2021-2022学年湖南省岳阳市平江县八年级（上）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年湖南省岳阳市平江县八年级（上）期末数学试卷

一．选择题（本题共8小题，共24分）

1. 下列各数中：，，，是无理数的是

A.  B.  C.  D.

2. 若分式的值为零，则的值是

A.  B.  C.  D. 或

3. 下列运算中，正确的是

A.  B.
C.  D.

4. 已知等腰三角形两边的长分别为和，则此等腰三角形的周长为

A.  B.  C. 或 D. 或

5. 如图，中，，，的垂直平分线交于点，交边于点，则的周长为

A.
B.
C.
D.

6. 下列命题是真命题的是

A. 的平方根是
B. 有两边和一角对应相等的两个三角形全等
C. 的立方根是
D. 有两角及一边对应相等的两个三角形全等

7. 岳阳市某校举行运动会，从商场购买一定数量的笔袋和笔记本作为奖品．若每个笔袋的价格比每个笔记本的价格多元，且用元购买笔记本的数量与用元购买笔袋的数量相同．设每个笔记本的价格为元，则下列所列方程正确的是

A.  B.  C.  D.

8. 如图，过边长为的等边三角形的边上一点，作于点，为延长线上一点，当时，连接交边于点，则的长为

1. 
   B.
   C.
   D.

二．填空题（本题共8小题，共24分）

9. 生物学家发现了一种病毒的长度约为毫米，数据用科学记数法表示为______．
10. 二次根式中，的取值范围是______．
11. 若不等式的解集是，则的取值范围是______ ．
12. 如图，中，，，则的度数为______．
    
     

13. 如图，在中，，，以为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接，则 ______ ．
    
    
     

14. 计算：______．
15. 若关于的分式方程有增根，则的值是______．
16. 如图，在中，，，点为的中点，直角绕点旋转，、分别与边、交于、两点，下列结论：；；；四边形的面积等于，其中正确的结论有______填序号．

三．计算题（本题共2小题，共14分）

17. 计算：．
    
    
    
    
    
    
     
18. 解分式方程：．
    
    
    
    
    
    
     

四．解答题（本题共6小题，共50分）

19. 先化简，再求值：，然后从，，，四个数中选择一个恰当的数代入求值．
    
    
    
    
    
    
     
20. 解不等式组，将解集在数轴上表示出来，并求出所有非负整数解．
    
    
    
    
    
    
     
21. 如图，点，，，在同一直线上，，两点在的两侧，，，．
    求证：；
    若，，试判断的形状，并说明理由．
    
    
    
    
    
    
     
22. 在抗击“新冠肺炎”战役中，某公司接到转产生产万个医用防护口罩补充防疫一线需要的任务，临时改造了甲、乙两条流水生产线．试产时甲生产线每天的产能每天的生产数量是乙生产线的倍，当甲生产万和乙生产万医用防护口罩时，甲比乙少用了天．
    求甲、乙两条生产线每天的产能各是多少万个？
    若甲、乙两条生产线每天的运行成本分别是万元和万元，要使完成这批任务总运行成本不超过万元，则至少应安排乙生产线生产多少天？
    
    
    
    
    
    
     
23. 我们规定用表示一对数对，给出如下定义：记，，将与称为数对的一对“对称数对”．
    例如：的一对“对称数对”为与
    数对的一对“对称数对”是______和______；
    若数对的一对“对称数对”的两个数对相同，求的值；
    若数对的一对“对称数对”的一个数对是，求的值；
    若数对的一对“对称数对”的一个数对是，求的值．
    
    
    
    
    
    
     
