湖南省永州市祁阳县2021-2022学年八年级（上）期末数学试卷（含解析）

湖南省永州市祁阳县2021-2022学年八年级（上）期末数学试卷

一．选择题（本题共10小题，共40分）

1. 要使分式有意义，应满足的条件是

A.  B.  C.  D.

2. 的平方根是

A.  B.  C. 和 D.

3. 中国抗疫取得了巨大成就，堪称奇迹，为世界各国防控疫情提供了重要借鉴和支持，让中国人民倍感自豪．经医学专家测定：新型冠状病毒的直径在米米，将用科学记数法表示为

A.  B.  C.  D.

4. 解分式方程，去分母得

A.  B.
C.  D.

5. 若，则下列式子中一定成立的是

A.  B.  C.  D.

6. 计算的结果是

A.  B.  C.  D.

7. 关于的叙述不正确的是

A.  B. 面积是的正方形的边长是
C. 是有理数 D. 在数轴上可以找到表示的点

8. 下列选项中，可以用来证明命题“若，则”是假命题的反例的是

A.  B.  C.  D.

9. 如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，交于点，连接若的周长为，，则的周长为

A.
B.
C.
D.

10. 已知三角形的三条边长均为整数，其中有一条边长是，但它不是最短边，这样的三角形的个数为

1. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二．填空题（本题共8小题，共32分）

11. 小龙平时爱观察也喜欢动脑，他看到路边的建筑和电线架等，发现了一个现象：一切需要稳固的物品都是由三角形这个图形构成的，当时他就思考，数学王国中不仅只有三角形，为何偏偏用三角形稳固它们呢？请你用所学的数学知识解释这一现象的依据为______．
12. 对分式和进行通分，它们的最简公分母为______．
13. 如图，已知，要使≌，还需添加一个条件，你添加的条件是________只需写一个，不添加辅助线
     

14. 若分式的值为，则的值为______．
15. 关于的不等式的解集如图所示，则的值是______．

16. 一个数的算术平方根和这个数的立方根相等，则这个数是______．
17. 若、为实数，且，则的值______
18. 对非负实数“四舍五入”到个位的值记为即当为非负整数时，若，则如，给出下列关于的结论：；；若，则实数的取值范围是；当，为非负整数时，有；；其中，正确的结论有______填写所有正确结论的序号．

三．解答题（本题共8小题，共78分）

19. 计算：．
    
    
    
    
    
    
     
20. 解分式方程：．
    
    
    
    
    
    
     
21. 解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．
    
    
    
    
    
    
     
22. 先化简，再求值：，其中．
    
    
    
    
    
    
     
23. 如图，，，求证：．
     

24. 已知，，求下列各式的值：
    ；
    ．
    
    
    
    
    
    
     
25. 为创建“书香校园”，学校图书室计划选购甲、乙两种图书．已知甲图书每本价格是乙图书每本价格的倍，用元单独购买甲图书比用元单独购买乙图书要少本．
    甲、乙两种图书每本价格分别为多少元？
    如果学校图书室计划购买乙图书的本数比购买甲图书本数的倍多本，且用于购买甲、乙两种图书的总经费不超过元，那么该图书馆最多可以购买多少本乙图书？
    
    
    
    
    
    
     
26. 操作发现：如图，是等边边上一动点点与点不重合，连接，以为边在上方作等边，连接你能发现线段与之间的数量关系吗？并证明你发现的结论．
    类比猜想：如图，当动点运动至等边边的延长线上时，其他作法与相同，猜想与在中的结论是否仍然成立？
    深入探究：
    Ⅰ如图，当动点在等边边上运动时点与点不重合连接，以为边在上方、下方分别作等边和等边，连接、，探究、与有何数量关系？并证明你探究的结论．
    Ⅱ如图，当动点在等边边的延长线上运动时，其他作法与图相同，Ⅰ中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论．

