专题17 等腰、等边三角形（讲通）-【讲通练透】2023中考数学一轮（全国通用）

专题17 等腰、等边三角形

1.了解等腰三角形、等边三角形的概念，会识别这二种图形；

2.理解等腰三角形、等边三角形的性质和判定；

3.能用等腰三角形、等边三角形的性质和判定解决简单问题；

4.了解直角三角形的概念，并理解直角三角形的性质和判定；

一、等腰、等边三角形

1.等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.

2.性质：
(1)具有三角形的一切性质.
(2)两底角相等(等边对等角)
(3)顶角的平分线，底边中线，底边上的高互相重合(三线合一)
(4)等边三角形的各角都相等，且都等于60°.
3.判定：
(1)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)；
(2)三个角都相等的三角形是等边三角形；
(3)有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形.
特别提醒：(1)腰、底、顶角、底角是等腰三角形特有的概念；
(2)等边三角形是特殊的等腰三角形.
例1．如图，等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于(    )
A.顶角的2倍 　　　B.顶角的一半 　　　C.顶角 　　　D.底角的一半
　　　　                      　

【答案】B.

【解析】如图，△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，所以∠ABC=∠C，∠BDC=90°，所以∠DBC=90°-∠C=

90°-(180-∠A)= ∠A，

例2．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC=∠E=60°，若BE=30cm，DE=2cm，则BC=　  　cm．

【答案】32;

【解析】

解：延长ED交BC于M，延长AD交BC于N，作DF∥BC，

∵AB=AC，AD平分∠BAC，

∴AN⊥BC，BN=CN，

∵∠EBC=∠E=60°，

∴△BEM为等边三角形，

∴△EFD为等边三角形，

∵BE=30，DE=2，

∴DM=28，

∵△BEM为等边三角形，

∴∠EMB=60°，

∵AN⊥BC，

∴∠DNM=90°，

∴∠NDM=30°，

∴NM=14，

∴BN=16，

∴BC=2BN=32，

故答案为32．

二、直角三角形

1.直角三角形：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.

2性质：
(1)直角三角形中两锐角互余.
(2)直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半.
(3)在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°.
(4)勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方.
(5)勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.

(6)直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.

3．判定：
(1)有两内角互余的三角形是直角三角形.
(2)一条边上的中线等于该边的一半，则这条边所对的角是直角，这个三角形是直角三角形.
(3)如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形，第三边为斜边.

例3．已知：在直角△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC且交AC于D.
　　(1)若∠BAC=30°，求证: AD=BD；
　　(2)若AP平分∠BAC且交BD于P，求∠BPA的度数.
　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　图1 　　　　　　　　　图2

【答案】

　(1)证明：∵∠BAC=30°，∠C=90°，∴∠ABC=60°
　　　　　　 又∵ BD平分∠ABC， ∴∠ABD=30°，∴ ∠BAC =∠ABD，∴BD=AD；
  (2)解法一： ∵∠C=90°，∴∠BAC+∠ABC=90°
　　　　　　∴=45°
　　　　　　∵ BD平分∠ABC，AP平分∠BAC
　　　　　  　∠BAP=，∠ABP=
　　　　　　　　即∠BAP+∠ABP=45°
　　　　　 ∴∠APB=180°-45°=135°
　解法二： ∵∠C=90°，∴∠BAC+∠ABC=90°
　　　　　 ∴=45°
　　　　　 ∵BD平分∠ABC，AP平分∠BAC
　　　　　　　∠DBC=，∠PAC=
　　　　　∴∠DBC+∠PAD=45°
　　　　　∴∠APB=∠PDA+∠PAD =∠DBC+∠C+∠PAD=∠DBC+∠PAD+∠C=45°+90°=135°.

