安徽省合肥市长丰县2021-2022学年九年级（上）期末数学试卷(含答案)

这是一份安徽省合肥市长丰县2021-2022学年九年级（上）期末数学试卷(含答案)，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年安徽省合肥市长丰县九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．（4分）下列函数中，是反比例函数的是（　　）
A．y＝x B．y＝﹣2x+3 C．y＝ D．y＝
2．（4分）若二次函数y＝mx2（m≠0）的图象经过点（2，﹣5），则它也经过（　　）
A．（﹣2，﹣5） B．（﹣2，5） C．（2，5） D．（﹣5，2）
3．（4分）以下列数据（单位：cm）为长度的各组线段中，成比例的是（　　）
A．2、3、4、5 B．2、3、4、6 C．1、2、3、4 D．1、4、9、16
4．（4分）如图，∠α的顶点位于正方形网格的格点上，若tanα＝，则满足条件的∠α是（　　）
A． B．
C． D．
5．（4分）两个相似六边形，若对应边之比为3：2，则这两个六边形的周长比为（　　）
A．9：4 B．9：2 C．3：1 D．3：2
6．（4分）如图，点A在反比例函数y＝（x＜0）图象上，AB⊥x轴于点B，C是OB的中点，连接AO、AC，若△ABC的面积为4，则k＝（　　）

A．﹣16 B．﹣8 C．8 D．16
7．（4分）如图，窗子高AB＝m米，窗子外面上方0.2米的点C处安装水平遮阳板CD＝1米，当太阳光线与水平线成α＝60°角时，光线刚好不能直接射入室内，则m的值是（　　）

A．m＝+0.8 B．m＝+0.2 C．m＝﹣0.2 D．m＝﹣0.8
8．（4分）如图，在▱ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，那么S△BEF：S△BCF＝（　　）

A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．2：3
9．（4分）已知二次函数y＝mx2+2mx﹣1（m＞0）的最小值为﹣5，则m的值为（　　）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
10．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c的图形如图所示，则一次函数y＝ax﹣c与反比例函数y＝在同一坐标系内的图象大致为（　　）

A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）若反比例函数y＝（m≠0）与正比例函数y＝7x无交点，则m的取值范围是 　 　．
12．（5分）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，sinA＝，则BC的长为 　 　．
13．（5分）已知抛物线y＝x2+bx+c的部分图象如图所示，则方程x2+bx+c＝0的解是 　 　．

14．（5分）如图，将矩形ABCD沿着过点D的直线折叠，使点A落在BC边的E点处，折痕交AB于点F．
（1）若CD＝6，BC＝10，则BE＝　 　；
（2）若CD＝15，BE：EC＝1：4，则BF＝　 　．

三、（本大题共2小题，每小题8分，总计16分）
15．（8分）计算：3tan45°﹣（+2）0+|2﹣2|﹣．
16．（8分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点都在格点上，建立平面直角坐标系．
（1）以原点O为位似中心，将△ABC放大，使变换后得到的△A1B1C1与△ABC对应边的比为2：1，且点B的对应点B1在第三象限，请在网格内画出△A1B1C1；
（2）点A1的坐标为 　 　，点C1的坐标为 　 　．

四、（本大题共2小题，每小题8分，总计16分）
17．（8分）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝8，∠A＝60°．
（1）求BC的长．
（2）求sinB．

18．（8分）已知一系列具备正整数系数形式规律的“和谐二次函数”：y1＝x2+4x、y2＝2x2+8x、y3＝3x2+12x，…
（1）探索发现，所有“和谐二次函数”都有同一条对称轴直线x＝　 　；
（2）求二次函数yn的解析式及其顶点坐标；
（3）点（﹣2，﹣20）是否是“和谐二次函数”中某一抛物线的顶点，若是，请求出它所在的抛物线解析式；若不是，请说明理由．
五、（本大题共2小题，每小题10分，总计20分）
19．（10分）如图，一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝（k≠0）的图象相交于点A（1，﹣3）和B（m，﹣1），连接OA、OB．
（1）求一次函数的解析式；
（2）求△OAB的面积．

20．（10分）如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB＝BC＝18cm，底座厚度为3cm，水平距离AD＝24cm，灯臂与底座构成的∠BAD＝60°，当CD⊥AD时，灯臂BC与水平线所成的角为α，求此时cosα的值及顶端C到桌面的高度（结果保留根号）．