答案和解析

1.【答案】

【解析】

解：由题意可知：，
，
故选：．
分式有意义的条件是分母不等于零．
本题考查分式有意义的条件，解题的关键是熟练运用分式有意义的条件，本题属于基础题型．
 

2.【答案】

【解析】

解：的平方根是，
故选：．
依据平方根的定义求解即可．
本题主要考查的是平方根的定义，掌握平方根的定义是解题的关键．
 

3.【答案】

【解析】

解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数，当原数绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

4.【答案】

【解析】

【分析】
此题主要考查了解分式方程的去分母步骤．
分式方程变形后，两边乘以最简公分母得到结果，即可作出判断．
【解答】
解：分式方程整理得：，
去分母得：，
故选A．  

5.【答案】

【解析】

解：、因为，所以，故A不符合题意；
B、因为，所以，故B不符合题意；
C、因为，所以，故C不符合题意；
D、因为，所以，故D符合题意；
故选：．
根据不等式的性质进行计算逐一判断即可．
本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
 

6.【答案】

【解析】

解：，
故选：．
根据二次根式的乘法法则可进行计算，注意要化为最简二次根式．
本题考查了二次根式的乘法，关键在于运用法则计算，注意要化简彻底．
 

7.【答案】

【解析】

解：选项A，，等式成立，不符合题意．
选项B，面积是的正方形，边长是，叙述正确．不符合题意．
选项C，，是无理数，叙述不正确．符合题意．
选项D，任何实数都可以在数轴上表示，故叙述正确．不符合题意．
故选：．
根据实数的概念，以及实数和数轴上的点一一对应，来逐项判断．
本题考查实数和数轴．解题的关键是掌握实数的有关概念．
 

8.【答案】

【解析】

解：结论：“若，则”是假命题，
理由：当时，，但是，
故选：．
根据绝对值的意义判断即可；
本题考查命题与定理，解题的关键是熟练掌握绝对值的性质，属于中考基础题．
 

9.【答案】

【解析】

解：在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，交于点，连接．
是的垂直平分线，
，
的周长为，
，
，
的周长为：．
故选：．
首先根据题意可得是的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质可得，再根据的周长为可得，又由条件可得的周长．
此题考查了线段垂直平分线的性质与作法．题目难度不大，解题时要注意数形结合思想的应用．
 

10.【答案】

【解析】

解：三角形的三条边长均为整数，其中有一条边长是，但它不是最短边，
列举法：当是最大边时，有，，，，．
当是中间的边时，有，，共个，
故选：．
根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，用穷举法即可得出答案．
本题考查了三角形三边关系，难度一般，关键是掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
 

11.【答案】

三角形具有稳定性
 

【解析】

解：用三角形稳固它们是因为三角形具有稳定性，
故答案为：三角形具有稳定性．
直接利用三角形具有稳定性得出答案．
此题主要考查了三角形的稳定性，正确把握三角形具有稳定性是解题关键．
 

12.【答案】

【解析】

解：分式和的最简公分母为．
故答案为：．
根据确定最简公分母的方法是：
取各分母系数的最小公倍数；
凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；
同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母即可得出答案．
本题考查了最简公分母的定义：通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．通分的关键是准确求出各个分式中分母的最简公分母，确定最简公分母的方法一定要掌握．
 

13.【答案】

．
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了全等三角形的判定定理，属于基础题．
根据三角形全等的判定定理求解即可．
【解答】
解：．
在和中，
，
≌；
故答案为：．  

14.【答案】

【解析】

解：根据题意得，，
，
故答案为：．
根据分式的值为零的条件：分子等于且分母不等于即可得出答案．
本题考查了分式的值为零的条件，掌握分式的值为零的条件：分子等于且分母不等于是解题的关键．
 

15.【答案】

【解析】

解：，
，
则，
由数轴知，
解得，
故答案为：．
由不等式得出，结合数轴得出关于的方程，解之即可．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
 

