2021-2022学年湖南省怀化市洪江市八年级（上）期末数学试卷（word版，含解析）

这是一份2021-2022学年湖南省怀化市洪江市八年级（上）期末数学试卷（word版，含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠2B．x≠﹣2C．x＝2D．x＝﹣2
2．（4分）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
3．（4分）在数轴上表示不等式x+5＞1的解集，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（4分）若分式的值为5，则x、y同时扩大2倍，分式的值是（ ）
A．不变B．扩大5倍C．缩小5倍D．不存在
5．（4分）一个等腰三角形两边长分别为2、5，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A．9B．12C．9或12D．11或12或13
6．（4分）如图，已知△ABC的外角∠CAD＝120°，∠C＝80°，则∠B的度数是（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
7．（4分）下列计算中，正确的是（ ）
A．（0.1）﹣3＝0.0001B．（2π﹣6.28）0＝1
C．（10﹣5×2）0＝1D．（2021）﹣1＝2021
8．（4分）下列命题为假命题的是（ ）
A．三角形的三个内角的和等于180度
B．三角形的任意两边之和大于第三边
C．三角形的角平分线是一条射线
D．三角形的面积等于一条边上的长与该条边上的高的乘积的一半
9．（4分）北起张家界，南至怀化，串起张家界、芙蓉镇、古丈、凤凰古城等众多著名风景区，被誉为“湘西最美高铁”的张吉怀高铁于2021年12月6日正式开通运营．线路全长245千米，已知高铁的平均速度是普通列车的3倍，相较于以往普通列车时间上节约3小时，设普通列车的时速是xkm/h，据题意，下列方程正确是（ ）
A．B．
C．D．﹣＝3
10．（4分）如图，△ABC是等边三角形，点P在△ABC内，PA＝6，将△PAB绕点A逆时针旋转得到△QAC，则PQ的长等于（ ）
A．6B．C．3D．2
二、填空题（本大题共6小题，共24分）
11．（4分）计算：25的平方根是 ．
12．（4分）分式与的最简公分母是 ．
13．（4分）命题“如果a＝b，那么a2＝b2”的逆命题是 ．
14．（4分）已知△ABC≌△DEF，若AB＝5，BC＝6，AC＝7，则△DEF的周长是 ．
15．（4分）＝ ．
16．（4分）如图，∠A＝∠B＝90°，AB＝100，E，F分别为线段AB和射线BD上的一点，若点E从点B出发向点A运动，同时点F从点B出发向点D运动，二者速度之比为2：3，运动到某时刻同时停止，在射线AC上取一点G，使△AEG与△BEF全等，则AG的长为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共86分）
17．（10分）计算：
（1）；
（2）解方程：．
18．（10分）解不等式组：，把它的解集在数轴上表示出来，并写出其整数解．
19．（10分）如图，点C，F在线段BE上，BF＝EC，∠1＝∠2，AC＝DF．试说明：
（1）△ABC≌△DEF；
（2）AB∥DE．
20．（10分）先化简，再求值：，其中a＝2．
21．（10分）如图，直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，l与m分别交边AB于点D和点E．
（1）若AB＝10，则△CDE的周长是多少？为什么？
（2）若∠ACB＝125°，求∠DCE的度数．
22．（12分）某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克m元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克n元，售价每千克18元．
（1）该超市购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克需要430元；购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克需要212元，求m，n的值．
（2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买甲种蔬菜x千克（x正整数），求有哪几种购买方案．
23．（10分）阅读并解答问题：
＝＝；
＝＝；
＝＝2﹣；
……
上面的计算过程叫做“分母有理化”，仿照上述计算过程，解答下列问题：
（1）将的分母有理化；
（2）已知a＝，b＝，求a+b的值；
（3）计算+…++．
24．（14分）已知三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC的中点．
（1）如图1，E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝AF，求证：△DEF为等腰直角三角形．
（2）如图2，若E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE＝AF，其他条件不变，那么△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．
2021-2022学年湖南省怀化市洪江市八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，共40分）
