专题17 等腰、等边三角形（练透）-【讲通练透】中考数学一轮（全国通用）（学生版）

专题17 等腰、等边三角形

一、单选题

1．（2020·浙江九年级期末）在一次数学综合活动课上，小凌同学需要在一个半径为6cm的圆上裁出一个面积尽可能大的等边三角形，则这个等边三角形的边长是（　　）

A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm

2．（2022·杭州市十三中教育集团（总校）九年级三模）如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，F是AC的中点，过点F作EF⊥AC交AB于点E，交AD于点O．若OA＝3，则△ABC外接圆的面积为（　　）

A．3π B．4π C．6π D．9π

3．（2022·福建厦门双十中学思明分校九年级二模）如图，在等边△ABC中，D、E分别是边AB、BC的中点，DE＝2，则△ABC的周长为（    ）

A．9 B．12 C．16 D．18

4．（2022·南昌市第十九中学九年级月考）如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝3.6，∠B＝60°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为（　　）

A．1.6 B．1.8 C．2 D．2.6

5．（2022·深圳市南山区荔香学校）如图，平行四边形中，，，，对角线，交于点，过点作，则等于（    ）

A． B． C． D．2.5

6．（2022·四川）等腰三角形底边与底边上的高的比是2：，则它的顶角为（　　）

A．30° B．45° C．60° D．120°

7．（2022·福建省福州第十九中学九年级开学考试）如图，是等腰直角三角形的顶角平分线，，则等于（    ）

A．8 B．4 C．3 D．2

8．（2022·四川绵阳·中考真题）如图，在等腰直角中，，、分别为、上的点，，为上的点，且，，则（    ）

A． B． C． D．

9．（2022·四川绵阳·中考真题）如图，在中，，，，且，若，点是线段上的动点，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．

10．（2022·河北九年级期末）如图，∠ABC=20°，将△ABC绕点B顺时针旋转130°得到△EBF．若点A，F，E在同一条直线上，则∠AFB的度数是（ ）

A．35° B．40° C．45° D．50°

二、填空题

11．（2022·重庆市育才中学九年级开学考试）如图，中，边的垂直平分线交于点，交于点，将沿翻折得到，若，则________．

12．（2022·浙江诸暨市暨阳初级中学九年级月考）AD为面积为30 的锐角三角形ABC的高，∠ACB＝2∠BAD，线段AB上的点E将AB分成两条线段的比为3∶2，过点E作BC的平行线交AC于点F，若AD＝6，则CF＝_______．

13．（2022·日照港中学九年级一模）如图，等腰直角三角形中，斜边的长为2，为的中点，为边上的动点，交于点，为的中点，当点从点运动到点时，点所经过的路线长为______．

14．（2022·黑龙江九年级期末）在菱形中，，，点在直线上，，连接，则线段的长为______．

15．（2022·北京市陈经纶中学分校九年级月考）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BE平分∠ABC交AC于点D，CE⊥BE，若CE＝1，则BD的长为_____．

三、解答题

16．（2022·全国）如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别在BC、AC上，且∠ADE＝60°，求证：BD•CD＝AC•CE．

17．（2022·广州市南武实验学校九年级期末）如图，在△ABC中，BA=BC，点BD⊥AC于点D，DE⊥AB于点E

（1）求证：△AED∽△CDB；

（2）如果BC＝10，AD＝6，求AE的值．

18．（2022·兰州市外国语学校九年级期末）如图，△ABC是等边三角形，点D在AC上，连接BD并延长，与∠ACF的角平分线交于点E．

（1）求证：△ABD ∽△CED；

（2）若AB=8，AD=2CD，求CE的长．

19．（2022·江苏盐城·景山中学九年级月考）如图，△ABC中，点E在BC边上，AE＝AB，将线段AC绕A点旋转到AF的位置，使得∠CAF＝∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G．

（1）求证：EF＝BC；

（2）若∠ABC＝65°，∠ACB＝28°，求∠FGC的度数．

20．（2022·常德市第十一中学）如图，在△ABC中，AD是高，BE是中线，∠EBC＝30°，求证：AD＝BE．

21．（2022·全国）如图，己知：Rt△ABC中，∠BAC＝9O°，AD⊥BC于D，E是AC的中点，ED交AB延长线于F，求证：

①△ABD∽△CAD；

②AB∶AC＝DF∶AF．

22．（2020·广州市第七中学九年级期中）如图，在△ABC中，AD是△BCE的中位线，，CE交BA的延长线于点E，，．

（1）求证：△ABC为等腰三角形．

（2）求△ABC的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离．

23．（2022·廊坊市第四中学九年级期末）把两个等腰直角△ABC和△ADE按如图1所示的位置摆放，将△ADE绕点A按逆时针方向旋转，如图2，连接BD，EC，设旋转角为α（0°＜α＜360°）．

（1）当DE⊥AC时， AD与BC的位置关系是______，AE与BC的位置关系是______；

（2）如图2，当点D在线段BE上时，求∠BEC的度数；

（3）当旋转角α=______时，△ABD的面积最大．