黑龙江省绥化市庆安县第四中学2021-2022学年九年级上学期期末数学试卷 (含答案)

这是一份黑龙江省绥化市庆安县第四中学2021-2022学年九年级上学期期末数学试卷 (含答案)，共27页。试卷主要包含了下列函数中y是x的二次函数的是，若关于x的一元二次方程，已知a＞1，点A等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年黑龙江省绥化市庆安四中九年级（上）期末数学试卷
一.选择部分（每题3分，共30分）
1．下列函数中y是x的二次函数的是（　　）
A．y＝﹣2x2 B．y＝
C．y＝ax2+bx+c D．y＝（x﹣2）2﹣x2
2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（　　）
A． B． C． D．
3．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+x+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k≤ B．k＞ C．k＜且k≠1 D．k≤且k≠1
4．已知a＞1，点A（a﹣1，y1），B（a，y2），C（a+1，y3）都在二次函数y＝﹣2x2的图象上，则（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3
5．参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛110场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（　　）
A．x（x+1）＝110 B．x（x﹣1）＝110
C．x（x+1）＝110 D．x（x﹣1）＝110
6．某路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当小明到达该路口时，遇到绿灯的概率是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，⊙O的直径CD＝20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC＝3：5，则AB的长为（　　）

A．8 B．12 C．16 D．2
8．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝50°，AD⊥BC，垂足为D，△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，则∠CAB'的度数为（　　）

A．10° B．20° C．30° D．40°
9．已知抛物线y＝ax2+bx+3在坐标系中的位置如图所示，它与x，y轴的交点分别为A，B，P是其对称轴x＝1上的动点，根据图中提供的信息，以下结论中不正确的是（　　）

A．2a+b＝0
B．a＞﹣
C．△PAB周长的最小值是
D．x＝3是ax2+bx+3＝0的一个根
10．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，其对称轴是直线x＝1．下列结论：
①abc＜0；
②a+c＞b；
③4a+c＞0；
④a+b≤m（am+b）（m为实数）．
其中结论正确的个数为（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二.填空题（每题3分，共33分）
11．一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x2﹣10x+21＝0的根，则三角形的周长为 　 　．
12．若x1，x2方程x2﹣4x﹣2021＝0的两个实数根，则代数式x12﹣2x1+2x2的值等于　 　．
13．把二次函数y＝2x2﹣1的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为 　 　．
14．如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△DEC，连接AD，若∠BAC＝25°，则∠BAD＝　 　．

15．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点C和点E是对应点，若∠CAE＝90°，AB＝1，则BD＝　 　．

16．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），对称轴为x＝﹣1，则当y＜0时，x的取值范围是　 　．

17．已知点P（x，y）在二次函数y＝2（x+1）2﹣3的图象上，当﹣2＜x≤1时，y的取值范围是　 　．
18．如图，⊙O的半径为2，弦AB＝，E为弧AB的中点，OE交AB于点F，则OF的长为 　 　．

19．如图，直线a⊥b，垂足为H，点P在直线b上，PH＝4cm，O为直线b上一动点，若以1cm为半径的⊙O与直线a相切，则OP的长为　 　．

20．若一个圆锥的底面半径为1cm，它的侧面展开图的圆心角为90°，则这个圆锥的母线长为 　 　cm．
21．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）对于下列命题：①b﹣2a＝0；②abc＜0； ③a﹣2b+4c＜0④8a+c＜0，其中正确的有　 　．

三.解答题（共57分）
22．（6分）如图，已知△ABC是锐角三角形（AC＜AB）．
（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作直线l，使l上的各点到B、C两点的距离相等；设直线l与AB、BC分别交于点M、N，作一个圆，使得圆心O在线段MN上，且与边AB、BC相切；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若BM＝，BC＝2，则⊙O的半径为　 　．

23．（9分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，△ABO的三个顶点坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣4，3），O（0，0）．
（1）画出△ABO关于x轴对称的△A1B1O，并写出点A1的坐标；
（2）画出△ABO绕点O顺时针旋转90°后得到的△A2B2O，并写出点A2的坐标；
（3）在（2）的条件下，求点A旋转到点A2所经过的路径长（结果保留π）．

