2022-2023学年陕西省西安中学高二上学期第二次月考理科数学试题

2022-2023学年第一学期第二次月考

高二理科数学试题（卷）

注意事项：

1.答题前填写好自己的姓名､班级､考号等信息；

2.试卷满分150分，考试时间120分钟.

第I卷（选择题共60分）

一､单选题（共60分）

1.（本题5分）如图是由一些完全相同的小立方块搭成的几何体的三视图，搭成这个几何体所用的小立方块的个数是（）

A.5个B.6个C.7个D.8个

2.（本题5分）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A-BCD中，平面，且为的中点，则异面直线与夹角的余弦值为（）

A.B.C.D.

3.（本题5分）函数的部分图象大致为（）

A.B.

C.D.

4.（本题5分）如图所示，在空间四边形中，点分别是边的中点，点分别是边上的点，且，则下列说法正确的是（）

A.与平行

B.与异面

C.与的交点可能在直线上，也可能不在直线上

D.与的交点一定在直线上

5.（本题5分）已知直线平面，有以下几个判断：

①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；

上述判断中正确的是（）

A.①②③B.②③④C.①③④D.①②④

6.（本题5分）下列结论中正确的是（）

A.能被2整除是真命题

B.不能被2整除是真命题

C.不能被2整除是真命题

D.能被2整除是假命题

7.（本题5分）已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，在抛物线上且满足，当取最大值时，点恰好在以为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（）

A.B.C.D.

8.（本题5分）设为不重合的平面，为不重合的直线，则其中正确命题的序号为（）

①，则；

②，则；

③，则；

④，则

A.①③B.②③C.②④D.③④

9.（本题5分）设函数的定义域为为奇函数，为偶函数，当时，.若，则（）

A.B.C.D.

10.（本题5分）设，则（）

A.B.

C.D.

11.（本题5分）正方体的棱长为分别为的中点，有下述四个结论，其中正确的结论是（）

①点与点到平面的距离相等；

②直线与平面平行；

③平面截正方体所得的截面面积为；

④直线与直线所成的角的余弦值为.

A.①④B.②③C.①②③D.①②③④

12.（本题5分）已知点是椭圆的上顶点，分别是椭圆左右焦点，直线将三角形分割为面积相等两部分，则的取值范围是（）

A.B.

C.D.

第II卷（非选择题共90分）

二､填空题（共20分）

13.（本题5分）如图，在正方体中，点是上底面内一动点，则三棱锥的主视图与左视图的面积的比值为__________.

14.（本题5分）定积分的值是__________.

15.（本题5分）一个正方体内接于一个球（即正方体的8个顶点都在球面上），过球心作一截面，则截面的图形可能是__________.

16.（本题5分）已知.设函数若关于的不等式恒成立，则的取值范围为__________.

三､解答题（共70分）

17.（本题10分）设是首项为1的等比数列，数列满足.已知，，成等差数列.

（1）求和的通项公式；

（2）记和分别为和的前n项和.证明：.

18.（本题12分）如图，直四棱柱侧棱长为4cm，底面是长为5cm宽为3cm的长方形.一只蚂蚁从顶点A出发沿棱柱的表面爬到顶点B.求：

（1）蚂蚁经过的最短路程；

（2）蚂蚁沿着棱爬行（不能重复爬行同一条棱）的最长路程.

19.（本题12分）如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1，E､F､G､H分别是所在棱A1D1，B1C1，C1C和AB的中点.

（1）求证EG平面A1BC1；

（2）求证：E､F､G､H四点共面.

20.（本题12分）已知椭圆过点，且.

（1）求椭圆C的方程：

（2）过点的直线l交椭圆C于点，直线分别交直线于点.求的值.

21.（本题12分）如图，在三棱柱中，，四边形为正方形，分别为与的中点.

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

22.（本题12分）已知函数.

（1）讨论的零点个数；

（2）证明：.

2022-2023学年第一学期第二月考高二理科数学试题（卷）

参考答案

一､选择题

1.D2.C3.B4.D5.B6.C

7.C8.C9.D10.C11.C12.B

二､填空题

13.114.15.（1）（2）（3）16.