1．（4分）分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠2B．x≠﹣2C．x＝2D．x＝﹣2
【分析】根据分式有意义的条件：分母不等于0，即可求解．
【解答】解：根据题意得：x﹣2≠0，
解得：x≠2．
故选：A．
2．（4分）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据最简二次根式的定义判断即可．
【解答】解：A.＝＝，故A不符合题意；
B.＝2，故B不符合题意；
C.＝，故C不符合题意；
D.是最简二次根式，故D符合题意；
故选：D．
3．（4分）在数轴上表示不等式x+5＞1的解集，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】不等式移项，合并求出解集，表示在数轴上即可．
【解答】解：不等式x+5＞1，
移项得：x＞1﹣5，
合并得：x＞﹣4，
表示在数轴上，如图所示：
．
故选：C．
4．（4分）若分式的值为5，则x、y同时扩大2倍，分式的值是（ ）
A．不变B．扩大5倍C．缩小5倍D．不存在
【分析】根据分式的基本性质进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
＝，
∴若分式的值为5，则x、y同时扩大2倍，分式的值是不变的，
故选：A．
5．（4分）一个等腰三角形两边长分别为2、5，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A．9B．12C．9或12D．11或12或13
【分析】因为等腰三角形的两边分别为2、5，但没有明确哪是底边，哪是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．
【解答】解：当2为底时，其它两边都为5，2、5、5可以构成三角形，周长为12；
当2为腰时，其它两边为2和5，因为2+2＜5，所以不能构成三角形，故舍去．
故这个等腰三角形的周长为12．
故选：B．
6．（4分）如图，已知△ABC的外角∠CAD＝120°，∠C＝80°，则∠B的度数是（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【分析】根据三角形外角的性质可直接求解．
【解答】解：∵∠CAD＝∠B+∠C，∠CAD＝120°，∠C＝80°，
∴∠B＝∠CAD﹣∠C＝120°﹣80°＝40°，
故选：B．
7．（4分）下列计算中，正确的是（ ）
A．（0.1）﹣3＝0.0001B．（2π﹣6.28）0＝1
C．（10﹣5×2）0＝1D．（2021）﹣1＝2021
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质分别化简，进而分别判断得出答案．
【解答】解：A．（0.1）﹣3＝1000，故此选项不合题意；
B．（2π﹣6.28）0＝1，故此选项符合题意；
C．（10﹣5×2）0，无意义，故此选项不合题意；
D．（2021）﹣1＝，故此选项不合题意；
故选：B．
8．（4分）下列命题为假命题的是（ ）
A．三角形的三个内角的和等于180度
B．三角形的任意两边之和大于第三边
C．三角形的角平分线是一条射线
D．三角形的面积等于一条边上的长与该条边上的高的乘积的一半
【分析】根据三角形内角和定理、三角形的三边关系、三角形的内角平分线的概念、三角形的面积公式判断即可．
【解答】解：A、三角形的三个内角的和等于180度，本选项说法是真命题，不符合题意；
B、三角形的任意两边之和大于第三边，本选项说法是真命题，不符合题意；
C、三角形的角平分线是一条线段，故本选项说法是假命题，符合题意；
D、三角形的面积等于一条边上的长与该条边上的高的乘积的一半，本选项说法是真命题，不符合题意；
故选：C．
9．（4分）北起张家界，南至怀化，串起张家界、芙蓉镇、古丈、凤凰古城等众多著名风景区，被誉为“湘西最美高铁”的张吉怀高铁于2021年12月6日正式开通运营．线路全长245千米，已知高铁的平均速度是普通列车的3倍，相较于以往普通列车时间上节约3小时，设普通列车的时速是xkm/h，据题意，下列方程正确是（ ）
A．B．
C．D．﹣＝3
【分析】由高铁及普通列车速度之间的关系可得出高铁的平均速度是3xkm/h，利用时间＝路程÷速度，结合乘坐高铁比乘坐普通列车可节省3小时，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：∵高铁的平均速度是普通列车的3倍，且普通列车的时速是xkm/h，
∴高铁的平均速度是3xkm/h．
依题意得：﹣＝3．
故选：B．
10．（4分）如图，△ABC是等边三角形，点P在△ABC内，PA＝6，将△PAB绕点A逆时针旋转得到△QAC，则PQ的长等于（ ）
A．6B．C．3D．2
【分析】根据等边三角形的性质推出AC＝AB，∠CAB＝60°，根据旋转的性质得出△CQA≌△BPA，推出AQ＝AP，∠CAQ＝∠BAP，求出∠PAQ＝60°，得出△APQ是等边三角形，即可求出答案．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB，∠CAB＝60°，
∵将△PAB绕点A逆时针旋转得到△QAC，
∴△CQA≌△BPA，
∴AQ＝AP，∠CAQ＝∠BAP，
∴∠CAB＝∠CAP+∠BAP＝∠CAP+∠CAQ＝60°，
即∠PAQ＝60°，
∴△APQ是等边三角形，