1．（2022·黑龙江九年级期末）如图，在坡角为30°的斜坡上要栽两棵树，要求它们之间的水平距离为，则这两棵树之间的坡面的长为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

是的斜边，这个直角三角形中，已知一边和一锐角，满足解直角三角形的条件，可求出的长．

【详解】

解：如图，，，m，

∴AB=2BC，

∴，即，

解得：m，

∴m，

故选：C．

2．（2022·长沙市雅礼实验中学九年级月考）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转80°得到△AB′C′，若点B′恰好落到边BC上，则∠CB′C′的度数为（    ）

A．50° B．60° C．70° D．80°

【答案】D

【分析】

依据旋转的性质可求得AB＝AB’，∠AB’C’的度数，依据等边对等角的性质可得到∠B＝∠BB’A，于是可得到∠CB’C’的度数．

【详解】

解：由旋转的性质可知：AB＝AB’，∠BAB’＝80°，

∴∠B＝∠AB’C’，

∵AB＝AB’，

∴∠B＝∠BB’A＝50°．

∴∠BB’C’＝50°＋50°＝100°．

∴∠CB’C’＝180°−100°＝80°，

故选：D．

3．（2022·哈尔滨市虹桥初级中学校九年级一模）如图，在中，，将绕点顺时针旋转后得到的（点的对应点是点，点的对应点是点），连接．若，则的大小是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

旋转中心为点A，C、C′为对应点，可知AC=AC′，又因为∠CAC′=90°，根据三角形外角的性质求出∠C′B′A的度数，进而求出∠B的度数．

【详解】

解：由旋转的性质可知，AC=AC′，

∵∠CAC′=90°，可知△CAC′为等腰直角三角形，则∠CC′A=45°．

∵∠CC′B′=32°，

∴∠C′B′A=∠C′CA+∠CC′B′=45°+32°=77°，

∵∠B=∠C′B′A，

∴∠B=77°，

故选：C．

4．（2022·沙坪坝区·重庆八中九年级二模）下列命题中是真命题的是（    ）

A．三角形三边中垂线的交点到三角形三个顶点的距离相等

B．三个角对应相等的两个三角形全等

C．直角三角形斜边上的高线等于斜边的一半

D．等边三角形是中心对称图形

【答案】A

【分析】

根据三角形中垂线的性质、全等三角形的判定、直角三角形的性质和等边三角形的性质判断即可．

【详解】

解：A、三角形三边中垂线的交点到三角形三个顶点的距离相等，正确；

B、三个角对应相等的两个三角形不一定全等，错误；

C、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，错误；

D、等边三角形是轴对称图形，错误；

故选：A．

5．（2022·全国九年级课时练习）如图，点为的外心，为正三角形，与相交于点，连接．若，，则的度数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

利用外心的性质，得到OA是∠BAC的平分线，OA=OC，利用等腰三角形的性质，三角形外角的性质，等边三角形的性质计算即可．

【详解】

∵为的外心，，，

∴OA是∠BAC的平分线，

∴，

∵，∴，

∴，

∵为正三角形，

∴，

∴，

又∵为的外角，

∴．

故选A．

6．（2022·湖南师大附中博才实验中学九年级开学考试）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E是BD上的一点，连接EC，过点B作BG⊥CE于点G，交AC于点H，EF⊥EC交AB于点F．若正方形ABCD的边长为4，下列结论：①OE＝OH；②EF＝EC；③当G为CE中点时，BF＝；④BG•BH＝BE•BO，其中正确的是（　　）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④

【答案】D

【分析】

①由“ASA”可证△BOH≌△COE，可得OE=OH；

②过点E作EP⊥BC于P，EQ⊥AB于Q，由“ASA”可证△QEF≌△PEC，可得EF=EC；

③由线段的垂直平分线的性质可求BC=BE=4，由正方形的性质可求BP=PE=，可求BF的长；

④通过证明△BOH∽△BGE，可得，可得BH•BG=BE•BO．

【详解】

解：∵BG⊥CE，EF⊥EC，

∴∠FEC＝∠BGC＝90°，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AO＝OC＝OB＝OD，AC⊥BD，

