2021-2022学年湖南省益阳市桃江县八年级（上）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年湖南省益阳市桃江县八年级（上）期末数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 要使分式的值总是存在，则的取值范围应为(    )

A.  B.  C.  D.

2. 从长为，，，的条线段中任取条线段，不能构成三角形的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

3. 下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4. 对于命题“无限小数是无理数”，如果要举反例说明它是假命题，则所取的数可以是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 计算的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 下列各数中，可以作为不等式组的整数解的是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 如图是用尺规作的平分线的示意图，这样作图的依据是(    )

A.
B.
C.
D.

8. 如图，等边三角形中，于，平分交、于点、，的重心是(    )

A. 点
B. 点
C. 点
D. 不能确定

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）

9. 如果是的一个平方根，那么的值为______．
10. 关于的不等式的解集为，则的取值范围是______．
11. 如果一个长方体的体积为，其高为，则这个长方体的底面积是______．
12. 分式可以化简为______．
13. 以下个二次根式、、、中，最简二次根式是______．
14. 如图，平面上直线、分别过线段两端点，则、相交成的锐角为______度．

三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）

15. 计算：．

四、解答题（本大题共7小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16. 本小题分
    求不等式组的整数解．
17. 本小题分
    如图，已知线段和点是的边上的一点．
    作图保留作图痕迹，不要求写作法：
    在射线上取点，使；
    作线段的垂直平分线交、于点、；
    作线段的垂直平分线交、、于点、、．
    若，根据上述作图求的周长．

18. 本小题分
    先化简，再求值：，其中，．
19. 本小题分
    已知，如图，点在等边三角形的边上，交于，延长至点，使，连接交于点．
    求证：是等边三角形；
    ．

20. 本小题分
    计算：．
21. 本小题分
    我国规划修建的呼南高铁将通过益阳，目前正在开工建设的长沙经益阳至常德的路段全长公里，比现在运行的动车铁路线缩短公里，建成后的高铁运行速度是动车速度的倍，运行时间要减少小时．
    搭乘建成后的这段高铁，需要多少小时可从长沙抵达常德？
    甲、乙两家公司承担这段铁路路基工程建设，中标价格分别为平均每公里万元、万元，在不超出总金额万元的前提下，甲公司最多能承担多少公里的路基建设任务？
22. 本小题分
    已知：如图，在中，，于点，点为上的一点，且，连结并延长交于点，连结．
    求证：；
    判断与的数量关系和位置关系，并给出证明；
    求证：．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：分式的值总是存在，
．
．
故选：．
由分式的值总是存在，得到关于的不等式，求解即可．
本题考查了分式有意义的条件，掌握“分母不为时，分式总有意义”是解决本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：从这条线段中任取条，总的情况有种：
，，，，
其中所取条线段不能构成一个三角形的情况只有一种：，
故选：．
根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边
本题考查了三角形的三边关系，利用了三角形中三边的关系求解．注意分类讨论，不重不漏．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，故A符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
利用二次根式的化简的法则，二次根式的乘法的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

4.【答案】 

【解析】解：如为无限循环小数，是有理数；
故选：．
根据命题举出使得命题不成立的命题即可．
本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题；经过推理、论证得到的真命题称为定理．
 

5.【答案】 

【解析】解：


．
故选：．
利用幂的乘方的法则及同底数幂的乘法的法则进行求解即可．
本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

6.【答案】 

【解析】解：不等式组解得：，
则可以作为不等式组的整数解的是，
故选：．
找出解集的公共部分确定出解集，即可求出整数解．
此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：连接、，
在和中，
，
≌，
故选：．
根据作图得出符合全等三角形的判定定理，即可得出答案．
本题考查了全等三角形的判定定理的应用，掌握全等三角形的判定定理：，，，是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：是等边三角形，
，
于，平分交、于点、，
与都是的中线，
点是的重心，
故选：．
根据等边三角形的性质与三角形的重心的定义进行判断便可．
本题主要考查了等边三角形的性质，三角形的重心定义，熟记等边三角形的三线合性质和三角形的重心定义是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：由题意得，．
故答案为：．
根据平方根的定义解决此题．
本题主要考查平方根，熟练掌握平方根的定义是解决本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：不等式的解集为，
，
故答案为：．
运用不等式的基本性质求解即可．
本题主要考查了不等式的基本性质，解题的关键是熟记不等式的基本性质．
 

