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黑龙江省齐齐哈尔市富裕县2021-2022学年九年级上学期期末数学试卷（word版 含答案）
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这是一份黑龙江省齐齐哈尔市富裕县2021-2022学年九年级上学期期末数学试卷（word版 含答案），共29页。
2021-2022学年黑龙江省齐齐哈尔市富裕县九年级（上）期末数学试卷
【解析版】
一、单项选择题（每小题3分，满分30分）
1．（3分）一元二次方程x2﹣16＝0的根是（ ）
A．4 B．﹣4 C．±4 D．16
2．（3分）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的有几个（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（3分）下列事件是必然事件的是（ ）
A．抛一枚硬币正面朝上
B．若a为实数，则a2≥0
C．某运动员射击一次击中靶心
D．明天一定是晴天
4．（3分）方程kx2﹣6x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≤9 B．k≤9且≠0 C．k≠0 D．k＞9
5．（3分）把抛物线y＝x2向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的抛物线解析式是（ ）
A．y＝（x+1）2+3 B．y＝（x+1）2﹣3 C．y＝（x﹣1）2﹣3 D．y＝（x﹣1）2+3
6．（3分）如图所示，以AB为直径的半圆，绕点B顺时针旋转60°，点A旋转到点A′，且AB＝4，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C．8 D．
7．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠ADC＝140°，则∠AOC的度数为（ ）
A．25° B．80° C．130° D．100°
8．（3分）如图所示，圆锥的底面圆的半径为5，母线长为30，一只蜘蛛从底面圆周上一点A出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到A点的最短路程是（ ）
A．8 B． C．30 D．
9．（3分）如图，点D是等边△ABC内一点，AD＝3，BD＝3，CD＝，△ACE是由△ABD绕点A逆时针旋转得到的，则∠ADC的度数是（ ）
A．40° B．45° C．105° D．55°
10．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴为，且经过点（2，0）．下列说法：①abc＜0，②a﹣b＝0，③4a+2b+c＜0，④若（﹣2，y1）是抛物线上的两点，则y1＜y2，其中说法正确的是（ ）
A．①④ B．③④ C．①③④ D．①②
二、填空题（每小题3分，满分21分）
11．（3分）在函数y＝+中，自变量x的取值范围是 ．
12．（3分）抛物线y＝x2﹣2x﹣3的顶点坐标是 ．
13．（3分）智能音箱是市场上最火的智能产品之一，某商户一月份销售了100个智能音箱，三月份比一月份多销售44个，设该公司二、三月销量的月平均增长率为x，则可列方程为 ．
14．（3分）一个不透明的袋子里有3个球（只有颜色不同），其中2个是红球，1个是白球，从中任意摸出1个球，不放回再摸出1个球，则两次摸出的球都是红球的概率是 ．
15．（3分）如图，∠ABC＝90°，O为射线BC上一点，以点O为圆心、BO长为半径作⊙O，当射线BA绕点B按顺时针方向旋转 度时与⊙O相切．
16．（3分）圆锥的母线长为5，高为3，侧面积为 ．
17．（3分）在平面直角坐标系中，若干个边长为1个单位长度的等边三角形，按如图中的规律摆放．点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿着等边三角形的边“OA1→A1A2→A2A3→A3A4→A4A5…”的路线运动，设第n秒运动到点Pn（n为正整数），则点P2021的坐标是 ．
三、解答题（共69分）
18．（5分）计算．
19．（10分）（1）请你用公式法解方程3x2﹣5x﹣8＝0；
（2）请你用因式分解法解方程x2+4x+3＝0．
20．（8分）如图，已知⊙O的直径为AB，AC⊥AB于点A，BC与⊙O相交于点D，在AC上取一点E，使得ED＝EA．
（1）求证：ED是⊙O的切线．
（2）当OA＝3，AE＝4时，求BC的长度．
21．（10分）在一个不透明的纸箱里装有红、黄、蓝三种颜色的小球各一个，现在有甲，乙，丙三个同学，甲先从纸箱里摸取一个小球，记下颜色后放回，乙再摸取，记下颜色后放回，最后丙摸取，记下颜色．
（1）请同学们利用树状图计算三个人摸取的小球颜色相同的概率．
（2）按照以上的摸取方式，如果想使总的可能结果超过100种，至少需要几个人？（直接写出结论即可）
22．（10分）某商场销售一批衬衫，进货价为每件30元，按每件50元出售，一个月内可售出500件．已知这种衬衫每件涨价1元，其销售量要减少10件，
（1）要在一个月内赚取12000元的利润，同时为了减少库存，售价应定为每件多少元？
（2）要想一个月内获得的利润最大，该商场应当如何定价销售？
23．（12分）综合与实践
（1）如图1，在正方形ABCD中，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN＝45°，则MN，AM，CN的数量关系为 ．
（2）如图2，在四边形ABCD中，BC∥AD，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN＝∠ABC，试探索线段MN、AM、CN有怎样的数量关系？请写出猜想，并给予证明．
（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC+∠ADC＝180°，点M、N分别在DA、CD的延长线上，若∠MBN＝∠ABC，试探究线段MN、AM、CN的数量关系为 ．
24．（14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+4x+c（a≠0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接BC，OA＝1，对称轴为x＝2，点D为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上C，D两点之间的距离是 ；
（3）点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE．求△BCE面积的最大值；
（4）平面内存在点Q，使以点B、C、D、Q为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点Q的坐标．
2021-2022学年黑龙江省齐齐哈尔市富裕县九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（每小题3分，满分30分）
1．（3分）一元二次方程x2﹣16＝0的根是（ ）
A．4 B．﹣4 C．±4 D．16
【分析】先移项，再两边开平方即可．
【解答】解：∵x2﹣16＝0，
∴x2＝16，
∴x＝±4，
故选：C．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
2．（3分）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的有几个（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：第一个图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形；
第二个图形是轴对称图形，不是中心对称图形；
第三个图形是轴对称图形，不是中心对称图形；
第四个图形既是中心对称图形又是轴对称图形；
既是中心对称图形又是轴对称图形的有1个，