24. 在中，为锐角，点为射线上一动点，连接，以为一边且在的右侧作正方形解答下列问题：
    如果，，
    如图，当点在线段上时与点不重合，线段、之间的位置关系为______；数量关系为______．
    如图，当点在线段的延长线上时，中的结论是否仍然成立，并说明理由．
    如图，如果，，点在线段上运动与点不重合．
    试探究：当时，中的，之间的位置关系是否仍然成立，并说明理由．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：，是整数，属于有理数，故A选项不符合题意；
是无理数，故B选项符合题意；
是有限小数，属于有理数，故C选项不符合题意；
是分数，属于有理数，故D选项不符合题意．
故选：．
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像相邻两个之间的个数逐次加，等有这样规律的数．
 

2.【答案】
 

【解析】解：由题意可知：，
解得：，
故选：．
分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
本题考查分式的值为零的条件，解题的关键是熟练运用分式的值为零的条件，本题属于基础题型．
 

3.【答案】
 

【解析】解：，故此选项不合题意；
B.，故此选项不合题意；
C.，无法合并，故此选项不合题意；
D.，故此选项符合题意．
故选：．
直接利用同底数幂的除法运算法则以及二次根式的混合运算法则、负整数指数幂的性质分别化简，进而判断得出答案．
此题主要考查了同底数幂的除法运算以及二次根式的混合运算、负整数指数幂的性质，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

4.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，解题时注意：若没有明确腰和底边，则一定要分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形，这是解题的关键．等腰三角形两边的长为和，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论．
【解答】
解：当腰长是，底边是时，不满足三角形的三边关系，因此舍去．
当底边是，腰长是时，能构成三角形，则其周长为：．
故选B．  

5.【答案】
 

【解析】解：是的垂直平分线，
，
则的周长，
故选：．
根据线段的垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算即可．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
 

6.【答案】
 

【解析】解：、的平方根是，原命题是假命题；
B、有两边和其夹角对应相等的两个三角形全等，原命题是假命题；
C、的立方根是，原命题是假命题；
D、有两角及一边对应相等的两个三角形全等，是真命题；
故选：．
根据平方根、全等三角形的判定、立方根判断即可．
本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题叫定理．
 

7.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了由实际问题抽象出分式方程的知识，解题的关键是能够找到概括题目全部含义的等量关系，难度不大．
设每个笔记本的价格为元，根据“用元购买笔记本的数量与用元购买笔袋的数量相同”这一等量关系列出方程即可．
【解答】
解：设每个笔记本的价格为元，则每个笔袋的价格为元，
因为用元购买笔记本的数量与用元购买笔袋的数量相同，
所以，
故选B．  

8.【答案】
 

【解析】解：过作的平行线交于，

，
是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
于，是等边三角形，
，
，
，
，
．
故选：．
过作的平行线交于，通过求证和全等，推出，再通过证明是等边三角形和，推出，即可推出，可得，即可推出的长度．
本题主要考查等边三角形的判定与性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质，关键在于正确地作出辅助线，熟练运用相关的性质、定理，认真地进行计算．
 

9.【答案】
 

【解析】解：将用科学记数法表示为．
故答案为：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

10.【答案】
 

【解析】解：根据题意得：，
解得：．
故答案是：．
根据二次根式的性质，被开方数大于或等于，可以求出的范围．
本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
 

11.【答案】
 

【解析】解：由题意可得：不等式两边同时除以时不等号的方向改变，
，
，
故答案为：．
由不等式的解集结合不等式的性质确定的取值范围．
本题考查了不等式的性质：在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．本题解不等号时方向改变，所以小于．
 

12.【答案】
 

【解析】解：，
，
故答案为：．
根据三角形的外角性质得出，再求出答案即可．
本题考查了三角形的外角性质，注意：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
 

13.【答案】
 

【解析】解：，，
，
又，
，
，
，
故答案为：．
在中可求得，在中可求得，可求出．
本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形内角和定理的应用．
 

14.【答案】
 

【解析】解：


，
故答案为：．
先化简，然后合并同类二次根式即可．
本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

15.【答案】
 

【解析】解：，
，
解得：，
分式方程有增根，
，
，
把代入中可得：
，
解得：，
的值是，
故答案为：．
根据题意可得，然后把的值代入整式方程中进行计算即可解答．
本题考查了分式方程的增根，根据题意求出的值代入整式方程中进行计算是解题的关键．
 

