湖南省郴州市安仁县思源实验学校2021-2022学年八年级（上）期末数学试卷（含解析）

湖南省郴州市安仁县思源实验学校2021-2022学年八年级（上）期末数学试卷

一．选择题（本题共8小题，共24分）

1. 下列各数：，，，，，，，其中无理数有

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

2. 下列根式中，不是最简二次根式的是

A.  B.  C.  D.

3. 若分式的值为，则的值是

A.  B.  C. 或 D.

4. 若把分式的，同时扩大倍，则分式的值为

A. 扩大为原来的倍 B. 缩小为原来的
C. 不变 D. 缩小为原来的

5. 在数轴上表示不等式，其中正确的是

A.  B.
C.  D.

6. 如图，在中，，线段的垂直平分线交于点，的周长是，则的长为

A.
B.
C.
D.

7. 如图，点，分别在线段，上，与相交于点，已知，现添加以下的哪个条件仍不能判定   

A.
B.
C.
D.

8. 已知实数在数轴上的对应点位置如图所示，则化简的结果是

1.  B.  C.  D.

二．填空题（本题共8小题，共24分）

9. 若有意义，则的取值范围为______ ．
10. 的平方根______．
11. ，，的最简公分母是______．
12. “的倍与的和不大于”用不等式表示为______．
13. 不等式的解集为，则的取值范围是______ ．
14. 如图，在中，，平分，若，，则______．
    
     

15. 若实数，满足，则________．
16. 如图．中，，，请依据尺规作图的作图痕迹，计算______．
    
    
    
     

三．计算题（本题共1小题，共6分）

17. 计算：．
    
    
    
    
    
    
     

四．解答题（本题共9小题，共76分）

18. 解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
    
    
    
    
    
    
     
19. 解分式方程：．
    
    
    
    
    
    
     
20. 先化简，再求值：，其中．
    
    
    
    
    
    
     
21. 已知：一个正数的两个不同平方根分别是和．
    求的值；
    求的立方根．
    
    
    
    
    
    
     
22. 受疫情影响，洗手液需求量猛增，某商场用元购进一批洗手液后，供不应求，商场用元购进第二批这种洗手液，所购数量是第一批数量的倍，但单价贵了元．
    求该商场购进的第一批洗手液的单价；
    商场销售这种洗手液时，每瓶定价为元，最后瓶按折销售，很快售完，在这两笔生意中商场共获利多少元？
    
    
    
    
    
    
     
23. 为奖励在文艺汇演中表现突出的同学，班主任派生活委员小亮到文具店为获奖同学购买奖品．小亮发现，如果买个笔记本和支钢笔，则需要元；如果买个笔记本和支钢笔，则需要元．
    求购买每个笔记本和每支钢笔各多少元？
    班主任给小亮的班费是元，需要奖励的同学是名每人奖励一件奖品，若购买的钢笔数不少于笔记本数，求小亮有哪几种购买方案？
    
    
    
    
    
    
     
24. 如图，在中，，，为延长线上一点，点在边上，且，连结、、．
    求证：≌；
    若，求的度数．
     

25. 如图，中，，现有两点、分别从点、点同时出发，沿三角形的边运动，已知点的速度为，点的速度为当点第一次到达点时，、同时停止运动．
    点、运动几秒后，、两点重合？
    点、运动几秒后，可得到等边三角形？
    当点、在边上运动时，能否得到以为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时、运动的时间．
    
    
    
    
    
    
     
26. 阅读下列材料，然后回答问题：
    在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如、这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：； 
     以上这种化简过程叫做分母有理化．
    还可以用以下方法化简：．
    请用其中一种方法化简；
    化简：．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】

【解析】

解：，是有限小数，属于有理数；
，是整数，属于有理数；
是分数，属于有理数；
无理数有：，，共个．
故选：．
根据无理数的定义求解即可．
此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，每两个之间依次多个等形式．
 

2.【答案】

【解析】

解：因为，因此不是最简二次根式．
故选：．
判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式中的两个条件被开方数不含分母，也不含能开的尽方的因数或因式是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
规律总结：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
被开方数不含分母；
被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
 