11.【答案】 

【解析】解：由题意，这个长方体的底面积：．
故答案为：．
根据“长方体的体积底面积高”，先列式再计算．
本题主要考查了整式的除法，掌握整式的除法法则和长方体的体积公式是解决本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：原式

，
故答案为：．
分子先进行因式分解，然后分子、分母约分即可．
本题主要考查了约分，解答的关键是明确分式可以进行约分化简，则分子与分母有公因式．
 

13.【答案】 

【解析】解：、、，
最简二次根式是．
故答案为：．
根据最简二次根式的定义二次根式的被开方数不存在开方开得尽的因数或因式解决此题．
本题主要考查最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解决本题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：．
故答案是：．
根据三角形的外角等于不相邻的两个内角的和即可求解．
本题考查三角形的外角的性质：三角形的外角等于不相邻的两个内角的和，理解性质是关键．
 

15.【答案】解：原式

． 

【解析】先将括号里面的二次根式化为最简，然后合并得出结果，再进行二次根式的乘法运算．
本题考查二次根式的混合运算，熟练化简二次根式后，在加减的过程中，有同类二次根式的要合并；相乘的时候，被开方数简单的直接让被开方数相乘，再化简；较大的也可先化简，再相乘，灵活对待．
 

16.【答案】解：
由得，
由得，
所以这个不等式组的的解集是，
不等式组的整数解是，，． 

【解析】首先求出不等式组中每一个不等式的解集，再根据大小小大中间确定不等式的解集即可．
此题考查了解一元一次不等式组，关键是掌握同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到解集的规律．
 

17.【答案】解：如图，线段即为所求；
如图，直线即为所求；
如图，直线即为所求；

垂直平分，垂直平分，
，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，
．
即的周长为． 

【解析】以为圆心为半径作弧交于点，线段即为所求；
根据线段的垂直平分线的作法作出图形即可；
根据线段的垂直平分线的作法，作出图形即可．
证明的周长，可得结论．
本题考查作图复杂作图，线段的垂直平分线等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

18.【答案】解：



，
当，时，
原式

． 

【解析】利用分式的相应的运算法则对式子进行化简，再代入相应的值运算即可．
本题主要考查分式的化简求值，解答的关键是对分式的相应的运算法则的掌握与运用．
 

19.【答案】证明：是等边三角形，
，
，
，
是等边三角形；
是等边三角形，
，
，
，
，
，，
在和中，
，
≌，
． 

【解析】由是等边三角形，得，再由，即可推出结论；
根据证明≌即可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
 

20.【答案】解：原式

． 

【解析】先分母有理化，再合并同类项即可．
本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算法则，需要灵活应用法则进行计算，属于中考常考题型．
 

21.【答案】解：设搭乘建成后的这段高铁需要小时可从长沙抵达常德，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：搭乘建成后的这段高铁，只需要小时可从长沙抵达常德；
设甲公司承担公里的路基建设任务，
根据题意，得，
解得，
答：甲公司最多能承担公里的路基建设任务． 

【解析】设搭乘建成后的这段高铁需要小时可从长沙抵达常德，根据建成后的高铁运行速度是动车速度的倍，列分式方程，求解即可；
设甲公司承担公里的路基建设任务，根据总金额不超出万元，列一元一次不等式，进一步求解即可．
本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意建立关系式是解题的关键．
 

22.【答案】证明：，，
，
，
；
解：；；证明如下：
如图，

在和中，

≌，
，，
，
，
；
证明：过点作交于点，

，
即．
又，
，
在和中，

≌，
，
又，
． 

【解析】根据可得；
利用证明≌，得，，从而说明与垂直且相等；
过点作交于点，利用证明≌，得，即可证明结论．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．