黑龙江省鸡西市虎林实验中学2021-2022学年九年级上学期期末考试数学试卷(解析版)

这是一份黑龙江省鸡西市虎林实验中学2021-2022学年九年级上学期期末考试数学试卷(解析版)，共27页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．据统计，黑龙江粮食总产量在2017年时达到1203.76亿斤，成功超越1200亿斤，连续多年居全国首位．将1200亿斤用科学记数法表示为 斤．
2．函数y＝中，自变量x的取值范围是 ．
3．如图，已知AC＝DB，再添加一个适当的条件 ，使△ABC≌△DCB．
（只需填写满足要求的一个条件即可）．
4．小明把一副扑克中带数字7的扑克牌全部拿出给小龙抽，则小龙抽到黑桃7概率为 ．
5．关于x的一元二次方程ax2+bx+3＝0的一个解是1，则2018﹣a﹣b的值是 ．
6．直径为10cm的⊙O中，弦AB＝5cm，则弦AB所对的圆周角是 ．
7．小明带7元钱去买中性笔和橡皮（两种文具都买），中性笔每支2元，橡皮每块1元，那么中性笔能买 支．
8．如图，△ABC中，∠B＝70°，∠BAC＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转得△EDC．当点B的对应点D恰好落在AC上时，∠CAE＝ ．
9．若x1，x2是一元二次方程x2+4x+3＝0的两个根，则x1x2的值是 ．
10．如图，把边长为2的等边△OBB1绕原点O按逆时针方向依次旋转60°得到△OB1B2、△OB2B3…按此规律下去，那么点B2021的坐标是 ．
二、选择题：（每小题3分，共30分）
11．下列各运算中，计算正确的是（ ）
A．4a2﹣2a2＝2B．（a2）3＝a5C．a3•a6＝a9D．（3a）2＝6a2
12．下列成语中，表示不可能事件的是（ ）
A．缘木求鱼B．杀鸡取卵
C．探囊取物D．日月经天，江河行地
13．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
14．已知，则2xy的值为（ ）
A．﹣15B．15C．D．
15．为了大力宣传节约用电，某小区随机抽查了10户家庭的月用电量情况，统计如下表．关于这10户家庭的月用电量说法正确的是（ ）
A．中位数是40B．众数是4
C．平均数是20.5D．极差是3
16．已知关于x的方程（a﹣1）x2﹣2x+1＝0有实数根，则a的取值范围是（ ）
A．a＞2B．a≤2C．a＜2且a≠1D．a＜﹣2
17．如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形ABCD中，AD边的中点处有一动点P，动点P沿P→D→C→B→A→P运动一周，则P点的纵坐标y与点P走过的路程s之间的函数关系用图象表示大致是（ ）
A．B．
C．D．
18．一圆锥体形状的水晶饰品，母线长是10cm，底面圆的直径是5cm，点A为圆锥底面圆周上一点，从A点开始绕圆锥侧面缠一圈彩带回到A点，则彩带最少用多少厘米（接口处重合部分忽略不计）（ ）
A．10πcmB．10cmC．5πcmD．5cm
19．已知关于x的分式方程+＝1的解是非负数，则m的取值范围是（ ）
A．m＞2B．m≥2C．m≥2且m≠3D．m＞2且m≠3
20．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，下列命题：①a+b+c＝0；②b＞2a；③ax2+bx+c＝0的两根分别为﹣3和1；④a﹣2b+c＞0，其中正确命题的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
三、解答题（满分60分）
21．（7分）如图，△ABC在平面直角坐标系中，将△ABC绕原点O顺时针旋转90°得到△A1B1C1．
（1）画出△A1B1C1，并写出点B1、C1的坐标；
（2）求出边AC在旋转变换过程中所扫过的图形的面积．
22．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交斜边AB于点D，若E是AC的中点，连接DE．求证：DE为⊙O的切线．
23．（6分）如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．
（1）请直接写出D点的坐标．
（2）求二次函数的解析式．
（3）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．