24．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣1＝0
（1）若该方程有两个实数根，求m的取值范围．
（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且（x1﹣x2）2﹣10m＝2，求m的值．
25．（8分）已知：如图，在正方形ABCD中，G是CD上一点，延长BC到E，使CE＝CG，连接BG并延长交DE于F．
（1）求证：△BCG≌△DCE；
（2）将△DCE绕点D顺时针旋转90°得到△DAE′，判断四边形E′BGD是什么特殊四边形，并说明理由．

26．（8分）已知：如图，A是⊙O上一点，半径OC的延长线与过点A的直线交于B点，OC＝BC，AC＝OB．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若∠ACD＝45°，OC＝2，求弦CD的长．

27．（8分）山西转型综合改革示范区的一工厂里，生产的某种产品按供需要求分为十个档次．若生产第一档次（最低档次）的产品，一天可生产76件，每件的利润为10元，每提高一个档次，每件的利润增加2元，每天的产量将减少4件．设产品的档次（每天只生产一个档次的产品）为x，请解答下列问题．
（1）用含x的代数式表示：一天生产的产品件数为　 　件，每件产品的利润为　 　元；
（2）若该产品一天的总利润为1080元，求这天生产产品的档次x的值．
28．（10分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点左侧，B点的坐标为（4，0），与y轴交于C（0，﹣4）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．


2021-2022学年黑龙江省绥化市庆安四中九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择部分（每题3分，共30分）
1．下列函数中y是x的二次函数的是（　　）
A．y＝﹣2x2 B．y＝
C．y＝ax2+bx+c D．y＝（x﹣2）2﹣x2
【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数可得答案．
【解答】解：A、是二次函数，故此选项符合题意；
B、不是二次函数，故此选项不合题意；
C、a＝0时，不是二次函数，故此选项不合题意；
D、不是二次函数，故此选项不合题意；
故选：A．
2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：A．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
D．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：C．
3．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+x+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k≤ B．k＞ C．k＜且k≠1 D．k≤且k≠1
【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+x+1＝0有两个实数根，
∴，
解得：k≤且k≠1．
故选：D．
4．已知a＞1，点A（a﹣1，y1），B（a，y2），C（a+1，y3）都在二次函数y＝﹣2x2的图象上，则（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3
【分析】根据二次函数的增减性，进行求解即可．
【解答】解：∵a＞1，
∴0＜a﹣1＜a＜a+1，
∵y＝﹣2x2，﹣2＜0，
∴当x＞0时，y随x值的增大而减少，
∴y3＜y2＜y1．
故选：C．
5．参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛110场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（　　）
A．x（x+1）＝110 B．x（x﹣1）＝110
C．x（x+1）＝110 D．x（x﹣1）＝110
【分析】设有x个队参赛，根据参加一次足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛110场，可列出方程．
【解答】解：设有x个队参赛，则
x（x﹣1）＝110．
故选：D．
6．某路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当小明到达该路口时，遇到绿灯的概率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
【解答】解：∵每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，
∴当小明到达该路口时，遇到绿灯的概率P＝＝，
故选：D．
7．如图，⊙O的直径CD＝20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC＝3：5，则AB的长为（　　）

A．8 B．12 C．16 D．2
【分析】连接OA，先根据⊙O的直径CD＝20，OM：OC＝3：5求出OD及OM的长，再根据勾股定理可求出AM的长，进而得出结论．
【解答】解：连接OA，
∵⊙O的直径CD＝20，OM：OC＝3：5，
∴OC＝10，OM＝6，
∵AB⊥CD，
∴AM＝＝＝8，
∴AB＝2AM＝16．
故选：C．

8．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝50°，AD⊥BC，垂足为D，△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，则∠CAB'的度数为（　　）

A．10° B．20° C．30° D．40°
【分析】由余角的性质可求∠C＝40°，由轴对称的性质可得∠AB'B＝∠B＝50°，由外角性质可求解．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，∠B＝50°，
∴∠C＝40°，
∵△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，
∴∠AB'B＝∠B＝50°，
∴∠CAB'＝∠AB'B﹣∠C＝10°，
故选：A．
9．已知抛物线y＝ax2+bx+3在坐标系中的位置如图所示，它与x，y轴的交点分别为A，B，P是其对称轴x＝1上的动点，根据图中提供的信息，以下结论中不正确的是（　　）