故选：A．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3．（3分）下列事件是必然事件的是（ ）
A．抛一枚硬币正面朝上
B．若a为实数，则a2≥0
C．某运动员射击一次击中靶心
D．明天一定是晴天
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
【解答】解：A、抛一枚硬币正面朝上是随机事件，故本选项不符合题意；
B、若a为实数，则a2≥0是必然事件，故本选项符合题意；
C、某运动员射击一次击中靶心是随机事件，故本选项不符合题意；
D、明天一定是晴天是随机事件，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
4．（3分）方程kx2﹣6x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≤9 B．k≤9且≠0 C．k≠0 D．k＞9
【分析】由于k的取值范围不能确定，故应分k＝0和k≠0两种情况进行解答：①当k＝0时得x＝；②当k≠0时根据△≥0且k≠0，求得k的取值范围．
【解答】解：①当k＝0时，﹣6x+1＝0，
解得x＝；
②当k≠0时，此方程是一元二次方程，
∵关于x的方程kx2﹣6x+1＝0有实数根，
∴Δ＝（﹣6）2﹣4k≥0，解得k≤9；
故k的取值范围是k≤9．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式，能够分k＝0和k≠0两种情况进行讨论是解决问题的关键．
5．（3分）把抛物线y＝x2向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的抛物线解析式是（ ）
A．y＝（x+1）2+3 B．y＝（x+1）2﹣3 C．y＝（x﹣1）2﹣3 D．y＝（x﹣1）2+3
【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：把抛物线y＝x2向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的抛物线解析式是：y＝（x﹣1）2+3，
故选：D．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
6．（3分）如图所示，以AB为直径的半圆，绕点B顺时针旋转60°，点A旋转到点A′，且AB＝4，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C．8 D．
【分析】根据图形可知，阴影部分的面积是半圆的面积与扇形ABA′的面积之和减去半圆的面积．
【解答】解：由图可得，图中阴影部分的面积为：+×π×22﹣×π×22＝π，
故选：B．
【点评】本题考查扇形面积的计算、旋转的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
7．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠ADC＝140°，则∠AOC的度数为（ ）
A．25° B．80° C．130° D．100°
【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠B的度数，根据圆周角定理计算即可．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠B+∠ADC＝180°，
∵∠ADC＝140°，
∴∠B＝40°，
由圆周角定理得，∠AOC＝2∠B＝80°，
故选：B．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质和圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
8．（3分）如图所示，圆锥的底面圆的半径为5，母线长为30，一只蜘蛛从底面圆周上一点A出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到A点的最短路程是（ ）
A．8 B． C．30 D．
【分析】由于圆锥的底面周长也就是圆锥的侧面展开图的弧长，利用弧长公式即可求得侧面展开图的圆心角，进而构造等边三角形求得相应线段即可．
【解答】解：圆锥的侧面展开图，如图所示：
∵圆锥的底面周长＝2π×5＝10π，
设侧面展开图的圆心角的度数为n．
∴＝10π，
解得n＝60，
∴最短路程为：AA′＝30．
故选：C．
【点评】本题考查的是平面展开﹣最短路径问题，此类问题应先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．
9．（3分）如图，点D是等边△ABC内一点，AD＝3，BD＝3，CD＝，△ACE是由△ABD绕点A逆时针旋转得到的，则∠ADC的度数是（ ）
A．40° B．45° C．105° D．55°
【分析】连接AE，由旋转可知，△ACE≌△ABD；由此可得△ADE是等边三角形，△CDE是等腰直角三角形，由此∠ADE＝60°，∠CDE＝45°，得∠ADC＝105°．
【解答】解：连接DE，
由旋转可知，△ACE≌△ABD，
∴AE＝AD＝3，CE＝BD＝3，CD＝，
∠BAD＝∠CAE，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∴∠BAD+∠DAC＝60°，
∴∠CAE+∠DAC＝60°，即∠DAE＝60°，
∴△DAE是等边三角形，
∴DE＝AD＝3，
∵32+32＝（3）2，
∴DE2+CE2＝CD2，
∴△DEC是直角三角形，且∠DEC＝90°，
∴DE＝CE，∠EDC＝45°，
∴∠ADC＝∠ADE+∠CDE＝105°，
故选：C．
【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．
10．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴为，且经过点（2，0）．下列说法：①abc＜0，②a﹣b＝0，③4a+2b+c＜0，④若（﹣2，y1）是抛物线上的两点，则y1＜y2，其中说法正确的是（ ）
A．①④ B．③④ C．①③④ D．①②
【分析】①根据开出方向、二次函数交y轴正半轴、对称轴为，判断a、b、c的符号；
②根据对称轴为，求出a、b的数量关系；
③根据4a+2b+c可知x＝2时，y＝0；
④先求（﹣2，y1）关于对称轴为的对称点，根据二次函数的递增情况判断．
【解答】解：①∵二次函数开口向下，
∴a＜0，
∵二次函数交y轴正半轴，
∴c＞0，
∵对称轴为，
∴b＞0
∴abc＜0，正确；
②∵﹣＝，
∴b＝﹣a，
∴b+a＝0，
∴②错；
③∵x＝2时，y＝0，即4a+2b+c＝0，
∴③错；
④∵（﹣2，y1）关于对称轴为的对称点为（3，y1），
当x＞时，y随着x的增大而减小，
∵3＞，
∴y1＜y2，
∴④正确；
故选：A．
【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系、二次函数图象上点的坐标特征，会利用对称轴求2a与b的关系，根据二次函数的递增情况判断函数值的大小是解题关键．
二、填空题（每小题3分，满分21分）
11．（3分）在函数y＝+中，自变量x的取值范围是 x≥﹣3，且x≠0 ．
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．
【解答】解：由题意得，x+3＞0，x2≠0，
解得：x≥﹣3，且x≠0．
故答案为：x≥﹣3，且x≠0．
【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
12．（3分）抛物线y＝x2﹣2x﹣3的顶点坐标是 （1，﹣4） ．
【分析】先把原式化为顶点式的形式，再求出其顶点坐标即可．
【解答】解：∵原抛物线可化为：y＝（x﹣1）2﹣4，
∴其顶点坐标为（1，﹣4）．
故答案为：（1，﹣4）．
【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键．