24．（7分）初三上学期期末考试后，数学老师把一班的数学成绩制成如图所示不完整的统计图（满分120分，每组含最低分，不含最高分），并给出如下信息：①第二组频率是0.12；②第二、三组的频率和是0.48；③自左至右第三，四，五组的频数比为9：8：3；
请你结合统计图解答下列问题：
（1）全班学生共有 人；
（2）补全统计图；
（3）如果成绩不少于90分为优秀，那么全年级700人中成绩达到优秀的大约多少人？
（4）若不少于100分的学生可以获得学校颁发的奖状，且每班选派两名代表在学校新学期开学式中领奖，则该班得到108分的小强同学能被选中领奖的概率是多少？
25．（8分）甲乙两车从A市去往B市，甲比乙早出发了2个小时，甲到达B市后停留一段时间返回，乙到达B市后立即返回．甲车往返的速度都为40千米/时，乙车往返的速度都为20千米/时，下图是两车距A市的路程S（千米）与行驶时间t（小时）之间的函数图象．请结合图象回答下列问题：
（1）A、B两市的距离是 千米，甲到B市后， 小时乙到达B市；
（2）求甲车返回时的路程S（千米）与时间t（小时）之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（3）请直接写出甲车从B市往回返后再经过几小时两车相距15千米．
26．（8分）如图，在等腰△ABC中，∠B＝90°，AM是△ABC的角平分线，过点M作MN⊥AC于点N，∠EMF＝135°，将∠EMF围绕点M旋转，使得∠EMF的两边分别交直线AB、AC于点E、F．
（1）当∠EMF围绕点M旋转到如图①的位置时，易证得：BM＝BE+CF；
（2）当∠EMF围绕点M旋转到如图②、图③的位置时，BM、BE、CF之间有怎样的数量关系？请写出来，并选择一种情况进行证明．
27．（10分）夏季即将来临，商场准备购进甲、乙两种空调，已知甲种空调每台进价比乙种空调多500元，用40000元购进甲种空调的数量与用30000元购进乙种空调的数量相同，请解答下列问题：
（1）求甲、乙两种空调每台的进价．
（2）若甲种空调每台售价2500元，乙种空调每台售价1800元，商场欲同时购进两种空调20台，且全部售出，请求出所获利润y（元）与甲种空调x（台）之间的函数关系式．
（3）在（2）的条件下，若商场计划用不超过36000元购进空调，且甲种空调至少购进10台，求商场购进多少台甲种空调所获得的利润最大？最大利润是多少？
28．（8分）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A在y轴正半轴上，顶点B在x轴正半轴上，OA、OB的长分别是一元二次方程x2﹣7x+12＝0的两个根（OA＞OB）．
（1）求点D的坐标．
（2）求直线BC的解析式．
（3）在直线BC上是否存在点P，使△PCD为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．
参考答案与试题解析
一、填空题：（每题3分，共30分）
1．据统计，黑龙江粮食总产量在2017年时达到1203.76亿斤，成功超越1200亿斤，连续多年居全国首位．将1200亿斤用科学记数法表示为 1.2×1011 斤．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将1200亿斤用科学记数法表示应为1.2×1011斤．
故答案为：1.2×1011．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2．函数y＝中，自变量x的取值范围是 x≤3 ．
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，3﹣x≥0，
解得x≤3．
故答案为：x≤3．
【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
3．如图，已知AC＝DB，再添加一个适当的条件 AB＝DC ，使△ABC≌△DCB．
（只需填写满足要求的一个条件即可）．
【分析】要使△ABC≌△DCB，由于BC是公共边，若补充一组边相等，则可用SSS判定其全等．
【解答】解：添加AB＝DC
∵AC＝DB，BC＝BC，AB＝DC
∴△ABC≌△DCB
∴加一个适当的条件是AB＝DC．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择添加的条件是正确解答本题的关键．
