2022-2023学年辽宁省沈阳市和平区东北育才学校七年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年辽宁省沈阳市和平区东北育才学校七年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共20分）

1. 年月日第七次全国人口普查数据显示，安徽省人口共万人，数据万用科学记数法表示正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 如图，一个有盖的圆柱形玻璃杯中装有半杯水，若任意放置这个水杯，则水面的形状不可能是(    )
    

A.  B.  C.  D.

3. 图中是正方体的展开图的共有(    )
    

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

4. 如图，数轴上的两个点、所表示的数分别为、，那么，，，的大小关系是(    )

A.  B.
C.  D.

5. 下面的说法中，正确的是(    )

A. 单项式的次数是次 B. 中底数是
C. 的系数是 D. 是多项式

6. 对于有理数，定义一种新运算“”，规定：，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

7. 如图，点为线段上一点，，，、分别是、的中点，则的长为(    )
    

A.  B.  C.  D.

8. 如图所示的运算程序中，若开始输入的值为，则第次输出的结果是(    )
    

A.  B.  C.  D.

9. 找出以如图形变化的规律，则第个图形中黑色正方形的数量是(    )
    

A.  B.  C.  D.

10. 对于任意实数和，如果满足那么我们称这一对数，为“友好数对”，记为若是“友好数对”，则(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共24分）

11. 如图，从地到地共有五条路，人们常常选择第条，请用几何知识解释原因______．

12. 某公交车原坐有人，经过个站点时上下车情况如下上车为正，下车为负：，，，，则车上还有______  人．
13. 老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如：则所捂住的多项式是______．
14. 已知某快递公司的收费标准为：寄一件物品不超过千克，收费元；超过千克的部分每千克加收元圆圆在该快递公司寄一件千克的物品，需要付费______ 元
15. 如图，长方形的长为，宽为，以该长方形的一边所在直线为轴，将其旋转一周，形成圆柱，其体积为______ 结果保留
     
16. 在数轴上点对应的数为，点是数轴上的一个动点，当动点到原点的距离与到点的距离之和为时，则点对应的数为______．
17. 已知线段，延长到，使，为的中点，若，则的长为______．
18. 已知点在直线上且，取的中点，已知线段的长为，则线段的长为______．

三、解答题（本大题共9小题，共76分）

19. 计算．
    ；
    ；
    ；
    ；
    ；
    ．
20. 合并同类项：
    ；
    ．
21. 先化简再求值：若，求的值．
22. 由几个相同的边长为的小立方块搭成的几何体，从上面观察到的形状图如图，格中的数字表示该位置的小立方块的个数．
    请在下面方格纸中分别画出这个几何体从正面和左面看到的形状图．
    
    根据形状图，这个组合几何体的表面积为______个平方单位．包括底面积
    若上述小立方块搭成的几何体从上面看到的形状图不变，各位置的小立方块个数可以改变总数目不变，则搭成这样的组合几何体中的表面积最大是为______个平方单位．包括底面积
23. 年“新冠肺炎”疫情的蔓延，使得医用口罩销量大幅增加，某口罩加工厂为满足市场需求，计划每天生产个，由于各种原因实际每天生产量与原计划相比有出入，下表是三月份某一周的生产情况超产为正，减产为负，单位：个．

请你根据记录求出前三天共生产多少个；
产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少个？
该加工厂实行计件工资制，每生产一个元，本周口罩加工厂应支付工人的工资总额是多少元？

24. 规定符号表示，两个数中较小的一个，规定符号表示两个数中较大的一个．例如，．
    计算：，
    若，，试求代数式的值．
    若，，求的值．
25. 如图，已知、两点将线段分为三部分，且：：：：，若的中点为，的中点为，且，求的长．
     
26. 月日，滴滴公布了新的滴滴快车计价规则，车费由“总里程费总时长费”两部分构成，不同时段收费标准不同，具体收费标准如下表，如果车费不足起步价，则按起步价收费．

小明早上：乘坐滴滴快车上学，行车里程千米，行车时间分钟，则应付车费多少元？
小云：放学回家，行车里程千米，行车时间分钟，则应付车费多少元？
下晚自习后小明乘坐滴滴快车回家，：在学校上车，由于堵车，平均速度是千米小时，分钟后走另外一条路回家，平均速度是千米小时，分钟后到家，则他应付车费多少元？用，表示

27. 阅读并解决相应问题：
    
    问题发现：
    在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，若在数轴上存在一点，使得点到点的距离与点到点的距离之和等于，则称点为点、的“节点”如图，若点表示的数为，有点到点的距离与点到点的距离之和为，则称点为点、的“节点”填空：
    若点表示的数为，则的值为______．
    数轴上表示整数的点称为整点，若整点为、的“节点”，请直接写出整点所表示的数．
    类比探究：
    如图，若点为数轴上一点，且点到点的距离为，请你求出点表示的数及的值，并说明理由．
    拓展延伸：
    在的条件下，若点在数轴上运动不与点、重合，满足点到点的距离等于点到点的距离的，且此时点为点、的“的节点”，求点表示的数及的值，并说明理由．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：万．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查认识几何体，解题的关键是掌握圆柱体的截面形状．
根据圆柱体的截面图形可得．
【解答】
解：将这杯水斜着放可得到选项的形状，
将水杯倒着放可得到选项的形状，
将水杯正着放可得到选项的形状，
不能得到三角形的形状，
故选：．  