三､解答题

17.（1），；（2）证明见解析.

（1）因为是首项为1的等比数列且，，成等差数列，

所以，所以，

即，解得，所以，

所以.

（2）[方法一]：作差后利用错位相减法求和

，

，

.

设，⑧

则.⑨

由⑧-⑨得.

所以.

因此.

故.

[方法二]：导函数法

设，

由于，

则.

又，

所以

，

18.（1）；（2）.

（1）将长方体与顶点相关的两个面展开，共有三种方式，如图所示：

则的长就为最短路线.

若蚂蚁沿前侧面和上底面爬行，如图1，

则经过的最短路程为，

若蚂蚁沿侧面爬行，如图2，

则经过的最短路程为，

若蚂蚁沿左侧面和上底面爬行，如图3，

则经过的最短路程为，

，

∴所以蚂蚁经过的最短路程是；

（2）最长的路线应该是依次经过棱长为的路线，

由，

所以最长路程是.

19.【详解】

证明：（1）∵正方体BCD-A1B1C1D1，E､F､G､H分别是所在棱A1D1，B1C1，C1C和AB的中点，

∴FG∥CD1，CD1∥A1B，∴FG∥A1B，

∵FG⊄平面A1BC1，A1B⊂平面A1BC1，

∴FG∥平面A1BC1，

同理，EF∥平面A1BC1，EF∩EG=E，

∴平面EFG∥平面A1BC1，

EG⊂平面EFG，

∴EG∥平面A1BC1.

（2）延长FG，交DC于M，连结MH，交BC于N，

则N是BC的中点，

∴NH∥AC∥A1C1，

∴NH∥EF，

∴E､F､G､H四点共面.

20.（1）；（2）1.

【分析】（1）由题意得到关于a，b的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程；

（2）首先联立直线与椭圆的方程，然后由直线MA，NA的方程确定点P，Q的纵坐标，将线段长度的比值转化为纵坐标比值的问题，进一步结合韦达定理可证得，从而可得两线段长度的比值.

【详解】（1）设椭圆方程为：，由题意可得：

，解得：，

故椭圆方程为：.

（2）[方法一]：

设，，直线的方程为：，

与椭圆方程联立可得：，

即：，

则：.

直线MA的方程为：，

令可得：，

同理可得：.

很明显，且，注意到，

，

而

，

故.

从而.

[方法二]【最优解】：几何含义法

①当直线l与x轴重合，不妨设，由平面几何知识得，所以.

②当直线l不与x轴重合时，设直线，由题意，直线l不过和点，所以.设，联立得.由题意知，所以.且.

由题意知直线的斜率存在..

当时，

.

同理，.所以.

因为，所以.

21.（1）证明见解析；（2）

【分析】

（1）取AB中点O，连接OE，，通过证明四边形为平行四边形得出即可；

（2）求直线与平面所成角即可，过作于，可得平面平面，即即为直线与平面所成角，即可求解.

【详解】（1）取AB中点O，连接OE，，

在三棱柱中，四边形为平行四边形，F为中点，

，，

又分别为中点，，，

，四边形为平行四边形，，

平面，平面，平面；

（2）由（1），则直线与平面所成角即为直线与平面所成角，

，满足，

则，为等腰直角三角形，

过作于，是中点，，

四边形为正方形，，

，平面，，平面，

平面，，

又，，，

在中，，

所以，

，

，平面，

平面，平面平面，

即为直线与平面所成角，

，，，

，

，

故直线与平面所成角的正弦值.

【点睛】

关键点睛：本题考查线面角的求解，解题的关键是转化为直线与平面所成角，通过证明平面平面得出即为直线与平面所成角.

22.（1）答案不唯一，具体见解析（2）证明见解析

（1）令，则，设

当时，时，，∴在上单调递减，

在上单调递增，∴，

∵时，；当时，且时，，

∴当上时，无零点，当或时，有一个零点，

当时，有两个零点.

（2）设，则，

即证，即证，

即证：，

设，则，当时，，当时，

，∴在单调递减，在单调递增，∴，

∴，当且仅当时“=”成立，由（1）知，当时，存在，

使得

∴∴.