∵∠ECO+∠GHC＝90°＝∠OBH+∠BHO，∠BHO＝∠CHG，

∴∠OBH＝∠ECO，

又∵BO＝CO，∠BOH＝∠COE＝90°，

∴△BOH≌△COE（ASA），

∴OE＝OH，故①正确；

如图，过点E作EP⊥BC于P，EQ⊥AB于Q，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABD＝∠CBD＝45°，

又∵EP⊥BC，EQ⊥AB，

∴EQ＝EP，

又∵EP⊥BC，EQ⊥AB，∠ABC＝90°，

∴四边形BPEQ是正方形，

∴BQ＝BP＝EP＝QE，∠QEP＝90°＝∠FEC，

∴∠QEF＝∠PEC，

又∵∠EQF＝∠EPC＝90°，

∴△QEF≌△PEC（ASA），

∴QF＝PC，EF＝EC，故②正确；

∵EG＝GC，BG⊥EC，

∴BE＝BC＝4，

∴BP＝EP＝2，

∴PC＝4﹣2＝QF，

∴BF＝BQ﹣QF＝2﹣（4﹣2）＝4﹣4，故③正确；

∵∠BOH＝∠BGE＝90°，∠OBH＝∠GBE，

∴△BOH∽△BGE，

∴BH•BG＝BE•BO，故④正确，

故选：D．

7．（2022·全国九年级专题练习）如图，在△PAB中，M、N是AB上两点，且△PMN是等边三角形，△BPM∽△PAN，则∠APB的度数是________．

【答案】120°

【分析】

由△BPM∽△PAN，可得出∠BPM=∠A，进而再由等边三角形的性质以及角之间的转化，即可得出结论．

【详解】

解：∵ △BPM∽△PAN，

∴ ∠BPM＝∠A，

∵ △PMN是等边三角形，

∴ ∠A+∠APN＝60°，即∠APN+∠BPM＝60°，

∴ ∠APB＝∠BPM+∠MPN+∠APN＝60°+60°=120°．

故答案为：120°．

8．（2022·西宁市教育科学研究院中考真题）如图，是等边三角形，，N是的中点，是边上的中线，M是上的一个动点，连接，则的最小值是________．

【答案】

【分析】

根据题意可知要求BM+MN的最小值，需考虑通过作辅助线转化BM，MN的值，从而找出其最小值，进而根据勾股定理求出CN，即可求出答案．

【详解】

解：连接CN，与AD交于点M，连接BM．（根据两点之间线段最短；点到直线垂直距离最短），是边上的中线即C和B关于AD对称，则BM+MN=CN，则CN就是BM+MN的最小值．

∵是等边三角形，，N是的中点，
∴AC=AB=6,AN=AB=3, ,

∴.

即BM+MN的最小值为．

故答案为：.

9．（2022·福建省福州杨桥中学九年级月考）如图，已知，，点E为线段BC上的一点，连接AE．

（1）将线段AE绕点A逆时针旋转得到线段AF，点E的对应点是点F．请用尺规作图作出线段AF（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）在（1）的条件下，求证：点F在的平分线上．

【答案】（1）见详解；（2）见详解

【分析】

（1)作∠DAT=∠EAB，在射线AT上截取AF，使得AE=AF即可；

（2)在AD上取一点H，使得AH=AB，连接BH，FH. 证明ΔABH是等边三角形，证明B、H、F共线可得结论.

【详解】

（1）如图，线段AF即为所求；

（2)证明：在AD上取一点H，使得AH=AB，连接BH，FH.

