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安徽省合肥市长丰县城关中学2022-2023学年 九年级数学上学期第二次月考测试题
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这是一份安徽省合肥市长丰县城关中学2022-2023学年 九年级数学上学期第二次月考测试题，共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
安徽省合肥市长丰县城关中学
2022-2023学年第一学期九年级数学上册第二次月考测试题（附答案）
一、单选题（本题共10小题，共40分）
1．已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），AB＝6，那么AP的长是（ ）
A．3﹣3 B．2﹣ C．2﹣1 D．﹣2
2．飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是y＝60t﹣t2，飞机着陆至停下来共滑行（ ）
A．20米 B．40米 C．400米 D．600米
3．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（ ）
A． B．
C． D．
4．在平面直角坐标系中，点D（n，y1），E（3，y2）在抛物线y＝﹣x2+2x上，若y1＞y2，则n的取值范围是（ ）
A．n＞3或n＜﹣1 B．n＞3 C．n＜﹣1 D．﹣1＜n＜3
5．周长是12的正三角形、正方形、正六边形的面积分别是S3、S4、S6，则它们的大小关系是（ ）
A．S6＞S4＞S3 B．S3＞S4＞S6 C．S6＞S3＞S4 D．S4＞S6＞S3
6．如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C在格点上，则∠A正切值是（ ）
A． B． C．2 D．
7．如图，等边△ABC的边长是2，分别以它的三个顶点为圆心，以2为半径画弧，得到的封闭图形（阴影部分）的面积是（ ）
A． B． C． D．
8．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为x＝，且经过点（2，0），下列说法：①abc＜0；②﹣2b+c＝0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣，y1）（，y2）是抛物线上的两点，则y1＝y2；⑤b+c＞m（am+b）（其中m≠），正确的结论有（ ）
A．②③④ B．①②⑤ C．①③⑤ D．①②④⑤
9．如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙O与x轴的正半轴交于点A，点B是⊙O上一动点，点C为弦AB的中点，直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E，则△CDE面积的最小值为（ ）
A．3.5 B．2.5 C．2 D．1.2
10．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC＝4，BD＝8，点N在BO上运动．过点N作EF∥AC交AB于E，交BC于点F，将△BEF沿EF翻折得到△EFG，若ON＝x，△EFG与△ABC重叠部分的面积为y，下列图象能正确反映y与x的函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本题共4小题，共20分）
11．已知二次函数y＝x2+2x﹣3，当﹣4≤x≤18时，y的取值范围为 ．
12．如图，C，D分别是反比例函数y＝（x＞0）图象上的点，且CD∥x轴，过C，D两点分别作x轴的垂线段，垂足分别为B，A两点，连接OC，交DA于点E，若，则k的值为 ．
13．如图，AB是⊙O的直径，弦MN∥AB，分别过M，N作AB的垂线，垂足为C，D．以下结论：
①AC＝BD；
②＝；
③若四边形MCDN是正方形，则MN＝AB；
④若M为的中点，则D为OB中点；
所有正确结论的序号是 ．
14．如图，一段抛物线：y＝﹣x2+x（0≤x≤1），记为C1，它与x轴的两个交点分别为O，A1，顶点为P1；将C1绕点A1旋转180°得C2，它与x轴的另一交点记为A2，顶点为P2；将C2绕点A2旋转180°得C3，它与x轴的另一交点记为A3，顶点为P3，…，这样一直进行下去，得到抛物线段C1，C2，C3，…，∁n，则点P2的坐标为 ；若点M（，m）在第3段抛物线C3上，则m＝ ．
三、解答题（本题共9小题，共90分）
15．计算：cos30°tan45°+tan60°﹣2sin245°．
16．如图，正比例函数y＝ax的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（3，2）．
（1）则反比例函数的表达式为 ；
（2）在（1）的前提下，若矩形OBDC与反比例函数y＝的图象的另一个交点为M（m，n），其中0＜m＜3，连接OM，当四边形OADM的面积为6时，求出M的坐标．
17．如图，在直角坐标系中，边长为1的单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点为网格线的交点），在给定的网格内，解答下列问题：
（1）画出以A为位似中心，将△ABC按相似比2：1放大，得到△AB1C1．
（2）画出以C1为中心将△AB1C1顺时针旋转90°，得到△A1B2C1，并求出在旋转过程中，线段AC1扫过的面积．
18．如图，已知AB是⊙O的任意一条直径，⊙O的面积为2π，直线CD与⊙O相切于点C，过点B作BD⊥CD，垂足为D．
（1）求证：BC2＝2BD；
（2）如果改变图中切点C的位置，当线段OD⊥BC时，求OD的长．