六、（本大题共1小题，每小题12分，总计12分）
21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2x，M（x1，m）、N（x2，m）（x1＜x2）是此抛物线上的两点．
（1）求抛物线顶点坐标．
（2）若3x2﹣x1＝10，求m的值．
（3）若线段MN的长度不小于10，求m的最小值．
七、（本大题共1小题，每小题12分，总计12分）
22．（12分）（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠BCD＝∠A，求证：BC2＝BD•AB．
（2）如图2，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，CD平分∠ACB，若BC＝1，求AB的长．

八、（本大题共1小题，每小题14分，总计14分）
23．（14分）抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣，0），B（3，0）（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线l经过B、C两点，P为抛物线上一个动点（不与B、C重合）．
（1）求抛物线解析式及直线l的表达式；
（2）如图，当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PE∥x轴交直线l于点E，设点P的横坐标为n．
①求线段PE的长（用含n的代数式表示）；
②求点P到直线BC距离的最大值．


2021-2022学年安徽省合肥市长丰县九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．（4分）下列函数中，是反比例函数的是（　　）
A．y＝x B．y＝﹣2x+3 C．y＝ D．y＝
【分析】根据反比例函数的定义判断即可．
【解答】解：A．y＝x是正比例函数，故A不符合题意；
B．y＝﹣2x+3是一次函数，故B不符合题意；
C．y＝是反比例函数，故C符合题意；
D．y＝不是反比例函数，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键．
2．（4分）若二次函数y＝mx2（m≠0）的图象经过点（2，﹣5），则它也经过（　　）
A．（﹣2，﹣5） B．（﹣2，5） C．（2，5） D．（﹣5，2）
【分析】根据抛物线的对称性求解．
【解答】解：∵y＝mx2，
∴抛物线对称轴为y轴，
∵图象经过点（2，﹣5），
∴图象经过点（﹣2，﹣5），
故选：A．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
3．（4分）以下列数据（单位：cm）为长度的各组线段中，成比例的是（　　）
A．2、3、4、5 B．2、3、4、6 C．1、2、3、4 D．1、4、9、16
【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．对选项一一分析，排除错误答案．
【解答】解：A、1×4≠2×3，故选项不符合题意；
B、3×4＝6×2，故选项符合题意；
C、1×4≠2×3，故选项不符合题意；
D、1×16≠9×4，故选项不符合题意．
故选：B．
【点评】此题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．同时注意单位要统一．
4．（4分）如图，∠α的顶点位于正方形网格的格点上，若tanα＝，则满足条件的∠α是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据正切的定义分别求出每个图形中的α的正切值可得答案．
【解答】解：A．观察图形可得tanα＝，符合题意；
B．观察图形可得tanα＝，不符合题意；
C．观察图形可得tanα＝，不符合题意；
D．观察图形可得tanα＝，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义并能在解直角三角形中灵活应用是解题的关键．
5．（4分）两个相似六边形，若对应边之比为3：2，则这两个六边形的周长比为（　　）
A．9：4 B．9：2 C．3：1 D．3：2
【分析】根据相似多边形的周长的比等于相似比求解．
【解答】解：两个相似六边形的对应边之比为3：2，则这两个相似六边形的周长之比3：2．
故选：D．
【点评】本题考查了相似多边形的性质：相似多边形的周长的比等于相似比．
6．（4分）如图，点A在反比例函数y＝（x＜0）图象上，AB⊥x轴于点B，C是OB的中点，连接AO、AC，若△ABC的面积为4，则k＝（　　）

A．﹣16 B．﹣8 C．8 D．16
【分析】由C是OB的中点求△AOB的面积，设A（a，b）根据面积公式求﹣ab，最后求k．
【解答】解：∵C是OB的中点，△ABC的面积为4，
∴△AOB的面积为8，
设A（a，b），
∵AB⊥x轴于点B，
∴﹣ab＝16，
∵点A在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，
∴k＝﹣16．
故选：A．
【点评】本题考查了比例系数k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，掌握用面积法求k是解题关键．
7．（4分）如图，窗子高AB＝m米，窗子外面上方0.2米的点C处安装水平遮阳板CD＝1米，当太阳光线与水平线成α＝60°角时，光线刚好不能直接射入室内，则m的值是（　　）

