2022-2023学年安徽省合肥市庐阳区九年级（上）期末数学试卷

这是一份2022-2023学年安徽省合肥市庐阳区九年级（上）期末数学试卷，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年安徽省合肥市庐阳区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．（4分）抛物线的顶点坐标是　　
A． B． C． D．
2．（4分）下列各选项的图案是中心对称图形的是　　
A． B．
C． D．
3．（4分）若点在反比例函数的图象上，则代数式的值为　　
A． B．0 C．2 D．
4．（4分）已知，下列结论正确的是（　　）
A．ab＝6 B．2a＝3b C．a＝ D．3a＝2b
5．（4分）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（结果精确到．参考数据：，，　　

A． B． C． D．
6．（4分）如图，⊙O的直径AB与弦CD交于点E，CE＝DE，则下列说法错误的是（　　）

A．＝ B．OE＝BE C．CA＝DA D．AB⊥CD
7．（4分）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点，，在坐标轴上，若点的坐标为，，则菱形的周长为　　

A．6 B． C． D．
8．（4分）三个顶点的坐标分别为，，，以原点为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，可以得到△，则点的坐标是　　
A． B．或
C．或 D．
9．（4分）如图，图1是装满了液体的高脚杯（数据如图），用去部分液体后，放在水平的桌面上如图2所示，此时液面距离杯口的距离　　

A． B． C． D．
10．（4分）平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于，两点，其中点在第一象限．设为双曲线上一点，直线，分别交轴于，两点，则的值为　　
A．2 B．4 C．6 D．8
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）若二次函数的图象与轴只有一个交点，则的值为 　　．
12．（5分）如图，在平面直角坐标系中，，两点分别在反比例函数，的图象上，直线交轴于点，且轴，若，则的值为　　．

13．（5分）如图，在中，，截三边所得的弦长，则　　度．

14．（5分）正方形纸片中，，分别是、上的点，且，交于．若为中点，则　　；若，则　　．

三、（本大题共9小题，总计90分）
15．（8分）计算：．
16．（8分）已知直线和直线外的两点、，经过、作一圆，使它的圆心在直线上．

17．（8分）如图，在中，，，，求长．

18．（8分）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，和的顶点都在边长为1的小正方形的格点上：
（1）则　　，　　；
（2）判断与是否相似，若相似，请说明理由．

19．（10分）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点、，与轴交于点，与轴交于点．
（1）求、的值；
（2）观察函数图象，直接写出不等式的解集；
（3）连接，，求的面积．

20．（10分）如图，的直径垂直于弦，垂足为，，．
（1）求的半径长；
（2）连接，作于点，求的长．

21．（12分）为进一步加强疫情防控工作，避免在测温过程中出现人员聚集现象，某学校决定安装红外线体温检测仪，该设备通过探测人体红外辐射能量对进入测温区域的人员进行快速测温（如图，其红外线探测点可以在垂直于地面的支杆上下调节（如图，已知探测最大角为，探测最小角为．
（1）若该设备的安装高度为1.6米时，求测温区域的宽度．
（2）该校要求测温区域的宽度为2.53米，请你帮助学校确定该设备的安装高度．
（结果精确到0.01米，参考数据：，，，，，

22．（12分）如图1，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点A，点B，与y轴相交于点C，AO＝BO＝2，C（0，﹣4）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，点P为CO上一点（不与C，O重合），过点P作CO的垂线，与抛物线相交于点E，点F（点E在点F的左侧），设PF＝m，PC＝d，求d与m的函数解析式．

23．（14分）如图，正方形ABCD中，点E在边AD上（不与端点A，D重合），点A关于直线BE的对称点为点F，连接CF，设∠ABE＝α．
（1）求∠AFC的大小；
（2）过点C作CG⊥AF，垂足为G，连接DG．
①求证：DG∥CF；
②连接OD，若OD⊥DG，求sinα的值．