19．某海域有一小岛P，在以P为圆心，半径r为10（3+）海里的圆形海域内有暗礁．一海监船自西向东航行，它在A处测得小岛P位于北偏东60°的方向上，当海监船行驶20海里后到达B处，此时观测小岛P位于B处北偏东45°方向上．
（1）求A，P之间的距离AP；
（2）若海监船由B处继续向东航行是否有触礁危险？请说明理由．如果有触礁危险，那么海监船由B处开始沿南偏东至多多少度的方向航行能安全通过这一海域？
20．如图，AB为⊙O直径，AE为切线，C为圆上一点，连接EC交AB于点D，交⊙O于点F，连接AF、BC，且BC＝CD．
（1）若∠E＝20°，求∠B的度数；
（2）连接AC，求证：AC2＝CD•EC；
（3）若ED＝3BC，求cos∠FAB．
21．某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件，如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元），设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元，
（1）求y与x的函数关系式并直接写出x的取值范围；
（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？
（3）若在销售过程中每一件商品有a（a＞2）元的其他费用，商家发现当售价每件不低于58元时，每月的销售利润随x的增大而减小，请求出a的取值范围．
22．如图，在直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象分别交x轴、y轴于点A、B，OB＝6，设∠ABO＝α，若tanα＝．
（1）求点A的坐标和一次函数关系式．
（2）①利用没有刻度的直尺和圆规，在图1中的线段AB上求作一点P，以点P为圆心，BP为半径作⊙P，使得⊙P与x轴相切．
②求①中⊙P的半径．
（3）如图2，以坐标原点O为圆心，3为半径作⊙O，点M是线段AB上的一动点，将射线MA绕点M顺时针旋转2α度至MA1的位置，若射线MA1与⊙O相切，则称点M为⊙O的“和谐点”，求“和谐点”M的坐标．
23．如图1，在四边形ABCD中，AC为四边形对角线，在△ACD的CD边上取一点P，连接AP，如果△APC是等腰三角形，且△ABC与△APD相似，则我们称△APC是该四边形CD边上的“等腰邻相似三角形”．
（1）如图2，在平行四边形ABCD中，∠B＝45°，若△APC是CD边上的“等腰邻相似三角形”，且AP＝PC，∠BAC＝∠DAP，则∠PCA的度数为 ；
（2）如图3，在四边形ABCD中，若∠BCA＝∠D＝3∠CAD，∠BAC＝2∠CAD，请在图3中画出一个AD边上的“等腰邻相似三角形APC”，并说明理由；
（3）已知Rt△APC，若Rt△APC是某个四边形ABCD的“等腰邻相似三角形”，且AP＝PC＝1，△ABC与△APC相似，求出对角线BD长度的所有可能值．
参考答案
一、单选题（本题共10小题，共40分）
1．解：由于P为线段AB＝6的黄金分割点，
且AP是较长线段；
则AP＝6×＝3﹣3，
故选：A．
2．解：∵y＝60t﹣t2＝﹣（t﹣20）2+600，
∴当t＝20时，y取得最大值600，
即飞机着陆后滑行600米才能停下来，
故选：D．
3．解：根据题意得：AB＝＝，AC＝，BC＝2，
∴AC：BC：AB＝：2：＝1：：，
A、三边之比为1：：2，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；
B、三边之比为：：3，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；
C、三边之比为1：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似；
D、三边之比为2：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似．
故选：C．
4．解：∵抛物线y＝﹣x2+2x的对称轴为x＝1，
E（3，y2）关于对称轴对称的点（﹣1，y2），
∵抛物线开口向下，
∴当y1＞y2时，﹣1＜n＜3，
故选：D．
5．解：由题意正六边形的边长为2cm，如图所示，
则△ABC的边长为4cm，正方形ABCD的边长为3cm，
如图（1），过A作AD⊥BC，D为垂足；
∵△ABC是等边三角形，BC＝4cm，
∴BD＝2cm，由勾股定理得，AD＝＝2（cm），
∴S3＝S△ABC＝BC•AD＝×4×2＝4（cm）
如图（2），∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝3，
∴S4＝S▱ABCD＝AB2＝9（cm2），
如图（3），过O作OG⊥BC，G为垂足，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BOC＝＝60°，
∴∠BOG＝30°，OG＝＝（cm）．
∴S6＝6S△BOC＝6（cm2），
∴S6＞S4＞S3．
故选：A．
6．解：取格点D，E，连接BD，如图，
∵∠ADE＝∠BDE＝45°，
∴∠ADB＝90°，
由勾股定理得：AD＝＝2，BD＝＝，
∴tanA＝＝＝，
故选：D．
7．解：∵△ABC为等边三角形，
∴S△ABC＝＝，S扇形CAB＝×π×22＝π，
∴阴影部分面积S＝3S扇形CAB﹣2S△ABC＝3×π﹣2×＝2π﹣2．
故选：B．
8．解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝，
∴b＝﹣a＞0，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，①正确．
∵抛物线经过（2，0），对称轴为直线x＝，
∴抛物线经过（﹣1，0），即a﹣b+c＝﹣2b+c＝0，②正确．
∵x＝2时，y＝4a+2b+c＝0，