A．m＝+0.8 B．m＝+0.2 C．m＝﹣0.2 D．m＝﹣0.8
【分析】根据三角函数求出BC的长度，BC﹣AC即可得出m的值．
【解答】解：∵CD＝1米，∠CDB＝α＝60°，
∴BC＝CD•tanα＝1×＝，
∴m＝AB＝BC﹣AC＝0.2，
故选：C．
【点评】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练应用三角函数解直角三角形是解题的关键．
8．（4分）如图，在▱ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，那么S△BEF：S△BCF＝（　　）

A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．2：3
【分析】由矩形性质可证明△BEF∽△DCF，从而可得，由于△BEF与△BCF等高，故S△BEF：S△BCF＝1：2．
【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，E为AB中点，
∴AB∥CD，BE＝，
∴△BEF∽△DCF，
∴，
∵△BEF与△BCF等高，
∴S△BEF：S△BCF＝．
故选：A．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的面积，平行四边形的性质，证明△BEF∽△DCF，得到EF：CF＝1：2是解题的关键．
9．（4分）已知二次函数y＝mx2+2mx﹣1（m＞0）的最小值为﹣5，则m的值为（　　）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
【分析】将抛物线解析式化为顶点式求解．
【解答】解：∵y＝mx2+2mx﹣1＝m（x+1）2﹣m﹣1，m＞0，
∴抛物线开口向上，函数最小值为﹣m﹣1，
∴﹣m﹣1＝﹣5，
解得m＝4．
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的最值，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与不等式的关系．
10．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c的图形如图所示，则一次函数y＝ax﹣c与反比例函数y＝在同一坐标系内的图象大致为（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据抛物线图形，可得a＞0，c＜0，再由x＝1时，y＝a+b+c＜0，即可判断出答案．
【解答】解：由抛物线图形，可得a＞0，c＜0，根据一次函数y＝ax﹣c的图形，可排除B、D；
当x＝1时，y＝a+b+c＜0，根据反比例函数图象，可排除A．
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数的图象及二次函数的图形，注意隐含条件的挖掘“当x＝1时，y＝a+b+c＜0”．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）若反比例函数y＝（m≠0）与正比例函数y＝7x无交点，则m的取值范围是 　m＜0　．
【分析】根据反比例函数和一次函数的性质即可求得．
【解答】解：∵正比例函数y＝7x的图象过第一、三象限，
∵反比例函数y＝（m≠0）与正比例函数y＝7x无交点，
∴反比例函数y＝（m≠0）的图象过第二、四象限，
∴m＜0．
故答案为m＜0．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数和反比例函数的性质，熟知一次函数和反比例函数的性质是解题的关键．
12．（5分）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，sinA＝，则BC的长为 　9　．
【分析】根据正弦的定义得到sinA＝＝，然后把AB＝15代入计算即可．
【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，
∴sinA＝＝，
∴BC＝AB＝×15＝9．
故答案为：9．
【点评】本题考查了解直角三角形，锐角三角函数的定义等知识点，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键．
13．（5分）已知抛物线y＝x2+bx+c的部分图象如图所示，则方程x2+bx+c＝0的解是 　x1＝﹣1，x2＝3　．

【分析】根据函数图象，可以得到抛物线的y＝x2+bx+c的对称轴与x轴的一个交点，从而可以写出另一个交点，然后即可得到当y＝0时对应的x的值，即方程x2+bx+c＝0的解．
【解答】解：由图象可得，
抛物线y＝x2+bx+c的对称轴是直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），
∴该抛物线于x轴的另一个交点坐标为（3，0），
∴当y＝0时，0＝x2+bx+c对应的x的值是x1＝﹣1，x2＝3，
故答案为：x1＝﹣1，x2＝3．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数与一元二次方程的关系，解答本题的关键是写出抛物线与x轴的交点坐标．
14．（5分）如图，将矩形ABCD沿着过点D的直线折叠，使点A落在BC边的E点处，折痕交AB于点F．
（1）若CD＝6，BC＝10，则BE＝　2　；
（2）若CD＝15，BE：EC＝1：4，则BF＝　　．