2022-2023学年安徽省合肥市庐阳区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．（4分）抛物线的顶点坐标是　　
A． B． C． D．
【分析】由二次函数解析式求解．
【解答】解：抛物线解析式为，
顶点坐标为，
故选：．
2．（4分）下列各选项的图案是中心对称图形的是　　
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【解答】解：选项、、的图案都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项的图案能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：．
3．（4分）若点在反比例函数的图象上，则代数式的值为　　
A． B．0 C．2 D．
【分析】由点在反比例函数图象上，可得出，将其代入代数式中即可得出结论．
【解答】解：点在反比例函数的图象上，
，
．
故选：．
4．（4分）已知，下列结论正确的是（　　）
A．ab＝6 B．2a＝3b C．a＝ D．3a＝2b
【分析】根据，可得7a＝4a+2b，所以3a＝2b，即可得出答案．
【解答】解：∵，
∴7a＝4a+2b，
∴3a＝2b．
故选：D．
5．（4分）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（结果精确到．参考数据：，，　　

A． B． C． D．
【分析】设下部高为，根据雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比列方程可解得答案．
【解答】解：设下部的高度为，则上部高度是，
雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，
，
解得或（舍去），
经检验，是原方程的解，
，
故选：．
6．（4分）如图，⊙O的直径AB与弦CD交于点E，CE＝DE，则下列说法错误的是（　　）

A．＝ B．OE＝BE C．CA＝DA D．AB⊥CD
【分析】先利用垂径定理的推论可得AB⊥CD，＝，＝，从而可得AC＝AD，再连接OC，BC，然后利用等腰三角形的三线合一性质，即可解答．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，CE＝DE，
∴AB⊥CD，＝，＝，
∴AC＝AD，
故A、C、D不符合题意；
连接OC，BC，

∵OC≠CB，AB⊥CD
∴OE≠BE，
故B符合题意；
故选：B．

7．（4分）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点，，在坐标轴上，若点的坐标为，，则菱形的周长为　　

A．6 B． C． D．
【分析】根据点的坐标为，可以得到，根据，可以求出，根据勾股定理可以求出，最后由菱形的性质可以求出菱形的周长．
【解答】解：点的坐标为，
，
，
，
，
，
是直角三角形，
，
菱形的四条边相等，
菱形的周长为．
故选：．
8．（4分）三个顶点的坐标分别为，，，以原点为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，可以得到△，则点的坐标是　　
A． B．或
C．或 D．
【分析】根据位似变换的性质计算，得到答案．
【解答】解：以原点为位似中心，把缩小为原来的，得到△，点的坐标为，
则点的坐标为，或，，即或，
故选：．
9．（4分）如图，图1是装满了液体的高脚杯（数据如图），用去部分液体后，放在水平的桌面上如图2所示，此时液面距离杯口的距离　　

A． B． C． D．
【分析】高脚杯前后的两个三角形相似，根据相似三角形的判定和性质即可得出结果．
【解答】解：如图：过作于，交于，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．

10．（4分）平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于，两点，其中点在第一象限．设为双曲线上一点，直线，分别交轴于，两点，则的值为　　
A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】解法一：设，，则，分别计算直线和的解析式，令可得和的长，相减可得结论；
解法二：作辅助线，构建相似三角形，先根据两个函数的解析式计算交点和的坐标，根据为双曲线上一点，将点的坐标代入反比例函数的解析式可得的坐标，证明和，列比例式分别计算和的长，可得结论；
解法三，取特殊值，可得结论．
【解答】解：解法一：设，，则，
设直线的解析式为：，
则，解得：，
直线的解析式为：，
，
同理得：直线的解析式为：，
，
，
，
；

解法二：由题意得：，
解得：，，
点在第一象限，
，，，，
为双曲线上一点，
，
，
，，
如图，过点作轴于，过点作轴于，过点作轴于，

，
，
，
，即，
，
，，
，
，即，
，
．
解法三：取，如图，则，，，

得的解析式为：，的解析式为：，
，，
．
故选：．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）若二次函数的图象与轴只有一个交点，则的值为 　　．
【分析】根据题意可以得到关于的方程，从而可以求得的值，注意二次项系数不为零．
【解答】解：二次函数的图象与轴只有一个交点，
且，
解得，
故答案为：．
12．（5分）如图，在平面直角坐标系中，，两点分别在反比例函数，的图象上，直线交轴于点，且轴，若，则的值为　3　．