∴③不正确．
∵﹣（﹣）＜﹣，
∴（﹣，y1）到对称轴距离小于（，y2）到对称轴距离，
∴y1＞y2，④不正确．
∵抛物线开口向下，对称轴是直线x＝，
∴当x＝时，抛物线y取得最大值ymax＝（）2a+b+c＝b+c，
当x＝m时，ym＝am2+bm+c＝m（am+b）+c，且m≠，
∴b+c＞am2+bm+c
即b+c＞m（am+b），
故⑤正确，
综上，结论①②⑤正确，
故选：B．
9．解：连接OC，如图，
∵点C为弦AB的中点，
∴OC⊥AB，
∴∠ACO＝90°，
∴点C在以OA为直径的圆上（点O、A除外），
以OA为直径作⊙P，过P点作直线PH⊥DE于H，交⊙P于M、N，
当x＝0时，y＝x﹣3＝﹣3，则E（0，﹣3），
当y＝0时，x﹣3＝0，
解得x＝4，则D（4，0），
∴OD＝4，
∴DE＝＝5，
∵A（2，0），
∴P（1，0），
∴OP＝1，
∴PD＝OD﹣OP＝3，
∵∠PDH＝∠EDO，∠PHD＝∠EOD，
∴△DPH∽△DEO，
∴PH：OE＝DP：DE，
即PH：3＝3：5，
解得PH＝，
∴MH＝PH+1＝，NH＝PH﹣1＝，
∴S△NED＝×5×＝2，S△MED＝×5×＝7，
∴△CDE面积的最小值为2．
故选：C．
10．解：分情况讨论：
①当翻折后点G在点O的左侧时（如图①），即2≤x≤4，
∵EF∥AC，
∴∠BEF＝∠BAC，∠BFE＝∠BCA，
∴△BEF∽△BAC，
∴，即BN＝EF＝4﹣x，
由四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，
又∵EF∥AC，
∴EF⊥BD，
翻折后，重叠部分y＝s△EFG＝s△BEF＝（2≤x≤4）；
②当翻折后点G在点O的右侧时（如图②），即0≤x≤2，
翻折后，重叠部分y＝s梯形HIEF，
∵ON＝x，BN＝4﹣x，GN＝BN＝4﹣x，
∴OG＝4﹣2x，
又∵EF∥AC，
同理可得△GHI∽△GEF，
∴HI＝OG＝4﹣2x，
∴y＝[（4﹣x）+（4﹣2x）]•x＝4x﹣（0≤x≤2），
综上所述，y＝，
故选：A．
二、填空题（本题共4小题，共20分）
11．解：∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴当x＝﹣1时．y的最小值为：﹣4，
当x＝18时y有最大值为：357，
所以y的取值范围为：﹣4≤y≤357，
故答案为：﹣4≤y≤357．
12．解：延长线段CD，交y轴于F，
∵CD∥x轴，
∴CF⊥y轴，
∴四边形BCFO是矩形，四边形OADF是矩形，
∵点C在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴S矩形BCFO＝8，
同理S矩形OADF＝k，
∵CD∥OB，
∴＝＝，
∴OA＝CD＝AB，
∴OA＝OB，
∴S矩形OADF＝S矩形BOFC＝×8＝3，
∴k＝3，故答案为3．
13．解：连接OM、ON，如图，
∵MC⊥AB、ND⊥AB，
∴∠OCM＝∠ODN＝90°，
∵MN∥AB，
∴∠CMN+∠MCD＝180°，
∴∠CMN＝90°，
∴四边形CMND是矩形，
∴CM＝DN，
在Rt△OMC和Rt△OND中，
，
∴Rt△OMC≌Rt△OND（HL），
∴OC＝OD，∠COM＝∠DON，
∴＝，故②正确，
∵OA＝OB，OD＝OD，
∴AC＝BD，故①正确，
当四边形MCDN是正方形时，CM＝2OC，
∴OM＝OC，
∴AB＝2OM＝2OC＝MN，故③错误，
若M是的中点，连接BN，
∴∠AOM＝∠MON＝∠BON＝60°，
∵ON＝OB，
∴△ONB是等边三角形，
∵ND⊥OB，
∴OD＝DB，故④正确．
故答案为：①②④．
14．解：如图，抛物线y＝﹣x2+x，当y＝0时，则﹣x2+x＝0，
解得x1＝0，x2＝1，
∴A1（1，0），
∵y＝﹣x2+x＝﹣（x﹣）2+，
∴C1的顶点为P1（，），
∵C2与C1关于点A1成中心对称，
∴P2（，﹣），A2（2，0），
∵C3与C2关于点A2成中心对称，
∴P3（，），
∴C3的解析式为y＝﹣（x﹣）2+，
将M（，m）代入y＝﹣（x﹣）2+，
得m＝﹣（﹣）2+＝，
∴m的值为，
故答案为：（，﹣）；．
三、解答题（本题共9小题，共90分）
15．解：原式＝×1+×﹣2×（）2
＝+3﹣2×
＝+3﹣1
＝+2．
16．解：（1）∵反比例函数y＝的图象过点A（3，2）．
∴k＝3×2＝6，
∴反比例函数的表达式：y＝；
故答案为：y＝；
（2）∵矩形OBDC与反比例函数y＝的图象的另一个交点为M（m，n），
∴mn＝6，即S△BMO＝3，
∵A（3，2），
∴D（3，n），S△AOC＝＝3，
∴S四边形OADM＝S矩形OBDC﹣S△BOM+S△AOC＝3n﹣3﹣3＝6，
∴n＝4，
∴m＝＝，
∴M（，4）．
17．解：（1）如图，△AB1C1即为所求；
（2）如图，△A1B2C1即为所求，线段AC1扫过的面积＝＝5π．
18．（1）证明：连接OC，
∵⊙O的面积为2π，
∴π•（）2＝2π，
∴AB＝2或AB＝﹣2（舍去），
∵DC与⊙O相切于点C，
∴∠OCD＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACB﹣∠OCB＝∠OCD﹣∠OCB，
∴∠ACO＝∠DCB，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO，
∴∠A＝∠DCB，
∵BD⊥CD，
∴∠BDC＝90°，
∴∠ACB＝∠BDC＝90°，
∴△DCB∽△CAB，
∴＝，
∴BC2＝AB•DB，
∴BC2＝2BD；
（2）如图：
由（1）得：AB＝2，
∴OB＝OC＝AB＝，
∵OB＝OC，OD⊥BC，
∴∠COD＝∠BOD，
∵OD＝OD，
∴△OCD≌△OBD，
∴∠OBD＝∠OCD＝90°，
∵∠BDC＝90°，
∴四边形OCDB是矩形，