13．（3分）智能音箱是市场上最火的智能产品之一，某商户一月份销售了100个智能音箱，三月份比一月份多销售44个，设该公司二、三月销量的月平均增长率为x，则可列方程为 100（1+x）2＝144 ．
【分析】设月平均增长率为x，根据一月及三月的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设月平均增长率为x，
根据题意得：100（1+x）2＝144．
故答案为：100（1+x）2＝144．
【点评】本题考查了一元二次方程中增长率的知识．增长前的量×（1+年平均增长率）年数＝增长后的量．
14．（3分）一个不透明的袋子里有3个球（只有颜色不同），其中2个是红球，1个是白球，从中任意摸出1个球，不放回再摸出1个球，则两次摸出的球都是红球的概率是 ．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到红球的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，两次都摸到红球的有2种情况，
∴两次都摸到红球的概率为＝．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
15．（3分）如图，∠ABC＝90°，O为射线BC上一点，以点O为圆心、BO长为半径作⊙O，当射线BA绕点B按顺时针方向旋转 60或120 度时与⊙O相切．
【分析】将射线BA绕点B顺时针旋转60°时，记为射线BE，作OD⊥BE，垂足为D，在直角三角形BOD中，证明圆心到直线的距离等于半径即可证得．
【解答】解：射线BA绕点B顺时针旋转60度或120度时与圆O相切．
证明：将射线BA绕点B顺时针旋转60°时，记为射线BE，
作OD⊥BE，垂足为D，
∵在直角三角形BOD中，∠DBO＝∠ABO﹣60°＝30°，
∴OD＝BO，即为⊙O的半径，
∴BE与⊙O相切．
射线BA绕点B顺时针旋转120°时，同理可证．
故答案是：60或120．
【点评】本题主要考查了切线的判定，通过作辅助线转化为解直角三角形是解题的关键．
16．（3分）圆锥的母线长为5，高为3，侧面积为 20π ．
【分析】先利用勾股定理计算出圆锥的底面圆的半径为4，然后利用扇形的面积公式计算该圆锥的侧面积．
【解答】解：圆锥的底面圆的半径为＝4，
所以该圆锥的侧面积＝×2π×4×5＝20π．
故答案为：20π．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
17．（3分）在平面直角坐标系中，若干个边长为1个单位长度的等边三角形，按如图中的规律摆放．点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿着等边三角形的边“OA1→A1A2→A2A3→A3A4→A4A5…”的路线运动，设第n秒运动到点Pn（n为正整数），则点P2021的坐标是 （，﹣） ．
【分析】每6个点的纵坐标规律：，0，，0，﹣，0，点的横坐标规律：，1，，2，，3，…，，即可求解．
【解答】解：每6个点的纵坐标规律：，0，，0，﹣，0，
∵2021÷6＝336…5，
∴点P2021的纵坐标为﹣，
动点P的横坐标规律：，1，，2，，3，…，，
∴点P2021的横坐标为，
∴点P2021的坐标（，﹣），
故答案为（，﹣）．
【点评】本题考查点的规律；理解题意，根据所给图形的特点，结合平面直角坐标系中点的特点及正三角形边的特点，确定点的坐标规律是解题的关键．
三、解答题（共69分）
18．（5分）计算．
【分析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、开方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【解答】解：
＝2+11﹣1﹣（11﹣π）
＝12﹣11+π
＝1+π．
【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
19．（10分）（1）请你用公式法解方程3x2﹣5x﹣8＝0；
（2）请你用因式分解法解方程x2+4x+3＝0．
【分析】（1）先计算出判别式的值，再代入求根公式计算即可；
（2）将左边利用十字相乘法因式分解，继而可得两个关于x的一元一次方程，分别求解即可得出答案．
【解答】解：（1）∵a＝3，b＝﹣5，c＝﹣8，
∴Δ＝（﹣5）2﹣4×3×（﹣8）＝121＞0，
则x＝＝，
∴x1＝，x2＝﹣1；
（2）∵x2+4x+3＝0，
∴（x+1）（x+3）＝0，
∴x+1＝0或x+3＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝﹣3．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
20．（8分）如图，已知⊙O的直径为AB，AC⊥AB于点A，BC与⊙O相交于点D，在AC上取一点E，使得ED＝EA．
（1）求证：ED是⊙O的切线．
（2）当OA＝3，AE＝4时，求BC的长度．
【分析】（1）如图，连接OD．通过证明△AOE≌△DOE得到∠OAE＝∠ODE＝90°，易证得结论；
（2）利用圆周角定理和垂径定理推知OE∥BC，所以根据平行线分线段成比例求得BC的长度即可．
【解答】（1）证明：如图，连接OD．
∵AC⊥AB，
∴∠BAC＝90°，即∠OAE＝90°．
在△AOE与△DOE中，
，
∴△AOE≌△DOE（SSS），
∴∠OAE＝∠ODE＝90°，即OD⊥ED．
又∵OD是⊙O的半径，
∴ED是⊙O的切线；
（2）解：如图，在△OAE中，∠OAE＝90°，OA＝3，AE＝4，
∴由勾股定理易求OE＝5．
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC．
又∵由（1）知，△AOE≌△DOE，
∴∠AEO＝∠DEO，
又∵AE＝DE，
∴OE⊥AD，
∴OE∥BC，
∴＝＝．
BC＝2OE＝10，即BC的长度是10．
【点评】本题考查了切线的判定与性质．解答（2）题时，也可以根据三角形中位线定理来求线段BC的长度．
21．（10分）在一个不透明的纸箱里装有红、黄、蓝三种颜色的小球各一个，现在有甲，乙，丙三个同学，甲先从纸箱里摸取一个小球，记下颜色后放回，乙再摸取，记下颜色后放回，最后丙摸取，记下颜色．
（1）请同学们利用树状图计算三个人摸取的小球颜色相同的概率．
（2）按照以上的摸取方式，如果想使总的可能结果超过100种，至少需要几个人？（直接写出结论即可）
【分析】（1）画出树状图，得出所有等可能的结果数，找出符合条件的情况数，由概率公式即可得出答案；
（2）设有x个同学，根据题意得出3x≥100，求出x的值即可得出答案．
【解答】解：（1）根据题意得：
共有27种等可能的情况数，其中三个人摸取的小球颜色相同的有3种，
则三个人摸取的小球颜色相同的概率是＝；
（2）设有x个同学，根据题意得：
3x≥100，
∵34＝81，35＝243，81＜100＜243，
∴x取最小整数位5，
∴如果想使总的可能结果超过100种，至少需要5个人．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
22．（10分）某商场销售一批衬衫，进货价为每件30元，按每件50元出售，一个月内可售出500件．已知这种衬衫每件涨价1元，其销售量要减少10件，
（1）要在一个月内赚取12000元的利润，同时为了减少库存，售价应定为每件多少元？
（2）要想一个月内获得的利润最大，该商场应当如何定价销售？
【分析】（1）根据题意和题目中的数据，可以列出相应的方程，然后求解即可，注意题目中要减少库存，也就是说售价要想对低的，这样才会多卖出一些衬衫，减少库存；
（2）根据题意，可以写出利润和售价之间的函数关系式，然后化为顶点式，再根据二次函数的性质，即可得到取得最大利润时的收件．
【解答】解：（1）设售价应定为每件x元，
由题意可得：（x﹣30）[500﹣（x﹣50）×10]＝12000，
解得x1＝60，x2＝70，
∵要减少库存，
∴x＝60，
答：售价应定为每件60元；
（2）设利润为w元，售价为每件a元，