4．小明把一副扑克中带数字7的扑克牌全部拿出给小龙抽，则小龙抽到黑桃7概率为 ．
【分析】从4张扑克牌中任取一张，所有可能出现的结果一共有4种，每种结果出现的概率都相等，其中抽到黑桃7的结果有1种．根据概率公式即可得到答案．
【解答】解：从4张扑克牌中任取一张，所有可能出现的结果一共有4种，每种结果出现的概率都相等，其中抽到黑桃7的结果有1种．
所以，P（抽到黑桃7）＝，
答：小龙抽到黑桃7概率为，
故答案为：．
【点评】本题考查了概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键．
5．关于x的一元二次方程ax2+bx+3＝0的一个解是1，则2018﹣a﹣b的值是 2021 ．
【分析】把根代入方程，得关于a、b的关系式，然后整体代入得结果．
【解答】解：把x＝1代入方程，得a+b+3＝0，
即a+b＝﹣3．
∴2018﹣a﹣b
＝2018﹣（a+b）
＝2018﹣（﹣3）
＝2021．
故答案为：2021．
【点评】本题考查了一元二次方程的解得意义，解决本题的关键是运用整体代入的思想．
6．直径为10cm的⊙O中，弦AB＝5cm，则弦AB所对的圆周角是 30°或150° ．
【分析】连接OA、OB，根据等边三角形的性质，求出∠AOB的度数，再根据圆周定理求出∠C的度数，再根据圆内接四边形的性质求出∠D的度数．
【解答】解：连接OA、OB，
∵AB＝OB＝OA，
∴∠AOB＝60°，
∴∠C＝30°，
∴∠D＝180°﹣30°＝150°．
故答案为：30°或150°．
【点评】本题考查了圆周角定理和圆内接四边形的性质，作出辅助线是解题的关键．
7．小明带7元钱去买中性笔和橡皮（两种文具都买），中性笔每支2元，橡皮每块1元，那么中性笔能买 1或2或3 支．
【分析】根据小明所带的总钱数以及中性笔与橡皮的价格，分别得出符合题意的答案．
【解答】解：∵小明带7元钱去买中性笔和橡皮（两种文具都买），中性笔每支2元，橡皮每块1元，
∴当买中性笔1支，则可以买橡皮5块，
当买中性笔2支，则可以买橡皮3块，
当买中性笔3支，则可以买橡皮1块，
故答案为：1或2或3．
【点评】此题主要考查了二元一次方程的应用，正确分类讨论是解题关键．
8．如图，△ABC中，∠B＝70°，∠BAC＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转得△EDC．当点B的对应点D恰好落在AC上时，∠CAE＝ 50° ．
【分析】利用旋转的性质得出AC＝CE，以及利用三角形内角和得出∠BCA的度数，利用等腰三角形的性质得出答案．
【解答】解：∵△ABC中，∠B＝70°，则∠BAC＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转得△EDC，点B的对应点D恰好落在AC上，
∴∠BCA＝180°﹣70°﹣30°＝80°，AC＝CE，
∴∠BCA＝∠DCE＝80°，
∴∠CAE＝∠AEC＝（180°﹣80°）×＝50°．
故答案为：50°．
【点评】此题主要考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质，得出∠CAE＝∠AEC是解题关键．
9．若x1，x2是一元二次方程x2+4x+3＝0的两个根，则x1x2的值是 3 ．
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系x1•x2＝解答即可．
【解答】解：∵一元二次方程x2+4x+3＝0的二次项系数a＝1，常数项c＝3，
∴x1•x2＝＝3，
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了根与系数的关系．解答此题时，注意，一元二次方程的根与系数的关系x1•x2＝中的a与c的意义．
10．如图，把边长为2的等边△OBB1绕原点O按逆时针方向依次旋转60°得到△OB1B2、△OB2B3…按此规律下去，那么点B2021的坐标是 （1，﹣） ．
【分析】根据图形旋转的规律得出每旋转6次坐标一循环，求出点B2021的坐标与点A5坐标相同，进而可得出答案．
【解答】解：由题意，得出每旋转＝6次坐标一循环，得出2021÷6＝336余5，即点B2021的坐标与点B5坐标相同，
即可得出点B5与点B1关于x轴对称，
∵B1（1，），
∴B5点坐标为：（1，﹣），
∴点B2021的坐标是（1，﹣），
故答案为：（1，﹣）．