∵OC＝OB，
∴四边形OCDB是正方形，
∴OD＝BC＝OB＝2，
∴OD的长为2．
19．解：（1）过点P作PC⊥AB，交AB的延长线于点C，
由题意得，∠PAC＝30°，∠PBC＝45°，AB＝20海里，
设PC＝x海里，则BC＝x海里，
在Rt△PAC中，
∵tan30°＝＝＝，
∴x＝10+10，
∴PA＝2x＝（20+20）海里，
答：A，P之间的距离AP为（20+20）海里；
（2）因为PC﹣10（3+）＝10+10﹣30﹣10＝10（+1）（﹣）＜0，
所以有触礁的危险；
设海监船无触礁危险的新航线为射线BD，作PE⊥BD，垂足为E，
当P到BD的距离PE＝10（3+）海里时，
有sin∠PBE＝＝＝，
∴∠PBD＝60°，
∴∠CBD＝60°﹣45°＝15°，
90°﹣15°＝75°，
因此，要小于75°才安全通过，
答：海监船由B处开始沿南偏东小于75°的方向航行能安全通过这一海域．
20．解：（1）∵AE是⊙O的切线，
∴∠EAD＝90°，
∴∠EDA＝90°﹣∠E，
∴∠BDC＝∠EDA＝90°﹣∠E，
又∵BC＝CD，
∴∠B＝∠BDC＝90°﹣∠E；
∵∠E＝20°，
∴∠B＝90°﹣20°＝70°；
（2）连接AC，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAD+∠B＝90°，
由（1）可知∠B＝90°﹣∠E，
即∠E+∠B＝90°，
∴∠CAD＝∠E，
又∵∠ACD＝∠ECA，
∴△ACD∽△ECA，
∴，
∴AC2＝EC•CD．
（3）连接BF，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AFB＝90°，
∴cos∠FAB＝，
设BC＝CD＝a，
则ED＝3BC＝3a，
EC＝ED+CD＝4a，
∵CD＝BC，
∴∠ABC＝∠CDB＝∠ADF＝∠AFD，
设AD＝AF＝b，
由（2）知AC2＝EC•CD＝4a•a＝4a2，
∴AC＝2a，
AB＝，
∵CAB＝∠E，∠ACB＝∠EAD＝90°
∴Rt△ACB∽Rt△EAD，
∴，
即，
∴EA＝2b，
在Rt△EAD中，EA2+AD2＝ED2，
∴ED＝，
又∵ED＝3a，
∴，
∴，
∴cos∠FAB＝＝．
21．解：（1）由题意得：
y＝（210﹣10x）（50+x﹣40）
＝﹣10x2+110x+2100（0＜x≤15且x为整数）；
（2）由（1）中的y与x的解析式配方得：y＝﹣10（x﹣5.5）2+2402.5，
∵a＝﹣10＜0，
∴当x＝5.5时，y有最大值2402.5，
∵0＜x≤15，且x为整数，
当x＝5时，50+x＝55，y＝2400（元），
当x＝6时，50+x＝56，y＝2400（元），
∴当售价定为每件55或56元，每个月的利润最大，最大的月利润是2400元；
（3）由题意得：y＝（210﹣10x）（50+x﹣40﹣a）＝﹣10（x﹣21）（x+10﹣a）＝﹣10x2+（110+10a）x+（2100﹣210a），
函数的对称轴为直线x＝（21﹣10+a），
＜8.5，
∴a＜6，
故：a的取值范围为2＜a＜6．
22．解：（1）在Rt△AOB中，tan∠ABO＝，
∵OB＝6，∠ABO＝α，tanα＝，
∴＝，
∴OA＝8，
∴A（8，0），
将A（8，0），B（0，6）代入y＝kx+b得：
，
∴，
∴一次函数关系式为y＝﹣x+6；
（2）①如图：
作法：（1）作∠ABO的平分线BE交OA于E，
（2）过E作EP⊥OA，交AB于P，
（3）以点P为圆心，BP为半径作⊙P，
⊙P即为所求；
②设⊙P半径为x，则PB＝PE＝x，
∵BO⊥OA，PE⊥OA，
∴PE∥OB，
∴∠APE＝∠ABO，∠AEP＝∠AOB，
∴△APE∽△ABO，
∴＝，
∵OA＝8，OB＝6，
∴AB＝＝10，
∴＝，
解得x＝，
∴⊙P的半径为；
（3）由题意：∠AMA1＝2α，MA1与⊙O相切于点T，设MA1交x轴于R，交y轴于N，过M作MK⊥x轴于K，
当切点在x轴下方时，如图：
∵MK⊥x轴，
∴MK∥OB，
∴∠AMK＝∠ABO＝α，
∵∠AMA1＝2α，
∴∠KMA1＝α＝∠ONT，
在Rt△ONT中，tanα＝，
∵tanα＝，OT＝3，
∴＝，
∴NT＝，
∴ON＝＝＝，
在Rt△RON中，tanα＝，
∴＝，
∴OR＝5，
∵OA＝8，
∴AR＝OA﹣OR＝3，
∵∠AMK＝∠KMR＝α，MK⊥x轴，
∴AK＝RK＝＝，
∴OK＝OR+RK＝，
在Rt△RMK中，tanα＝，
∴＝，
∴MK＝，
∴“和谐点”M（，），
当切点在x轴上方时，如图：
同理可得NT＝，ON＝，OR＝5，AR＝13，
∴RK＝，OK＝，MK＝，
∴M（，），
综上所述，M的坐标是（，）或（，）．
23．解：（1）如图2中，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∠D＝∠B＝45°
∴∠BAC＝∠DCA，
∵AP＝PC，
∴∠PCA＝∠PAC，∵∠BAC＝∠DAP，
∴∠DAP＝∠CAP＝∠PCA，
在△ADC中，∠D+∠DCA+∠DAC＝180°，
∴3∠PCA＝135°
∴∠PCA＝45°．
故答案为45°．
（2）如图3中，
在线段AD上取一点P，使得PC＝PA，则△PAC是等腰三角形，
∴∠PAC＝∠PCA，
∴∠DPC＝∠PAC+∠PPCA＝2∠PAC，
∵∠BAC＝2∠CAD，
∴∠BAC＝∠DPC，
∵∠BCA＝∠D，
∴△CBA∽△DCP，
∴△PAC是一个AD边上的“等腰邻相似三角形APC”，
（3）由题意△APC是等腰直角三角形，
∵△APC与△ABC，△ABC与△PCD相似，
∴△PDC，△ABC都是等腰直角三角形；
如图4中，当点P在线段AD上，∠ABC＝90°时，易证∠DAB＝90°，AB＝AP＝PD＝1，BD＝＝．
如图5中，当点P在线段AD上，∠BAC＝90°时，作BE⊥DA交DA的延长线于E．易知DE＝3，EB＝1，BD＝＝．