3.【答案】 

【解析】解：属于正方体展开图的是第个、第个图，而第个、第个、第个图都不是正方体的展开图，
图中是正方体的展开图的共有个．
故选：．
正方体的展开有以下种类型：型分行，中间个，上下各个，共种情况，型分行，中间个，上行个，下行个连在一起，共种情况，型每行个，和尾相连，种情况，型每行个，下一行跟末尾一个相连，利用正方体展开图的特点即可得出结论．
本题考查了正方体的展开图，熟记正方体展开图的种形式是解题的关键，利用不是正方体展开图的“一线不过四、田凹应弃之”即不能出现同一行有多于个正方形的情况，不能出现田字形、凹字形的情况判断也可．从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了数轴和有理数的大小比较，把、表示在数轴上，利用数形结合是解决本题比较简单的方法．
根据相反数的意义，把、先表示在数轴上，然后再比较它们的大小关系．
【解答】
解：根据相反数的意义，把、表示在数轴上

所以．
故选：．  

5.【答案】 

【解析】

【分析】
主要考查了单项式和多项式的定义、单项式的系数和次数、幂的定义，熟练掌握这此定义是关键，比较简单．根据单项式和多顶式的概念分析判断．
【解答】
解：单项式的次数是次，所以此选项不正确；
B.中底数是，所以此选项不正确；
C.的系数是，所以此选项不正确；
D.是多项式，所以此选项正确；
故选D．  

6.【答案】 

【解析】解：，

，
故选：。
根据，可以求得所求式子的值。
本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法。
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了线段的和差，以及线段的中点的特征和应用，要熟练掌握．首先根据：，是的中点，求出的长是多少；然后根据：，，求出的长是多少，再根据是的中点，求出的长是多少，再用它减去的长，求出的长为多少即可．
【解答】
解：因为，是的中点，
所以；
因为，，
所以，
因为是的中点，
所以，
所以．
故选：．  

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查代数式求值，数字的变化规律，能够通过所给条件，探索出输出数的规律是解题的关键．
分别求出第次，第次，第次，第次，第次，第次，第次的结果，从第次开始，结果开始循环，每输入次结果循环一次；所以第次输出的结果与第次输出的结果相同，即可求解．
【解答】
解：当时，输出为，
当时，输出为，
当时，输出为，
当时，输出为，
当时，输出为，
当时，输出结果为，
当时，输出为；
当时，输出为；

由此可知，从第次开始，输出的结果是以，，，，，循环往复的，
因为
第次输出结果和第次结果相同，即为．
故选：．  

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细的观察图形并正确的找到规律，仔细观察图形并从中找到规律，然后利用找到的规律即可得到答案．
【解答】
解：观察发现图形变化规律如下，
当为偶数时，第个图形中黑色正方形的数量为个，
当为奇数时，第个图形中黑色正方形的数量为个，
当时，黑色正方形的个数为个，
故选：．  

10.【答案】 

【解析】解：是“友好数对”，
，
，
，
原式




，
故选：．
根据是“友好数对”得出，再将原式化成，最后整体代入求值即可．
本题考查代数式求值，理解“相随数对”的意义是正确计算的关键．
 

11.【答案】两点之间，线段最短 

【解析】解：从地到地共有五条路，人们常常选择第条，请用几何知识解释原因：两点之间，线段最短，
故答案为：两点之间，线段最短．
根据线段的性质：两点之间，线段最短进行解答即可．
此题主要考查了线段的性质，关键是掌握两点之间，线段最短．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了正数和负数，利用了有理数的加法运算根据有理数的加法，可得答案．
【解答】

解：由题意，得
人，
故答案为．
 

13.【答案】 

【解析】解：所捂住的多项式是，
故答案为：．
根据整式的加减法则进行计算即可．
本题考查的是整式的加减，熟知整式的加减实质上就是合并同类项是解答此题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：根据题意得：


，
则需要付费元．
故答案为：．
根据题意列出算式，计算即可求出值．
此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

15.【答案】或 

【解析】

【分析】
本题主要考查了面动成体，关键是掌握圆柱体的体积计算公式．根据圆柱体的体积底面积高求解得出答案．
【解答】
解：由题可得，
当以该长方形的长所在直线为轴时，  ，
当以该长方形的宽所在直线为轴时，，
故答案为或．  

16.【答案】或 

【解析】

【分析】
本题考查数轴表示数的意义，掌握数轴上两点之间距离的计算方法是正确解答的关键．分情况分别求出、，利用方程求解即可．
【解答】
解：设点表示的数为，
当点在点的左侧时，则有，解得，，
当点在之间时，，因此此时不存在，
当点在原点的右侧时，则有，解得，，
故答案为或．  

17.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了线段的和差，注意理解线段的中点的概念．利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键．
因为，，可求出的长，从而求出的长，又因为为的中点，继而求出答案．
【解答】
解：，，
，，
又因为为的中点，
所以．
故答案为：．  