3.【答案】

【解析】

解：，，
，
故选：．
根据分式的值为的条件计算即可得出答案．
本题考查了分式的值为的条件，掌握分式的值为的条件是分子等于且分母不等于是解题的关键．
 

4.【答案】

【解析】

解：根据题意得：，
即把分式的，同时扩大倍，则分式的值缩小为原来的，
故选：．
根据题意列出算式，再根据分式的基本性质进行计算即可．
本题考查了分式的基本性质，能正确根据分式的基本性质进行计算是解此题的关键．
 

5.【答案】

【解析】

解：“”空心圆圈向右画折线，“”实心圆点向左画折线．
故在数轴上表示不等式如下：

故选：．
不等式在数轴上表示不等式与两个不等式的公共部分．
本题考查了在数轴上表示不等式的解集，不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来向右画；，向左画，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示．
 

6.【答案】

【解析】

【试题解析】

解：是线段的垂直平分线，
，
的周长是，
，
，
，
，
又，
．
故选：．
首先根据是线段的垂直平分线，可得，然后根据的周长是，以及，求出的长为多少即可．
此题主要考查了线段垂直平分线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：垂直平分线垂直且平分其所在线段．垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．

7.【答案】

【解析】

【分析】
此题主要考查学生对全等三角形判定定理的理解和掌握，此类添加条件题，要求学生应熟练掌握全等三角形的判定定理欲使，已知，为公共角，可根据全等三角形判定定理、、添加条件，逐一证明即可．
【解答】
解：，为公共角，
A.如添加，利用即可证明；
B.如添，利用即可证明；
C.如添，由等量关系可得，利用即可证明；
D.如添，因为，不能证明，所以此选项不能作为添加的条件．
故选D．  

8.【答案】

【解析】

解：由图知：，
，，
原式．
故选：．
根据数轴上点的位置，判断出和的符号，再根据非负数的性质进行化简．
此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出，是解题关键．
 

9.【答案】

且
 

【解析】

解：由题意得：，且，
解得：且，
故答案为：且．
利用二次根式有意义的条件可得，再利用分式有意义的条件可得，再解即可．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．分式分母不为零．
 

10.【答案】

【解析】

解：，
的平方根为，
故答案为：
先化简原数，然后求该数的平方根．
本题考查平方根的概念，注意化简原数后再求解．
 

11.【答案】

【解析】

解：，，的公分母是
故答案为：
确定最简公分母的方法是：
取各分母系数的最小公倍数；
凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；
同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．
考查了通分的定义：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．
 

12.【答案】

【解析】

解：由题意得：，
故答案为：．
首先表示“的倍”为，再表示“与的和”为，最后表示“不大于”可得．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，用不等式表示不等关系时，能抓住题目中的关键词，如“大于小于、不超过不低于、是正数负数”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号是解决问题的关键．
 

13.【答案】

【解析】

解：不等式的解集为，
，
，
故答案为：．
根据不等式的性质，不等式的两边同乘或除以同一个负数，不等号的方向改变，可得答案．
本题考查了不等式的解集，由不等号方向改变，得出未知数的系数小于．
 

14.【答案】

【解析】

解：平分，
，
，
中，
．
故答案为．
由平分，可得角相等，由，，可求得的度数，在直角三角形在利用两锐角互余可求得答案．
本题考查了三角形的角平分线、中线和高的相关知识；求得是正确解答本题的关键．
 

15.【答案】

【解析】

解：由题意知，
，满足，
，，
．
故答案为：．
根据非负数的性质可求出、的值，进而可求出的值．
此题主要考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：绝对值；偶次方；二次根式算术平方根当它们相加和为时，必须满足其中的每一项都等于根据这个结论可以求解这类题目．
 

16.【答案】

【解析】

解：，，
，
由作法可知，是的平分线，
，
由作法可知，是线段的垂直平分线，
，
，
，
故答案为：．
先根据三角形的内角和得出，由角平分线的定义求出的度数，再由是线段的垂直平分线得出的度数，根据三角形内角和定理得出的度数，进而可得出结论．
本题考查的是作图基本作图，熟知角平分线及线段垂直平分线的作法及其性质是解答此题的关键．
 