当∠ACB＝90°时，四边形ABCD不存在，不符合题意；
如图6中，如图7中，BD的长度与图4，图5类似．
综上所述，满足条件的BD的长度为或．
安徽省合肥市长丰县城关中学
2022-2023学年第一学期九年级数学上册第二次月考测试题（附答案）
一、单选题（本题共10小题，共40分）
1．已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），AB＝6，那么AP的长是（ ）
A．3﹣3 B．2﹣ C．2﹣1 D．﹣2
2．飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是y＝60t﹣t2，飞机着陆至停下来共滑行（ ）
A．20米 B．40米 C．400米 D．600米
3．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（ ）
A． B．
C． D．
4．在平面直角坐标系中，点D（n，y1），E（3，y2）在抛物线y＝﹣x2+2x上，若y1＞y2，则n的取值范围是（ ）
A．n＞3或n＜﹣1 B．n＞3 C．n＜﹣1 D．﹣1＜n＜3
5．周长是12的正三角形、正方形、正六边形的面积分别是S3、S4、S6，则它们的大小关系是（ ）
A．S6＞S4＞S3 B．S3＞S4＞S6 C．S6＞S3＞S4 D．S4＞S6＞S3
6．如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C在格点上，则∠A正切值是（ ）
A． B． C．2 D．
7．如图，等边△ABC的边长是2，分别以它的三个顶点为圆心，以2为半径画弧，得到的封闭图形（阴影部分）的面积是（ ）
A． B． C． D．
8．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为x＝，且经过点（2，0），下列说法：①abc＜0；②﹣2b+c＝0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣，y1）（，y2）是抛物线上的两点，则y1＝y2；⑤b+c＞m（am+b）（其中m≠），正确的结论有（ ）
A．②③④ B．①②⑤ C．①③⑤ D．①②④⑤
9．如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙O与x轴的正半轴交于点A，点B是⊙O上一动点，点C为弦AB的中点，直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E，则△CDE面积的最小值为（ ）
A．3.5 B．2.5 C．2 D．1.2
10．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC＝4，BD＝8，点N在BO上运动．过点N作EF∥AC交AB于E，交BC于点F，将△BEF沿EF翻折得到△EFG，若ON＝x，△EFG与△ABC重叠部分的面积为y，下列图象能正确反映y与x的函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本题共4小题，共20分）
11．已知二次函数y＝x2+2x﹣3，当﹣4≤x≤18时，y的取值范围为 ．
12．如图，C，D分别是反比例函数y＝（x＞0）图象上的点，且CD∥x轴，过C，D两点分别作x轴的垂线段，垂足分别为B，A两点，连接OC，交DA于点E，若，则k的值为 ．
13．如图，AB是⊙O的直径，弦MN∥AB，分别过M，N作AB的垂线，垂足为C，D．以下结论：
①AC＝BD；
②＝；
③若四边形MCDN是正方形，则MN＝AB；
④若M为的中点，则D为OB中点；
所有正确结论的序号是 ．
14．如图，一段抛物线：y＝﹣x2+x（0≤x≤1），记为C1，它与x轴的两个交点分别为O，A1，顶点为P1；将C1绕点A1旋转180°得C2，它与x轴的另一交点记为A2，顶点为P2；将C2绕点A2旋转180°得C3，它与x轴的另一交点记为A3，顶点为P3，…，这样一直进行下去，得到抛物线段C1，C2，C3，…，∁n，则点P2的坐标为 ；若点M（，m）在第3段抛物线C3上，则m＝ ．
三、解答题（本题共9小题，共90分）
15．计算：cos30°tan45°+tan60°﹣2sin245°．
16．如图，正比例函数y＝ax的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（3，2）．
（1）则反比例函数的表达式为 ；
（2）在（1）的前提下，若矩形OBDC与反比例函数y＝的图象的另一个交点为M（m，n），其中0＜m＜3，连接OM，当四边形OADM的面积为6时，求出M的坐标．
17．如图，在直角坐标系中，边长为1的单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点为网格线的交点），在给定的网格内，解答下列问题：
（1）画出以A为位似中心，将△ABC按相似比2：1放大，得到△AB1C1．
（2）画出以C1为中心将△AB1C1顺时针旋转90°，得到△A1B2C1，并求出在旋转过程中，线段AC1扫过的面积．
18．如图，已知AB是⊙O的任意一条直径，⊙O的面积为2π，直线CD与⊙O相切于点C，过点B作BD⊥CD，垂足为D．
（1）求证：BC2＝2BD；
（2）如果改变图中切点C的位置，当线段OD⊥BC时，求OD的长．
19．某海域有一小岛P，在以P为圆心，半径r为10（3+）海里的圆形海域内有暗礁．一海监船自西向东航行，它在A处测得小岛P位于北偏东60°的方向上，当海监船行驶20海里后到达B处，此时观测小岛P位于B处北偏东45°方向上．
（1）求A，P之间的距离AP；
（2）若海监船由B处继续向东航行是否有触礁危险？请说明理由．如果有触礁危险，那么海监船由B处开始沿南偏东至多多少度的方向航行能安全通过这一海域？