A．2a+b＝0
B．a＞﹣
C．△PAB周长的最小值是
D．x＝3是ax2+bx+3＝0的一个根
【分析】根据对称轴方程求得a、b的数量关系即可判断A；根据抛物线的对称性知抛物线与x轴的另一个交点的横坐标是3，则x＝3时，y＝0，得到3a+3＝0，即2a+3＝﹣a＞0即可判断B、D；利用两点间直线最短来求△PAB周长的最小值即可判断C．
【解答】解：A、根据图象知，对称轴是直线x＝﹣＝1，则b＝﹣2a，即2a+b＝0．故A正确；
B、根据图象知，点A的坐标是（﹣1，0），对称轴是直线x＝1，则根据抛物线关于对称轴对称的性质知，抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3，0），
∴x＝3时，y＝9a+3b+3＝0，
∴9a﹣6a+3＝0，
∴3a+3＝0，
∵抛物线开口向下，则a＜0，
∴2a+3＝﹣a＞0，
∴a＞﹣，故B正确；
C，点A关于x＝1对称的点是A′为（3，0），即抛物线与x轴的另一个交点．
连接BA′与直线x＝1的交点即为点P，
则△PAB周长的最小值是（BA′+AB）的长度．
∵A（﹣1，0），B（0，3），A′（3，0），
∴AB＝，BA′＝3．即△PAB周长的最小值是+3，故C错误；
D、根据图象知，点A的坐标是（﹣1，0），对称轴是直线x＝1，则根据抛物线关于对称轴对称的性质知，抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3，0），所以x＝3是ax2+bx+3＝0的一个根，故D正确；
故选：C．

10．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，其对称轴是直线x＝1．下列结论：
①abc＜0；
②a+c＞b；
③4a+c＞0；
④a+b≤m（am+b）（m为实数）．
其中结论正确的个数为（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】该函数开口方向向上，则a＞0，由对称轴可知，b＝﹣2a＜0，与y轴交点在y轴负半轴，则c＜0，再根据一些特殊点，比如x＝1，x＝﹣1，顶点等进行判断即可．
【解答】解：∵函数开口方向向上，a＞0，
∵对称轴为x＝1，则﹣＝1，
∴b＝﹣2a＜0，
∵与y轴交点在y轴负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，故①错；
当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，即a+c＞b，故②正确；
对称轴为x＝1，则﹣＝1，即b＝﹣2a，
由上知，a﹣b+c＞0，则a+2a+c＞0，即3a+c＞0，
∴4a+c＞a＞0，故③正确；
由图象可得，当x＝1时，函数取得最小值，
∴对任意m为实数，有am2+bm+c≥a+b+c，
∴am2+bm≥a+b，即a+b≤m（am+b），故④正确．
综上，正确的个数有三个．
故选：B．
二.填空题（每题3分，共33分）
11．一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x2﹣10x+21＝0的根，则三角形的周长为 　16　．
【分析】首先求出方程的根，再根据三角形三边关系定理，确定第三边的长，进而求其周长．
【解答】解：解方程x2﹣10x+21＝0得x1＝3、x2＝7，
∵3＜第三边的边长＜9，
∴第三边的边长为7．
∴这个三角形的周长是3+6+7＝16．
故答案为：16．
12．若x1，x2方程x2﹣4x﹣2021＝0的两个实数根，则代数式x12﹣2x1+2x2的值等于　2029　．
【分析】根据一元二次方程的解的概念和根与系数的关系得出x12﹣4x1＝2021，x1+x2＝4，代入原式＝x12﹣4x1+2x1+2x2＝x12﹣4x1+2（x1+x2）计算可得．
【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣4x﹣2021＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝4，x12﹣4x1﹣2021＝0，即x12﹣4x1＝2021，
则原式＝x12﹣4x1+2x1+2x2
＝x12﹣4x1+2（x1+x2）
＝2021+2×4
＝2021+8
＝2029．
故答案为：2029．
13．把二次函数y＝2x2﹣1的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为 　y＝2（x+1）2﹣3　．
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答．
【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将二次函数y＝2x2﹣1的图象向左平移1个单位长度所得抛物线的解析式为：y＝2（x+1）2﹣1；
由“上加下减”的原则可知，将抛物线y＝2（x+1）2﹣1向下平移2个单位长度所得抛物线的解析式为：y＝2（x+1）2﹣1﹣2＝2（x+1）2﹣3，
故答案为：y＝2（x+1）2﹣3．
14．如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△DEC，连接AD，若∠BAC＝25°，则∠BAD＝　70°　．