【点评】本题考查坐标又图形变化﹣旋转，规律型﹣点的坐标等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
二、选择题：（每小题3分，共30分）
11．下列各运算中，计算正确的是（ ）
A．4a2﹣2a2＝2B．（a2）3＝a5C．a3•a6＝a9D．（3a）2＝6a2
【分析】根据合并同类项，可判断A，根据幂的乘方，可判断B，根据同底数幂的乘法，可判断C，根据积的乘方，可判断D．
【解答】解：A、系数相加字母部分不变，故A错误；
B、底数不变指数相乘，故B错误；
C、底数不变指数相加，故C正确；
D、3的平方是9，故D错误；
故选：C．
【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，积得乘方等于每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
12．下列成语中，表示不可能事件的是（ ）
A．缘木求鱼B．杀鸡取卵
C．探囊取物D．日月经天，江河行地
【分析】直接利用不可能事件以及必然事件的定义分析得出答案．
【解答】解：A、缘木求鱼，是不可能事件，符合题意；
B、杀鸡取卵，是随机事件，不合题意；
C、探囊取物，是必然事件，不合题意；
D、日月经天，江河行地，是必然事件，不合题意；
故选：A．
【点评】此题主要考查了随机事件，正确把握相关定义是解题关键．
13．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
14．已知，则2xy的值为（ ）
A．﹣15B．15C．D．
【分析】首先根据二次根式有意义的条件求出x的值，然后代入式子求出y的值，最后求出2xy的值．
【解答】解：要使有意义，则，
解得x＝，
故y＝﹣3，
∴2xy＝2××（﹣3）＝﹣15．
故选：A．
【点评】本题主要考查二次根式有意义的条件，解答本题的关键是求出x和y的值，本题难度一般．
15．为了大力宣传节约用电，某小区随机抽查了10户家庭的月用电量情况，统计如下表．关于这10户家庭的月用电量说法正确的是（ ）
A．中位数是40B．众数是4
C．平均数是20.5D．极差是3
【分析】中位数、众数、加权平均数和极差的定义和计算公式分别对每一项进行分析，即可得出答案．
【解答】解：A、把这些数从小到大排列，最中间两个数的平均数是（40+40）÷2＝40，则中位数是40，故本选项正确；
B、40出现的次数最多，出现了4次，则众数是40，故本选项错误；
C、这组数据的平均数（25+30×2+40×4+50×2+60）÷10＝40.5，故本选项错误；
D、这组数据的极差是：60﹣25＝35，故本选项错误；
故选：A．
【点评】此题考查了中位数、众数、加权平均数和极差，掌握中位数、众数、加权平均数和极差的定义和计算公式是本题的关键；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数；求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值．
16．已知关于x的方程（a﹣1）x2﹣2x+1＝0有实数根，则a的取值范围是（ ）
A．a＞2B．a≤2C．a＜2且a≠1D．a＜﹣2
【分析】分a﹣1＝0和a﹣1≠0两种情况考虑，当a﹣1＝0时，可求出一元一次方程的根；当a﹣1≠0时，根据△≥0即可找出a的取值范围．综上即可得出结论．
【解答】解：当a﹣1＝0，即a＝1时，有﹣2x+1＝0，
解得：x＝，
∴a＝1符合题意；
当a﹣1≠0，即a≠1时，有Δ＝（﹣2）2﹣4（a﹣1）＝8﹣4a≥0，
解得：a≤2，
∴a≤2且a≠1．
综上可知：a的取值范围为a≤2．
故选：B．
【点评】本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式，分二次项系数为0和非0两种情况考虑是解题的关键．
17．如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形ABCD中，AD边的中点处有一动点P，动点P沿P→D→C→B→A→P运动一周，则P点的纵坐标y与点P走过的路程s之间的函数关系用图象表示大致是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】将动点P的运动过程划分为PD、DC、CB、BA、AP共5个阶段，分别进行分析，最后得出结论．
【解答】解：动点P运动过程中：