20．如图，AB为⊙O直径，AE为切线，C为圆上一点，连接EC交AB于点D，交⊙O于点F，连接AF、BC，且BC＝CD．
（1）若∠E＝20°，求∠B的度数；
（2）连接AC，求证：AC2＝CD•EC；
（3）若ED＝3BC，求cos∠FAB．
21．某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件，如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元），设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元，
（1）求y与x的函数关系式并直接写出x的取值范围；
（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？
（3）若在销售过程中每一件商品有a（a＞2）元的其他费用，商家发现当售价每件不低于58元时，每月的销售利润随x的增大而减小，请求出a的取值范围．
22．如图，在直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象分别交x轴、y轴于点A、B，OB＝6，设∠ABO＝α，若tanα＝．
（1）求点A的坐标和一次函数关系式．
（2）①利用没有刻度的直尺和圆规，在图1中的线段AB上求作一点P，以点P为圆心，BP为半径作⊙P，使得⊙P与x轴相切．
②求①中⊙P的半径．
（3）如图2，以坐标原点O为圆心，3为半径作⊙O，点M是线段AB上的一动点，将射线MA绕点M顺时针旋转2α度至MA1的位置，若射线MA1与⊙O相切，则称点M为⊙O的“和谐点”，求“和谐点”M的坐标．
23．如图1，在四边形ABCD中，AC为四边形对角线，在△ACD的CD边上取一点P，连接AP，如果△APC是等腰三角形，且△ABC与△APD相似，则我们称△APC是该四边形CD边上的“等腰邻相似三角形”．
（1）如图2，在平行四边形ABCD中，∠B＝45°，若△APC是CD边上的“等腰邻相似三角形”，且AP＝PC，∠BAC＝∠DAP，则∠PCA的度数为 ；
（2）如图3，在四边形ABCD中，若∠BCA＝∠D＝3∠CAD，∠BAC＝2∠CAD，请在图3中画出一个AD边上的“等腰邻相似三角形APC”，并说明理由；
（3）已知Rt△APC，若Rt△APC是某个四边形ABCD的“等腰邻相似三角形”，且AP＝PC＝1，△ABC与△APC相似，求出对角线BD长度的所有可能值．
参考答案
一、单选题（本题共10小题，共40分）
1．解：由于P为线段AB＝6的黄金分割点，
且AP是较长线段；
则AP＝6×＝3﹣3，
故选：A．
2．解：∵y＝60t﹣t2＝﹣（t﹣20）2+600，
∴当t＝20时，y取得最大值600，
即飞机着陆后滑行600米才能停下来，
故选：D．
3．解：根据题意得：AB＝＝，AC＝，BC＝2，
∴AC：BC：AB＝：2：＝1：：，
A、三边之比为1：：2，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；
B、三边之比为：：3，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；
C、三边之比为1：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似；
D、三边之比为2：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似．
故选：C．
4．解：∵抛物线y＝﹣x2+2x的对称轴为x＝1，
E（3，y2）关于对称轴对称的点（﹣1，y2），
∵抛物线开口向下，
∴当y1＞y2时，﹣1＜n＜3，
故选：D．
5．解：由题意正六边形的边长为2cm，如图所示，
则△ABC的边长为4cm，正方形ABCD的边长为3cm，
如图（1），过A作AD⊥BC，D为垂足；
∵△ABC是等边三角形，BC＝4cm，
∴BD＝2cm，由勾股定理得，AD＝＝2（cm），
∴S3＝S△ABC＝BC•AD＝×4×2＝4（cm）
如图（2），∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝3，
∴S4＝S▱ABCD＝AB2＝9（cm2），
如图（3），过O作OG⊥BC，G为垂足，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BOC＝＝60°，
∴∠BOG＝30°，OG＝＝（cm）．
∴S6＝6S△BOC＝6（cm2），
∴S6＞S4＞S3．
故选：A．
6．解：取格点D，E，连接BD，如图，
∵∠ADE＝∠BDE＝45°，
∴∠ADB＝90°，
由勾股定理得：AD＝＝2，BD＝＝，
∴tanA＝＝＝，
故选：D．
7．解：∵△ABC为等边三角形，
∴S△ABC＝＝，S扇形CAB＝×π×22＝π，
∴阴影部分面积S＝3S扇形CAB﹣2S△ABC＝3×π﹣2×＝2π﹣2．
故选：B．
8．解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝，
∴b＝﹣a＞0，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，①正确．
∵抛物线经过（2，0），对称轴为直线x＝，
∴抛物线经过（﹣1，0），即a﹣b+c＝﹣2b+c＝0，②正确．
∵x＝2时，y＝4a+2b+c＝0，
∴③不正确．
∵﹣（﹣）＜﹣，
∴（﹣，y1）到对称轴距离小于（，y2）到对称轴距离，
∴y1＞y2，④不正确．
∵抛物线开口向下，对称轴是直线x＝，
∴当x＝时，抛物线y取得最大值ymax＝（）2a+b+c＝b+c，
当x＝m时，ym＝am2+bm+c＝m（am+b）+c，且m≠，
