安徽省合肥市长丰县2022年九年级上学期期末数学试题及答案

 九年级上学期期末数学试题

一、单选题

1．下列函数中，是反比例函数的是（　　）

A．y=x B．y=-2x+3 C．y=- D．y=-

2．若二次函数y=mx2（m≠0）的图象经过点（2，-5），则它也经过（　　）

A．（-2，-5） B．（-2，5） C．（2，5） D．（-5，2）

3．以下列数据（单位：cm）为长度的各组线段中，成比例的是（　　）

A．2、3、4、5 B．2、3、4、6 C．1、2、3、4 D．1、4、9、16

4．如图， 的顶点位于正方形网格的格点上，若 ，则满足条件的 是（　　） 

A． B．

C． D．

5．两个相似六边形，若对应边之比为3：2，则这两个六边形的周长比为（　　）

A．9：4 B．9：2 C．3：1 D．3：2

6．如图，点A在反比例函数y=（x＜0）图象上，AB⊥x轴于点B，C是OB的中点，连接AO、AC，若△ABC的面积为4，则k=（　　）

A．-16 B．-8 C．8 D．16

7．如图，窗子高AB=m米，窗子外面上方0.2米的点C处安装水平遮阳板CD=1米，当太阳光线与水平线成α=60°角时，光线刚好不能直接射入室内，则m的值是（　　）

A．m=+0.8 B．m=+0.2 C．m=-0.2 D．m=-0.8

8．如图，在▱ABCD中，E是AB的中点 ，EC交BD于点F，那么SΔBEF：SΔBCF=（　　）

A．1：6 B．1：4 C．1：3 D．1：2

9．已知二次函数y=mx2+2mx-1（m＞0）的最小值为-5，则m的值为（　　）

A．-4 B．-2 C．2 D．4

10．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一次函数y＝bx＋a与反比例函数y＝在同一坐标内的图象大致为(　　)

A． B．

C． D．

二、填空题

11．若反比例函数y=（m≠0）与正比例函数y=7x无交点，则m的取值范围是　     　

12．在△ABC中，∠C=90°，AB=15，sin A=，则BC的长为　     　

13．已知抛物线的部分图象如图所示，则方程的解是　              　

14．如图，将矩形ABCD沿着过点D的直线折叠，使点A落在BC边的E点处，折痕交AB于点F．

（1）若CD=6，BC=10，则BE=　     　； 

（2）若CD=15，BE：EC=1：4，则BF=　     　

三、解答题

15．计算：

16．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点都在格点上，建立平面直角坐标系

（1）以原点O为位似中心，将△ABC放大，使变换后得到的△A1B1C1与△ABC对应边的比为2：1，且点B的对应点B1在第三象限，请在网格内画出△A1B1C1；

（2）点A1的坐标为　          　；点C1的坐标为　          　

17．如图，在△ABC中，AB=5，AC=8，∠A=60°

（1）求BC的长．

（2）求sinB

18．已知一系列具备正整数系数形式规律的“和谐二次函数”：y1=x2+4x、y2=2x2+8x、y3=3x2+12x、……

（1）探索发现，所有“和谐二次函数”都有同一条对称轴直线x=　     　

（2）求二次函数yn的解析式及其顶点坐标；

（3）点（-2，-20）是否是“和谐二次函数”中某一抛物线的顶点，若是，请求出它所在的抛物线解析式；若不是，请说明理由．

19．如图，一次函数y=ax+b与反比例函数的图象相交于点A（1，-3）和B（m，-1），连接OA，OB．

（1）求一次函数的表达式；

（2）求△OAB的面积．

20．如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB=BC=18cm，底座厚度为3cm，水平距离AD=24 cm，灯臂与底座构成的∠BAD=60°，当CD⊥AD时，灯臂BC与水平线所成的角为α，求此时cosα的值及顶端C到桌面的高度（结果保留根号）

21．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2-2x，M（x1，m）、N（x2，m）（x1＜x2）是此抛物线上的两点．

（1）求抛物线顶点坐标

（2）若3x2-x1=10，求m的值．

（3）若线段MN的长度不小于10，求m的最小值．

22．

（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠BCD=∠A，求证：BC2=BD•AB

（2）如图2，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，CD平分∠ACB，若BC=1，求AB的长．

23．抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（-，0）、B（3，0）（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线l经过B、C两点，P为抛物线上一个动点（不与B、C重合）．

（1）求抛物线解析式及直线l的表达式；

（2）如图，当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PEx轴交直线l于点E，设点P的横坐标为n：