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠DAB+∠ABC=180°，

∵∠ABC=120°，

∴∠BAH=60°，

∵AH=AB，

∴ΔABH是等边三角形，

∴∠AHB=∠ABH=60°，

∴∠EAF=60°，

∴ ∠EAF=∠BAH，

∴ ∠FAH=∠EAB，

在ΔFAH和ΔEAB中，

∴ΔFAH≌ΔEAB (SAS)，

∴∠AHF=∠ABE=120°，

∴∠AHF+∠AHB=180°，

∴B、H、F共线，

∵∠FBA=∠FBE=60°，

∴点F在∠ABC的角平分线上。

10．（2022·沙坪坝区·重庆八中九年级二模）如图1，在RtACB中，AC＝BC，过B点作BD⊥CD于D点，AB交CD于E．

（1）如图1，若AC＝6，tan∠ACD＝2，求DE的长；

（2）如图2，若CE＝2BD，连接AD，在AD上找一点F，使CF＝DF，在FD上取一点G，使∠EGF＝∠CFG，求证：AF＝EG；

（3）如图3，D为线段BC上方一点，且∠BDC＝90°，AC＝6，连接AD，将AD绕A点逆时针旋转90°，D点对应点为E点，H为DE中点，求当AH有最小值时，直接写出ACH的面积．

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）

【分析】

（1）如图1中，过点E作EH⊥BC于H．解直角三角形求出CD，CE可得结论．

（2）如图2中，过点A作AT⊥CE于T，在AG上取一点J，使得EJ＝EG．想办法证明△ACF≌△EAJ（AAS），可得结论．

（3）如图3中，取BC的中点T，连接DT，AT．易知AH＝AD，求出AD的最小值可得结论．

【详解】

解：（1）如图1中，过点E作EH⊥BC于H．

∵BD⊥CD，

∴∠D＝90°，

∵∠ACB＝90°，

∴∠ACD+∠DCB＝90°，∠DCB+∠DBC＝90°，

∴∠ACD＝∠DBC，

∴tan∠DBC＝tan∠ACD＝2，

∴＝2，

∵AC＝BC＝6，

∴BD＝，CD＝，

∵EH⊥BC，∠EBH＝45°，

∴∠EHB＝90°，∠EHB＝∠HBE＝45°，

∴EH＝BH，

设EH＝BH＝m，则HC＝2EH＝2m，

∴3m＝6，

∴m＝2，

∴EH＝2，CH＝4，

∴EC＝，

∴DE＝CD﹣CE＝．

（2）如图2中，过点A作AT⊥CE于T，在AG上取一点J，使得EJ＝EG．

∵EJ＝EG，

∴∠EJG＝∠EGJ，

∵∠CFG＝EGJ，

∴∠CFG＝∠EJG，

∴∠AFC＝∠AJE，

∵∠ATC＝∠CDB＝∠ACB＝90°，

∴∠ACT+∠DCB＝90°，∠DCB+∠CBD＝90°，

∴∠ACT＝∠CBD，

∵AC＝BC，

∴△ATC≌△CDB（AAS），

∴CT＝BD，

∵EC＝2BD，

∴CT＝ET，

∵AT⊥EC，

∴AC＝AE，

∴∠ACT＝∠AEC，

∴∠ACF+∠FCD＝∠EAJ+∠FDC，

∵FC＝FD，

∴∠FCD＝∠FDC，

∴∠ACF＝∠EAJ，

∴△ACF≌△EAJ（AAS），

∴AF＝EJ＝EG．

（3）如图3中，取BC的中点T，连接DT，AT．

∵AC＝BC＝6，∠ACT＝90°，CT＝TB＝3，

∴AT＝，

∵CD⊥BD，

∴∠CDB＝90°，

∴DT＝BC＝3，

∴AD≥AT﹣DT，

∴AD≥3﹣3，

∴AD的最小值为3﹣3，

∵△ADE是等腰直角三角形，AH⊥DE，

∴DH＝EH，

∴AH＝DE＝AD，

∴AH的最小值为；

此时，A，D，T共线，如图3﹣1中，过点D作DQ⊥AC于Q，过点E作EP⊥CA交CA的延长线于P，过点H作HJ⊥AC于J．

∵DQ∥CT，

∴，

∴，

∴DQ＝，AQ＝

由△AQD≌△EPQ，可得PE＝AQ＝，

∵EP∥HJ∥DQ，EH＝HD，

∴PJ＝JQ，

∴JH＝（PE+DQ）＝

∴△ACH的面积＝×6×＝．