【分析】根据旋转的性质可得AC＝CD，再判断出△ACD是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求出∠CAD＝45°，由∠BAD＝∠BAC+∠CAD可得答案．
【解答】解：∵Rt△ABC绕其直角顶点C按顺时针方向旋转90°后得到Rt△DEC，
∴AC＝CD，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴∠CAD＝45°，
则∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝25°+45°＝70°，
故答案为：70°．
15．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点C和点E是对应点，若∠CAE＝90°，AB＝1，则BD＝　　．

【分析】由旋转的性质得：AB＝AD＝1，∠BAD＝∠CAE＝90°，再根据勾股定理即可求出BD．
【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转的到△ADE，点C和点E是对应点，
∴AB＝AD＝1，∠BAD＝∠CAE＝90°，
∴BD＝＝＝．
故答案为．
16．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），对称轴为x＝﹣1，则当y＜0时，x的取值范围是　﹣3＜x＜1　．

【分析】根据抛物线与x轴的一个交点坐标和对称轴，由抛物线的对称性可求抛物线与x轴的另一个交点，再根据抛物线的增减性可求当y＜0时，x的取值范围．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），
由图象可知，当y＜0时，x的取值范围是﹣3＜x＜1．
故答案为：﹣3＜x＜1．
17．已知点P（x，y）在二次函数y＝2（x+1）2﹣3的图象上，当﹣2＜x≤1时，y的取值范围是　﹣3≤y≤5　．
【分析】根据题目中的函数解析式和题意，可以求得相应的y的取值范围，本题得以解决．
【解答】解：∵二次函数y＝2（x+1）2﹣3，
∴该函数对称轴是直线x＝﹣1，当x＝﹣1时，取得最小值，此时y＝﹣3，
∵点P（x，y）在二次函数y＝2（x+1）2﹣3的图象上，
∴当﹣2＜x≤1时，y的取值范围是：﹣3≤y≤5，
故答案为：﹣3≤y≤5．
18．如图，⊙O的半径为2，弦AB＝，E为弧AB的中点，OE交AB于点F，则OF的长为 　1　．

【分析】由于E为弧AB的中点，所以OE⊥AB于F，所以AF＝BF＝，再利用勾股定理即可求出OF．
【解答】解：∵E为弧AB的中点，
∴OE⊥AB于F，
∵AB＝2，
∴AF＝BF＝，
在Rt△OAF中，OA＝2，，
故答案为：1．
19．如图，直线a⊥b，垂足为H，点P在直线b上，PH＝4cm，O为直线b上一动点，若以1cm为半径的⊙O与直线a相切，则OP的长为　3cm或5cm　．

【分析】当点O在点H的左侧⊙O与直线a相切时，OP＝PH﹣OH；当点O在点H的右侧⊙O与直线a相切时，OP＝PH+OH，即可得出结果．
【解答】解：∵直线a⊥b，O为直线b上一动点，
∴⊙O与直线a相切时，切点为H，
∴OH＝1cm，
当点O在点H的左侧，⊙O与直线a相切时，如图1所示：

OP＝PH﹣OH＝4﹣1＝3（cm）；
当点O在点H的右侧，⊙O与直线a相切时，如图2所示：

OP＝PH+OH＝4+1＝5（cm）；
∴⊙O与直线a相切，OP的长为3cm或5cm，
故答案为：3cm或5cm．
20．若一个圆锥的底面半径为1cm，它的侧面展开图的圆心角为90°，则这个圆锥的母线长为 　4　cm．
【分析】利用圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长即可求解．
【解答】解：设母线长为lcm，
则＝2π×1
解得：l＝4．
故答案为：4．
21．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）对于下列命题：①b﹣2a＝0；②abc＜0； ③a﹣2b+4c＜0④8a+c＜0，其中正确的有　③　．