①求线段PE的长（用含n的代数式表示）；

②求点P到直线BC距离的最大值；

答案解析部分

1．【答案】C

2．【答案】A

3．【答案】B

4．【答案】B

5．【答案】D

6．【答案】A

7．【答案】C

8．【答案】D

9．【答案】D

10．【答案】D

11．【答案】m<0

12．【答案】9

13．【答案】或

14．【答案】（1）2

（2）

15．【答案】解：

．

16．【答案】（1）解：如图，△A1B1C1为所作；

（2）（-4，2）；（2，-4）

17．【答案】（1）解：过点C作CD⊥AB，垂足为D ．

在Rt△ACD中，

∵∠A=60°， AC=8，

∴∠ACD=30°，

∴AD= ，

∴， BD=AB-AD=1．

∴在Rt△BCD中，；

（2）解：在Rt△BCD中，

∵由（1）知∶ CD=， BC=7，

∴．

18．【答案】（1）-2

（2）解：∵第一个函数解析式为y1=x2+4x，

第二个函数解析式为y2=2x2+8x，

第三个函数解析式为 y3=3x2+12x，

……，

∴第n个函数解析式为，

∵=，

∴顶点坐标为：（-2，-4n）；

（3）解：是“和谐二次函数”中某一抛物线的顶点，利用如下：

∵“和谐二次函数”的顶点坐标为：（-2，-4n），n为正整数，

∴-4n=-20，

解得n=5，

∴“和谐二次函数”的解析式为．

19．【答案】（1）解：∵反比例函数y=(k≠0)图象经过A(1，-3)，

∴k=1×(-3)=-3，

∴反比例函数的表达式是

∵反比例函数的图象过点B(m，-1)，

∴m=3，

∴B(3，-1)．

∵A(1，-3)，B(3，-1)两点在一次函数y=ax+b的图象上，

∴，解得，

∴一次函数的表达式是y=x-4；

（2）解：如图，

设直线AB与y轴交点为C，则C点坐标为(0，-4)，

S△OAB=S△BOC-S△AOC=×4×3- ×4×1=4．

20．【答案】解：过点B作BF⊥CD于点F作BG⊥AD于点G

∵CE⊥AD， BF⊥CD，BG⊥AD

∴四边形BFDG矩形，

BG = FD，

在Rt△ABG中，∠BAG = 60°，AB= 18cm，

∴BG=AB∙sin60°=18cm ，

AG=AB=9(cm)，

∵AD = 24cm，

∴BF=DG=AD-AG=15(cm)，

在Rt△BCF中，cosa=

CF，

∴CE=CF+DF+DE

= ( )cm

答：此时cos a的值为，灯罩顶端C到桌面的高度CE是()cm．

21．【答案】（1）解：∵y=x2-2x=（x-1）2-1，

∴抛物线顶点坐标为（1，-1）；

（2）解：∵M（x1，m）、N（x2，m）（x1＜x2），

∴M，N的纵坐标相等，

∴x2+x1=2，

联立，

解得，x1=-1，x2=3，

∴m=（-1）2-2×（-1）=1+2=3；

∴m的值为3；

（3）解：根据题意可知，x2-x1≥10，

∵x2+x1=2，

∴x1=2-x2，

∴x2-（2-x2）≥10，整理得，x2≥6，

∵x≥1时，y随x的增大而增大，

∴m≥62-2×6=36-12=24．

故m的最小值为24．

22．【答案】（1）解：∵∠BCD＝∠A，∠B＝∠B

∴△BDC∽△BCA

∴

∴

（2）解：∵AB＝AC，∠BAC=36°

∴∠B＝∠ACB＝72°

∵CD平分∠ACB

∴∠ACD＝∠BCD＝36°＝∠A

∴∠BDC＝72°＝∠ACB

∵∠B＝∠B

∴△ABC∽△CBD

∴

∵∠BDC＝∠B＝72°

∴BC=CD=1

∵∠ACD＝∠A＝36°

∴AD=BC=CD=1

设BD=x，则AB=x+1

∴

即

解得：（负值舍去）

∴

∴

23．【答案】（1）解：∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（，0），B（，0），

∴抛物线的解析式可表达为：y＝a（x+）（x﹣）＝ax2﹣ax+9a，

∴﹣9a＝3，解得a＝ ，

∴b＝a＝，

∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+3．

令x＝0，则y＝3，

∴C（0，3）．

设直线l的解析式为：y＝kx+c，

∴ ，解得 ，

∴直线l的解析式为：y＝x+3．

（2）解：①∵点P在抛物线y＝x2+x+3上，

∴P（n，n2+n+3），

∵PE∥x轴，

∴点E和点P的纵坐标相同，

又∵点E在直线l上，

∴n2+n+3＝x+3，

解得x＝n2﹣2n，

∴E（n2﹣2n，n2+n+3），

∴PE＝n﹣（n2﹣2n）＝n2+3n．

②如图，过点P作PF⊥BC于F，

∴∠PFE＝∠COB＝90°，

∵PE∥x轴，

∴∠PEF＝∠CBO，

∴△PEF∽△CBO，

∴PE：PF＝BC：OC，

∵OC＝3，OB＝3，

∴BC＝6，

∴PE：PF＝BC：OC＝2：1，

∴PF＝PE＝（n2+3n）＝（n﹣）2+．

∵＜0，

∴当n＝时，PF的最大值为，即点P到BC的最大值为．