∴QP＝PA＝6，
故选：A．
二、填空题（本大题共6小题，共24分）
11．（4分）计算：25的平方根是 ±5 ．
【分析】根据平方根的定义，结合（±5）2＝25即可得出答案．
【解答】解：∵（±5）2＝25
∴25的平方根±5．
故答案为：±5．
12．（4分）分式与的最简公分母是 x（x﹣2） ．
【分析】各分母所有因式的最高次幂的乘积即为分式的最简公分母．
【解答】解：＝，
∴与分母不同的因式有x，x﹣2，
∴分式与的最简公分母是x（x﹣2）．
故答案为x（x﹣2）．
13．（4分）命题“如果a＝b，那么a2＝b2”的逆命题是 如果a2＝b2，那么a＝b ．
【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．命题“如果a＝b，那么a2＝b2”的条件是如果a＝b，结论是a2＝b2”，故逆命题是如果a2＝b2，那么a＝b．
【解答】解：“如果a＝b，那么a2＝b2”的逆命题是：如果a2＝b2，那么a＝b．
14．（4分）已知△ABC≌△DEF，若AB＝5，BC＝6，AC＝7，则△DEF的周长是 18 ．
【分析】根据全等三角形对应边相等，所以△DEF的周长等于△ABC的周长，求出△ABC的周长也就是△DEF的周长．
【解答】解：∵AB＝5，BC＝6，AC＝7，
∴△ABC的周长是AB+BC+AC＝5+6+7＝18，
∵△ABC≌△DEF，
∴△DEF的周长等于△ABC的周长，
∴△DEF的周长是18，
故答案为：18．
15．（4分）＝ 2 ．
【分析】原式利用二次根式的乘除法则计算即可得到结果．
【解答】解：原式＝＝＝＝2．
故答案为：2
16．（4分）如图，∠A＝∠B＝90°，AB＝100，E，F分别为线段AB和射线BD上的一点，若点E从点B出发向点A运动，同时点F从点B出发向点D运动，二者速度之比为2：3，运动到某时刻同时停止，在射线AC上取一点G，使△AEG与△BEF全等，则AG的长为 40或75 ．
【分析】设BE＝2t，则BF＝3t，使△AEG与△BEF全等，由∠A＝∠B＝90°可知，分两种情况：
情况一：当BE＝AG，BF＝AE时，列方程解得t，可得AG；
情况二：当BE＝AE，BF＝AG时，列方程解得t，可得AG．
【解答】解：设BE＝2t，则BF＝3t，因为∠A＝∠B＝90°，使△AEG与△BEF全等，可分两种情况：
情况一：当BE＝AG，BF＝AE时，
∵BF＝AE，AB＝100，
∴3t＝100﹣2t，
解得：t＝20，
∴AG＝BE＝2t＝2×20＝40；
情况二：当BE＝AE，BF＝AG时，
∵BE＝AE，AB＝100，
∴2t＝100﹣2t，
解得：t＝25，
∴AG＝BF＝3t＝3×25＝75，
综上所述，AG＝40或AG＝75．
故答案为：40或75．
三、解答题（本大题共8小题，共86分）
17．（10分）计算：
（1）；
（2）解方程：．
【分析】（1）根据二次根式的加减运算法则进行化简即可求出答案．
（2）根据分式方程的解法即可求出答案．
【解答】解：（1）原式＝2+4﹣+2
＝
（2）＝，
3（x+3）＝5（x+1），
3x+9＝5x+5，
﹣2x＝﹣4，
x＝2，
检验：x＝2代入（x+1）（x+3）≠0，
∴原方程的解为x＝2．
18．（10分）解不等式组：，把它的解集在数轴上表示出来，并写出其整数解．
【分析】一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
【解答】解：
解不等式①，x＞﹣3，
解不等式②，x≤2，
∴﹣3＜x≤2，
解集在数轴上表示如下：
∴x的整数解为﹣2，﹣1，0，1，2．
19．（10分）如图，点C，F在线段BE上，BF＝EC，∠1＝∠2，AC＝DF．试说明：
（1）△ABC≌△DEF；
（2）AB∥DE．
【分析】（1）由“SAS”可证△ABC≌△DEF；
（2）由全等三角形的性质可得∠B＝∠E，可得结论．
【解答】解：（1）∵BF＝EC，
∴BC＝EF，
在△ABC与△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）；
（2）∵△ABC≌△DEF，
∴∠B＝∠E，
∴AB∥DE．
20．（10分）先化简，再求值：，其中a＝2．
【分析】根据分式的减法运算进行化简，然后将a的值代入原式即可求出答案．
【解答】解：原式＝﹣
＝﹣
＝，
当a＝2时，
原式＝
＝2．
21．（10分）如图，直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，l与m分别交边AB于点D和点E．
（1）若AB＝10，则△CDE的周长是多少？为什么？
（2）若∠ACB＝125°，求∠DCE的度数．
【分析】（1）依据线段垂直平分线的性质，即可得到△CDE的周长＝CD+DE+CE＝AD+DE+BE＝AB；
（2）依据AD＝CD，BE＝CE，即可得到∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCE，再根据三角形内角和定理，即可得到∠A+∠B＝55°，进而得到∠ACD+∠BCE＝55°，再根据∠DCE＝∠ACB﹣（∠ACD+∠BCE）进行计算即可．
【解答】解：（1）△CDE的周长为10．
∵直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，
∴AD＝CD，BE＝CE，
∴△CDE的周长＝CD+DE+CE＝AD+DE+BE＝AB＝10；
（2）∵直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，