【分析】首先根据二次函数图象开口方向可得a＞0，根据图象与y轴交点可得c＜0，再根据二次函数的对称轴x＝﹣，结合图象与x轴的交点可得对称轴为直线x＝1，结合对称轴公式可判断出①的正误；根据对称轴公式结合a的取值可判定出b＜0，根据a、b、c的正负即可判断出②的正误；利用a﹣b+c＝0，求出a﹣2b+4c＜0，再利用当x＝4时，y＞0，则16a+4b+c＞0，由①知，b＝﹣2a，得出8a+c＞0．
【解答】解：根据图象可得：a＞0，c＜0，
对称轴：x＝﹣＞0，
①∵它与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0），
∴对称轴是直线x＝1，
∴﹣＝1，
∴b+2a＝0，
故①错误；
②∵a＞0，
∴b＜0，
∵c＜0，
∴abc＞0，故②错误；
③∵a﹣b+c＝0，
∴c＝b﹣a，
∴a﹣2b+4c＝a﹣2b+4（b﹣a）＝2b﹣3a，
又由①得b＝﹣2a，
∴a﹣2b+4c＝﹣7a＜0，
故此选项正确；
④根据图示知，当x＝4时，y＞0，
∴16a+4b+c＞0，
由①知，b＝﹣2a，
∴8a+c＞0；
故④错误；
故正确为：③1个．
故答案为：③．
三.解答题（共57分）
22．（6分）如图，已知△ABC是锐角三角形（AC＜AB）．
（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作直线l，使l上的各点到B、C两点的距离相等；设直线l与AB、BC分别交于点M、N，作一个圆，使得圆心O在线段MN上，且与边AB、BC相切；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若BM＝，BC＝2，则⊙O的半径为　　．

【分析】（1）作线段BC的垂直平分线交AB于M，交BC于N，作∠ABC的角平分线交MN于点O，以O为圆心，ON为半径作⊙O即可．
（2）过点O作OE⊥AB于E．设OE＝ON＝r，利用面积法构建方程求解即可．
【解答】解：（1）如图直线l，⊙O即为所求．
（2）过点O作OE⊥AB于E．设OE＝ON＝r，
∵BM＝，BC＝2，MN垂直平分线段BC，
∴BN＝CN＝1，
∴MN＝＝＝，
∵s△BNM＝S△BNO+S△BOM，
∴×1×＝×1×r+××r，
解得，r＝．
故答案为：．

23．（9分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，△ABO的三个顶点坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣4，3），O（0，0）．
（1）画出△ABO关于x轴对称的△A1B1O，并写出点A1的坐标；
（2）画出△ABO绕点O顺时针旋转90°后得到的△A2B2O，并写出点A2的坐标；
（3）在（2）的条件下，求点A旋转到点A2所经过的路径长（结果保留π）．

【分析】（1）利用轴对称的性质分别作出A，B的对称点A1，B1即可．
（2）利用旋转变换的性质分别作出A，B的对应点A2，B2即可．
（3）利用弧长公式l＝，求解即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1O即为所求，点A1的坐标（﹣1，﹣3）；
（2）如图，△A2B2O即为所求，点A2的坐标（3，1）；
（3）点A旋转到点A2所经过的路径长＝＝π

24．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣1＝0
（1）若该方程有两个实数根，求m的取值范围．
（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且（x1﹣x2）2﹣10m＝2，求m的值．
【分析】（1）根据判别式即可求出m的取值范围；
（2）根据根与系数的关系即可求出答案．
【解答】解：（1）由题意可知：Δ＝（2m﹣1）2﹣4（m2﹣1）≥0，
∴﹣4m+5≥0，
∴m≤；
（2）由题意可知：x1+x2＝1﹣2m，x1x2＝m2﹣1，
∵（x1﹣x2）2﹣10m＝2，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2﹣10m＝2，
∴（1﹣2m）2﹣4（m2﹣1）﹣10m＝2，
解得：m＝；
25．（8分）已知：如图，在正方形ABCD中，G是CD上一点，延长BC到E，使CE＝CG，连接BG并延长交DE于F．
（1）求证：△BCG≌△DCE；
（2）将△DCE绕点D顺时针旋转90°得到△DAE′，判断四边形E′BGD是什么特殊四边形，并说明理由．

【分析】（1）由正方形ABCD，得BC＝CD，∠BCD＝∠DCE＝90°，又CG＝CE，所以△BCG≌△DCE（SAS）．
（2）由（1）得BG＝DE，又由旋转的性质知AE′＝CE＝CG，所以BE′＝DG，从而证得四边形E′BGD为平行四边形．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD，∠BCD＝90°．
∵∠BCD+∠DCE＝180°，
∴∠BCD＝∠DCE＝90°．
又∵CG＝CE，
∴△BCG≌△DCE．