由题意可得：w＝（a﹣30）[500﹣（a﹣50）×10]＝﹣10（a﹣65）2+12250，
∴当a＝65时，w取得最大值，此时w＝12250，
答：要想一个月内获得的利润最大，该商场售价为每件65元．
【点评】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程、写出相应的二次函数解析式，利用二次函数的性质求最值．
23．（12分）综合与实践
（1）如图1，在正方形ABCD中，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN＝45°，则MN，AM，CN的数量关系为 MN＝AM+CN ．
（2）如图2，在四边形ABCD中，BC∥AD，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN＝∠ABC，试探索线段MN、AM、CN有怎样的数量关系？请写出猜想，并给予证明．
（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC+∠ADC＝180°，点M、N分别在DA、CD的延长线上，若∠MBN＝∠ABC，试探究线段MN、AM、CN的数量关系为 MN＝CN﹣AM ．
【分析】（1）如图1中，把△ABM绕点B顺时针旋转使AB边与BC边重合，则△ABM≌△CBM′，证明△NBM≌△NBM′（SAS），可得结论；
（2）先判定梯形ABCD是等腰梯形，根据等腰梯形的性质可得∠A+∠BCD＝180°，再把△ABM绕点B顺时针旋转90°，点A与点C重合，点M到达点M′，根据旋转变换的性质，△ABM和△CBM′全等，根据全等三角形对应边相等可得AM＝CM′，BM＝BM′，根据全等三角形对应角相等可得∠A＝∠BCM′，∠ABM＝∠M′BC，然后证明M′、C、N三点共线，再利用“边角边”证明△BMN和△BM′N全等，然后根据全等三角形对应边相等即可得证；
（3）在∠CBN内部作∠CBM′＝∠ABM交CN于点M′，然后证明∠C＝∠BAM，再利用“角边角”证明△ABM和△CBM′全等，根据全等三角形对应边相等可得AM＝CM′，BM＝BM′，再证明∠MBN＝∠M′BN，利用“边角边”证明△MBN和△M′BN全等，根据全等三角形对应边相等可得MN＝M′N，从而得到MN＝CN﹣AM．
【解答】解：（1）结论：MN＝AM+CN．
理由：如图1中，把△ABM绕点B顺时针旋转使AB边与BC边重合，则△ABM≌△CBM′，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠BCD＝∠ABC＝∠BCM′＝90°，
∴∠NCM′＝180°，
∴N，C，M′共线，
∵∠ABM＝∠CBM′，
∴∠MBM′＝∠ABC＝90°，
∵∠MBN＝45°，
∴∠MBN＝∠M′BN＝45°，
在△BNM和△BNM′中，
，
∴△NBM≌△NBM′（SAS），
∴MN＝NM′，
∵AM＝CM′，
∴MN＝AM+CN．
故答案为：MN＝AM+CN；
（2）结论：MN＝AM+CN．
理由：如图2中，把△ABM绕点B顺时针旋转使AB边与BC边重合，则△ABM≌△CBM′，
∵BC∥AD，AB＝BC＝CD，
∴梯形ABCD是等腰梯形，
∴∠A+∠BCD＝180°，
∴AM＝CM′，BM＝BM′，∠A＝∠BCM′，∠ABM＝∠M′BC，
∴∠BCM′+∠BCD＝180°，
∴点M′、C、N三点共线，
∵∠MBN＝∠ABC，
∴∠M′BN＝∠M′BC+∠CBN＝∠ABM+∠CBN＝∠ABC﹣∠MBN＝∠ABC，
∴∠MBN＝∠M′BN，
在△BMN和△BM′N中，
，
∴△BMN≌△BM′N（SAS），
∴MN＝M′N，
又∵M′N＝CM′+CN＝AM+CN，
∴MN＝AM+CN；
（3）结论：MN＝CN﹣AM．
理由：如图3中，作∠CBM′＝∠ABM交CN于点M′，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠BAD+∠C＝360°﹣180°＝180°，
又∵∠BAD+∠BAM＝180°，
∴∠C＝∠BAM，
在△ABM和△CBM′中，
，
∴△ABM≌△CBM′（ASA），
∴AM＝CM′，BM＝BM′，
∵∠MBN＝∠ABC，
∴∠M′BN＝∠ABC﹣（∠ABN+∠CBM′）＝∠ABC﹣（∠ABN+∠ABM）＝∠ABC﹣∠MBN＝∠ABC，
∴∠MBN＝∠M′BN，
在△MBN和△M′BN中，
，
∴△MBN≌△M′BN（SAS），
∴MN＝M′N，
∵M′N＝CN﹣CM′＝CN﹣AM，
∴MN＝CN﹣AM．
故答案为：MN＝CN﹣AM．
【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰梯形的两底角互补，利用旋转变换作辅助线，构造出全等三角形，把MN、AM、CN通过等量转化到两个全等三角形的对应边是解题的关键，本题灵活性较强，对同学们的能力要求较高．
24．（14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+4x+c（a≠0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接BC，OA＝1，对称轴为x＝2，点D为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上C，D两点之间的距离是 2 ；
（3）点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE．求△BCE面积的最大值；
（4）平面内存在点Q，使以点B、C、D、Q为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点Q的坐标．
【分析】（1）将A（﹣1，0），B（5，0）代入y＝ax2+4x+c，即可求函数解析式；
（2）求出C（0，5），D（2，9），即可求CD的长；
（3）先求直线BC的解析式为y＝﹣x+5，过点E作EF⊥x轴交直线BC于点F，设E（t，﹣t2+4t+5），则F（t，﹣t+5），则S△BCE＝﹣（t﹣）2+，所以当t＝时，S△BCE有最大值；
（4）设Q（m，n），分三种情况讨论：①当BD为平行四边形对角线时，BD的中点（，），CQ的中点（，），由中点重合可得Q（7，4）；②当BC为平行四边形对角线时，BC的中点（，），DQ的中点（，），由中点重合可得Q（3，4）；③当BQ为平行四边形对角线时，BQ的中点（，），CD的中点（1，7），由中点重合可得Q（﹣3，14）．
【解答】解：（1）∵OA＝1，
∴A（﹣1，0），
∵对称轴为x＝2，
∴B（5，0），
将A（﹣1，0），B（5，0）代入y＝ax2+4x+c，
∴，
∴，
∴y＝﹣x2+4x+5；
（2）令x＝0，则y＝5，
∴C（0，5），
∵y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，
∴D（2，9），
∴CD＝2，
故答案为：2；
（3）设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴y＝﹣x+5，
过点E作EF⊥x轴交直线BC于点F，
设E（t，﹣t2+4t+5），则F（t，﹣t+5），
∴EF＝﹣t2+5t，
∴S△BCE＝×5×（﹣t2+5t）＝﹣（t﹣）2+，
∴当t＝时，S△BCE有最大值；
（4）设Q（m，n），
①当BD为平行四边形对角线时，
BD的中点（，），CQ的中点（，），
∴＝，＝，
∴m＝7，n＝4，
∴Q（7，4）；
②当BC为平行四边形对角线时，
BC的中点（，），DQ的中点（，），
∴＝，＝，
∴m＝3，n＝4，
∴Q（3，4）；
③当BQ为平行四边形对角线时，
BQ的中点（，），CD的中点（1，7），
∴＝1，＝7，
∴m＝﹣3，n＝14，
∴Q（﹣3，14）；
综上所述：Q点坐标为（7，4）或（3，4）或（﹣3，14）．
【点评】本题考查二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质，分类讨论是解题的关键．
