陕西省咸阳市礼泉县第二中学2022-2023学年高二上学期第二次月考理科数学试题（含答案）

高二数学（理科）试题

注意事项：

1. 本试题共4页，满分150分，时间120分钟.

2. 答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.

3. 回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

4. 考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收.

第Ⅰ卷（选择题  共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知命题p：，，则命题p的否定为（    ）

A. ， B. ，

C. ，  D. ，

2. 若直线l过，两点，则直线l的一个方向向量可以是（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 已知平面，的法向量分别为，，则（    ）

A.   B.

C. ，相交但不垂直  D. ，的位置关系不确定

4. 下列命题中真命题的个数是（    ）

①，；②至少有一个整数，它既不是奇数也不是偶数；③，是有理数.

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

5. 已知平面的一个法向量，点在内，则平面外一点到平面的距离为（    ）

A. 4 B. 2 C.  D. 3

6. “”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

7. 如图所示，空间四边形OABC中，，，，M为OA中点，N为BC中点，则等于（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 若平面的一个法向量为，直线l的一个方向向量为，则直线l与平面所成角的余弦值为（    ）

A.  B.  C.  D.

9. 已知空间向量，，，若，，共面，则（    ）

A. －1 B. 0 C. 1 D. －6

10. 已知命题p：，；命题q：若对任意恒成立，则.下列命题中为真命题的是（    ）

A.  B.  C.  D.

11. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

12. 已知MN是棱长为4的正方体内切球的一条直径，点P在正方体表面上运动，则的最大值为（    ）

A. 4 B. 12 C. 8 D. 6

第Ⅱ卷（非选择题  共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 已知，则的最小值是______.

14. 已知，，则______.

15. 已知命题p：，.若命题为真命题，则实数a的最大值是______.

16. 如图，直三棱柱中，，M，N分别是，的中点，，则BM与AN所成角的余弦值为______.

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（本小题满分10分）

已知，，，，，求：

（Ⅰ），，；

（Ⅱ）与夹角的余弦值.

18.（本小题满分12分）

已知，设，.

（Ⅰ）若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围；

（Ⅱ）若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围.

19.（本小题满分12分）

如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，，，，，M为CE的中点.请用空间向量知识解决下列问题：

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求证：平面.

20.（本小题满分12分）

已知，命题p：，不等式成立，命题q：，.

（Ⅰ）若p为真命题，求实数m的取值范围；

（Ⅱ）若命题为假，为真，求实数m的取值范围.

21.（本小题满分12分）

在等差数列中，，，为等比数列的前n项和，且，，，成等差数列.

（Ⅰ）求数列与的通项公式；

（Ⅱ）设，求数列的前n项和.

22.（本小题满分12分）

四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，侧面底面ABCD，，，E是BC的中点，点Q在侧棱PC上.请用空间向量知识解答下列问题：

（Ⅰ）求平面PAD与平面PDC所成角的余弦值；

（Ⅱ）是否存在点Q，使平面DEQ？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

2022~2023学年度第一学期第二次月考

高二数学（理科）试题参考答案

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. B   2. D   3. B   4. C   5. B   6. A   7. A   8. D   9. D   10. A   11. B   12. C

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 5   14. 4   15. －4   16.

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. 解：（Ⅰ）∵，∴，

解得，.

∴，.

又，∴，即，

解得，于是.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，

设与的夹角为，

则.

∴与夹角的余弦值为.

18. 解：（Ⅰ）由题意可得集合，

∵“”是“”的充分不必要条件，

∴，

∴，即实数a的取值范围为.

（Ⅱ）易知，

∵“”是“”的必要不充分条件，

∴，∴.

∴实数a的取值范围为.

19. 证明：（Ⅰ）以D为原点，DA，DC，DE分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，.

∵M为EC的中点，∴.

∴，.

∴.

∴.

（Ⅱ）由（Ⅰ）易知，，，

∴，∴.

又，∴.

又，∴平面BDE.

20. 解：（Ⅰ）∵，不等式成立，

∴在上恒成立.

∵，，∴；

∴，即p为真命题时，实数m的取值范围是.

（Ⅱ）若，，则，即命题q为真命题时.

∵命题为假，为真，

∴命题p与q一真一假，∴p真q假或p假q真.

当p真q假时，，即；

当p假q真时，，即.

∴实数m的取值范围为.

21. 解：（Ⅰ）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，

由题意，得，即，

∴，.

∵，即，

∴，即，

∴，.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，.

①当时，，∴.

②当时，，∴，

∴，①

∴.②

∴①－②得，

.

∴.

当时，满足上式.

∴，.