①当0≤s≤时，动点P在线段PD上运动，此时y＝2保持不变；
②当＜s≤时，动点P在线段DC上运动，此时y由2到1逐渐减少；
③当＜s≤时，动点P在线段CB上运动，此时y＝1保持不变；
④当＜s≤时，动点P在线段BA上运动，此时y由1到2逐渐增大；
⑤当＜s≤4时，动点P在线段AP上运动，此时y＝2保持不变．
结合函数图象，只有D选项符合要求．
故选：D．
【点评】本题考查了动点运动过程中的函数图象．把运动过程分解，进行分类讨论是解题的关键．
18．一圆锥体形状的水晶饰品，母线长是10cm，底面圆的直径是5cm，点A为圆锥底面圆周上一点，从A点开始绕圆锥侧面缠一圈彩带回到A点，则彩带最少用多少厘米（接口处重合部分忽略不计）（ ）
A．10πcmB．10cmC．5πcmD．5cm
【分析】利用圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆的周长，进而得出扇形圆心角的度数，再利用勾股定理求出AA′的长．
【解答】解：由两点间直线距离最短可知，圆锥侧面展开图AA′最短，
由题意可得出：OA＝OA′＝10cm，
＝＝5π，
解得：n＝90°，
∴∠AOA′＝90°，
∴AA′＝＝10（cm），
故选：B．
【点评】此题主要考查了平面展开图的最短路径问题，得出∠AOA′的度数是解题关键．
19．已知关于x的分式方程+＝1的解是非负数，则m的取值范围是（ ）
A．m＞2B．m≥2C．m≥2且m≠3D．m＞2且m≠3
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解表示出x，根据方程的解为非负数求出m的范围即可．
【解答】解：分式方程去分母得：m﹣3＝x﹣1，
解得：x＝m﹣2，
由方程的解为非负数，得到m﹣2≥0，且m﹣2≠1，
解得：m≥2且m≠3．
故选：C．
【点评】此题考查了分式方程的解，时刻注意分母不为0这个条件．
20．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，下列命题：①a+b+c＝0；②b＞2a；③ax2+bx+c＝0的两根分别为﹣3和1；④a﹣2b+c＞0，其中正确命题的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据抛物线经过（1，0），确定a+b+c的符号；根据对称轴方程确定b与2a的关系；根据抛物线与x轴的一个交点和对称轴确定另一个交点，得到ax2+bx+c＝0的两根；根据a＞0，c＜0，b＝2a，确定a﹣2b+c的符号．
【解答】解：∵抛物线经过（1，0），
∴a+b+c＝0，①命题正确；
∵﹣＝﹣1，
∴b＝2a，②命题错误；
∵抛物线经过（1，0），对称轴为x＝﹣1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣3，0），
∴ax2+bx+c＝0的两根分别为﹣3和1，③命题正确；
∵a＞0，c＜0，b＝2a，
∴a﹣2b+c＝﹣3a+c＜0，④命题错误；
故选：B．
【点评】本题考查的是二次函数图象与系数之间的关系，能够根据开口判断a的符号，根据与x轴，y轴的交点判断c的值以及b用a表示出的代数式是解题的关键．
三、解答题（满分60分）
21．（7分）如图，△ABC在平面直角坐标系中，将△ABC绕原点O顺时针旋转90°得到△A1B1C1．
（1）画出△A1B1C1，并写出点B1、C1的坐标；
（2）求出边AC在旋转变换过程中所扫过的图形的面积．
【分析】（1）利用旋转变换的旋转分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（2）边AC在旋转变换过程中所扫过的图形的面积可以看成两个扇形的面积之差．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，B1（1，4）、C1（1，2）；
（2）解：∵OA2＝32+12＝10，OC2＝22+12＝5，
∴．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换，扇形的面积等知识，解题的关键是掌握旋转变换的旋转，记住扇形的面积S＝．
22．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交斜边AB于点D，若E是AC的中点，连接DE．求证：DE为⊙O的切线．