【分析】（1）根据矩形的性质，利用勾股定理求得CE的长，再根据BE＝BC﹣CE，即可得出BE的长；
（2）先根据Rt△CDE中，CD2+CE2＝DE2，求得BE的长，再根据Rt△BEF中，BE2+BF2＝FE2，即可得到BF的长．
【解答】解：（1）由题可得，DE＝AD＝BC＝10，∠C＝90°，
Rt△CDE中，CE＝＝＝8，
∴BE＝BC﹣CE＝10﹣8＝2，
故答案为：2；
（2）设BE＝x，则CE＝4x，DE＝AD＝5x，
Rt△CDE中，CD2+CE2＝DE2，
即152+（4x）2＝（5x）2，
解得x1＝5或x2＝﹣5（不合题意），
∴BE＝5，
设BF＝y，则AF＝EF＝15﹣y，
Rt△BEF中，BE2+BF2＝FE2，
即52+y2＝（15﹣y）2，
解得y＝，
∴BF＝．
故答案为：．
【点评】此题属于折叠问题，翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．解题时常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
三、（本大题共2小题，每小题8分，总计16分）
15．（8分）计算：3tan45°﹣（+2）0+|2﹣2|﹣．
【分析】根据特殊角的三角函数值，零指数幂，绝对值，二次根式的化简进行运算即可得出答案．
【解答】解：原式＝3﹣1+2﹣2﹣4
＝﹣2．
【点评】本题考查了实数的运算，零指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值，二次根式的化简，掌握负数的绝对值等于它的相反数是解题的关键．
16．（8分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点都在格点上，建立平面直角坐标系．
（1）以原点O为位似中心，将△ABC放大，使变换后得到的△A1B1C1与△ABC对应边的比为2：1，且点B的对应点B1在第三象限，请在网格内画出△A1B1C1；
（2）点A1的坐标为 　（﹣4，2）　，点C1的坐标为 　（2，﹣4）　．

【分析】（1）把A、B、C横坐标与纵坐标乘以﹣2，即可得到A1、B1、C1的坐标（或A'1、B'1、C'1的坐标），然后描点连线即可．
（2）根据图形写出点A1的坐标和点C1的坐标即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）点A1的坐标为（﹣4，2），点C1的坐标为（2，﹣4），
故答案为：（﹣4，2），（2，﹣4）．

【点评】本题考查了作图﹣位似变换：画位似图形的一般步骤为：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
四、（本大题共2小题，每小题8分，总计16分）
17．（8分）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝8，∠A＝60°．
（1）求BC的长．
（2）求sinB．

【分析】（1）过点C作CD⊥AB，垂足为D．可利用∠A的三角函数值求出AD、CD，在Rt△BCD中利用勾股定理求出BC；
（2）Rt△BCD中利用边角间关系可得结论．
【解答】解：（1）过点C作CD⊥AB，垂足为D．
在Rt△ACD中，
∵∠A＝60°，AC＝8，
∴∠ACD＝30°．
∴AD＝AC＝4．
∴CD＝＝4，BD＝AB﹣AD＝1．
在Rt△BCD中，
BC＝＝＝7．
（2）在Rt△BCD中，
由（1）知：CD＝4，BC＝7，
∴sinB＝＝．