17.【答案】

解：

．
 

【解析】

先分别化简每一项，再求和即可．
本题考查实数的运算，熟练掌握零指数幂，负整数指数幂，绝对值，二次根式的运算是解题的关键．
 

18.【答案】

解：，
解得，
解得，
所以不等式组的解集为，
用数轴表示为：

 

【解析】

先分别解两个不等式得到和，再根据大小小大中间找得到不等式组的解集，然后利用数轴表示解集．
本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
 

19.【答案】

解：去分母得：，
移项合并得：，
解得：，
经检验是分式方程的解．
 

【解析】

分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
 

20.【答案】

解：原式
，
当时，原式．
 

【解析】

本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
根据分式的运算法则即可求出答案．
 

21.【答案】

解：一个正数的两个平方根分别是和，
，
，
解得；
由得，
．
，
的立方根是：．
 

【解析】

根据正数的两个平方根互为相反数，求出的值是多少即可；
把中求出的的值代入，求出算式的立方根是多少即可．
此题主要考查了立方根的性质和运用，以及平方根的性质和运用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，的立方根是．
 

22.【答案】

解：设该商场购进的第一批洗手液的单价为元瓶，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：该商场购进的第一批洗手液的单价为元；
共获利：元．
答：在这两笔生意中商场共获得元．
 

【解析】

设该商场购进的第一批洗手液的单价为元瓶，由题意：某商场用元购进一批洗手液后，供不应求，商场用元购进第二批这种洗手液，所购数量是第一批数量的倍，但单价贵了元．列出分式方程，解方程即可；
根据题意分别求出两次的利润即可解决问题．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

23.【答案】

解：设每个笔记本元，每支钢笔元
依题意得：
解得：
答：设每个笔记本元，每支钢笔元．

设购买笔记本个，则购买钢笔个
依题意得：
解得：
取正整数
或或
有三种购买方案：购买笔记本个，则购买钢笔个．
购买笔记本个，则购买钢笔个．
购买笔记本个，则购买钢笔个．
 

【解析】

每个笔记本元，每支钢笔元，根据题意列出方程组求解即可；
设购买笔记本个，则购买钢笔个利用总费用不超过元和钢笔数不少于笔记本数列出不等式组求得的取值范围后即可确定方案．
本题考查了一元一次不等式的应用及二元一次方程组的应用，解题的关键是仔细的分析题意并找到等量关系列方程或不等关系列不等式．
 

24.【答案】

证明：在和中，
，
≌；

解：在中，，，
，
由得：≌，
，
为的外角，
，
则．
 

【解析】

此题考查了全等三角形的判定与性质，以及三角形的外角性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
利用即可得证；
由全等三角形对应角相等得到，利用外角的性质求出的度数，即可确定出的度数．
 

25.【答案】

解：设点、运动秒后，、两点重合，
，
解得：；

设点、运动秒后，可得到等边三角形，如图，
，，
三角形是等边三角形，
，
解得，
点、运动秒后，可得到等边三角形．

当点、在边上运动时，可以得到以为底边的等腰三角形，
由知秒时、两点重合，恰好在处，
如图，假设是等腰三角形，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
在和中，
，
≌，
，
设当点、在边上运动时，、运动的时间秒时，是等腰三角形，
，，，
，
解得：故假设成立．
当点、在边上运动时，能得到以为底边的等腰三角形，此时、运动的时间为秒．
 

【解析】

此题主要考查了等边三角形的性质及判定，关键是根据题意设出未知数，理清线段之间的数量关系．
首先设点、运动秒后，、两点重合，表示出，的运动路程，的运动路程比的运动路程多，列出方程求解即可；
根据题意设点、运动秒后，可得到等边三角形，然后表示出，的长，由于等于，所以只要，三角形就是等边三角形；
首先假设是等腰三角形，可证出≌，可得，设出运动时间，表示出，，的长，列出方程，可解出未知数的值．
 

26.【答案】

解：原式；
原式


 

【解析】

运用第二种方法求解，
先把每一个加数进行分母有理化，再找出规律后面的第二项和前面的第一项抵消，得出答案，
本题主要考查了分母有理化，解题的关键是找准有理化因式．