【分析】作轴于，轴于，利用反比例函数的比例系数的几何意义得到，，由，即可得到，即可求出．
【解答】解：作轴于，轴于，
，，
，
，
，
，
故答案为：3．

13．（5分）如图，在中，，截三边所得的弦长，则　125　度．

【分析】过点作于，于，于，求出，求出点是的角平分线的交点，根据三角形内角和定理求出的度数，再根据角平分线定义得出，再根据三角形内角和定理求出答案即可．
【解答】解：过点作于，于，于，如图，

，
，
平分，平分，
，，
，
，



，


，
故答案为：125．
14．（5分）正方形纸片中，，分别是、上的点，且，交于．若为中点，则　2　；若，则　　．

【分析】（1）连接，根据相似三角形计算即可；
（2）把的角放到直角三角形中，所以过作所在直线，利用角平分线的性质求解即可．
【解答】解：（1）连接，如图1，
四边形是正方形，
，且，
，，
，
，
为中点，
；
（2）过点作，交的延长线于点，如图2，
在中，，
，，
，，
即，
，，
，
即，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，




．
故答案为：2；．

三、（本大题共9小题，总计90分）
15．（8分）计算：．
【分析】，，，代入后运算即可．
【解答】解：原式．
16．（8分）已知直线和直线外的两点、，经过、作一圆，使它的圆心在直线上．

【分析】连接，作出的垂直平分线交直线于点，以为圆心，为半径作圆．
【解答】解：作图如右：
17．（8分）如图，在中，，，，求长．

【分析】由锐角的正弦，余弦定义即可求解．
【解答】解：作于，

，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
18．（8分）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，和的顶点都在边长为1的小正方形的格点上：
（1）则　135　，　　；
（2）判断与是否相似，若相似，请说明理由．

【分析】（1）利用图象法以及勾股定理解决问题即可．
（2）结论：．根据两边成比例夹角相等两三角形相似证明即可．
【解答】解：（1）观察图象可知，，．
（2）结论：．
理由：，，，，
，
，
．
19．（10分）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点、，与轴交于点，与轴交于点．
（1）求、的值；
（2）观察函数图象，直接写出不等式的解集；
（3）连接，，求的面积．

【分析】（1）把，坐标分别代入反比例函数解析式，即可求出，的值；
（2）观察函数图象，结合（1）可得不等式的解集；
（3）待定系数法可求出直线解析式，从而可得的坐标，即可得到的面积．
【解答】解：（1）把代入得：
，
，
，
把代入得：
，
解得，
，；
（2）由（1）知，，，
观察函数图象可得，当一次函数图象在反比例函数图象下方时，或，
不等式的解集为或；
（3）如图：

将、代入得：
，
解得，
，
将代入得：，
，即，
，
的面积为15．
20．（10分）如图，的直径垂直于弦，垂足为，，．
（1）求的半径长；
（2）连接，作于点，求的长．

【分析】（1）连接，如图，设的半径长为，先根据垂径定理得到，再利用勾股定理得到，然后解方程即可；
（2）先利用勾股定理计算出，再根据垂径定理得到，然后利用勾股定理可计算出的长．
【解答】解：（1）连接，如图，设的半径长为，
，
，，
在中，，，，
，
解得，
即的半径长为5；
（2）在中，，，
，
，
，，
在中，，
即的长为．

21．（12分）为进一步加强疫情防控工作，避免在测温过程中出现人员聚集现象，某学校决定安装红外线体温检测仪，该设备通过探测人体红外辐射能量对进入测温区域的人员进行快速测温（如图，其红外线探测点可以在垂直于地面的支杆上下调节（如图，已知探测最大角为，探测最小角为．
（1）若该设备的安装高度为1.6米时，求测温区域的宽度．
（2）该校要求测温区域的宽度为2.53米，请你帮助学校确定该设备的安装高度．
（结果精确到0.01米，参考数据：，，，，，

