式的解集，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：移项，得，
系数化为，得，
故答案为：．
把方程看作关于的一元一次方程进行求解．
此题考查了二元一次方程的变形能力，关键是能将二元一次方程转化为一元一次方程进行求解．
 

11.【答案】 

【解析】解：在平面直角坐标系中，点在第四象限，且点到轴的距离为，到轴的距离为，点的坐标为，
故答案为：．
根据平面直角坐标系中第四象限点的坐标特征，即可解答．
本题考查了点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系中每一象限点的坐标特征是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，
，
平分，
，
故答案为：．
由题可直接求得，然后根据两直线平行，同旁内角互补可知，根据角平分线的定义即可得到结论．
此题考查了平行线的性质与角平分线的定义，以及三角形内角和定理．此题难度不大，解题的关键是注意两直线平行，同旁内角互补定理的应用，注意数形结合思想的应用．
 

13.【答案】   

【解析】解：由表格可知，，
，
更接近表格中的数是，
故答案为：；
，
，
由表格可知，，
，
，
故答案为：．
根据表格即可得出相应的答案．
本题考查了估算无理数的大小，算出平方根，观察表格发现规律是解答此题的关键．
 

14.【答案】或 

【解析】解：，，，，
，平行轴，
的面积等于的面积，
，
解得或，
点的坐标为或．
故答案为：或．
先根据点的坐标得到，平行轴，再根据三角形面积公式得到，然后求出即可得到点坐标．
本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即底高．也考查了坐标与图形性质．
 

15.【答案】 

【解析】解：由题意可得，
，
故答案为：．
根据乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也为和题目中所设的未知数，可以列出相应的方程组，从而可以解答本题．
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是找出题目中的等量关系，列出相应的方程组．
 

16.【答案】 

【解析】解：依题意有，
解得，
故答案为：．
根据两点间的距离公式可求的值
此题主要考查了坐标确定位置，正确理解实际距离的定义是解题关键．
 

17.【答案】解：原式． 

【解析】原式第一项利用算术平方根定义计算，第二项利用立方根定义计算，第三项利用绝对值的代数意义化简，最后一项利用二次根式性质化简即可得到结果．
此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

18.【答案】解：，
，得，
由得，即，
把代入中，得，即，
则方程组的解为． 

【解析】方程组利用加减消元法求出解即可．
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
 

19.【答案】解：去分母得：，
移项得：，
系数化为得：，
在在数轴上表示为：
． 

【解析】先根据不等式的解法求解不等式，然后把解集在数轴上表示出来．
本题考查了解简单不等式的能力，解不等式要依据不等式的基本性质：
不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式，不等号的方向不变；
不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；
不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．
 

20.【答案】 

【解析】解：；
错误地运用了不等式的基本性质，即不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向没有改变；
因为，所以，故．
由题意，不等式两边乘以负数，不等式号改变，故错误；
对不等式性质应用错误；
根据不等式的性质，不等式两边同乘以一个负号，不等号方向要发生改变，来求解．
此题主要考查不等式的性质及其应用，是一道比较基础的题．
 

21.【答案】  两直线平行，内错角相等    两直线平行，同位角相等   

【解析】证明：，
两直线平行，内错角相等，
两直线平行，同位角相等．
平分，
．
．
故答案为：，两直线平行，内错角相等，，两直线平行，同位角相等，．
先根据平行线的性质，得到，，再根据平分，即可得到．
本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等．
 

22.【答案】解：．
得：．
，
．
，．
代入方程得：．
． 

【解析】先消，求出，的值，再求．
本题考查二元一次方程组的解，消后求出，的值是求解本题的关键．
 

23.【答案】  或 

【解析】解：平面直角坐标系如图所示，．
故答案为：；

如图，即为所求；
观察图形可知，或
故答案为：或
根据，两点坐标确定平面直角坐标系，可得结论；
利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
利用图象法，画出图形可得结论．
本题考查作图平移变换，平面直角坐标系等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，属于中考常考题型．
 

24.【答案】解：补全图形，如图所示：

．
证明：，
．
，
，
．
，，，
，
，
． 

【解析】根据平行线的性质，即可得到，，即可得到与的数量关系．
先根据已知条件求出的度数，再由可以得出．
本题主要考查了平行线的性质的运用，解题的关键是熟练掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补．
 

25.【答案】解：设甲队有辆汽车，乙队有辆汽车，
根据题意得：
，
解得：，
答：甲队有辆汽车，乙队有辆汽车，
设甲队最多可以抽调辆汽车走，
根据题意得：
，
解得：，
最大的整数是，
答：甲队最多可以抽调辆汽车走． 

【解析】设甲队有辆汽车，乙队有辆汽车，根据“两队共有辆汽车，甲队每辆车每天能够运输立方米的沙石，乙队每辆车每天能够运输立方米的沙石，前天两队一共运输了立方米”，列出关于和的二元一次方程组，解之即可，
设甲队最多可以抽调辆汽车走，根据“甲、乙两运输队承包运输立方米沙石的任务，前天两队一共运输了立方米，甲队每辆车每天能够运输立方米的沙石，乙队每辆车每天能够运输立方米的沙石，甲队另有紧急任务需要抽调车辆支援”，结合的结果，列出关于的一元一次不等式，解之，取最大值即可．
本题考查了二元一次方程的应用，解题的关键：正确找出等量关系，列出二元一次方程组，正确找出不等关系，列出一元一次不等式．
 

26.【答案】  

【解析】解：正方形的面积，
则正方形的边长为，
故答案为：；；
如图中，正方形是所画的面积为的格点正方形，
以点为圆心、为半径画弧，交数轴于点，则点的坐标为实数．
根据正方形的面积公式、三角形的面积公式计算即可；
根据题意画出面积为的格点正方形，根据算术平方根得到，尺规作图即可．
本题考查的是实数与数轴、算术平方根的概念，掌握三角形的面积公式是解题的关键．
 

27.【答案】解：设秒后平行于轴．
，
当时，四边形是平行四边形，
平行于轴．
由，得，
解得．
故秒后平行于轴；

由题意知或，，
若，则或，
解得：或，
当时，，即；
当时，，即． 

【解析】设秒后平行于轴，由于，所以当时，四边形是平行四边形，那么平行于轴，根据列出关于的方程，解方程即可；
分点在轴的右侧和左侧得出或，根据列出关于的方程，解之求得的值即可得出答案．
本题考查了坐标与图形性质和平行四边形的性质．运用数形结合与方程思想是解题的关键．
 

28.【答案】或   或 

【解析】解：如图，过作轴的平行线，过作轴的平行线，交于，

点的坐标是，在点，
，即是点的等效点，
同理：，是点的等效点，
，不是点的等效点，
故答案为：，；
设点的坐标，
，
点的等效数据为，点在第三象限，
，或，
解得，或；
点的坐标为或；
故答案为：或；
如图，根据题意，可知．

，，
，
三角形的面积为：，
点的等效数据为，
故答案为：；
三角形的面积为：，
，
如图，根据作全等的等腰直角三角形和，发现点可以在射线上或线段上，
，，

点的横坐标的取值范围是或，
故答案为：或．
根据等效点的定义可作判断；
设点的坐标，根据题意列方程即可得到结论；
计算等腰直角的面积即可；
根据题意画出全等的等腰直角三角形和等腰直角三角形，发现点可以在射线上或线段上，可得的取值．
本题是三角形的综合题，也是新定义问题，理解并运用等效点和等效数据是关键，注意利用数形结合的思想解决问题．