【分析】连接OD、OE，得出OD是△ABC的中位线，利用中位线的性质可证明△EOD≌△EOC，所以∠EDO＝∠ECO＝90°，从而可知DE是⊙O的切线．
【解答】证明：连接OD、OE，
∵BC是⊙O直径，E是AC的中点，
∴OE∥AB，
∴∠EOD＝∠ODB，∠EOC＝∠B，
又∵OB＝OD，
∴∠B＝∠ODB，
∴∠EOD＝∠EOC，
又∵OC＝OD，OE＝OE，
∴△EOD≌△EOC（SAS），
∴∠EDO＝∠ECO（全等三角形的对应角相等），
又∵∠ACB＝90°，
∴∠EDO＝90°，
又∵点D在⊙O上，
∴DE为⊙O的切线．
【点评】本题考查了三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质，切线的判定，平行线的性质，证明△EOD≌△EOC是解题的关键．
23．（6分）如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．
（1）请直接写出D点的坐标．
（2）求二次函数的解析式．
（3）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．
【分析】（1）根据抛物线的对称性来求点D的坐标；
（2）设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c常数），把点A、B、C的坐标分别代入函数解析式，列出关于系数a、b、c的方程组，通过解方程组求得它们的值即可；
（3）根据图象直接写出答案．
【解答】解：（1）∵如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，
∴对称轴是直线x＝＝﹣1．
又点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，
∴D（﹣2，3）；
（2）设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c常数），
根据题意得 ，
解得 ，
所以二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（3）如图，一次函数值大于二次函数值的x的取值范围是x＜﹣2或x＞1．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，待定系数法求二次函数解析式以及二次函数与不等式组．解题时，要注意数形结合数学思想的应用．另外，利用待定系数法求二次函数解析式时，也可以采用顶点式方程．
24．（7分）初三上学期期末考试后，数学老师把一班的数学成绩制成如图所示不完整的统计图（满分120分，每组含最低分，不含最高分），并给出如下信息：①第二组频率是0.12；②第二、三组的频率和是0.48；③自左至右第三，四，五组的频数比为9：8：3；
请你结合统计图解答下列问题：
（1）全班学生共有 50 人；
（2）补全统计图；
（3）如果成绩不少于90分为优秀，那么全年级700人中成绩达到优秀的大约多少人？
（4）若不少于100分的学生可以获得学校颁发的奖状，且每班选派两名代表在学校新学期开学式中领奖，则该班得到108分的小强同学能被选中领奖的概率是多少？
【分析】（1）由第二组频数及其频率可得总人数；
（2）先由二、三组的频率和求得对应频数和，从而求得第三组频数，再由第三，四，五组的频数比求得后三组的频数，继而根据频数和为总数求得最后一组频数，从而补全统计图；
（3）用总人数乘以样本中后三组人数和所占比例即可得；
（4）根据概率公式计算即可得．
【解答】解：（1）全班学生人数为6÷0.12＝50人，
故答案为：50；
（2）第二、三组频数之和为50×0.48＝24，
则第三组频数为24﹣6＝18，
∵自左至右第三，四，五组的频数比为9：8：3，
∴第四组频数为16、第五组频数为6，
则第六组频数为50﹣（1+6+18+16+6）＝3，
补全图形如下：
（3）全年级700人中成绩达到优秀的大约有700×＝350人；
（4）小强同学能被选中领奖的概率是＝．
【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题，也考查概率公式．
25．（8分）甲乙两车从A市去往B市，甲比乙早出发了2个小时，甲到达B市后停留一段时间返回，乙到达B市后立即返回．甲车往返的速度都为40千米/时，乙车往返的速度都为20千米/时，下图是两车距A市的路程S（千米）与行驶时间t（小时）之间的函数图象．请结合图象回答下列问题：