∴AD＝CD，BE＝CE，
∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCE，
又∵∠ACB＝125°，
∴∠A+∠B＝180°﹣125°＝55°，
∴∠ACD+∠BCE＝55°，
∴∠DCE＝∠ACB﹣（∠ACD+∠BCE）＝125°﹣55°＝70°．
22．（12分）某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克m元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克n元，售价每千克18元．
（1）该超市购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克需要430元；购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克需要212元，求m，n的值．
（2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买甲种蔬菜x千克（x正整数），求有哪几种购买方案．
【分析】（1）根据“购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克需要430元；购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克需要212元”，即可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可求出m，n的值；
（2）由该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克及购进甲种蔬菜的数量，即可得出每天购进乙种蔬菜（100﹣x）千克，利用总价＝单价×数量，结合总价不少于1160元又不多于1168元，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，再结合x为正整数，即可得出各购买方案．
【解答】解：（1）依题意得：，
解得：．
答：m的值为10，n的值为14．
（2）∵该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，购进甲种蔬菜x千克（x正整数），
∴每天购进乙种蔬菜（100﹣x）千克．
依题意得：，
解得：58≤x≤60．
又∵x为正整数，
∴x可以为58，59，60，
∴共有3种购买方案，
方案1：购进58千克甲种蔬菜，42千克乙种蔬菜；
方案2：购进59千克甲种蔬菜，41千克乙种蔬菜；
方案3：购进60千克甲种蔬菜，40千克乙种蔬菜．
23．（10分）阅读并解答问题：
＝＝；
＝＝；
＝＝2﹣；
……
上面的计算过程叫做“分母有理化”，仿照上述计算过程，解答下列问题：
（1）将的分母有理化；
（2）已知a＝，b＝，求a+b的值；
（3）计算+…++．
【分析】（1）利用平方差公式进行二次根式分母有理化计算；
（2）先利用平方差公式进行分母有理化计算，从而化简a和b的值，然后代入求值；
（3）利用平方差公式进行分母有理化计算，然后通过观察数字变化的规律进行分析计算．
【解答】解：（1）原式＝
＝﹣2；
（2）a＝＝﹣，
b＝＝，
∴a+b＝＝2；
（3）原式＝++...++
＝﹣1+﹣+...+﹣+﹣
＝﹣1
＝10﹣1
＝9．
24．（14分）已知三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC的中点．
（1）如图1，E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝AF，求证：△DEF为等腰直角三角形．
（2）如图2，若E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE＝AF，其他条件不变，那么△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．
【分析】（1）连接AD，易证AD＝BD，∠ADB＝90°，∠B＝∠DAF，由SAS证得△BDE≌△ADF，得出DE＝DF，∠BDE＝∠ADF，即可得出结论；
（2）连接AD，同（1）由SAS证得△BDE≌△ADF，得出DE＝DF，∠BDE＝∠ADF，即可得出结果．
【解答】（1）证明：连接AD，如图1所示：
∵AB＝AC，∠A＝90°，D为BC中点，
∴∠B＝45°，AD＝BC＝BD，AD平分∠BAC，∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝∠DAF＝45°，
∴∠B＝∠DAF，
在△BDE和△ADF中，
，
∴△BDE≌△ADF（SAS），
∴DE＝DF，∠BDE＝∠ADF，
∵∠BDE+∠ADE＝90°，
∴∠ADF+∠ADE＝90°，
即：∠EDF＝90°，
∴△EDF为等腰直角三角形；
（2）解：△DEF仍为等腰直角三角形，理由如下：
连接AD，如图2所示：
∵AB＝AC，∠A＝90°，D为BC中点，
∴∠ABD＝45°，AD＝BC＝BD，AD平分∠BAC，∠ADB＝90°，
∴∠ABD＝∠CAD＝45°，
∴∠EBD＝∠FAD，
在△BDE和△ADF中，
，
∴△BDE≌△ADF（SAS），
∴DF＝DE，∠BDE＝∠ADF，
∵∠ADF+∠FDB＝90°，
∴∠BDE+∠FDB＝90°，
即∠EDF＝90°，
∴△EDF为等腰直角三角形．