16.【答案】
 

【解析】解：如图，连接，

，，
是等腰直角三角形，
点为中点，
，，，
，
是直角，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，故正确；
，，
，故正确；
，
，故错误；
≌，
，
四边形的面积，
四边形的面积，故正确，
故答案为．
利用“角边角”证明和全等，可得、，判断出正确；再求出，判断出正确；根据，判断出错误，由全等三角形的性质可得，由面积的和差关系可求四边形的面积等于，可判断正确，即可求解．
本题四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式

．
 

【解析】化简负整数指数幂，绝对值，零指数幂，二次根式，然后算除法，再算加减．
本题考查实数的混合运算，理解，，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．
 

18.【答案】解    方程两边都乘，得，
解得，
检验：当时，，
所以分式方程的解为．
 

【解析】将分式方程转化为整式方程，然后解方程，注意分式方程的结果要进行检验．
本题考查解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题关键，注意分式方程的结果要进行检验．
 

19.【答案】解：原式

，
，，，
当时，原式．
 

【解析】先通分，分解因式，再根据同分母相加减，分母不变分子相加减计算，化简后，再算乘法，进而约分化为最简分式，根据分式的意义确定的值，代入原式计算即可．
此题主要考查分式的化简求值，掌握因式分解、通分、约分在分式化简中的综合应用是解题关键．
 

20.【答案】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：

不等式组的非负整数解为、、．
 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

21.【答案】证明：，
，
在与中，
，
≌，
，
，
；
解：是等腰三角形，理由如下：
≌，
，
又，
，
，
，
是等腰三角形．
 

【解析】由平行线的性质得，再利用证明≌，得，可证明结论；
利用全等三角形的性质和平行线的性质可知，从而得出是等腰三角形．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，等腰三角形的判定等知识，证明≌是解题的关键．
 

22.【答案】解：设乙条生产线每天的产能是万个，则甲条生产线每天的产能是万个，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
则，
答：甲条生产线每天的产能是万个，乙条生产线每天的产能是万个；
设安排乙生产线生产天，
依题意得：，
解得：．
答：至少应安排乙生产线生产天．
 

【解析】可设乙条生产线每天的产能是万个，则甲条生产线每天的产能是万个，根据等量关系：乙用了的天数甲用了的天数，列出方程即可求解；
可设安排乙生产线生产天，根据完成这批任务总运行成本不超过万元列出不等式，解不等式即可．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
 

23.【答案】 
 

【解析】解：由题意知：，
数对的一对“对称数对”是和，
故答案为：；

数对的一对“对称数对”的两个数对相同，
，
，
．

数对的一对“对称数对”是和，
，
，
．

数对的一对“对称数对”是和，
，
，
．
根据题意将，代入即可；
的一对“对称数对”的两个数对相同说明相等，求出即可；
将的一对“对称数对”求出来，判断谁和数对相等，即可求；
将数对的一对“对称数对”求出来，分类讨论求出，，即可知．
本题考查了学生对新定义的理解及根式的计算，要正确的理解新定义是解题的关键．
 

24.【答案】垂直  相等
 

【解析】解：垂直、相等，
理由：正方形中，，
，
，
在与中，
，
≌，
，，
，，
，
，
，即；
故答案为：垂直、相等；

成立，理由如下：


在与中，
，
≌，
，，

；

成立，
理由：如图，过点作交的延长线于点，
则，
，，
，
，
，
在与中，
，
≌，
，
，
即．
根据正方形的性质得到，推出≌，根据全等三角形的性质即可得到结论；
由正方形的性质可推出≌，根据全等三角形的性质得到，，根据余角的性质即可得到结论；
过点作交或的延长线于点，于是得到，可推出，证得，根据的结论于是得到结果．
本题考查了四边形的综合题，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，余角的性质，过点作交的延长线于点构造全等三角形是解题的关键．