【分析】（1）根据题意可得，，，米，利用锐角三角函数列式计算即可；
（2）根据直角三角形锐角三角函数列式计算即可．
【解答】解：（1）根据题意可知：
，，，米，
在中，（米，
在中，（米，
（米．
答：测温区域的宽度为2.2米；
（2）根据题意可知：
，
在中，，
，
在中，，
，
解得米，
（米．
答：该设备的安装高度约为1.84米．
22．（12分）如图1，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点A，点B，与y轴相交于点C，AO＝BO＝2，C（0，﹣4）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，点P为CO上一点（不与C，O重合），过点P作CO的垂线，与抛物线相交于点E，点F（点E在点F的左侧），设PF＝m，PC＝d，求d与m的函数解析式．

【分析】（1）由AO＝BO＝2，可得出点A，B的坐标，将A，B，C代入抛物线的解析式，解之即可；
（2）由点F在抛物线上，可得点F的坐标，进而可得出点P的坐标，由线段的和差可得结论．
【解答】解：（1）∵OA＝OB＝2，
∴A（﹣2，0），B（2，0），
将A（﹣2，0），B（2，0），C（0，﹣4）代入抛物线y＝ax2+bx+c，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4；
（2）∵点F的横坐标为m，且点F在抛物线y＝x2﹣4上，
∴F（m，m2﹣4），
∴P（0，m2﹣4），
∵C（0，﹣4），
∴PC＝m2﹣4﹣（﹣4）＝m2（0＜m＜2），
∴d与m的函数解析式d＝m2（0＜m＜2）．
23．（14分）如图，正方形ABCD中，点E在边AD上（不与端点A，D重合），点A关于直线BE的对称点为点F，连接CF，设∠ABE＝α．
（1）求∠AFC的大小；
（2）过点C作CG⊥AF，垂足为G，连接DG．
①求证：DG∥CF；
②连接OD，若OD⊥DG，求sinα的值．

【分析】（1）由轴对称的性质可得AB＝BF，BE⊥AF，可求∠CBF＝90°﹣2α，由等腰三角形的性质可求解；
（2）①通过证明点A，点D，点G，点C四点共圆，可得∠AGD＝∠ACD＝45°，由等腰三角形的性质可得∠AFB＝90°﹣α，可得∠CFG＝45°＝∠DGA，可证DG∥CF；
②先证明△ODG和△CFG均为等腰直角三角形，可得：DO＝DG，FG＝CG，再证明△DAO≌△DCG（SAS），可得AO＝CG，再由对称可得AO＝OF，进而推出AF＝2DF，利用勾股定理可得AD＝DF，再利用三角函数定义即可求得答案．
【解答】（1）解：如图1，连接BF，

∵点A关于直线BE的对称点为点F，
∴AB＝BF，BE⊥AF，
∴∠ABE＝∠EBF＝α，
∴∠BFA＝90°﹣α，∠CBF＝90°﹣2α，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，
∴BF＝BC，
∴∠BFC＝＝＝45°+α，
∴∠AFC＝∠BFA+∠BFC＝90°﹣α+45°+α＝135°；
（2）①证明：如图2，连接AC，BF，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACD＝45°，∠ADC＝90°，
∵CG⊥AF，
∴∠CGA＝∠ADC＝90°，
∴点A，点D，点G，点C四点共圆，
∴∠AGD＝∠ACD＝45°，
由（1）知∠AFC＝135°，
∴∠CFG＝45°＝∠DGA，
∴DG∥CF；
②解：如图3，连接BF，DF，

∵四边形ABCD是正方形，
∴DA＝DC，∠BAD＝∠ADC＝90°，
由①知：∠AGD＝∠CFG＝45°，
∵OD⊥DG，CG⊥FG，
∴∠ODG＝∠CGF＝90°，
∴△ODG和△CFG均为等腰直角三角形，
∴DO＝DG，FG＝CG，
∵∠ADO+∠OAC＝∠CDG+∠OAC＝90°，
∴∠ADO＝∠CDG，
∵DA＝DC，
∴△DAO≌△DCG（SAS），
∴AO＝CG，
∵点A关于直线BE的对称点为点F，
∴AO＝OF，
∴AO＝OF＝FG，
∴DF⊥OG，DF＝OF＝AF，
∴∠AFD＝90°，AF＝2DF，
在Rt△ADF中，AD＝＝＝DF，
∵∠ABE+∠BAO＝∠DAF+∠BAO＝90°，
∴∠DAF＝∠ABE＝α，
∴sinα＝sin∠DAF＝＝＝．