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日期：2022/1/9 7:30:19；用户：试用；邮箱：zssxcj@xyh.com；学号：23997208
2021-2022学年黑龙江省齐齐哈尔市富裕县九年级（上）期末数学试卷
【解析版】
一、单项选择题（每小题3分，满分30分）
1．（3分）一元二次方程x2﹣16＝0的根是（ ）
A．4 B．﹣4 C．±4 D．16
2．（3分）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的有几个（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（3分）下列事件是必然事件的是（ ）
A．抛一枚硬币正面朝上
B．若a为实数，则a2≥0
C．某运动员射击一次击中靶心
D．明天一定是晴天
4．（3分）方程kx2﹣6x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≤9 B．k≤9且≠0 C．k≠0 D．k＞9
5．（3分）把抛物线y＝x2向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的抛物线解析式是（ ）
A．y＝（x+1）2+3 B．y＝（x+1）2﹣3 C．y＝（x﹣1）2﹣3 D．y＝（x﹣1）2+3
6．（3分）如图所示，以AB为直径的半圆，绕点B顺时针旋转60°，点A旋转到点A′，且AB＝4，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C．8 D．
7．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠ADC＝140°，则∠AOC的度数为（ ）
A．25° B．80° C．130° D．100°
8．（3分）如图所示，圆锥的底面圆的半径为5，母线长为30，一只蜘蛛从底面圆周上一点A出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到A点的最短路程是（ ）
A．8 B． C．30 D．
9．（3分）如图，点D是等边△ABC内一点，AD＝3，BD＝3，CD＝，△ACE是由△ABD绕点A逆时针旋转得到的，则∠ADC的度数是（ ）
A．40° B．45° C．105° D．55°
10．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴为，且经过点（2，0）．下列说法：①abc＜0，②a﹣b＝0，③4a+2b+c＜0，④若（﹣2，y1）是抛物线上的两点，则y1＜y2，其中说法正确的是（ ）
A．①④ B．③④ C．①③④ D．①②
二、填空题（每小题3分，满分21分）
11．（3分）在函数y＝+中，自变量x的取值范围是 ．
12．（3分）抛物线y＝x2﹣2x﹣3的顶点坐标是 ．
13．（3分）智能音箱是市场上最火的智能产品之一，某商户一月份销售了100个智能音箱，三月份比一月份多销售44个，设该公司二、三月销量的月平均增长率为x，则可列方程为 ．
14．（3分）一个不透明的袋子里有3个球（只有颜色不同），其中2个是红球，1个是白球，从中任意摸出1个球，不放回再摸出1个球，则两次摸出的球都是红球的概率是 ．
15．（3分）如图，∠ABC＝90°，O为射线BC上一点，以点O为圆心、BO长为半径作⊙O，当射线BA绕点B按顺时针方向旋转 度时与⊙O相切．
16．（3分）圆锥的母线长为5，高为3，侧面积为 ．
17．（3分）在平面直角坐标系中，若干个边长为1个单位长度的等边三角形，按如图中的规律摆放．点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿着等边三角形的边“OA1→A1A2→A2A3→A3A4→A4A5…”的路线运动，设第n秒运动到点Pn（n为正整数），则点P2021的坐标是 ．
三、解答题（共69分）
18．（5分）计算．
19．（10分）（1）请你用公式法解方程3x2﹣5x﹣8＝0；
（2）请你用因式分解法解方程x2+4x+3＝0．
20．（8分）如图，已知⊙O的直径为AB，AC⊥AB于点A，BC与⊙O相交于点D，在AC上取一点E，使得ED＝EA．
（1）求证：ED是⊙O的切线．
（2）当OA＝3，AE＝4时，求BC的长度．
21．（10分）在一个不透明的纸箱里装有红、黄、蓝三种颜色的小球各一个，现在有甲，乙，丙三个同学，甲先从纸箱里摸取一个小球，记下颜色后放回，乙再摸取，记下颜色后放回，最后丙摸取，记下颜色．
（1）请同学们利用树状图计算三个人摸取的小球颜色相同的概率．
（2）按照以上的摸取方式，如果想使总的可能结果超过100种，至少需要几个人？（直接写出结论即可）
22．（10分）某商场销售一批衬衫，进货价为每件30元，按每件50元出售，一个月内可售出500件．已知这种衬衫每件涨价1元，其销售量要减少10件，
（1）要在一个月内赚取12000元的利润，同时为了减少库存，售价应定为每件多少元？
（2）要想一个月内获得的利润最大，该商场应当如何定价销售？
23．（12分）综合与实践
（1）如图1，在正方形ABCD中，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN＝45°，则MN，AM，CN的数量关系为 ．
（2）如图2，在四边形ABCD中，BC∥AD，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN＝∠ABC，试探索线段MN、AM、CN有怎样的数量关系？请写出猜想，并给予证明．
（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC+∠ADC＝180°，点M、N分别在DA、CD的延长线上，若∠MBN＝∠ABC，试探究线段MN、AM、CN的数量关系为 ．
24．（14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+4x+c（a≠0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接BC，OA＝1，对称轴为x＝2，点D为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上C，D两点之间的距离是 ；
（3）点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE．求△BCE面积的最大值；
（4）平面内存在点Q，使以点B、C、D、Q为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点Q的坐标．
2021-2022学年黑龙江省齐齐哈尔市富裕县九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（每小题3分，满分30分）
1．（3分）一元二次方程x2﹣16＝0的根是（ ）
A．4 B．﹣4 C．±4 D．16
【分析】先移项，再两边开平方即可．
【解答】解：∵x2﹣16＝0，
∴x2＝16，
∴x＝±4，
故选：C．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
2．（3分）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的有几个（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：第一个图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形；
第二个图形是轴对称图形，不是中心对称图形；
第三个图形是轴对称图形，不是中心对称图形；
第四个图形既是中心对称图形又是轴对称图形；
既是中心对称图形又是轴对称图形的有1个，
故选：A．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3．（3分）下列事件是必然事件的是（ ）
A．抛一枚硬币正面朝上
B．若a为实数，则a2≥0
C．某运动员射击一次击中靶心