∴b+c＞am2+bm+c
即b+c＞m（am+b），
故⑤正确，
综上，结论①②⑤正确，
故选：B．
9．解：连接OC，如图，
∵点C为弦AB的中点，
∴OC⊥AB，
∴∠ACO＝90°，
∴点C在以OA为直径的圆上（点O、A除外），
以OA为直径作⊙P，过P点作直线PH⊥DE于H，交⊙P于M、N，
当x＝0时，y＝x﹣3＝﹣3，则E（0，﹣3），
当y＝0时，x﹣3＝0，
解得x＝4，则D（4，0），
∴OD＝4，
∴DE＝＝5，
∵A（2，0），
∴P（1，0），
∴OP＝1，
∴PD＝OD﹣OP＝3，
∵∠PDH＝∠EDO，∠PHD＝∠EOD，
∴△DPH∽△DEO，
∴PH：OE＝DP：DE，
即PH：3＝3：5，
解得PH＝，
∴MH＝PH+1＝，NH＝PH﹣1＝，
∴S△NED＝×5×＝2，S△MED＝×5×＝7，
∴△CDE面积的最小值为2．
故选：C．
10．解：分情况讨论：
①当翻折后点G在点O的左侧时（如图①），即2≤x≤4，
∵EF∥AC，
∴∠BEF＝∠BAC，∠BFE＝∠BCA，
∴△BEF∽△BAC，
∴，即BN＝EF＝4﹣x，
由四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，
又∵EF∥AC，
∴EF⊥BD，
翻折后，重叠部分y＝s△EFG＝s△BEF＝（2≤x≤4）；
②当翻折后点G在点O的右侧时（如图②），即0≤x≤2，
翻折后，重叠部分y＝s梯形HIEF，
∵ON＝x，BN＝4﹣x，GN＝BN＝4﹣x，
∴OG＝4﹣2x，
又∵EF∥AC，
同理可得△GHI∽△GEF，
∴HI＝OG＝4﹣2x，
∴y＝[（4﹣x）+（4﹣2x）]•x＝4x﹣（0≤x≤2），
综上所述，y＝，
故选：A．
二、填空题（本题共4小题，共20分）
11．解：∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴当x＝﹣1时．y的最小值为：﹣4，
当x＝18时y有最大值为：357，
所以y的取值范围为：﹣4≤y≤357，
故答案为：﹣4≤y≤357．
12．解：延长线段CD，交y轴于F，
∵CD∥x轴，
∴CF⊥y轴，
∴四边形BCFO是矩形，四边形OADF是矩形，
∵点C在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴S矩形BCFO＝8，
同理S矩形OADF＝k，
∵CD∥OB，
∴＝＝，
∴OA＝CD＝AB，
∴OA＝OB，
∴S矩形OADF＝S矩形BOFC＝×8＝3，
∴k＝3，故答案为3．
13．解：连接OM、ON，如图，
∵MC⊥AB、ND⊥AB，
∴∠OCM＝∠ODN＝90°，
∵MN∥AB，
∴∠CMN+∠MCD＝180°，
∴∠CMN＝90°，
∴四边形CMND是矩形，
∴CM＝DN，
在Rt△OMC和Rt△OND中，
，
∴Rt△OMC≌Rt△OND（HL），
∴OC＝OD，∠COM＝∠DON，
∴＝，故②正确，
∵OA＝OB，OD＝OD，
∴AC＝BD，故①正确，
当四边形MCDN是正方形时，CM＝2OC，
∴OM＝OC，
∴AB＝2OM＝2OC＝MN，故③错误，
若M是的中点，连接BN，
∴∠AOM＝∠MON＝∠BON＝60°，
∵ON＝OB，
∴△ONB是等边三角形，
∵ND⊥OB，
∴OD＝DB，故④正确．
故答案为：①②④．
14．解：如图，抛物线y＝﹣x2+x，当y＝0时，则﹣x2+x＝0，
解得x1＝0，x2＝1，
∴A1（1，0），
∵y＝﹣x2+x＝﹣（x﹣）2+，
∴C1的顶点为P1（，），
∵C2与C1关于点A1成中心对称，
∴P2（，﹣），A2（2，0），
∵C3与C2关于点A2成中心对称，
∴P3（，），
∴C3的解析式为y＝﹣（x﹣）2+，
将M（，m）代入y＝﹣（x﹣）2+，
得m＝﹣（﹣）2+＝，
∴m的值为，
故答案为：（，﹣）；．
三、解答题（本题共9小题，共90分）
15．解：原式＝×1+×﹣2×（）2
＝+3﹣2×
＝+3﹣1
＝+2．
16．解：（1）∵反比例函数y＝的图象过点A（3，2）．
∴k＝3×2＝6，
∴反比例函数的表达式：y＝；
故答案为：y＝；
（2）∵矩形OBDC与反比例函数y＝的图象的另一个交点为M（m，n），
∴mn＝6，即S△BMO＝3，
∵A（3，2），
∴D（3，n），S△AOC＝＝3，
∴S四边形OADM＝S矩形OBDC﹣S△BOM+S△AOC＝3n﹣3﹣3＝6，
∴n＝4，
∴m＝＝，
∴M（，4）．
17．解：（1）如图，△AB1C1即为所求；
（2）如图，△A1B2C1即为所求，线段AC1扫过的面积＝＝5π．
18．（1）证明：连接OC，
∵⊙O的面积为2π，
∴π•（）2＝2π，
∴AB＝2或AB＝﹣2（舍去），
∵DC与⊙O相切于点C，
∴∠OCD＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACB﹣∠OCB＝∠OCD﹣∠OCB，
∴∠ACO＝∠DCB，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO，
∴∠A＝∠DCB，
∵BD⊥CD，
∴∠BDC＝90°，
∴∠ACB＝∠BDC＝90°，
∴△DCB∽△CAB，
∴＝，
∴BC2＝AB•DB，
∴BC2＝2BD；
（2）如图：
由（1）得：AB＝2，
∴OB＝OC＝AB＝，
∵OB＝OC，OD⊥BC，
∴∠COD＝∠BOD，
∵OD＝OD，
∴△OCD≌△OBD，
∴∠OBD＝∠OCD＝90°，
∵∠BDC＝90°，
∴四边形OCDB是矩形，
∵OC＝OB，
∴四边形OCDB是正方形，
∴OD＝BC＝OB＝2，
∴OD的长为2．
19．解：（1）过点P作PC⊥AB，交AB的延长线于点C，
由题意得，∠PAC＝30°，∠PBC＝45°，AB＝20海里，
设PC＝x海里，则BC＝x海里，
在Rt△PAC中，
∵tan30°＝＝＝，