18.【答案】或 

【解析】

【分析】
本题考查的是两点间的距离的计算，注意数形结合思想在求两点间的距离中的应用．根据题意画出草图，根据线段中点的性质计算即可．
【解答】
解：点在的左边，如图，

是的中点，
，
，
，
，
，
；
在的右边，

且，
，
是的中点，
，
，
，
综上所述，的长为或，
故答案为：或．  

19.【答案】解：


；


；



；



；



；




． 

【解析】根据加法的交换律计算即可；
先把减法转化为加法，然后根据加法法则计算即可；
先算括号内的式子，然后计算括号外的乘除法即可；
先算乘方，再算乘除法，最后算减法即可；
根据乘法分配律计算即可；
先算乘方和括号内的式子，然后算括号外的除法即可．
本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则和运算顺序是解答本题的关键，注意乘法分配律的应用．
 

20.【答案】解：原式；
原式
． 

【解析】直接合并同类项即可；
先去括号，再合并同类项即可．
本题主要考查整式的加减，整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项．
 

21.【答案】解：



．
，
又，，
，．
，．
当，时，
原式

． 

【解析】先去括号、合并同类项，再根据非负数的性质求出、，最后代入化简后的整式求值．
本题考查了整式的化简求值，掌握去括号法则、合并同类项法则、非负数的性质及有理数的混合运算是解决本题的关键．
 

22.【答案】解：如图所示：

根据从三个方向看的形状图，这个几何体的表面积为平方单位．
故答案为：；
要使表面积最大，则需满足两正方体重合的最少，此时从上面看得到的形状图为：

这样上面共有个小正方形，下面共有个小正方形；左面共有个小正方形，右面共有个正方形；前面共有个小正方形，后面共有个正方形，
表面积为：平方单位．
故答案为：． 

【解析】主视图有列，每列小正方形数目分别为，；左视图有列，每列小正方形数目分别为，；
上面共有个小正方形，下面共有个小正方形；左面共有个小正方形，右面共有个小正方形；前面共有个小正方形，后面共有个小正方形，继而可得出表面积．
要使表面积最大，则需满足两正方体重合的最少，画出从上面看得到的形状图，计算表面积即可．
 

23.【答案】解：前三天分别生产、、个口罩，
所以前三天共生产口罩个；
产量最多的一天，产量为个，
产量最少的一天，产量为个，
所以产量最多的一天比产量最少的一天多生产个；
本周共生产口罩个，
应支付的工资总额为元． 

【解析】此题主要考查了正负数的意义以及有理数的混合运算，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
把前三天的记录相加，再加上每天计划生产量，计算即可得解；
根据正负数的意义确定星期三产量最多，星期二产量最少，然后用记录相减计算即可得解；
求出一周记录的和，然后根据工资总额的计算方法列式计算即可得解．
 

24.【答案】解：由题意可知：
，

；

，，
，
，
，
；

根据题意得：
，
解得． 

【解析】根据定义得出，表示的数，再根据有理数的加法法则计算即可；
根据定义可得，将后两项提出后代入即可求解；
根据定义可得关于的一元一次方程，再解方程即可求出的值．
本题考查的是有理数的大小比较，合并同类项，代数式求值，根据题中给出的定义理解与表示的意思是解答此题的关键．
 

25.【答案】解：因为、两点将线段分为三部分，且：：：：，
所以设，则，，
所以，
因为的中点为，的中点为，
所以，，
所以，
所以，
所以．
答：的长为． 

【解析】本题考查的是两点之间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键．设，则，，再根据的中点为，的中点为用表示出与的长，根据求出的值即可．
 

26.【答案】解：元，
答：应付车费元；
元起步价元，
应付车费元，
答：应付车费元；
元，
答：应付车费为元． 

【解析】根据里程费时长费，列式可得车费；
根据行车里程千米，列式可得车费；
根据里程费时长费，列式可得车费．
本题考查了列代数式，把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．列代数式时，要注意语句中的关键字，读懂题意，找到所求的量的表示方法．列代数式五点注意：仔细辨别词义．分清数量关系．注意运算顺序．规范书写格式．正确进行代换．
 

27.【答案】 

【解析】解：点到点的距离与点到点的距离之和为，
，
故答案为：；
为、的“节点”，
，即在线段上，
整点所表示的数是，，，，，；
，，
点表示的数是或，
当点表示的数是时，，即，
当点表示的数是时，，
的值为或；
综上所述，点表示的数是，或点表示的数是，；
设点表示的数是，
当在线段上时，，，
，
解得，
点表示的数是，此时；
当在线段右侧时，，，
，
解得，
点表示的数是，此时；
综上所述，点表示的数是，或点表示的数是，．
根据“节点“定义可得答案；
由为、的“节点”，可知在线段上，故整点所表示的数是，，，，，；
分点在左侧和右侧两种情况可得答案；
设点表示的数是，分两种情况：当在线段上时，，当在线段右侧时，，解方程即可得到答案．
本题考查数轴，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，能利用分类讨论的思想解决问题．