（1）A、B两市的距离是 120 千米，甲到B市后， 5 小时乙到达B市；
（2）求甲车返回时的路程S（千米）与时间t（小时）之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（3）请直接写出甲车从B市往回返后再经过几小时两车相距15千米．
【分析】（1）根据路程＝速度×时间的数量关系用甲车的速度×甲车到达乙地的时间就可以求出两地的距离，根据时间＝路程÷速度就可以求出乙需要的时间；
（2）由（1）的结论可以求出BD的解析式，由待定系数法就可以求出结论；
（3）运用待定系数法求出EF的解析式，再由两车之间的距离公式建立方程求出其解即可．
【解答】解：（1）由题意，得
40×3＝120km．
120÷20﹣3+2＝5小时，
故答案为：120，5；
（2）∵AB两地的距离是120km，
∴A（3，120），B（10，120），D（13，0）．
设线段BD的解析式为S1＝k1t+b1，由题意，得．
，
解得：，
∴S1＝﹣40t+520．
t的取值范围为：10≤t≤13；
（3）设EF的解析式为s2＝k2t+b2，由题意，得
，
解得：，
S2＝﹣20t+280．
当﹣20t+280﹣（﹣40t+520）＝15时，
t＝；
∴﹣10＝（小时），
当﹣40t+520﹣（﹣20t+280）＝15时，
t＝，
∴﹣10＝（小时），
当120﹣20（t﹣8）＝15时，
t＝，
∴﹣10＝ （小时），
答：甲车从B市往回返后再经过小时或小时或两车相距15千米．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，自变量的取值范围的运用，一次函数与一元一次方程之间的关系的运用，解答本题时求出函数的解析式是关键．
26．（8分）如图，在等腰△ABC中，∠B＝90°，AM是△ABC的角平分线，过点M作MN⊥AC于点N，∠EMF＝135°，将∠EMF围绕点M旋转，使得∠EMF的两边分别交直线AB、AC于点E、F．
（1）当∠EMF围绕点M旋转到如图①的位置时，易证得：BM＝BE+CF；
（2）当∠EMF围绕点M旋转到如图②、图③的位置时，BM、BE、CF之间有怎样的数量关系？请写出来，并选择一种情况进行证明．
【分析】（1）先判断出BM＝NM，进而判断出△BME≌△NMF，得出BE＝NF，即可得出结论；
（2）同（1）的方法即可得出结论．
【解答】解：（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC＝∠C＝45°，
∵AM是∠BAC的平分线，MN⊥AC，
∴BM＝MN，
在四边形ABMN中，∠BMN＝360°﹣90°﹣90°﹣45°＝135°，
∵∠EMF＝135°，
∴∠BME＝∠NMF，
∴△BME≌△NMF，
∴BE＝NF，
∵MN⊥AC，∠C＝45°，
∴∠CMN＝∠C＝45°，
∴NC＝NM＝BM，
∵CN＝CF+NF，
∴BM＝BE+CF；
（2）针对图②，同（1）的方法得，△BME≌△NMF，
∴BE＝NF，
∵MN⊥AC，∠C＝45°，
∴∠CMN＝∠C＝45°，
∴NC＝NM＝BM，
∵NC＝NF﹣CF，
∴BM＝BE﹣CF；
针对图③，同（1）的方法得，△BME≌△NMF，
∴BE＝NF，
∵MN⊥AC，∠C＝45°，
∴∠CMN＝∠C＝45°，
∴NC＝NM＝BM，
∵NC＝CF﹣NF，
∴BM＝CF﹣BE．
【点评】此题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键．
27．（10分）夏季即将来临，商场准备购进甲、乙两种空调，已知甲种空调每台进价比乙种空调多500元，用40000元购进甲种空调的数量与用30000元购进乙种空调的数量相同，请解答下列问题：
（1）求甲、乙两种空调每台的进价．
（2）若甲种空调每台售价2500元，乙种空调每台售价1800元，商场欲同时购进两种空调20台，且全部售出，请求出所获利润y（元）与甲种空调x（台）之间的函数关系式．
（3）在（2）的条件下，若商场计划用不超过36000元购进空调，且甲种空调至少购进10台，求商场购进多少台甲种空调所获得的利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）设乙种空调每台进价为x元，则甲种空调每台进价为（x+500）元，根据用40000元购进甲种空调的数量与用30000元购进乙种空调的数量相同列出方程，求出方程的解即可得到结果；