D．明天一定是晴天
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
【解答】解：A、抛一枚硬币正面朝上是随机事件，故本选项不符合题意；
B、若a为实数，则a2≥0是必然事件，故本选项符合题意；
C、某运动员射击一次击中靶心是随机事件，故本选项不符合题意；
D、明天一定是晴天是随机事件，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
4．（3分）方程kx2﹣6x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≤9 B．k≤9且≠0 C．k≠0 D．k＞9
【分析】由于k的取值范围不能确定，故应分k＝0和k≠0两种情况进行解答：①当k＝0时得x＝；②当k≠0时根据△≥0且k≠0，求得k的取值范围．
【解答】解：①当k＝0时，﹣6x+1＝0，
解得x＝；
②当k≠0时，此方程是一元二次方程，
∵关于x的方程kx2﹣6x+1＝0有实数根，
∴Δ＝（﹣6）2﹣4k≥0，解得k≤9；
故k的取值范围是k≤9．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式，能够分k＝0和k≠0两种情况进行讨论是解决问题的关键．
5．（3分）把抛物线y＝x2向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的抛物线解析式是（ ）
A．y＝（x+1）2+3 B．y＝（x+1）2﹣3 C．y＝（x﹣1）2﹣3 D．y＝（x﹣1）2+3
【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：把抛物线y＝x2向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的抛物线解析式是：y＝（x﹣1）2+3，
故选：D．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
6．（3分）如图所示，以AB为直径的半圆，绕点B顺时针旋转60°，点A旋转到点A′，且AB＝4，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C．8 D．
【分析】根据图形可知，阴影部分的面积是半圆的面积与扇形ABA′的面积之和减去半圆的面积．
【解答】解：由图可得，图中阴影部分的面积为：+×π×22﹣×π×22＝π，
故选：B．
【点评】本题考查扇形面积的计算、旋转的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
7．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠ADC＝140°，则∠AOC的度数为（ ）
A．25° B．80° C．130° D．100°
【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠B的度数，根据圆周角定理计算即可．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠B+∠ADC＝180°，
∵∠ADC＝140°，
∴∠B＝40°，
由圆周角定理得，∠AOC＝2∠B＝80°，
故选：B．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质和圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
8．（3分）如图所示，圆锥的底面圆的半径为5，母线长为30，一只蜘蛛从底面圆周上一点A出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到A点的最短路程是（ ）
A．8 B． C．30 D．
【分析】由于圆锥的底面周长也就是圆锥的侧面展开图的弧长，利用弧长公式即可求得侧面展开图的圆心角，进而构造等边三角形求得相应线段即可．
【解答】解：圆锥的侧面展开图，如图所示：
∵圆锥的底面周长＝2π×5＝10π，
设侧面展开图的圆心角的度数为n．
∴＝10π，
解得n＝60，
∴最短路程为：AA′＝30．
故选：C．
【点评】本题考查的是平面展开﹣最短路径问题，此类问题应先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．
9．（3分）如图，点D是等边△ABC内一点，AD＝3，BD＝3，CD＝，△ACE是由△ABD绕点A逆时针旋转得到的，则∠ADC的度数是（ ）
A．40° B．45° C．105° D．55°
【分析】连接AE，由旋转可知，△ACE≌△ABD；由此可得△ADE是等边三角形，△CDE是等腰直角三角形，由此∠ADE＝60°，∠CDE＝45°，得∠ADC＝105°．
【解答】解：连接DE，
由旋转可知，△ACE≌△ABD，
∴AE＝AD＝3，CE＝BD＝3，CD＝，
∠BAD＝∠CAE，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∴∠BAD+∠DAC＝60°，
∴∠CAE+∠DAC＝60°，即∠DAE＝60°，
∴△DAE是等边三角形，
∴DE＝AD＝3，
∵32+32＝（3）2，
∴DE2+CE2＝CD2，
∴△DEC是直角三角形，且∠DEC＝90°，
∴DE＝CE，∠EDC＝45°，
∴∠ADC＝∠ADE+∠CDE＝105°，
故选：C．
【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．
10．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴为，且经过点（2，0）．下列说法：①abc＜0，②a﹣b＝0，③4a+2b+c＜0，④若（﹣2，y1）是抛物线上的两点，则y1＜y2，其中说法正确的是（ ）
A．①④ B．③④ C．①③④ D．①②
【分析】①根据开出方向、二次函数交y轴正半轴、对称轴为，判断a、b、c的符号；
②根据对称轴为，求出a、b的数量关系；
③根据4a+2b+c可知x＝2时，y＝0；
④先求（﹣2，y1）关于对称轴为的对称点，根据二次函数的递增情况判断．
【解答】解：①∵二次函数开口向下，
∴a＜0，
∵二次函数交y轴正半轴，
∴c＞0，
∵对称轴为，
∴b＞0
∴abc＜0，正确；
②∵﹣＝，
∴b＝﹣a，
∴b+a＝0，
∴②错；
③∵x＝2时，y＝0，即4a+2b+c＝0，
∴③错；
④∵（﹣2，y1）关于对称轴为的对称点为（3，y1），
当x＞时，y随着x的增大而减小，
∵3＞，
∴y1＜y2，
∴④正确；
故选：A．
【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系、二次函数图象上点的坐标特征，会利用对称轴求2a与b的关系，根据二次函数的递增情况判断函数值的大小是解题关键．
二、填空题（每小题3分，满分21分）
11．（3分）在函数y＝+中，自变量x的取值范围是 x≥﹣3，且x≠0 ．
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．
【解答】解：由题意得，x+3＞0，x2≠0，
解得：x≥﹣3，且x≠0．
故答案为：x≥﹣3，且x≠0．
【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
12．（3分）抛物线y＝x2﹣2x﹣3的顶点坐标是 （1，﹣4） ．
【分析】先把原式化为顶点式的形式，再求出其顶点坐标即可．
【解答】解：∵原抛物线可化为：y＝（x﹣1）2﹣4，
∴其顶点坐标为（1，﹣4）．
故答案为：（1，﹣4）．
【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键．
13．（3分）智能音箱是市场上最火的智能产品之一，某商户一月份销售了100个智能音箱，三月份比一月份多销售44个，设该公司二、三月销量的月平均增长率为x，则可列方程为 100（1+x）2＝144 ．