（2）解：四边形E′BGD是平行四边形．理由如下：
∵△DCE绕D顺时针旋转90°得到△DAE′，
∴CE＝AE′．
∵CE＝CG，
∴CG＝AE′．
∵四边形ABCD是正方形，
∴BE′∥DG，AB＝CD．
∴AB﹣AE′＝CD﹣CG．
即BE′＝DG．
∴四边形E′BGD是平行四边形．

26．（8分）已知：如图，A是⊙O上一点，半径OC的延长线与过点A的直线交于B点，OC＝BC，AC＝OB．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若∠ACD＝45°，OC＝2，求弦CD的长．

【分析】（1）求证：AB是⊙O的切线，可以转化为证∠OAB＝90°的问题来解决．本题应先说明△ACO是等边三角形，则∠O＝60°；又AC＝OB，进而可以得到OA＝AC＝OB，则可知∠B＝30°，即可求出∠OAB＝90°．
（2）作AE⊥CD于点E，CD＝DE+CE，因而就可以转化为求DE，CE的问题，根据勾股定理就可以得到．
【解答】（1）证明：如图，连接OA；
∵OC＝BC，AC＝OB，
∴OC＝BC＝AC＝OA．
∴△ACO是等边三角形．
∴∠O＝∠OCA＝60°，
∵AC＝BC，
∴∠CAB＝∠B，
又∠OCA为△ACB的外角，
∴∠OCA＝∠CAB+∠B＝2∠B，
∴∠B＝30°，又∠OAC＝60°，
∴∠OAB＝90°，
∴AB是⊙O的切线；

（2）解：作AE⊥CD于点E，
∵∠O＝60°，
∴∠D＝30°．
∵∠ACD＝45°，AC＝OC＝2，
∴在Rt△ACE中，CE＝AE＝；
∵∠D＝30°，
∴AD＝2，
∴DE＝AE＝，
∴CD＝DE+CE＝+．

27．（8分）山西转型综合改革示范区的一工厂里，生产的某种产品按供需要求分为十个档次．若生产第一档次（最低档次）的产品，一天可生产76件，每件的利润为10元，每提高一个档次，每件的利润增加2元，每天的产量将减少4件．设产品的档次（每天只生产一个档次的产品）为x，请解答下列问题．
（1）用含x的代数式表示：一天生产的产品件数为　（80﹣4x）　件，每件产品的利润为　（8+2x）　元；
（2）若该产品一天的总利润为1080元，求这天生产产品的档次x的值．
【分析】（1）每件的利润为10+2（x﹣1），生产件数为76﹣4（x﹣1）；
（2）由题意可令y＝1080，求出x的实际值即可．
【解答】解（1）一天生产的产品件数为[76﹣4（x﹣1）]＝（80﹣4x）件，
每件产品的利润为[10+2（x﹣1）]＝（8+2x）元，
故答案为（80﹣4x），（8+2x）；

（2）当利润是1080元时，即：[10+2（x﹣1）][76﹣4（x﹣1）]＝1080，
整理得：﹣8x2+128x+640＝1080，
解得x1＝5，x2＝11，
因为x＝11＞10，不符合题意，舍去．
因此取x＝5，
当生产产品的质量档次是在第5档次时，一天的总利润为1080元．
28．（10分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点左侧，B点的坐标为（4，0），与y轴交于C（0，﹣4）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可；
（2）由于菱形的对角线互相垂直平分，若四边形POP′C为菱形，那么P点必在OC的垂直平分线上，据此可求出P点的纵坐标，代入抛物线的解析式中即可求出P点的坐标．
【解答】解：（1）将B、C两点的坐标代入y＝x2+bx+c得：
，
解得：，
所以二次函数的表达式为：y＝x2﹣3x﹣4；

（2）存在点P，使四边形POP′C为菱形；
设P点坐标为（x，x2﹣3x﹣4），PP′交CO于E
若四边形POP′C是菱形，则有PC＝PO；
如图，连接PP′，则PE⊥CO于E，

∵C（0，﹣4），
∴CO＝4，
又∵OE＝EC，
∴OE＝EC＝2
∴y＝﹣2；
∴x2﹣3x﹣4＝﹣2，
解得：x1＝，x2＝（不合题意，舍去），
∴P点的坐标为（，﹣2）．