【点评】本题考查了解直角三角形，掌握特殊角的三角函数值、勾股定理及直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．
18．（8分）已知一系列具备正整数系数形式规律的“和谐二次函数”：y1＝x2+4x、y2＝2x2+8x、y3＝3x2+12x，…
（1）探索发现，所有“和谐二次函数”都有同一条对称轴直线x＝　﹣2　；
（2）求二次函数yn的解析式及其顶点坐标；
（3）点（﹣2，﹣20）是否是“和谐二次函数”中某一抛物线的顶点，若是，请求出它所在的抛物线解析式；若不是，请说明理由．
【分析】（1）由抛物线对称轴为直线x＝﹣求解．
（2）根据y1＝x2+4x、y2＝2x2+8x、y3＝3x2+12x可得yn＝nx2+4nx，进而求解．
（3）将（﹣2，﹣20）代入yn＝nx2+4nx求n的值，进而求解．
【解答】解：（1）∵抛物线对称轴为直线x＝﹣，
∴抛物线y1＝x2+4x、y2＝2x2+8x、y3＝3x2+12x的对称轴为直线x＝﹣2，
故答案为：﹣2．
（2）∵y1＝x2+4x＝x2+1×4x，
y2＝2x2+8x＝2x2+2×4x，
y3＝3x2+12x＝3x2+3×4x，
..．
∴yn＝nx2+4nx．
把x＝﹣2代入yn＝nx2+4nx得yn＝﹣4n，
∴二次函数yn的解析式为yn＝nx2+4nx，顶点坐标为（﹣2，﹣4n）．
（3）把x＝﹣2代入yn＝nx2+4nx得yn＝﹣4n，
当﹣4n＝﹣20时，n＝5，满足题意，
∴点（﹣2，﹣20）是“和谐二次函数”y5＝5x2+20x的顶点．
【点评】本题考查二次函数的新定义问题，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，根据y1、y2、y3的解析式求出yn的解析式．
五、（本大题共2小题，每小题10分，总计20分）
19．（10分）如图，一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝（k≠0）的图象相交于点A（1，﹣3）和B（m，﹣1），连接OA、OB．
（1）求一次函数的解析式；
（2）求△OAB的面积．

【分析】（1）把A点的坐标代入反例函数解析式即可求出反比例函数解析式，进而得出B的坐标，把A、B的坐标代入一次函数解析式即可求出一次函数解析式；
（2）△AOB的面积＝△BOD的面积﹣△AOD的面积．
【解答】解：（1）∵反比例函数y＝（k≠0）的图象经过A（1，﹣3），
∴﹣3＝．
∴k＝﹣3，
∴反比例函数的表达式为y＝﹣．
∵B（m，﹣1）在y＝﹣上，
∴m＝3．
∴B点坐标为（3，﹣1）；
把A，B两点的坐标代入y＝ax+b，得，
解得：，
∴一次函数的表达式为：y＝x﹣4；
（2）当x＝0时，y＝﹣4．
∴D点坐标为（0，﹣4）．
∴S△AOB＝S△BOD﹣S△AOD＝﹣＝4．

【点评】本题主要考查了反比例函数和一次函数的交点问题，用待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式的应用，主要考查学生的计算能力．
20．（10分）如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB＝BC＝18cm，底座厚度为3cm，水平距离AD＝24cm，灯臂与底座构成的∠BAD＝60°，当CD⊥AD时，灯臂BC与水平线所成的角为α，求此时cosα的值及顶端C到桌面的高度（结果保留根号）．

【分析】过点B作BF⊥CD于点F，作BG⊥AD于点G，根据矩形的性质得到BG＝FD，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：过点B作BF⊥CD于点F，作BG⊥AD于点G，
∵CE⊥AD，BF⊥CD，BG⊥AD，
∴四边形BFDG矩形，
∴BG＝FD，
在Rt△ABG中，∠BAG＝60°，AB＝18cm，
∴BG＝AB•sin60°＝18×＝6（cm），AG＝AB＝9（cm），
∵AD＝24cm，
∴BF＝DG＝AD﹣AG＝15（cm），
在Rt△BCF中，cosα＝＝＝，CF＝＝＝3（cm），
∴CE＝CF+DF+DE＝（3+6+3）cm，
∴答：此时cosα的值为，灯罩顶端C到桌面的高度CE是（3+6+3）cm．

【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键．
六、（本大题共1小题，每小题12分，总计12分）
21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2x，M（x1，m）、N（x2，m）（x1＜x2）是此抛物线上的两点．
（1）求抛物线顶点坐标．
（2）若3x2﹣x1＝10，求m的值．
（3）若线段MN的长度不小于10，求m的最小值．
【分析】（1）把解析式转化为顶点式即可得到顶点坐标．
（2）根据抛物线的性质可得，x2+x1＝2，再联立可求出x2和x1，再代入抛物线即可求出m的值．
（2）根据题意可知|x2﹣x1|≥10，结合抛物线的性质可得x2+x1＝2，代入求出x1的取值范围，再结合抛物线增减性可得结论．
【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，
∴抛物线顶点坐标为（1，﹣1）；
（2）∵M（x1，m）、N（x2，m）（x1＜x2），
∴M，N的纵坐标相等，
∴x2+x1＝2，
联立，
解得，x1＝﹣1，x2＝3，
∴m＝（﹣1）2﹣2×（﹣1）＝1+2＝3；
∴m的值为3；
（3）根据题意可知，x2﹣x1≥10，
∵x2+x1＝2，
∴x1＝2﹣x2，
∴x2﹣（2﹣x2）≥10，整理得，x2≥6，
∵x≥1时，y随x的增大而增大，
∴m≥62﹣2×6＝36﹣12＝24．
故m的最小值为24．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握含参二次函数的性质．
七、（本大题共1小题，每小题12分，总计12分）
22．（12分）（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠BCD＝∠A，求证：BC2＝BD•AB．
（2）如图2，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，CD平分∠ACB，若BC＝1，求AB的长．