【分析】设月平均增长率为x，根据一月及三月的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设月平均增长率为x，
根据题意得：100（1+x）2＝144．
故答案为：100（1+x）2＝144．
【点评】本题考查了一元二次方程中增长率的知识．增长前的量×（1+年平均增长率）年数＝增长后的量．
14．（3分）一个不透明的袋子里有3个球（只有颜色不同），其中2个是红球，1个是白球，从中任意摸出1个球，不放回再摸出1个球，则两次摸出的球都是红球的概率是 ．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到红球的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，两次都摸到红球的有2种情况，
∴两次都摸到红球的概率为＝．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
15．（3分）如图，∠ABC＝90°，O为射线BC上一点，以点O为圆心、BO长为半径作⊙O，当射线BA绕点B按顺时针方向旋转 60或120 度时与⊙O相切．
【分析】将射线BA绕点B顺时针旋转60°时，记为射线BE，作OD⊥BE，垂足为D，在直角三角形BOD中，证明圆心到直线的距离等于半径即可证得．
【解答】解：射线BA绕点B顺时针旋转60度或120度时与圆O相切．
证明：将射线BA绕点B顺时针旋转60°时，记为射线BE，
作OD⊥BE，垂足为D，
∵在直角三角形BOD中，∠DBO＝∠ABO﹣60°＝30°，
∴OD＝BO，即为⊙O的半径，
∴BE与⊙O相切．
射线BA绕点B顺时针旋转120°时，同理可证．
故答案是：60或120．
【点评】本题主要考查了切线的判定，通过作辅助线转化为解直角三角形是解题的关键．
16．（3分）圆锥的母线长为5，高为3，侧面积为 20π ．
【分析】先利用勾股定理计算出圆锥的底面圆的半径为4，然后利用扇形的面积公式计算该圆锥的侧面积．
【解答】解：圆锥的底面圆的半径为＝4，
所以该圆锥的侧面积＝×2π×4×5＝20π．
故答案为：20π．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
17．（3分）在平面直角坐标系中，若干个边长为1个单位长度的等边三角形，按如图中的规律摆放．点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿着等边三角形的边“OA1→A1A2→A2A3→A3A4→A4A5…”的路线运动，设第n秒运动到点Pn（n为正整数），则点P2021的坐标是 （，﹣） ．
【分析】每6个点的纵坐标规律：，0，，0，﹣，0，点的横坐标规律：，1，，2，，3，…，，即可求解．
【解答】解：每6个点的纵坐标规律：，0，，0，﹣，0，
∵2021÷6＝336…5，
∴点P2021的纵坐标为﹣，
动点P的横坐标规律：，1，，2，，3，…，，
∴点P2021的横坐标为，
∴点P2021的坐标（，﹣），
故答案为（，﹣）．
【点评】本题考查点的规律；理解题意，根据所给图形的特点，结合平面直角坐标系中点的特点及正三角形边的特点，确定点的坐标规律是解题的关键．
三、解答题（共69分）
18．（5分）计算．
【分析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、开方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【解答】解：
＝2+11﹣1﹣（11﹣π）
＝12﹣11+π
＝1+π．
【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
19．（10分）（1）请你用公式法解方程3x2﹣5x﹣8＝0；
（2）请你用因式分解法解方程x2+4x+3＝0．
【分析】（1）先计算出判别式的值，再代入求根公式计算即可；
（2）将左边利用十字相乘法因式分解，继而可得两个关于x的一元一次方程，分别求解即可得出答案．
【解答】解：（1）∵a＝3，b＝﹣5，c＝﹣8，
∴Δ＝（﹣5）2﹣4×3×（﹣8）＝121＞0，
则x＝＝，
∴x1＝，x2＝﹣1；
（2）∵x2+4x+3＝0，
∴（x+1）（x+3）＝0，
∴x+1＝0或x+3＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝﹣3．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
20．（8分）如图，已知⊙O的直径为AB，AC⊥AB于点A，BC与⊙O相交于点D，在AC上取一点E，使得ED＝EA．
（1）求证：ED是⊙O的切线．
（2）当OA＝3，AE＝4时，求BC的长度．
【分析】（1）如图，连接OD．通过证明△AOE≌△DOE得到∠OAE＝∠ODE＝90°，易证得结论；
（2）利用圆周角定理和垂径定理推知OE∥BC，所以根据平行线分线段成比例求得BC的长度即可．
【解答】（1）证明：如图，连接OD．
∵AC⊥AB，
∴∠BAC＝90°，即∠OAE＝90°．
在△AOE与△DOE中，
，
∴△AOE≌△DOE（SSS），
∴∠OAE＝∠ODE＝90°，即OD⊥ED．
又∵OD是⊙O的半径，
∴ED是⊙O的切线；
（2）解：如图，在△OAE中，∠OAE＝90°，OA＝3，AE＝4，
∴由勾股定理易求OE＝5．
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC．
又∵由（1）知，△AOE≌△DOE，
∴∠AEO＝∠DEO，
又∵AE＝DE，
∴OE⊥AD，
∴OE∥BC，
∴＝＝．
BC＝2OE＝10，即BC的长度是10．
【点评】本题考查了切线的判定与性质．解答（2）题时，也可以根据三角形中位线定理来求线段BC的长度．
21．（10分）在一个不透明的纸箱里装有红、黄、蓝三种颜色的小球各一个，现在有甲，乙，丙三个同学，甲先从纸箱里摸取一个小球，记下颜色后放回，乙再摸取，记下颜色后放回，最后丙摸取，记下颜色．
（1）请同学们利用树状图计算三个人摸取的小球颜色相同的概率．
（2）按照以上的摸取方式，如果想使总的可能结果超过100种，至少需要几个人？（直接写出结论即可）
【分析】（1）画出树状图，得出所有等可能的结果数，找出符合条件的情况数，由概率公式即可得出答案；
（2）设有x个同学，根据题意得出3x≥100，求出x的值即可得出答案．
【解答】解：（1）根据题意得：
共有27种等可能的情况数，其中三个人摸取的小球颜色相同的有3种，
则三个人摸取的小球颜色相同的概率是＝；
（2）设有x个同学，根据题意得：
3x≥100，
∵34＝81，35＝243，81＜100＜243，
∴x取最小整数位5，
∴如果想使总的可能结果超过100种，至少需要5个人．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
22．（10分）某商场销售一批衬衫，进货价为每件30元，按每件50元出售，一个月内可售出500件．已知这种衬衫每件涨价1元，其销售量要减少10件，
（1）要在一个月内赚取12000元的利润，同时为了减少库存，售价应定为每件多少元？
（2）要想一个月内获得的利润最大，该商场应当如何定价销售？
【分析】（1）根据题意和题目中的数据，可以列出相应的方程，然后求解即可，注意题目中要减少库存，也就是说售价要想对低的，这样才会多卖出一些衬衫，减少库存；
（2）根据题意，可以写出利润和售价之间的函数关系式，然后化为顶点式，再根据二次函数的性质，即可得到取得最大利润时的收件．
【解答】解：（1）设售价应定为每件x元，
由题意可得：（x﹣30）[500﹣（x﹣50）×10]＝12000，
解得x1＝60，x2＝70，
∵要减少库存，
∴x＝60，
答：售价应定为每件60元；
（2）设利润为w元，售价为每件a元，
由题意可得：w＝（a﹣30）[500﹣（a﹣50）×10]＝﹣10（a﹣65）2+12250，
∴当a＝65时，w取得最大值，此时w＝12250，
答：要想一个月内获得的利润最大，该商场售价为每件65元．