∴x＝10+10，
∴PA＝2x＝（20+20）海里，
答：A，P之间的距离AP为（20+20）海里；
（2）因为PC﹣10（3+）＝10+10﹣30﹣10＝10（+1）（﹣）＜0，
所以有触礁的危险；
设海监船无触礁危险的新航线为射线BD，作PE⊥BD，垂足为E，
当P到BD的距离PE＝10（3+）海里时，
有sin∠PBE＝＝＝，
∴∠PBD＝60°，
∴∠CBD＝60°﹣45°＝15°，
90°﹣15°＝75°，
因此，要小于75°才安全通过，
答：海监船由B处开始沿南偏东小于75°的方向航行能安全通过这一海域．
20．解：（1）∵AE是⊙O的切线，
∴∠EAD＝90°，
∴∠EDA＝90°﹣∠E，
∴∠BDC＝∠EDA＝90°﹣∠E，
又∵BC＝CD，
∴∠B＝∠BDC＝90°﹣∠E；
∵∠E＝20°，
∴∠B＝90°﹣20°＝70°；
（2）连接AC，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAD+∠B＝90°，
由（1）可知∠B＝90°﹣∠E，
即∠E+∠B＝90°，
∴∠CAD＝∠E，
又∵∠ACD＝∠ECA，
∴△ACD∽△ECA，
∴，
∴AC2＝EC•CD．
（3）连接BF，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AFB＝90°，
∴cos∠FAB＝，
设BC＝CD＝a，
则ED＝3BC＝3a，
EC＝ED+CD＝4a，
∵CD＝BC，
∴∠ABC＝∠CDB＝∠ADF＝∠AFD，
设AD＝AF＝b，
由（2）知AC2＝EC•CD＝4a•a＝4a2，
∴AC＝2a，
AB＝，
∵CAB＝∠E，∠ACB＝∠EAD＝90°
∴Rt△ACB∽Rt△EAD，
∴，
即，
∴EA＝2b，
在Rt△EAD中，EA2+AD2＝ED2，
∴ED＝，
又∵ED＝3a，
∴，
∴，
∴cos∠FAB＝＝．
21．解：（1）由题意得：
y＝（210﹣10x）（50+x﹣40）
＝﹣10x2+110x+2100（0＜x≤15且x为整数）；
（2）由（1）中的y与x的解析式配方得：y＝﹣10（x﹣5.5）2+2402.5，
∵a＝﹣10＜0，
∴当x＝5.5时，y有最大值2402.5，
∵0＜x≤15，且x为整数，
当x＝5时，50+x＝55，y＝2400（元），
当x＝6时，50+x＝56，y＝2400（元），
∴当售价定为每件55或56元，每个月的利润最大，最大的月利润是2400元；
（3）由题意得：y＝（210﹣10x）（50+x﹣40﹣a）＝﹣10（x﹣21）（x+10﹣a）＝﹣10x2+（110+10a）x+（2100﹣210a），
函数的对称轴为直线x＝（21﹣10+a），
＜8.5，
∴a＜6，
故：a的取值范围为2＜a＜6．
22．解：（1）在Rt△AOB中，tan∠ABO＝，
∵OB＝6，∠ABO＝α，tanα＝，
∴＝，
∴OA＝8，
∴A（8，0），
将A（8，0），B（0，6）代入y＝kx+b得：
，
∴，
∴一次函数关系式为y＝﹣x+6；
（2）①如图：
作法：（1）作∠ABO的平分线BE交OA于E，
（2）过E作EP⊥OA，交AB于P，
（3）以点P为圆心，BP为半径作⊙P，
⊙P即为所求；
②设⊙P半径为x，则PB＝PE＝x，
∵BO⊥OA，PE⊥OA，
∴PE∥OB，
∴∠APE＝∠ABO，∠AEP＝∠AOB，
∴△APE∽△ABO，
∴＝，
∵OA＝8，OB＝6，
∴AB＝＝10，
∴＝，
解得x＝，
∴⊙P的半径为；
（3）由题意：∠AMA1＝2α，MA1与⊙O相切于点T，设MA1交x轴于R，交y轴于N，过M作MK⊥x轴于K，
当切点在x轴下方时，如图：
∵MK⊥x轴，
∴MK∥OB，
∴∠AMK＝∠ABO＝α，
∵∠AMA1＝2α，
∴∠KMA1＝α＝∠ONT，
在Rt△ONT中，tanα＝，
∵tanα＝，OT＝3，
∴＝，
∴NT＝，
∴ON＝＝＝，
在Rt△RON中，tanα＝，
∴＝，
∴OR＝5，
∵OA＝8，
∴AR＝OA﹣OR＝3，
∵∠AMK＝∠KMR＝α，MK⊥x轴，
∴AK＝RK＝＝，
∴OK＝OR+RK＝，
在Rt△RMK中，tanα＝，
∴＝，
∴MK＝，
∴“和谐点”M（，），
当切点在x轴上方时，如图：
同理可得NT＝，ON＝，OR＝5，AR＝13，
∴RK＝，OK＝，MK＝，
∴M（，），
综上所述，M的坐标是（，）或（，）．
23．解：（1）如图2中，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∠D＝∠B＝45°
∴∠BAC＝∠DCA，
∵AP＝PC，
∴∠PCA＝∠PAC，∵∠BAC＝∠DAP，
∴∠DAP＝∠CAP＝∠PCA，
在△ADC中，∠D+∠DCA+∠DAC＝180°，
∴3∠PCA＝135°
∴∠PCA＝45°．
故答案为45°．
（2）如图3中，
在线段AD上取一点P，使得PC＝PA，则△PAC是等腰三角形，
∴∠PAC＝∠PCA，
∴∠DPC＝∠PAC+∠PPCA＝2∠PAC，
∵∠BAC＝2∠CAD，
∴∠BAC＝∠DPC，
∵∠BCA＝∠D，
∴△CBA∽△DCP，
∴△PAC是一个AD边上的“等腰邻相似三角形APC”，
（3）由题意△APC是等腰直角三角形，
∵△APC与△ABC，△ABC与△PCD相似，
∴△PDC，△ABC都是等腰直角三角形；
如图4中，当点P在线段AD上，∠ABC＝90°时，易证∠DAB＝90°，AB＝AP＝PD＝1，BD＝＝．
如图5中，当点P在线段AD上，∠BAC＝90°时，作BE⊥DA交DA的延长线于E．易知DE＝3，EB＝1，BD＝＝．
当∠ACB＝90°时，四边形ABCD不存在，不符合题意；
如图6中，如图7中，BD的长度与图4，图5类似．
综上所述，满足条件的BD的长度为或．
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