16.【答案】

或
 

【解析】

解：的立方根为，的算术平方根为，没有平方根，的立方根和算术平方根都为，
故答案为：或．
根据立方根和算术平方根的定义得到的立方根为，的算术平方根为，没有平方根，的立方根和算术平方根都为，则易得正确答案．
本题考查了立方根的定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫的立方根，记作也考查了算术平方根的定义．
 

17.【答案】

【解析】

解：由题意得：，，
，，
，
故答案为：．
本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为时，这几个非负数都为．
根据非负数的性质列方程求出、的值，然后代入计算即可得解．
 

18.【答案】

【解析】

解：，正确；
，例如当时，，，故错误；
若，则，解得：，故错误；
为非负整数，故，故正确；
，例如，时，，，故错误；
综上可得正确．
故答案为：．
对于可直接判断，、可用举反例法判断，、我们可以根据题意所述利用不等式判断．
本题考查了近似数和有效数字，解一元一次不等式，理解题意的能力，关键是看到所得值是个位数四舍五入后的值，问题可得解．
 

19.【答案】

解：原式
．
 

【解析】

原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，算术平方根定义，以及绝对值的代数意义计算即可得到结果．
此题考查了实数的运算，零指数幂、负整数指数幂，以及绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

20.【答案】

解：去分母得：，
解得：，
经检验是增根，分式方程无解．
 

【解析】

分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
 

21.【答案】

解：
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集为，
在数轴上表示为：．
 

【解析】

先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出来即可．
本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键．
 

22.【答案】

解：原式

，
当时，
原式．
 

【解析】

先计算括号内分式的减法、将除式分子、分母因式分解，再约分即可化简原式，继而将的值代入计算可得．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
 

23.【答案】

证明：已知，
两直线平行，内错角相等，
，
，
即，
在与中，
，
≌，
全等三角形的对应边相等．
 

【解析】

由“”可证≌，可得．
本题考查了全等三角形的判定和性质，由“”证≌是解题的关键．
 

24.【答案】

解：由已知可得：，，



；





．
 

【解析】

先计算、两个数的和、差、积；
利用平方差公式进行因式分解，然后代入求值；
变形为完全平方公式与积的差或和的形式，整体代入求值．
本题考查了二次根式的运算，完全平方公式的变形、平方差公式等知识点．题目难度不大，注意整体代入思想的运用．
 

25.【答案】

解：设乙图书每本价格为元，则甲图书每本价格是元，
根据题意可得：，
解得：，
经检验得：是原方程的根，
则，
答：甲图书每本价格是元，乙图书每本价格为元；

设购买甲图书本数为，则购买乙图书的本数为：，
故，
解得：，
故，
答：该图书馆最多可以购买本乙图书．
 

【解析】

利用用元单独购买甲图书比用元单独购买乙图书要少本得出等式求出答案；
根据题意表示出购买甲、乙两种图书的总经费进而得出不等式求出答案．
此题主要考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，正确表示出图书的价格是解题关键．
 

26.【答案】

解：；
证明如下：是等边三角形已知，
，等边三角形的性质；
同理知，，；
，即；
在和中，
，
≌，
全等三角形的对应边相等；

证明过程同，证得≌，则全等三角形的对应边相等，所以，当动点运动至等边边的延长线上时，其他作法与相同，仍然成立；

Ⅰ；
证明如下：由知，≌，则；
同理≌，则，
；

ⅡⅠ中的结论不成立．新的结论是；
证明如下：在和中，
，
≌，
全等三角形的对应边相等；
又由知，；
，即．
 

【解析】

根据等边三角形的三条边、三个内角都相等的性质，利用全等三角形的判定定理可以证得≌；然后由全等三角形的对应边相等知；
通过证明≌，即可证明；
Ⅰ；利用全等三角形≌的对应边；同理≌，则，所以；
ⅡⅠ中的结论不成立．新的结论是；通过证明≌，则全等三角形的对应边相等；再结合中的结论即可证得．
本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质．等边三角形的三条边都相等，三个内角都是．