【分析】（1）证明△BDC∽△BAC．由相似三角形的性质可得出．则可得出结论；
（2）证明△ABC∽△CBD，由相似三角形的性质可得出，设BD＝x，则AB＝x+1，得出，解方程可得出答案．
【解答】（1）证明：∵∠BCD＝∠A，∠B＝∠B，
∴△BDC∽△BAC．
∴．
∴BC2＝BD•AB．
（2）解：∵AB＝AC，∠BAC＝36°，
∴∠B＝∠ACB＝72°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD＝36°＝∠A，
∴∠BDC＝72°，
∴∠BDC＝∠B，
∴BC＝CD，
∴AD＝CD＝BC＝1，
又∵∠B＝∠B，
∴△ABC∽△CBD，
∴，
设BD＝x，则AB＝x+1，
∴，
即x2+x﹣1＝0，
解得x＝（负值舍去），
∴x＝，
∴AB＝x+1＝+1＝．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，证明三角形相似是解决问题的关键．
八、（本大题共1小题，每小题14分，总计14分）
23．（14分）抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣，0），B（3，0）（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线l经过B、C两点，P为抛物线上一个动点（不与B、C重合）．
（1）求抛物线解析式及直线l的表达式；
（2）如图，当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PE∥x轴交直线l于点E，设点P的横坐标为n．
①求线段PE的长（用含n的代数式表示）；
②求点P到直线BC距离的最大值．

【分析】（1）把点A和点B的坐标代入抛物线的解析式，即可求出a，b的值；令x＝0可得出点C的坐标，进而可求出直线l的表达式；
（2）①根据抛物线的解析式可表达点P的坐标，又PE∥x轴及（1）中l的解析式，由此可得点E的坐标，进而可得PE的长；
②过点P作PF⊥BC于F，由此△PEF∽△CBO，则PF＝PE，根据二次函数的性质可求出PE的最大值．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣，0），B（3，0），
∴抛物线的解析式可表达为：y＝a（x+）（x﹣3）＝ax2﹣2ax+9a，
∴﹣9a＝3，解得a＝﹣，
∴b＝﹣2a＝，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+3．
令x＝0，则y＝3，
∴C（0，3）．
设直线l的解析式为：y＝kx+c，
∴，解得，
∴直线l的解析式为：y＝﹣x+3．
（2）①∵点P在抛物线y＝﹣x2+x+3上，
∴P（n，﹣n2+n+3），
∵PE∥x轴，
∴点E和点P的纵坐标相同，
又∵点E在直线l上，
∴﹣n2+n+3＝﹣x+3，
解得x＝n2﹣2n，
∴E（n2﹣2n，﹣n2+n+3），
∴PE＝n﹣（n2﹣2n）＝﹣n2+3n．
②如图，过点P作PF⊥BC于F，

∴∠PFE＝∠COB＝90°，
∵PE∥x轴，
∴∠PEF＝∠CBO，
∴△PEF∽△CBO，
∴PE：PF＝BC：OC，
∵OC＝3，OB＝3，
∴BC＝6，
∴PE：PF＝BC：OC＝2：1，
∴PF＝PE＝（﹣n2+3n）＝﹣（n﹣）2+．
∵﹣＜0，
∴当n＝时，PF的最大值为，即点P到BC的最大值为．
【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数的解析式、二次函数的性质、勾股定理，解题的关键是用含有未知数的代数式表达点的坐标和线段的长度．