【点评】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程、写出相应的二次函数解析式，利用二次函数的性质求最值．
23．（12分）综合与实践
（1）如图1，在正方形ABCD中，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN＝45°，则MN，AM，CN的数量关系为 MN＝AM+CN ．
（2）如图2，在四边形ABCD中，BC∥AD，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN＝∠ABC，试探索线段MN、AM、CN有怎样的数量关系？请写出猜想，并给予证明．
（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC+∠ADC＝180°，点M、N分别在DA、CD的延长线上，若∠MBN＝∠ABC，试探究线段MN、AM、CN的数量关系为 MN＝CN﹣AM ．
【分析】（1）如图1中，把△ABM绕点B顺时针旋转使AB边与BC边重合，则△ABM≌△CBM′，证明△NBM≌△NBM′（SAS），可得结论；
（2）先判定梯形ABCD是等腰梯形，根据等腰梯形的性质可得∠A+∠BCD＝180°，再把△ABM绕点B顺时针旋转90°，点A与点C重合，点M到达点M′，根据旋转变换的性质，△ABM和△CBM′全等，根据全等三角形对应边相等可得AM＝CM′，BM＝BM′，根据全等三角形对应角相等可得∠A＝∠BCM′，∠ABM＝∠M′BC，然后证明M′、C、N三点共线，再利用“边角边”证明△BMN和△BM′N全等，然后根据全等三角形对应边相等即可得证；
（3）在∠CBN内部作∠CBM′＝∠ABM交CN于点M′，然后证明∠C＝∠BAM，再利用“角边角”证明△ABM和△CBM′全等，根据全等三角形对应边相等可得AM＝CM′，BM＝BM′，再证明∠MBN＝∠M′BN，利用“边角边”证明△MBN和△M′BN全等，根据全等三角形对应边相等可得MN＝M′N，从而得到MN＝CN﹣AM．
【解答】解：（1）结论：MN＝AM+CN．
理由：如图1中，把△ABM绕点B顺时针旋转使AB边与BC边重合，则△ABM≌△CBM′，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠BCD＝∠ABC＝∠BCM′＝90°，
∴∠NCM′＝180°，
∴N，C，M′共线，
∵∠ABM＝∠CBM′，
∴∠MBM′＝∠ABC＝90°，
∵∠MBN＝45°，
∴∠MBN＝∠M′BN＝45°，
在△BNM和△BNM′中，
，
∴△NBM≌△NBM′（SAS），
∴MN＝NM′，
∵AM＝CM′，
∴MN＝AM+CN．
故答案为：MN＝AM+CN；
（2）结论：MN＝AM+CN．
理由：如图2中，把△ABM绕点B顺时针旋转使AB边与BC边重合，则△ABM≌△CBM′，
∵BC∥AD，AB＝BC＝CD，
∴梯形ABCD是等腰梯形，
∴∠A+∠BCD＝180°，
∴AM＝CM′，BM＝BM′，∠A＝∠BCM′，∠ABM＝∠M′BC，
∴∠BCM′+∠BCD＝180°，
∴点M′、C、N三点共线，
∵∠MBN＝∠ABC，
∴∠M′BN＝∠M′BC+∠CBN＝∠ABM+∠CBN＝∠ABC﹣∠MBN＝∠ABC，
∴∠MBN＝∠M′BN，
在△BMN和△BM′N中，
，
∴△BMN≌△BM′N（SAS），
∴MN＝M′N，
又∵M′N＝CM′+CN＝AM+CN，
∴MN＝AM+CN；
（3）结论：MN＝CN﹣AM．
理由：如图3中，作∠CBM′＝∠ABM交CN于点M′，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠BAD+∠C＝360°﹣180°＝180°，
又∵∠BAD+∠BAM＝180°，
∴∠C＝∠BAM，
在△ABM和△CBM′中，
，
∴△ABM≌△CBM′（ASA），
∴AM＝CM′，BM＝BM′，
∵∠MBN＝∠ABC，
∴∠M′BN＝∠ABC﹣（∠ABN+∠CBM′）＝∠ABC﹣（∠ABN+∠ABM）＝∠ABC﹣∠MBN＝∠ABC，
∴∠MBN＝∠M′BN，
在△MBN和△M′BN中，
，
∴△MBN≌△M′BN（SAS），
∴MN＝M′N，
∵M′N＝CN﹣CM′＝CN﹣AM，
∴MN＝CN﹣AM．
故答案为：MN＝CN﹣AM．
【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰梯形的两底角互补，利用旋转变换作辅助线，构造出全等三角形，把MN、AM、CN通过等量转化到两个全等三角形的对应边是解题的关键，本题灵活性较强，对同学们的能力要求较高．
24．（14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+4x+c（a≠0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接BC，OA＝1，对称轴为x＝2，点D为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上C，D两点之间的距离是 2 ；
（3）点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE．求△BCE面积的最大值；
（4）平面内存在点Q，使以点B、C、D、Q为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点Q的坐标．
【分析】（1）将A（﹣1，0），B（5，0）代入y＝ax2+4x+c，即可求函数解析式；
（2）求出C（0，5），D（2，9），即可求CD的长；
（3）先求直线BC的解析式为y＝﹣x+5，过点E作EF⊥x轴交直线BC于点F，设E（t，﹣t2+4t+5），则F（t，﹣t+5），则S△BCE＝﹣（t﹣）2+，所以当t＝时，S△BCE有最大值；
（4）设Q（m，n），分三种情况讨论：①当BD为平行四边形对角线时，BD的中点（，），CQ的中点（，），由中点重合可得Q（7，4）；②当BC为平行四边形对角线时，BC的中点（，），DQ的中点（，），由中点重合可得Q（3，4）；③当BQ为平行四边形对角线时，BQ的中点（，），CD的中点（1，7），由中点重合可得Q（﹣3，14）．
【解答】解：（1）∵OA＝1，
∴A（﹣1，0），
∵对称轴为x＝2，
∴B（5，0），
将A（﹣1，0），B（5，0）代入y＝ax2+4x+c，
∴，
∴，
∴y＝﹣x2+4x+5；
（2）令x＝0，则y＝5，
∴C（0，5），
∵y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，
∴D（2，9），
∴CD＝2，
故答案为：2；
（3）设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴y＝﹣x+5，
过点E作EF⊥x轴交直线BC于点F，
设E（t，﹣t2+4t+5），则F（t，﹣t+5），
∴EF＝﹣t2+5t，
∴S△BCE＝×5×（﹣t2+5t）＝﹣（t﹣）2+，
∴当t＝时，S△BCE有最大值；
（4）设Q（m，n），
①当BD为平行四边形对角线时，
BD的中点（，），CQ的中点（，），
∴＝，＝，
∴m＝7，n＝4，
∴Q（7，4）；
②当BC为平行四边形对角线时，
BC的中点（，），DQ的中点（，），
∴＝，＝，
∴m＝3，n＝4，
∴Q（3，4）；
③当BQ为平行四边形对角线时，
BQ的中点（，），CD的中点（1，7），
∴＝1，＝7，
∴m＝﹣3，n＝14，
∴Q（﹣3，14）；
综上所述：Q点坐标为（7，4）或（3，4）或（﹣3，14）．
【点评】本题考查二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质，分类讨论是解题的关键．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2022/1/9 7:30:19；用户：试用；邮箱：zssxcj@xyh.com；学号：23997208
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