（2）根据甲种空调x台，得到乙中空调（20﹣x）台，由售价﹣进价＝利润表示出y与x的函数解析式即可；
（3）设购买甲种空调x台，则购买乙种空调（20﹣x）台，根据商场计划用不超过36000元购进空调，且甲种空调至少购进10台，求出x的范围，求出最大利润．
【解答】解：（1）设乙种空调每台进价为x元，则甲种空调每台进价为（x+500）元，
根据题意得：，
去分母得：40000x＝30000x+15000000，
解得：x＝1500，
经检验x＝1500是分式方程的解，且x+500＝2000，
则甲、乙两种空调每台进价分别为2000元，1500元；
（2）根据题意得：y＝（2500﹣2000）x+（1800﹣1500）（20﹣x）＝200x+6000；
（3）设购买甲种空调x台，则购买乙种空调（20﹣x）台，
根据题意得：2000x+1500（20﹣x）≤36000，且x≥10，
解得：10≤x≤12，
因为y＝200x+6000，y随x的增大而增大，
所以当x＝12时，利润最大，最大利润为8400元，
答：商场购进12台甲种空调所获得的利润最大，最大利润是8400元．
【点评】此题考查了一次函数的意义，分式方程的应用，以及一元一次不等式组的应用，弄清题中的等量关系是解本题的关键．
28．（8分）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A在y轴正半轴上，顶点B在x轴正半轴上，OA、OB的长分别是一元二次方程x2﹣7x+12＝0的两个根（OA＞OB）．
（1）求点D的坐标．
（2）求直线BC的解析式．
（3）在直线BC上是否存在点P，使△PCD为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）解一元二次方程求出OA、OB的长度，过点D作DE⊥y于点E，根据正方形的性质可得AD＝AB，∠DAB＝90°，然后求出∠ABO＝∠DAE，然后利用“角角边”证明△DAE和△ABO全等，根据全等三角形对应边相等可得DE＝OA，AE＝OB，再求出OE，然后写出点D的坐标即可；
（2）过点C作CM⊥x轴于点M，同理求出点C的坐标，设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0，k、b为常数），然后利用待定系数法求一次函数解析式解答；
（3）根据正方形的性质，点P与点B重合时，△PCD为等腰三角形；点P为点B关于点C的对称点时，△PCD为等腰三角形，然后求解即可．
【解答】解：（1）解方程x2﹣7x+12＝0得x1＝3，x2＝4，
∵OA＞OB，
∴OA＝4，OB＝3，
过D作DE⊥y于点E，
∵正方形ABCD，
∴AD＝AB，∠DAB＝90°，
∠DAE+∠OAB＝90°，
∠ABO+∠OAB＝90°，
∴∠ABO＝∠DAE，
∵DE⊥AE，
∴∠AED＝90°＝∠AOB，
在△DAE和△ABO中，，
∴△DAE≌△ABO（AAS），
∴DE＝OA＝4，AE＝OB＝3，
∴OE＝7，
∴D（4，7）；
（2）过点C作CM⊥x轴于点M，
同上可证得△BCM≌△ABO，
∴CM＝OB＝3，BM＝OA＝4，
∴OM＝7，
∴C（7，3），
设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0，k、b为常数），
代入B（3，0），C（7，3）得，，
解得，
∴y＝x﹣；
（3）在直线BC上存在点P，使△PCD为等腰直角三角形，理由如下：如图，
当点P与点B重合时，P1（3，0），
当点P与点B关于点C对称时，P2（11，6）．
综上所述：点P的坐标为（3，0）或（11，6）．
【点评】本题是一次函数综合题型，主要利用了解一元二次方程，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，待定系数法求一次函数解析式，等腰直角三角形的判定与性质，（1）作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．
月用电量（度）
25
30
40
50
60
户数
1
2
4
2
1
月用电量（度）
25
30
40
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户数
1
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